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专题 06 乘法公式压轴题的四种考法
类型一、平方差公式与几何图形综合
例1．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，
拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为 ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
【拓展】计算 的结果为 ．
【答案】探究：（1） ， ；（2） ；应用：①12；② ；拓展：
．
【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 ，
图②的阴影部分为长为 ，宽为 的矩形，则其面积为 ，
故答案为： ， ；
（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式： ，
故答案为： ；
应用：① ，
故答案为：12；
②原式 ，，
；
拓展：原式 ，
，
，
，
，
．
故答案是： ．
【变式训练1】如图，在边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形（ ），将余下的部分拼成
一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：
（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．
（2）如图②所示，梯形的上底是 ，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公
式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）根据前面两问，可以得到公式 ．
（4）运用你所得到的公式计算： ．【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）2000．
【详解】解：（1）大正方形的面积为： ，小正方形的面积为： ，
∴阴影部分的面积为： ；故答案为： ；
（2）由梯形的定义可知：上底是： ，下底是： ，高是： ，
∴梯形的面积为： ；
故答案为： ；
（3）由（1）（2）可知，
；
故答案为： ；
（4） = = =2000；
【变式训练2】从边长为 的正方形剪掉一个边长为 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方
形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．
A．
B．
C．
（2）若 ， ，求 的值；（3）计算： ．
【答案】（1）B；（2） ；（3）
【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得： ，
上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；
（2）∵ ，∵ ∴
（3）
【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁
剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用
含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中
两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴
影部分的面积为S，图2中阴影部分的面积为S 测得盒子底部长方形长比宽多3，则S﹣S 的值为 ．
1 2 2 1【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.
【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2
1
中阴影部分的面积为S=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S﹣S 的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣
2 2 1
3）=3×3=9．
故答案为9．
【变式训练4】（1）如图1所示，若大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，则阴影部分的面积是
______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；
（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；
（3）利用你得到的公式计算： ．
【答案】（1）a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）1
【详解】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2-b2，图②长方形的长为a+b，宽为a-b，所以面积为：
（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．
类型二、完全平方公式变形
例1．已知 ，求 与 的值．
【答案】
【详解】 ，
,
，
,
．
例2已知 ，则 ________.
【答案】6
【详解】解：∵x2+y2+z2-4x+6y+2z+14=0，∴x2-4x+4+y2+6y+9+z2+2z+1=0，
∴(x-2)2+(y+3)2+(z+1)2=0，∴x-2=0，y+3=0，z+1=0，∴x=2，y=-3，z=-1，∴xyz=2×（-3）×（-1）=6．
故答案为：6
【变式训练1】已知 ，求 的值．
【答案】34
【详解】解：根据非负性，得： ， ，
， ， ，
的值是34．
【变式训练2】已知（x+2021）+（x+2022）=49，则（x+2021）（x+2022）的值为（）
A．20 B．24 C． D．
【答案】B
【详解】解：且
故选：B
【变式训练3】已知： ， ，分别求 和 的值．
【答案】 ，
【详解】解： ， ，
① ②得 ，即 ；
① ②得 ，即 ．
【变式训练4】已知 ，求下列各式的值：
(1) ；(2) .
【答案】(1)7；(2)5
【解析】(1)解：∵ ，∴ ，即 ，∴ ．
(2)解：∵ ，∴ ，
∴ ．
【变式训练5】当x=______时，代数式8x2-12x+5有最小值，最小值为______.
【答案】
【详解】解：
， 当 时，
有最小值，最小值为 ．故答案为： ； ．
类型三、完全平方公式字母的值
例1．当k取何值时， 是一个完全平方式？
【答案】
【详解】解：∵100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7，
∴k＝±140，
即当k＝±140时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式．
【变式训练1】如果 是一个完全平方公式，求k的值．
【答案】 ．
【详解】由题意得： ，即 ，则
解得 ．
【变式训练2】若把代数式 化成 的形式，其中 ， 为常数，则 ______．
【答案】
【详解】解：∵ ＝x2−2x＋1−3＝（x−1）2−3，∴m＝−1，k＝−3，
∴m＋k＝−4．故答案为：−4．
【变式训练3】（1）设 ，则__________．
A． B． C． D．
（2）当 ________时，多项式 有最小值___________．
【答案】（1）A；（2）2，14
【详解】解：（1）∵ ，
，∴ ，∴M>N，故选A．
（2）∵ ， ，
∴当a=2时， 有最小值为14，故答案为：2，14．【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负
数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．
（1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值．
（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．
【答案】（1）n＝4或n＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．
【详解】（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2，∴若28＝a2，210＝b2，
则a＝24，b＝25，2n＝2ab＝210，解得：n＝10
若28＝a2，210＝2ab，所以b＝25，
则2n＝b2＝210，解得：n＝10，
若210＝a2，28＝2ab，所以b＝22，则2n＝b2＝24，解得：n＝4，
所以n＝4或n＝10；
（2）解：设正整数为x，则x+61＝a2，x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整数），
则a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，故（a+b）（a﹣b）＝72，
由于a+b与a﹣b同奇偶，
故 或 或者 ，
当 时,解得： ，∴x＝b2+11＝60；
当 时，解得： ，∴x＝b2+11＝300；
当 时，解得： ，∴x＝b2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60或300．
类型四、完全平方公式与几何图形
例.乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b
的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如
图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：________；
方法2：________；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的数量关系：_______；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
【答案】(1)（a+b）2；a2+2ab+b2 (2)（a+b）2＝a2+b2+2ab (3)①ab＝2；②-3
【解析】(1)方法1：大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2．
方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，
∴S＝a2+2ab+b2．
故答案为：a2+2ab+b2．
(2)由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．故答案为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
(3)①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，a2+b2＝21，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4，
∴ab＝2；
②令 ，∴ ，
由 可得 ，
2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝－6，∴ ＝xy＝-3.【变式训练1】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后
用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y=5，xy= ，则x-y= ；
（3）拓展应用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【详解】解：（1）由图知：
（2）∵ ，∴
∵ ，∴ ，∴ 或 ，故答案为： 或
（3）∵
且 ，∴
【变式训练2】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然
后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；(2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若 ， ，求 的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点 是线段 上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，
连接EG、BG、BE，当 时， 的面积记为 ，当 时， 的面积记为 ，…，以此类
推，当 时， 的面积记为 ，计算 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)16
(4) ；(5)
【解析】(1)
(2)
(3) ， 时， ，故答案为：16
(4)
(5)如图，连接 ，在正方形 和正方形 中
∴
∴
当 时， ；当 时， ；
……
当 时， ；
∴
．
【变式训练3】如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为 ， 的正方形（阴影部分）．观察图
形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，方法2：________；
（2）从中你发现什么结论呢？_________；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）①28；② ．
【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即 ，
方法2，从边长为 的大正方形面积减去两个长为 ，宽为 的长方形面积，即 ，故答案为： ， ；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得， ，故答案为： ；
（3）① ， ，
又 ，
；
②设 ， ，则 ， ，
，
答： 的值为 ．
【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数
学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形
纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2） 图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，
，故答案为： ；
（3）利用（2）的结论，可知 ， x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为： ，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5） （3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab， ，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为： ，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的
正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
（1）由图1可得乘法公式________；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的正方形，从中你能
发现什么结论？该结论用等式表示为________；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：
已知 ， ，求 的值；
（4）如图3，由两个边长分别为 ， 的正方形拼在一起，点 ， ， 在同一直线上，连接 ， ，若 ， ，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b2）=a2+2ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（3）65；（4）36
【详解】解：（1）图1正方形的面积可以表示为：a2+2ab+b2．
又可以表示为：（a+b）2．
∴（a+b2）=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b2）=a2+2ab+b2．
（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a+b+c）2．
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）由（2）知：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc
=169-2（ab+ac+bc）
=169-104
=65．
（4）
．
