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专题 05 函数动点之线段与面积最值
典例分析：
典例1
如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直
线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．解题思路：：（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝
ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；
（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y
轴，交AD于E，设 P （ t ，﹣ t 2 +2 t +3 ），则 E （ t ，﹣ t ﹣ 1 ） （点）， 表示 PE 的长 （线），根据
三角形面积公式可得△ APD 的面积 (式)，配方后可得结论．
答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，
∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
{a−2+c=0
，
c=3
{a=−1
解得： ，
c=3
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴D（4，﹣5），
过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，
1 5 5 3 125
∴△PAD的面积= •PE•（4+1）= （﹣t2+3t+4）=− （t− ）2+ ，
2 2 2 2 8
5 125
当t= 时，△PAD的面积最大，且最大值是 ．
2 8
典例2
1
=
2
如图，二次函数y x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左
侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，
3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段
PQ的最大值．
1
解题思路：（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y= x+1，则
2
易得B（﹣2，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；1 1
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征， 设 P （ x ， x 2 − x ﹣
2 2
1 1 1 1
3 ）， Q （ x ， x +1 ）， （点） 则PQ= x +1 ﹣（ x 2 − x ﹣ 3 ）， （线） 把解析式配成顶点式得
2 2 2 2
1 9
到PQ=− （ x ﹣ 1 ） 2+ ， （式） 然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．
2 2
答案详解：解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：
4k+1＝3，
1
解得：k= ，
2
1
∴一次函数解析式为y= x+1，
2
1
当y＝0时， x+1＝0，
2
解得x＝﹣2，
则B（﹣2，0），
1
把B（﹣2，0），A（4，3）代入y= x2+bx+c得：
2
{2−2b+c=0
2− ，
8+4b+c=3
{ 1
b=−
解得： 2
c=−3
1 1
∴抛物线解析式为y= x2− x﹣3；
2 2
1 1 1
（2）设P（x， x2− x﹣3），则Q（x， x+1），
2 2 2
1 1 1
∴PQ= x+1﹣（ x2− x﹣3）
2 2 2
1
=− x2+x+4
2
1 9
=− （x﹣1）2+ ，
2 2
9
∴当x＝1时，PQ最大，最大值为 ．
2实战训练
一．线段最值--纵横差与改邪归正
1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）
两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点
M．求线段PM的最大值．
试题分析：先利用对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），再把
把C点坐标代入求得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，接着利用待定系数法求出直线
BC的解析式为y＝x+3，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），所以PM＝﹣t2
﹣3t，然后根据二次函数的性质求PM的最大值．
答案详解：解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，
0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
{−3m+n=0
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得 ，
n=3
{m=1
解得 ，
n=3
∴直线BC的解析式为y＝x+3，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
3 9
∵PM＝﹣（t+ ）2+ ，
2 4
3 9
∴当t=− 时，PM有最大值，最大值为 ．
2 4
3 9
2．如图，已知抛物线的解析式为 y=− x2− x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于
4 4
点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点
M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，
并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
试题分析：（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x＝0代入可以得
到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出
M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
3 9 3 3 3 75
答案详解：解：（1）∵y=− x2− x+3=− （x+4）（x﹣1）=− （x+ ）2+ ，
4 4 4 4 2 16
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
3
对称轴为直线x=− ；
2
（2）如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
{ k+b=0
∴ ，
4k+b=11
{ k=
3
解得： ，
1
b=−
3
1 1
∴直线NB的解析式为：y= x− ，
3 3
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=√32+12=√10，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
1 1
{ y= x−
3 3
解方程组： ，
3 9
y=− x2− x+3
4 4
40
{x =−
{x =1 2 9
1
解得： 或 ，
y =0 49
1 y =−
2 27
40 49
∴当P的坐标为（1，0）或（− ，− ）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为√10．
9 27
1 3
3．如图，已知二次函数y= x2﹣x− 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
2 2
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求
线段EF的最大值．试题分析：（1）将x＝0代入函数解析式即可求出C点坐标，将y＝0代入函数解析式即可求出
A、B的坐标；
（2）利用一次函数的待定系数法直接求解即可；
（3）设点D的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可．
1 3
答案详解：（1）解：∵二次函数y= x2﹣x− ，
2 2
1 3
令 y＝0，即 x2−x− =0，
2 2
∴x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
由图可得，B在A的右边，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
3 3
令 x＝0，则y=− ，即C(0，− )；
2 2
（2）解：设直线BC解析式为 y＝kx+b，
把 B（3，0），C（0，﹣2）代入得，
{3k+b=0
3 ，
b=−
2
1
{ k=
2
解得 ，
3
b=−
2
1 3
∴直线BC解析式为y= x− ；
2 2
（3）解：设 D（x，0），0≤x≤3，DF⊥x 轴，
∴x ＝x ＝x ＝x，
D E F∵E在直线BC上，
1 3 1 3
∴y = x− ，即E(x， x− )，
E 2 2 2 2
∵F在抛物线上，
1 3 1 3
∴y = x2−x− ，即F(x， x2−x− )，
F 2 2 2 2
1 3 1 3 1 3
∴EF=|y −y |= x− −( x2−x− )=− x2+ x，
E F 2 2 2 2 2 2
b 3
∴x=− = ，
2a 2
3 3
∴0≤x≤ ，y随x的增大而增大， ＜x≤3，y随x的增大而减小，
2 2
3
∴x= 时，EF有最大值，
2
1 3 2 3 3 9
∴EF=− ×( ) + × = ；
2 2 2 2 8
9
∴EF的最大值是 ．
8
4．如图：对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标
为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①在对称轴直线x＝﹣1上找到一点P，使得△PBC的周长最小，求出P点的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
试题分析：（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0）与（2，5）在抛物线上，
代入抛物线的解析式，即可解答；（2）①由抛物线的轴对称性质知：点 A与点B关于直线x＝﹣1对称，所以连接AC，直线AC
与直线x＝﹣1的交点即为所求的点P；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则
D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段
QD长度的最大值．
答案详解：解：（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0）与（2，5）在抛
物线上，则：
9a−3b+c=0
{
4a+2b+c=5
，
b
− =−1
2a
{
a=1
解得 b=2 ．
c=−3
所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称，
那么P点为直线AC与x＝﹣1的交点．
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3．
∴C（0，﹣3）．
可设其解析式为y＝kx﹣3，
把A（﹣3，0）代入，得
﹣3k﹣3＝0，
解得k＝﹣1；
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3；
当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2，
P（﹣1，﹣2）；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
{−3k+t=0
得 ，
t=−3{k=−1
解得 ．
t=−3
即直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
3 9
QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+ ）2+ ，
2 4
3 9
∴当x=− 时，QD有最大值 ．
2 4
1
5．如图1，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，2）．
2
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图2，若点D是在直线BC上方的抛物线的一点，作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大
值．
1
试题分析：（1）由抛物线y=− x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，2），用待定系数法即得抛
2
1 3
物线解析式为y=− x2+ x+2；
2 21 3
（2）过P作PM⊥x轴于M，设P（m，− m2+ m+2），根据∠PAB＝∠ACO，得tan∠PAB＝
2 2
1 3
PM AO 1 |− m2+ m+2|
tan∠ACO，即 = = ，有 2 2 1，即可解得点P的坐标为（3，2）或
AM CO 2 =
m+1 2
（5，﹣3）；
1 3
（3）作D作DN⊥x轴于N交BC于F，由y=− x2+ x+2得B（4，0），可得直线 BC为y
2 2
1 OB 2√5
=− x+2，在 Rt△BOC 中，可求 cos∠CBO= = ，而 DE⊥BC，∠DFE＝∠BFN，知
2 BC 5
2√5
∠EDF＝∠NBF，故DE＝DF•cos∠EDF＝DF•cos∠CBO= DF，即知DF最大时，DE最大，
5
1 3 1 4√5
设D（n，− n2+ n+2），则DF=− （n﹣2）2+2，即可得DE的最大值为 ．
2 2 2 5
1
答案详解：解：（1）∵抛物线y=− x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，2），
2
{ 1 { 3
0=− −b+c b=
∴ 2 ，解得 2，
2=c c=2
1 3
∴抛物线解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
（2）过P作PM⊥x轴于M，如图：
1 3 1 3
设P（m，− m2+ m+2），则PM＝|− m2+ m+2|，AM＝m+1，
2 2 2 2
∵∠PAB＝∠ACO，PM AO 1
∴tan∠PAB＝tan∠ACO，即 = = ，
AM CO 2
1 3
|− m2+ m+2|
∴ 2 2 1，
=
m+1 2
1 3
− m2+ m+2
当P在x轴上方时， 2 2 1，
=
m+1 2
解得m＝3或m＝﹣1（与A重合，舍去），
∴P（3，2），
1 3
− m2+ m+2
当P在x轴下方时， 2 2 1，
=−
m+1 2
解得m＝5或m＝﹣1（舍去），
∴P（5，﹣3），
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（5，﹣3）；
（3）作D作DN⊥x轴于N交BC于F，如图：
1 3 1 3
在y=− x2+ x+2中，令y＝0得− x2+ x+2＝0，
2 2 2 2
解得x＝4或x＝﹣1，
∴B（4，0），
设直线BC为y＝kx+2，
1
∴0＝4k+2，解得k=− ，
2
1
∴直线BC为y=− x+2，
2
在Rt△BOC中，BC=√OC2+OB2=2√5，OB 2√5
∴cos∠CBO= = ，
BC 5
∵DE⊥BC，∠DFE＝∠BFN，
∴∠EDF＝∠NBF，
2√5
∴DE＝DF•cos∠EDF＝DF•cos∠CBO= DF，
5
∴DF最大时，DE最大，
1 3 1
设D（n，− n2+ n+2），则F（n，− n+2），
2 2 2
1 3 1 1
∴DF＝（− n2+ n+2）﹣（− n+2）=− （n﹣2）2+2，
2 2 2 2
∴n＝2时，DF最大为2，
2√5 4√5
∴DE的最大值为 ×2= ．
5 5
6．如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经
过点A且与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值；
（3）在第（2）问的条件下，求点P到直线AD的最大值．
试题分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），则S△PAD
5 3 125 3 125
=− （x− ）2+ ，当t= 时，△PAD的面积最大值是 ；
2 2 8 2 8
（3）当△PAD的面积最大时，点P到直线AD的距离最大，利用等积法求解即可．
答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
{a−2+c=0
∴ ，
c=3
{a=−1
解得 ，
c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
{y=−x2+2x+3
（2）联立方程组 ，
y=−x−1
{x=−1 { x=4
解得 （舍）或 ，
y=0 y=−5
∴D（4，﹣5），
过点P作PE∥y轴，交AD于E，
设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，
1 5 5 3 125
S△PAD =
2
⋅PE⋅(4+1)=
2
(−t2+3t+4)=−
2
(t−
2
) 2+
8
，
3 125
∴当t= 时，△PAD的面积最大值是 ；
2 8
（3）∵A（﹣1，0），D（4，﹣5），
∴AD=5√2，
设点P到AD的距离为h，
1
∴S = AD⋅ℎ，
△APD 2
1 125
∴S△APD =
2
×AD×h =
8
，
1 125
∴ ×5√2×h= ，
2 8
25√2
∴h= ，
8
25√2
∴点P到直线AD距离的最大值为 ．
87．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，B（1，0），与y轴交于D（0，3），直线与
抛物线交于B、C两点，其中C（﹣2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC，抛物线上是否存在一点P
使得线段PE最大，若存在，请求出点P的坐标和线段PE的最大值，若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线与BC交点F，可知PE和PF的比例关系确定，即PF越大，PE就越
大．
答案详解：解：（1）把点B（1，0），D（0，3），C（﹣2，3）分别代入y＝ax2+bx+c，得
{
a+b+c=0
c=3 ．
4a−2b+c=3
{a=−1
解得 b=−2．
c=3
故该抛物线解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，过点P作PG⊥x轴于点G，与BC交点F，过点C作CH⊥x轴于点H，则有CH∥PG，H（﹣2，0），
∴BH＝1﹣（﹣2）＝3，CH＝3，
∴BC=3√2，
∵在△FPE和△FGB中，∠PEF＝∠FGB＝90°，∠PFE＝∠GFB，
∴∠EPF＝∠FBG＝∠CBH，
BH PE √2
∴cos∠CBA＝cos∠EPF= = = ，
BC PF 2
√2
∴PE= PF，
2
设直线BC的解析式为：y＝kx+t（k≠0），
把B（1，0），C（﹣2，3）分别代入，
{ k+t=0
得 ．
−2k+t=3
{k=−1
解得 ．
t=1
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+1．
设P（a，﹣a2﹣2a+3），
则F（a，﹣a+1），
∴PF＝﹣a2﹣2a+3﹣（﹣a+1）＝﹣a2﹣a+2，
−1 1 1 1 9
∴当a=− =− 时，PF =− + +2= ，
−2 2 max 4 2 4
1 15 √2 9√2
则此时点P的坐标为（− ， ），PE = PF = ．
2 4 max 2 max 8
二．面积最值--改邪归正纵横积
8．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B
左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的表达式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ACD面积的最大值．
试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式，进行计算即可解答；
（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，先求出点A的坐标，再求出直线AC的
3 3 9 3
解析式为y=− x﹣3，然后设点D的坐标为（t， t2+ t﹣3），则点E的坐标为（t，− t﹣
4 4 4 4
3
3），从而可得DE=− t2﹣3t，最后根据△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，进行
4
计算即可解答．
答案详解：解：（1）∵点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝3OB，
∴OC＝3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
把B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2+3ax+c中得：
{a+3a+c=0，
，
c=−3
{ 3
a=
解得： 4 ，
c=−3
3 9
∴抛物线的表达式为y= x2+ x﹣3；
4 4
（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，3 9
当y＝0时， x2+ x﹣3＝0，
4 4
解得：x ＝﹣4，x ＝1，
1 2
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b中得：
{−4k+b=0
，
b=−3
{ 3
k=−
解得： 4，
b=−3
3
∴直线AC的解析式为y=− x﹣3，
4
3 9 3
设点D的坐标为（t， t2+ t﹣3），则点E的坐标为（t，− t﹣3），
4 4 4
3 3 9 3
∴DE=− t﹣3﹣（ t2+ t﹣3）=− t2﹣3t，
4 4 4 4
∴△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积
1 1
= DE•AF+ DE•OF
2 2
1
= DE•（AF+OF）
2
1
= DE•OA
2
1 3
= •（− t2﹣3t）•4
2 4
3
=− t2﹣6t
23
=− （t+2）2+6，
2
∴当t＝﹣2时，△ACD面积有最大值，最大值为6，
∴△ACD面积的最大值为6．
9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第二象限内的抛物线
上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标．
试题分析：过点P作PK∥y轴交BC于点K，首先求得A、B、C的坐标，然后利用待定系数法
求出设直线 BC 解析式，设 P（t，﹣t2﹣2t+3），则 K（t，t+3），根据 S 四边形PBAC ＝
3 3 75
S△PBC +S△ABC ，得出S四边形PBAC =−
2
（t +
2
）2+
8
，运用二次函数求最值方法即可得出答案．
答案详解：解：如图，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
{−3k+b=0
得： ，
b=3
{k=1
解得： ，
b=3
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
1 1 3 3
∴S△PBC ＝S△PBK +S△PCK =
2
PK•（t+3）+
2
PK•（0﹣t）=
2
PK =
2
（﹣t2﹣3t），
1 1
S△ABC =
2
AB•OC =
2
×4×3＝6，
3 3 3 75
∴S四边形PBAC ＝S△PBC +S△ABC =
2
（﹣t2﹣3t）+6 =−
2
（t +
2
）2+
8
，
3
∵− ＜0，
2
3
∴当t=− 时，四边形PBAC的面积最大，
2
3 15
此时点P的坐标为（− ， ）．
2 4
10．已知，抛物线y＝x2+2x﹣3，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛
物线的顶点为点D．
（1）求AB的长度和点D的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出PB+PC的值最小时P点的坐标；
（3）点M是第三象限抛物线上一点，当S△MAC 最大时，求点M的坐标，并求出S△MAC 的最大值．
试题分析：（1）求出A（﹣3，0），B（1，0），可求AB＝4，再由y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣
4，可求D点坐标；（2）由抛物线的对称性可知PB＝PA，当A、C、P三点共线时，PB+PC的值最小，求出直线
AC的解析式为y＝﹣x﹣3，即可求P（﹣1，﹣2）；
（3）过点M作MN∥y轴交AC于点N，设M（m，m2+2m﹣3），则N（m，﹣m﹣3），则MN
3 3 27 3 27 3
＝﹣m2﹣3m，S△MAC =−
2
（m +
2
）2+
8
，当m =−
2
时，S△MAC 的最大值为
8
，此时M（−
2
15
，− ）．
4
答案详解：解：（1）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AB＝4，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，4）；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵A、B点关于对称轴对称，
∴PB＝PA，
∴PB+PC＝PA+PC≥AC，
∴当A、C、P三点共线时，PB+PC的值最小，最小值为AC，
∵AC＝3√2，
∴PB+PC的值最小为3√2，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
{ b=−3
∴ ，
−3k+b=0
{k=−1
解得 ，
b=−3
∴y＝﹣x﹣3，
∴P（﹣1，﹣2）；
（3）过点M作MN∥y轴交AC于点N，
设M（m，m2+2m﹣3），则N（m，﹣m﹣3），∴MN＝﹣m﹣3﹣m2﹣2m+3＝﹣m2﹣3m，
1 3 3 27
∴S△MAC =
2
×3×（﹣m2﹣3m）=−
2
（m +
2
）2+
8
，
3 27
∴当m =−
2
时，S△MAC 的最大值为
8
，
3 15
此时M（− ，− ）．
2 4
11．在平面直角坐标系中，直线 l：y＝2mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），若抛物线y＝﹣x2+
（m+n）x+n+2的顶点为M．
（1）当抛物线也经过点A（﹣1，0）时，求顶点M的坐标；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C，连接BC，点D是第
一象限内抛物线上的一个动点，连接AD，与BC，y轴分别交于点E，F，记△DBE，△CEF的
面积分别为S ，S ，求S ﹣S 的最大值．
1 2 1 2
试题分析：（1）由直线l：y＝2mx+n与x轴交于点A（﹣1，0）可得n＝2m，根据抛物线也经
过点A（﹣1，0），可得m、n的值，将抛物线化为顶点式即可求解；
（2）由（1）知直线 l：y＝2mx+2m，抛物线 y＝﹣x2+3mx+2m+2，联立得一元二次方程﹣
x2+3mx+2m+2＝2mx+2m，整理后根据根的判别式即可得出结论；
（3）设出PD点坐标，表示出△DAB、△AFO、△COB，利用S
1
﹣S
2
＝S△DAB ﹣S△AFO ﹣S△BOC 可
表示成关于D点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
答案详解：解：（1）∵直线l：y＝2mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），
∴﹣2m+n＝0，
∴n＝2m，
代入抛物线解析式得：y＝﹣x2+3mx+2m+2，
∵抛物线A（﹣1，0）在y＝﹣x2+3mx+2m+2，∴﹣1﹣3m+2m+2＝0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2+3x+4，
3 25
∴y=−(x− ) 2+ ，
2 4
3 25
∴抛物线的顶点坐标为M( ， )；
2 4
（2）由（1）知直线l：y＝2mx+2m，抛物线y＝﹣x2+3mx+2m+2，
{ y=2mx+2m
联立得 ，
y=−x2+3mx+2m+2
∴﹣x2+3mx+2m+2＝2mx+2m，
整理得x2﹣mx﹣2＝0，
∵b2﹣4ac＝m2+8＞0，
∴方程x2﹣mx﹣2＝0有两个不等实数根，原方程组有两个不同的解，
∴直线与抛物线有两个交点；
（3）由（1）知，y＝﹣x2+3x+4
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{4k+b=0 {k=−1
∴ ，解得 ，
b=4 b=4
∴直线BC：y＝﹣x+4，
设D（t，﹣t2+3t+4），
同理得直线AD：y＝（4﹣t）x+4﹣t，
∴F（0，4﹣t），
如图，∵AB＝5，OC＝4，
1 5 15
∴S△DAB =
2
（﹣t2+3t+4）×5 =−
2
t2+
2
t+10，
1 1 1
∴S△AFO =
2
×1×（4﹣t）＝2−
2
t，S△BOC =
2
×4×4＝8，
∴S
1
﹣S
2
＝S△DAB ﹣S△AFO ﹣S四边形BEFO ﹣（S△BOC ﹣S四边形BEFO ）
＝S△DAB ﹣S△AFO ﹣S△BOC
5 15 1
=− t2+ t+10﹣（2− t）﹣8
2 2 2
5
=− t2+8t
2
5 8 32
=− （t− ）2+ ，
2 5 5
8 32
∴当t= 时，S ﹣S 有最大值，最大值为 ．
5 1 2 5
12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请直接
写出点P的坐标和△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
试题分析：（Ⅰ）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（Ⅱ）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
（Ⅲ）根据S△BPC ＝S四边形BPCO ﹣S△BOC ＝S四边形BPCO ﹣16，得出函数最值，进而求出P点坐标即
可．{−4+2b+c=0
答案详解：解：（Ⅰ）将A（2，0），B（﹣4，0）代入得： ，
−16−4b+c=0
{b=−2
解得 ，
c=8
则该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+8；
（Ⅱ）存在，理由：
如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，
设直线BC的解析式为：y＝kx+d，
{ d=8 {k=2
将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得： ，解得 ，
−4k+d=0 d=8
故直线BC解析式为：y＝2x+8，
直线BC与抛物线对称轴 x＝﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．
{y=2x+8 {x=−1
解方程组 ，解得 ，
x=−1 y=6
故点Q的坐标为（﹣1，6）；
（Ⅲ）存在，理由：
如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0），
∵S△BPC ＝S四边形BPCO ﹣S△BOC ＝S四边形BPCO ﹣16，
若S四边形BPCO 有最大值，则S△BPC 就最大，
1 1 1 1
∴S四边形BPCO ＝S△BPE +S直角梯形PEOC =
2
BE•PE +
2
OE（PE+OC）=
2
（x+4）（﹣x2﹣2x+8）+
2
（﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）＝﹣2（x+2）2+24，
当x＝﹣2时，S四边形BPCO 最大值＝24，
∴S△BPC 最大＝24﹣16＝8，
当x＝﹣2时，﹣x2﹣2x+8＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，8）．
1
13．如图，二次函数y=− x2+bx+c经过点B（4，0）和点E（﹣2，﹣3）两点，与x轴的另一个
2
交点为A．点D是线段BE上的动点，过点D作DF⊥BE，交y轴于点F，交抛物线于点P．
（1）求出抛物线和直线BE的解析式；
（2）当△FDC≌△BOC时，求出此时点D的坐标；
（3）设点P的横坐标为m．
①请写出线段PD的长度为（用含m的式子表示）；
②当m为何值时，线段PD有最大值，并写出其最大值为多少？注：①②直接写出结果即可．试题分析：（1）用待定系数法即可求解；
（2）分点F在点C上方、点F在点C下方两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可；
（3）由PD＝PHsin∠PHD即可求解．
答案详解：解：（1）把 B（4，0），E（﹣2，﹣3）代入抛物线的解析式得：
1
{ − ×42+4b+c=0 { 3
2 b=
，解得 2，
1
− ×(−2) 2−2b+c=0 c=2
2
1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+2，
2 2
{ 1
{ 4k+t=0 k=
设直线BE的解析式为y＝kx+t，则 ，解得 2 ，
−2k+t=3
t=−2
1
∴直线BE的解析式为y= x﹣2；
2
1
（2）当x＝0时，y= x﹣2＝﹣2．
2
∴C的坐标是（0，﹣2）
如图1，当点F在点C上方时，
∵△DCF≌△OCB，
∴CD＝OC＝2．
过点D作DH⊥OB，垂足为H．BC OB
则 = ．
CD OH
∵BC=√OC2+BO2=√22+42=2√5，
2√5 4
∴ = ．
2 OH
4√5
∴OH= ．
5
4√5 1 2√5
把x= 代入y= x﹣2得，y= −2．
5 2 5
4√5 2√5
∴点D的坐标为（ ， −2）；
5 5
如图2，当点F在点C下方时，
∵△DCF≌△OCB，
∴CD＝OC＝2．
过点D作DH⊥OF，垂足为H．BC OB
则 = ．
CD DH
2√5 4
∴ = ．
2 DH
4√5
∴DH=
5
4√5 1 2√5
把x=− 代入y= x﹣2得，y=− −2．
5 2 5
4√5 2√5
∴点D的坐标为（− ，− −2）；
5 5
4√5 2√5 4√5 2√5
综上，点D的坐标为（− ，− −2）或（ ， −2）；
5 5 5 5
（3）①过点P作PH∥FC交BE于点H，则∠PHD＝∠OCB，
2√5
由直线BE的表达式知，tan∠OBC＝2＝tan∠PHD，则sin∠PHD= ，
51 3 1
∵点P的横坐标为m，则点P、H的坐标分别为（m，− m2+ m+2），（m， m﹣2），
2 2 2
2√5 1 3 √5 2√5 8√5
则PD＝PHsin∠PHD= （− m2+ m+2﹣+2）=− m2+ m+ ；
5 2 2 5 5 5
√5
②∵− ＜0，
5
b
∴函数有最大值，对称轴为：m=− =1，
2a
9√5
当m＝1时，PD有最大值为 ．
5
14．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），
（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；
（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；
（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，
线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，
线段EF最长．
试题分析：（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C
（2）连接BC，交DH于点M，使△ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x＝﹣1，求得M（﹣1，2）；
（3）由题意得出E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3
﹣（m+3），再根据二次函数的性质可得答案．
答案详解：解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，
将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，
当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
则A（1，0），C（﹣3，0），
当x＝0时，y＝3，则B（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{ b=3
将B（0，3），C（﹣3，0）代入得 ，
−3k+b=0
{k=1
解得： ，
b=3
∴直线BC解析式为y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
所以点M坐标为（﹣1，2）；
（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），
3 9
则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，
2 43
∴当m=− 时，线段EF最长．
2
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过
A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AC上方的抛物线上，当四边形PCOA的面积最大时，求出此时点P的坐标；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于E，交直线AC于D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接
EF，求线段EF的最小值．
试题分析：（1）由点A的坐标及OA＝OC＝4OB，可得出点B、C的坐标，根据点A、B、C的
坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线 AC的解析式，过点P作PM∥y轴，交x
轴于点M，交AC于点N，过点C作CC′⊥PM于点C′，设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+4）（0
＜t＜4），则点 N 的坐标为（t，﹣t+4），进而可得出 PN＝﹣t2+4t，由 S 四边形PCOA ＝
S△OAC +S△CPN +S△APN 结合三角形的面积公式可得出S四边形PCOA ＝﹣2t2+8t+8，再利用二次函数的性
质即可解决最值问题；
（3）连接OD，过点O作OO′⊥AC于点O′，由题意可知四边形DEOF为矩形，根据矩形的
性质可得出OD＝EF，由点到直线之间垂直线段最短可得出当点 D与点O′重合时，OD最小，
此时EF也最小，由OA＝OC、∠AOC＝90°可得出△AOC为等腰直角三角形，再利用等腰直角
三角形的性质即可找出EF的最小值．
答案详解：解：（1）∵点A的坐标是（4，0），
∴OA＝4．
∵OA＝OC＝4OB，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣1，0）．设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
将A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得：
{16a+4b+c=0 {a=−1
a−b+c=0 ，解得： b=3 ，
c=4 c=4
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（4，0）、C（0，4）代入y＝kx+d，得：
{4k+d=0 {k=−1
，解得： ，
d=4 d=4
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4．
过点P作PM∥y轴，交x轴于点M，交AC于点N，过点C作CC′⊥PM于点C′，如图1所示．
设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+4）（0＜t＜4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），
∴PN＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∴S四边形PCOA ＝S△OAC +S△CPN +S△APN ，
1 1 1
= OA•OC+ PN•CC′+ PN•AM，
2 2 2
1 1
= OA•OC+ PN•OA，
2 2
1 1
= ×4×4+ ×4（﹣t2+4t），
2 2
＝﹣2t2+8t+8＝﹣2（t﹣2）2+16．
∵﹣2＜0，
∴当t＝2时，四边形PCOA的面积取最大，
∴当四边形PCOA的面积最大时，点P的坐标为（2，6）．
（3）连接OD，过点O作OO′⊥AC于点O′，如图2所示．
根据题意，可知：四边形DEOF为矩形，
∴OD＝EF．
∵OO′⊥AC，
∴当点D与点O′重合时，OD最小，此时EF也最小．
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴△AOC为等腰直角三角形，1 √2
∴OO′= AC= OA＝2√2，
2 2
∴线段EF的最小值为2√2．
