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专题 04 解一元一次方程重难题型分类练（八大考
点）
实战训练
一．方程定义的理解
1．关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
2．若（a﹣1）x|a|＝6是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
3．已知（m﹣3）x|m|﹣2+m﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ ．
二．含绝对值的方程4．已知方程|2x﹣1|＝2﹣x，那么方程的解是 ．
1
5．方程| x﹣2|＝b，当b＝1时，方程的解为 ．
3
6．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x+3|＝2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；
当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．
所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．
（1）利用上述方法解方程：|3x﹣2|＝4．
（2）当b满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|＝b﹣1，①无解；②只有一个解；③有两个解．
7．先阅读，后解题：符号|﹣3|表示﹣3的绝对值为3，|+3|表示+3的绝对值为3，如果|x|＝3那么x
＝3或x＝﹣3．若解方程|x+1|＝3，可将绝对值符号内的x+1看成一个整体，则可得x+1＝3或
x+1＝﹣3，分别解方程可得x＝2或x＝﹣4．利用上面的知识，解方程：|2x﹣3|﹣5＝0．
三．解方程易错题--去分母，去括号
1
8．（Ⅰ）解方程：2x﹣（x﹣1）＝4（x− ）；
2
5 y+4 y−1 5 y−5
（Ⅱ）解方程： + =1− ．
3 4 12
9．解方程：
（1）4y﹣3（20﹣y）＝6y﹣7（11﹣y）；
2x+1 x−1
（2） =1− ．
3 5
10．解方程：
1 1 2
（1） [x− （x﹣1）]= （x+2）．
2 2 3
0.3x−0.2 1.5−5x
（2）7+ = ．
0.2 0.5
x 0.17−0.2x
11．解方程：（1） − =1．
0.7 0.03
x−3 x−1
（2） + =4．
2 3
12．解方程：3 4
（1） （ x﹣8）＝2x+1；
4 3
x+2 2x−3
（2） − =1．
4 6
四．阅读类---紧扣示例，化归思想
13．阅读并解决其后的问题：
我们将四个有理数a
1
、a
2
、a
3
、a
4
写成[a
1
a
2
]的形式，称它为由有理数a
1
、a
2
、a
3
、a
4
组成的
a a
3 4
二阶矩阵，称a 、a 、a 、a 为构成这个矩阵的元素，如由有理数﹣1、2、3、﹣4组成的二阶矩
1 2 3 4
[−1 2 ]
阵是 ，﹣1、2、3、﹣4是这个矩阵的元素，当且仅当两个矩阵相同位置上的元素相
3 −4
等时，我们称这两个二阶矩阵相等，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程：①
[−2 3] [3 −3] [−2+3 3+(−3)] [1 0]
+ = = ， ②
5 4 0 4 5+0 4+4 5 8
[ 3 0] [9 7 ] [ 3+9 0+7 ] [12 7]
+ = =
，
−6 8 5 −4 −6+5 8+(−4) −1 4
（1）通过观察上述例子中矩阵加法运算的规律，可归纳得二阶矩阵的加法运算法则是：
两个二阶矩阵相加， ．
[1 0] [−13 15]
（2）①计算： + ；
0 1 26 −4
[x ]
2 [−3(x−2) −2] [1 0]
②若 2 + = ，求x的值；
0 −x 0 1
0 x+1
（3）若记A= [a
1
a
2
]，B= [b
1
b
2
]，试依据二阶矩阵的加法法则说明A+B＝B+A成立．
a a b b
3 4 3 4
14．阅读下面材料，并完成问题：
我们把不超过数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，把x﹣[x]称为x的小数部分，记作
{x}，即0≤{x}＜1，x＝[x]+{x}．
如[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}；
又如[﹣3.7]＝﹣4，{﹣3.7}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3．
（1）{1.6}＝ ，[﹣1.6]＝ ．（2）若[x]＝2{x}，求x的值．
思路分析：因为0≤{x}＜1，所以0≤2{x}＜2．因为[x]是整数部分，可以对[x]赋值．
解：当[x]＝0时，代入已知条件，可求得{x}＝0，则x＝0；当[x]＝1时，代入已知条件，可求得
1 3
{x}= ，则x= ．
2 2
3
综上所述，x＝0或x= ．
2
仿照上面的解法，若2{x}＝[x]﹣1，求x的值．
（3）若3[x]+1＝2{x}+x，求x的值．
五．方程中的新定义
15．“*”是新规定的这样一种运算法则：a*b＝a2﹣2ab，比如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21
（1）试求（﹣2）*3的值；
（2）若（﹣2）*（1*x）＝x﹣1，求x的值．
16．用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a b＝ab2+2ab+a．
如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16． ⊕
（1）⊕则（﹣2） 3的值为 ；
a+1 ⊕
（2）若 ⊕(−3)=8，求a的值．
2
17．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
1 1 1 1
x+ =0的解为x=− ，而− = −1；
2 2 2 2
4 2 2 4
2x+ =0的解为x=− ，而− = −2．
3 3 3 3
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起
进行以下探究：
（1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
1
（2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b+
2
）y．
x+4
18．定义：若整数k的值使关于x的方程 +1=kx的解为整数，则称 k为此方程的“友好系
2数”．
x+4
（1）判断k ＝0，k ＝1是否为方程 +1=kx的“友好系数”，写出判断过程；
1 2
2
x+4
（2）方程 +1=kx“友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方
2
程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．
19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方
程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
1 1
（3）若关于x的一元一次方程 x+3＝2x+k和 x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一
2022 2022
1
元一次方程 （y+1）+3＝2y+k+2的解．
2022
六．解的关系---先求解。
20．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
x
21．求当m为何值时，关于x的方程2x﹣2m＝3x﹣1的解比 =x﹣m的解多2？
2
k+x
22．方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程 −3k﹣2＝2x的解互为倒数，求k的值．
2
23．关于x的两个方程2x＝2k+1和3x﹣k＝x﹣2，这两个方程解的和为4，求k的值．
七．看错类---将错就错来改错
2x−1 x+a
24．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 = −1去分母时由于粗心，方程右边的
3 2
﹣1没有乘6而得到错解x＝4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
x+a 2x−1
25．王聪在解方程 −1= 去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，因而求得方程的解为x＝
3 3
2，你能正确求出原先这个方程的解吗？
26．同学小明在解关于x的方程5x﹣4＝（ ）x时，把（ ）处的数看错，得错解x＝﹣1，则小明把（ ）处看成了 ．
27．小明同学在解方程：5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝1，则该同学把m看成了（
）
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
八．同解方程---解相同（求解代入另一，或分别求解新方程）
28．已知关于x的方程5x+4＝4x+3和方程2（x+1）﹣m＝﹣2（m﹣2）的解相同，求m的值．
2x−3 2 1
29．已知方程 = x﹣3与方程3n− =3（x+n）﹣2n的解相同．
5 3 4
求：（2n﹣27）2的值．
30．已知方程x+3＝0与关于x的方程6x﹣3（x+k）＝x﹣12的解相同
（1）求k的值；
（2）若|m+5|+（n﹣1）k＝0求m+n的值．
