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第十二章 全等三角形(A 卷·知识通关练)
核心知识1 全等形及全等三角形的概念
1.(2022·河南南阳·七年级期末)下列图形中，是全等图形的是( )
A．形状相同的两个五角星B．腰长相等的两个等腰三角形
C．周长相等的两个长方形 D．面积相等的两个正方形
【答案】D
【解析】解： 、形状相同的两个五角星，不一定全等，故此选项不符合题意；
B、腰长相等的两个等腰三角形，不一定全等，故此选项不符合题意；
C、周长相等的两个长方形，不一定全等，故此选项不符合题意；
D、面积相等的两个正方形，边长相等，形状也一样，能完全重合，故此选项符合题意．
故选： ．
2.(2022·浙江金华·八年级阶段练习)下列个图形中，是全等图形的是( )
A． ， ， ， B． 与 C． ， ， D． 与
【答案】D
【解析】解：由图可知， 与 是全等图形，
故选：D．
3.(2022·全国·八年级专题练习)如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由
实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有( )A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤
【答案】C
【解析】解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，
③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，
④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，
⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，
∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．
故选择C．
核心知识2 全等三角形的性质
4.(2022·四川宜宾·八年级期末)如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A=30°，∠C=70°，则∠CEB=(
)
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】解：∵△CAD≌△CBE，
∴ ，
∴ ．
故选:D．
5.(2022·江西吉安·八年级期中)如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平
移得到△DEF．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为( )
A．47cm2 B．48 cm2 C．49 cm2 D．50 cm2【答案】B
【解析】解： 沿 方向平移得到 ，
cm， ≌ ，
， (cm)，
∴ ，
(cm2)，故B正确．
故选：B．
6.(2021·黑龙江哈尔滨·中考真题)如图， ，点 和点 是对应顶点，点 和点 是对应顶点，
过点 作 ，垂足为点 ，若 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
核心知识3 全等三角形的判定7．(2021·湖南永州·八年级期中)如图，已知 ，要说明 ≌ ，还需从下列条件中
选一个，错误的选法是( )．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、由∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，根据ASA能推出△ABD≌△ACD，故本
选项不符合题意；
B、由AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意；
C、由 ，AD=AD和DB=DC，根据SAS能推出△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；
D、由 ，∠B=∠C，AD=AD，根据AAS能推出△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，
SSS．
8．(2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级期中)如图，AC，BD相交于点O，OA=OC，要使
△AOB≌△COD，则下列添加的条件中错误的是( )
A．∠A＝∠C B．∠B＝∠D C．OB＝OD D．AB＝CD
【答案】D
【详解】∵∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴当添加∠A＝∠C时，可根据“AAS”判断△AOB≌△COD；
当添加∠B＝∠D时，可根据“ASA”判断△AOB≌△COD；当添加OB＝OD时，可根据“SAS”判断△AOB≌△COD．
如果添加 AB=CD，则根据“SSA”不能判定△AOB≌△COD．
故选：D．
9.(2022·江西景德镇·八年级期中)如图，已知 ， ， ．则 的理由
是( )
A．HL B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【详解】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CAB和Rt△DBA中，
，
∴Rt△CAB≌Rt△DBA(HL)．
故选：A．
10.(2021·黑龙江佳木斯·八年级期中)如图，在 与 中， 与 交于点 ，且 ，
那么要使 ，只需添加的一个条件是_____________．(填一个即可)
【答案】 (答案不唯一)
【详解】解：∵在 与 中， ，BC是公共边，
∴若添加 根据SAS证明两个三角形全等，(也可以添加别的条件)
故答案为： ．
11.(2022·广西柳州·中考真题)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为(填写序号)______(只需选一
个条件，多选不得分)，你判定△ABC≌△DEF的依据是______(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或
“AAS”)；
(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【答案】(1)①，SSS
(2)见解析
【解析】
(1)解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴在上述三个条件中选取一个条件，
使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．(注意：只需选一个条件，多
选不得分)故答案为：①，SSS；
(2)证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．
12.(2023·四川·九年级专题练习)如图，B是线段AC的中点， ，求证： ．
【答案】证明过程见详解
【解析】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵ ，
∴∠A=∠EBC，∵ ，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
13.(2022·福建·中考真题)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：
∠A＝∠D．
【答案】见解析
【解析】证明：∵BF＝EC，
∴ ，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴∠A＝∠D．
14.(2022·湖南长沙·中考真题)如图，AC平分 ，垂足分别为B，D．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析
(2)12
(1)
AC平分 ，
，
，
；
(2)
， ，
，
，
，
四边形ABCD的面积 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．
15.(2022·广西北海·八年级期中)如图，在 和 中， ， ，AC与BD相交于
点O．
求证： ．
【答案】见解析
【解析】证明： 在 和 中， ，
和 都是直角三角形，
在 和 中， ，
，．
核心知识4 全等三角形的判定和性质(综合问题)
16.如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，AD＝c，
则EF的长为( )
A．c－a B．c－b C．a－b+c D．a+b－c
【答案】D
【解析】解：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
∴∠C＋∠D＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在 ABF和 CDE中，
，
∴ ABF≌ CDE(AAS)，
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵AD＝c，
∵EF＝AF－AE
＝AF－(AD－DE)
＝a－(c－b)
＝a＋b－c，
故选：D．
17.如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
(1)求证：∠D＝∠2；
(2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)78°．
【解析】证明：(1)在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA(SAS)，
∴∠D＝∠2；
(2)∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
18.(2021·湖北黄石·中考真题)如图， 是 的边 上一点， ， 交 于 点， ．
(1)求证： ≌ ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见详解；(2)1．
【解析】(1)证明： ，
，
在 和 中，；
(2)由(1)得
∴ ．
核心知识5 角平分线的性质和判定
19．(2021·江苏淮安·八年级期中)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于
F，△ABC的面积是64cm2，AB＝20cm，AC＝12cm，求DE的长．
【答案】4cm
【解析】解： ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴ ×20×DE+ ×12×DF=64．
即10DE+6DE=64，
∴DE=4(cm)．
答：DE的长为4cm．
20.(2022·广西来宾·八年级期中)如图，在 中， ，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB
于E，点F在AC上，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【解析】
(1)
证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，
∴DC＝DE，又DF＝BD，
∴ (HL)，∴BE＝CF．
(2)
在 和 中，
∵DE＝DF，AD＝AD，∴ ，
∴AC＝AE，AB＝AE＋BE＝AC＋BE，AC＝AF＋CF，
由(1)知CF＝BE，∴AB＝AF＋BE＋BE
即 ，∴ ．
21.如图，点 ， 分别在 ， 上，点 在 上，且 ．若 ，求证：平分 ．
【答案】见解析
【解析】证明：过点 作 ， ，
∴
∵ ，
∴
在△PDF和△PEH中
∴△PDF≌△PEH
，
∴ 平分 ．
核心知识6 全等三角形常见模型
22.(2021·山东德州·八年级期中)如图所示， ， ， ， ， ，
则 ( )A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【详解】 ，
，
即 ，
在 与 中
，
≌ ，
，
，
，
，
．
故选：B．
23.(2021·江苏徐州·八年级期中)如图在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝
∠COD＝36°．连接AC、BD交于点M，连接OM．
(1)求∠AMB的度数；
(2)MO是∠AMD的平分线吗？请说明理由．【答案】(1)36°；(2)MO是∠AMD的平分线，理由见解析
【详解】解：(1)∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°；
(2)MO是∠AMD的平分线．
理由：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD．
24.如图，在四边形 中， ， ， 平分 ，(1)分别作出 到 、 的距离 、 ．
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【详解】解：(1)如图所示：
．
(2)证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△DEA和Rt△DFC中
∴Rt△DEA≌Rt△DFC(HL)，
∴∠C=∠EAD，
∵∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠BAD+∠C=180°．
25.已知： ， ， ， ，垂足分别为 ， ，
(1)如图1，①线段 和 的数量关系是__________；
②请写出线段 ， ， 之间的数量关系并证明．(2)如图2，若已知条件不变，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段 ， ， 之间的
数量关系．
【答案】(1)① ．②结论： ，理由见解析；(2)
【详解】(1)① ．
理由如下：
∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE．
②结论： ．
理由如下：
由①得：△ACD≌△CBE，
，
，
．
(2)②中的结论不成立．结论：DE=AD+BE．
理由如下：
∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE=BE+AD，
∴DE=AD+BE．
核心知识7 全等三角形中辅助线添加技巧
26.(2021·宁夏西吉实验中学八年级期中)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC
的取值范围为( )
A．5＜AC＜15 B．3＜AC＜15 C．3＜AC＜17 D．5＜AC＜17
【答案】C
【详解】解：延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，如图所示：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE=7，
∵AD＝5，
∴AE＝10，
在△AEC中，根据三角形三边关系可得：3＜AC＜17；
故选C．
27.(2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末)如图，在 中， ，过点 作 ，且 ，
连接 ，若 ，则 的长为________．
【答案】3
【详解】解：过点 作 交 延长线于点 ，
则∠DMC=90°=∠ABC，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
故填 ．28.(山东省曲阜师范大学附属实验学校2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题)如图，已知点
P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线 OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，
B点，则OA＋BO＝______________
【答案】2
【详解】作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，如图所示：
根据题意得：PE=PF，
∴2m-1=6m-5，
∴m=1，
∴P(1，1)，
∵∠EPF=90°，
∵∠BPA=90°，PE=PF=1，
∴∠EPB=∠FPA，
在△BEP和△AFP中，，
∴△BEP≌△AFP(ASA)，
∴BE=AF，
∴OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE，
∵P(1，1)，
∴OE=OF=1，
∴OA+OB=2．
故答案为：2．
29.已知，在△ABC中，∠ACB=2∠B．
(1)如图，当AD为∠BAC的角平分线时，求证:AB=AC+CD
【解析】解：(1)在AB上截取AE=AC，连接DE
AD为∠ABC的角平分线
又 ∴ ≌
∠ACB=2∠B ∴ ∠AEB=2∠B
又 ∠AED=∠B+∠EDB
∴∠B=∠EDB
∴BE=ED,AB=AE+BE=AC+ED=AC+CD.30.如图，已知 、 是 上两点， 、 是 上两点，且 ， ，试问：点 是否
在 的平分线上？
【答案】在，理由见解析
【详解】解：点 在 的平分线上．
理由：过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别为E、H，
∵ ，
∴
∵ ，
，
点 是在 的平分线上．
31.如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.
【答案】详见解析
【解析】延长BO，AE并交于F，
∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，
在△ABE和△FBE中
，
∴△ABE≌△FBE，
∴AE=EF，
∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠2=∠OAF，
∵∠AOB=90°，
∴∠DOB=∠FOA=90°，
∴在△OBD和△OAF中
，
∴△OBD≌△OAF，
∴BD=AF，
∵AE=EF，
∴BD=2AE．
