文档内容
专题07 一元二次方程的应用常考四类型
类型一 增长率问题
1．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需
求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10%；（2）26620个
【解析】
【分析】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
【详解】
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝−2.1（不合题意舍去），
1 2
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．2．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目
标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们
的目标能否实现．
【答案】（1）20%；（2）能
【解析】
【分析】
（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．
【详解】
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得： ， （舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为 （公斤），
∵ ，
∴他们的目标可以实现．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．
3．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习
活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观
人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【答案】（1）10%；（2）13.31万
【解析】
【分析】
（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为 ，根据题意列出等式解出 即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．
【详解】
（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为 ．
（2） （万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
【点睛】
本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率
来预测．
类型二 薄利多销问题
4．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果
按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10
件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，
小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【解析】
【分析】
（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】
解：（1）设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的
关键．
5．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣
液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种
品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种
品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙
种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每
天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【解析】
【分析】
（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程
进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然
后根据题意可列方程进行求解．
(1)
解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得： ，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
(2)
解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由
题意得：
整理得： ，
解得： ，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】
本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
6．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为
“冰墩墩”．
(1)据市场调研发现，江西某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生
产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利44元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，
每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每个应降价多少元？
【答案】(1)720个
(2)每天要盈利1600元，每个应降价4元
【解析】
【分析】
（1）先根据增长率求出3月份生产量，再求4月份的生产量即可；
（2）关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，列出一元二次方程，求解并进
行判断即可．
(1)
3月份的产量为： （个）4月份的产量为： （个）
(2)
设每个“冰墩墩”降价x元（x 10），则每天可多售5x件．根据题意得，
≤
整理得，
解得，
∵
∴
所以，如果每天要盈利1600元，每个应降价4元
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等
量关系是解决本题的关键．
7．某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价
比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．
(1)求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；
(2)商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每
天将少售出A套餐5份：如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定
将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐
获取的利润共2055元．
【答案】(1)一份A套餐的售价为15元，则一份B套餐的售价为18元
(2)当 时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元
【解析】
【分析】
（1）设一份A套餐的售价为x元，则一份B套餐的售价为 元，根据6份A套餐价格=5份B套餐价格
列出方程解方程即可；
（2）两种套餐都提高a元后，根据销售A套餐获得的利润+销售B套餐获得的利润=2055元列出方程，解
方程即可．
(1)解：设一份A套餐的售价为x元，则一份B套餐的售价为 元，根据题意得：
，
解得： ， （元），
答：一份A套餐的售价为15元，则一份B套餐的售价为18元．
(2)
两种套餐都提高a元后，销售一份A套餐获得的利润为 元，即 元，
销售一份B套餐获得的利润为 元，即 元，
可以销售A套餐的份数为： 份，即 份，
可以销售B套餐的份数为： 份，即 份，
根据题意得： ，
解得： ， （舍去），
答：当 时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系式是解题的关键．
类型三 图表问题
8．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据
市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之
间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；
(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售
量为多少？
【答案】(1)
(2)6元，110千克
【解析】
【分析】
（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，代入y与x之
间的关系式即可求出相应的日销售量．
(1)
解：设y与x之间的关系式为 ，
观察图象，将 ， 代入 得，
解得 ，
故y与x之间的关系式为 ；
(2)
解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为 元，日销量为 千克，
则 ，
整理得 ，
解得 或 （不合题意，舍去）
当 时， ，
故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．
【点睛】
本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解．
9．霞峰桃是钢城特色农产品之一，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发
现，该种桃的月销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元）成一次函数关系，函数图象如图所示，
已知该种桃的销售成本为5元/千克．
(1)求y关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
(2)求销售该种桃每月可获得的最大利润；
(3)在销售过程中发现，该种桃每千克还需要支付1元的保鲜成本，若月销售量y与销售单价x保持（1）中
的函数关系不变，当该种桃的月销售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．
【答案】(1)
(2)180000元
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据图象上两点坐标，利用待定系数法即可得；
（2）设销售该种桃每月可获得的利润为 元，先根据“利润=（销售单价 销售成本） 销售量”建立
与 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得；
（3）根据“利润=（销售单价 销售成本 保险成本） 销售量”建立方程，解方程即可得．
(1)
解：设 关于 的函数解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，则 关于 的函数解析式为 ．
(2)
解：设销售该种桃每月可获得的利润为 元，
则 ，
整理得： ，
由二次函数的性质得：当 时， 取得最大值，最大值为180000，
答：销售该种桃每月可获得的最大利润为180000元．
(3)
解：由题意得： ，
解得 ，
，
随 的增大而减小，
销售单价越低销售量越大，
在最大限度减少库存的条件下， ．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数应用、一元二次方程的实际应用，正确建立各函数关系式和方程是解题关
键．
10．猕猴桃是一种营养价值丰富的水果，深受大家的喜爱．某水果店购进一批优质猕猴桃，发现这种猕猴
桃在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量关系满足一次函数关系，其中两天
的销售情况如图表所示：
日期 售价x（元/千克） 销售量y（千克）
… … …
12日 25 35
13日 22 38
… … …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该水果店购进这种猕猴桃的进价为10元/千克，售价要求不低于15元/千克，且不超过30元/千
克．某天若该水果店销售这种猕猴桃共获利400元，那么这天这种猕猴桃的售价为每千克多少元？【答案】（1）y＝﹣x+60；（2）每千克20元．
【解析】
【分析】
（1）根据这两天的销售数据，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润＝每千克的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出
结论．
【详解】
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（25，35），（22，38）代入y＝kx+b，
得： ，
解得：
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+60．
（2）依题意，得：（x﹣10）（﹣x+60）＝400，
化简，得：x2﹣70x+1000＝0，
解得：x＝20，x＝50（不合题意，舍去）．
1 2
答：这天这种猕猴桃的售价为每千克20元．
【点睛】
本题主要考查了求一次函数解析式和一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够读懂题意找到关系式
进行求解.
11．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小
面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知
3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价
为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月
1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 ．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加 ，这两种小面的总
销售额在4月的基础上增加 ．求a的值．
【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．
【解析】
【分析】
（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程
组即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，
，
解得， ，
答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．
（2）根据题意得， ，
解得， （舍去）， ，
答：a的值为8．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，
熟练运用相关知识解方程．
类型四 含参应用题
12．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和
滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 ．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、
滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌试验田的面积减少
了 ．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了 ．
经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求 的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩
投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水
费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；
（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水 吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【详解】
（1）解：设漫灌方式每亩用水 吨，则
，
，
漫灌用水： ，
喷灌用水： ，
滴灌用水： ，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．
（2）由题意得，
，
解得 （舍去）， ，所以 ．
（3）节省水费： 元，
维修投入： 元，新增设备： 元，
，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】
本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解
题关键．
13．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相
同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为
500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间
改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；
B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出
后总销售额将在去年的基础上增加 %．求a的值．
【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20
【解析】
【分析】
（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程
解出即可；
【详解】
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得 ．
则 ．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得设a%=m，则原方程可化简为 ．
解这个方程，得 （舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
14．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业
科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B
两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总
收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平
均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基
础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加 ，求a的值．
【答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【解析】
【分析】
（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列
出一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】
（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，解得 ．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得： ．
令a%=m，则方程化为： ．
整理得10m2-m=0，
解得：m=0（不合题意，舍去），m=0.1
1 2
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤
是解题的关键．
15．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量 （千克）与市场价格 （元/千克）（
）存在下列关系：
（元/千克） 5 10 15 20
（千克） 4500 4000 3500 3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量 （千克）与市场价格 （元/千克）成正比例关系：
（ ）．现不计其它因素影响，如果需求数量 等于生产数量 ，那么此时市场处于平衡
状态．
（1）请通过描点画图探究 与 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时
间内农民的总销售收入各是多少？
（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量 与市场价格 的函数关系发生改变，而
需求数量 与市场价格 的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入
比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？
【答案】（1） （2）农副产品的市场价格是10元/千克，农民的总销售收入是40000元
（3）18元/千克．
【解析】
【详解】
（1）描点略．···························· 1分
设 ，用任两点代入求得 ，·············· 3分
再用另两点代入解析式验证．························· 4分
（2） ， ，
．································· 6分
总销售收入 （元）··················· 7分
农副产品的市场价格是10元/千克，
农民的总销售收入是40000元．························ 8分
（3）设这时该农副产品的市场价格为 元/千克，
则 ，···················· 10分
解之得： ， ．， ．·························· 11分
这时该农副产品的市场价格为18元/千克． 12分
（1）用待定系数法求得函数关系式
（2）根据 ，列方程求解
（3）设这时该农副产品的市场价格为 元/千克，根据总销售收入增加了17600元列方程求解
