文档内容
第 01 讲 与圆有关的性质——垂径定理
课程标准 学习目标
1. 认识圆，掌握圆的相关概念。
①与圆有关的概念
2. 掌握圆的对称性。
②圆的对称性
3. 掌握垂径定理，并能够灵活运用垂径定理解决相关
③圆的垂径定理
题目。
知识点01 与圆有关的概念
1. 圆的概念：
静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是 圆心 ，定长
是圆的 半径 。
动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A
所形成的 图形 叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA的长叫做 半径 。以O点为圆心
的圆，记作 ⊙ O ，读作 圆 O 。
2. 弦的概念：
如图：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 。如图中有弦CD与弦AB。3. 直径：
过 圆心 的弦叫做直径。如图中弦AB是直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。
4. 弧：
圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含 半圆 、 优弧 、 劣弧 。
（1）半圆： 直径 的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做 半圆 。
⌒
（2）优弧： 大于 半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为 AOC 。读作 弧 AO C 。
表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。
⌒
（3）劣弧： 小于 半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为 AC 。读作 弧 A C 。
5. 等圆：
能够 重合 的两个圆或半径 相等 的两个圆叫做等圆。
6. 等弧：
在同圆或等圆中，能够 重合 的两条弧叫做等弧。
题型考点：①相关概念的理解与认识。
知识点02 圆的对称性
1. 圆的对称性：
圆既是 轴对称 图形，有 无数 条对称轴。又是 中心对称 图形，对称中心是圆
的 圆心 。
【即学即练1】
1．圆的有关概念：
（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫
做圆，固定的端点O叫做 ．线段OA叫做 ．
（b）圆是所有点到定点O的距离 定长r的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的 叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长
的弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫 （弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧
所对圆周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够 的弧叫等弧．
（5）等圆：能够 的两个圆叫等圆，半径 的两个圆也叫等圆..
【解答】解：（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫
做圆，固定的端点O叫做圆心．线段OA叫做半径．
（b）圆是所有点到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的
弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆
周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．
（5）等圆：能够完全重合 的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．
故答案为圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等．
【即学即练2】
2．如图中有 条直径，有 条弦，以点A为端点的优弧有 条，有劣弧 条．
【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有 、
这2条，劣弧有 、 这2条，
故答案为：1、4、2、2．
【即学即练3】
3．下列说法中，正确的是 ．
①直径是圆中最长的弦，弦是直径；
②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④圆心不同的圆不可能是等圆；
⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形；
⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段；
⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形．
【解答】解：①直径是圆中最长的弦正确，弦是直径错误；
②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧，正确；
③长度相等的两条弧是等弧，错误；
④圆心不同的圆不可能是等圆，错误；
⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形，故正确；
⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段，正确；
⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确，
正确的有②⑤⑥⑦．
故答案为：②⑤⑥⑦．知识点03 垂径定理
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的 直径 ， 平分 弦，平分弦所对的 优弧 和 劣弧 。
即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧
CAD于A，则：
CE ＝ DE，弧BC ＝ 弧BD，弧AC ＝ 弧AD。
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且 平分 弦所对的 两条弧 。
推论2：弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分 弦所对的 两条弧 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 垂直平分 弦，并且平分弦所对的 另一条弧 。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。
即： （ ）
题型考点：①垂径定理求相关线段的长度。②垂径定理的应用。
【即学即练1】
4．已知：如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（
）
⊙
A．4 B．4 C．3 D．5
【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝ CD，
∵BE＝1，AE＝5，
∴OC＝ AB＝ ＝ ＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，
∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，
∴OM＝ OE＝ ×2＝1，
在Rt△OCM中，
∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2 ，
∴CD＝2CM＝2×2 ＝4 ．
故选：A．【即学即练2】
5．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（ ）cm．
⊙
A．8 B．5 C．3 D．2
【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CE＝ED＝4cm，
在Rt△OEC中，OE＝ ＝3（cm），
∴AE＝OA+OE＝5+3＝8（cm），
故选：A．
【即学即练3】
6．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（ ）
⊙
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝ ×8＝4，
在Rt△OCE中，OE＝ ＝ ＝3（cm）．
故选：C．
【即学即练4】
7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长
是（ ）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
题型01 圆的相关概念的理解
【典例1】
下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径D．直径的长度是半径的2倍
【解答】解：A、直径是圆中特殊的弦，但弦不一定是直径，所以错误；
B、半圆是特殊的弧，故正确；
C、过圆内的点圆心有无数条直径，故错误；
D、直径的长度是同一个圆的半径的2倍，故错误．
故选：B．
【典例2】
下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是
弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
【典例3】
下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：C．
【典例4】
下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；
（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条
弦为直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
题型02 垂径定理求弦长
【典例1】
如图 O的半径OD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（ ）
⊙ ⊙
A．8 B．12 C．16 D．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵ O的半径OD＝10，
∴OA＝OC＝OD＝10，
⊙
又∵OM：OC＝3：5，
∴OM＝6，
∵AB⊥CD于点M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16，
故选：C．
【典例2】
如图， O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交 O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB
的长为（ ）
⊙ ⊙
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【解答】解：设 O的半径为r．
⊙∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，
∴OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝ ，
∴OC＝ ，
∵OA＝OE，AC＝CB，
∴BE＝2OC＝3，
故选：A．
【典例3】
如图，点E在y轴上， E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线
段AB的长度为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD＝1，OC＝9，
∴CD＝10，
∴EB＝ED＝ CD＝5，OE＝5﹣1＝4，
∵AB⊥CD，
∴AO＝BO＝ AB，OB＝ ＝ ＝3，
∴AB＝2OB＝6；
故选：C．【典例4】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则
AD的长为 ．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CE，
∴CE＝ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
∴AD＝2AE＝ ，
故答案为 ．
题型03 垂径定理求半径（直径）
【典例1】
在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC＝6，则r的值是（ ）A． B． C． D．
【解答】解：设OA交BC于点D，如图，
∵BC垂直平分OA，
∴OD＝ r，BD＝CD＝ BC＝3，
在Rt△OBD中，（ r）2+32＝r2，
解得r ＝2 ，r ＝﹣2 （舍去），
1 2
即r的值为2 ．
故选：C．
【典例2】
如图， O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则 O的半径长为（ ）
⊙ ⊙
A． B．3 C． D．
【解答】解：连接OD，
设圆的半径是r，
∵P是OB中点，
∴OP＝ r，
∵AB⊥CD，
∴PD＝ CD＝ ×6＝3，
∵OD2＝OP2+PD2，∴r2＝ +32，
∴r＝2 ．
∴ O的半径长是2 ．
故选：A．
⊙
【典例3】
如图，线段CD是 O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则 O半径是（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×16＝8，
在Rt△OAE中，OA＝ ＝ ＝10，
即 O半径为10．
故选：D．
⊙
【典例4】
如图，已知AB是 O的一条弦，AB＝6，点M在AB上，且AM＝2，若OM＝ ，则 O的半径为（
）
⊙ ⊙A．4 B．5 C．6 D．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，连接OB，如图，则AH＝BH＝ AB＝3，
∵AM＝2，
∴MH＝AH﹣AM＝1，
在Rt△OMH中，OH＝ ＝ ＝4，
在Rt△OBH中，OB＝ ＝ ＝5，
即 O的半径为5．
故选：B．
⊙
题型04 垂径定理求弦心距
【典例1】
如图， O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴ ，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得： ．
故选：C．
【典例2】
如图， O的弦 AB垂直于 CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且 AB＝CD，则圆心 O到CD的距离是
（ ）
⊙
A．2 B． C． D．
【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，AB＝CD，
∴CD＝AB＝3+7＝10，
过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC，OB，则∠CNO＝∠BMO＝90°，
∵ON⊥CD，OM⊥AB，ON和OM斗过圆心O，
∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝5，
∵ON2＝OC2﹣CN2，OM2＝OB2﹣BM2，OC＝OB，
∴ON＝OM，
∵CD⊥AB，ON⊥CD，OM⊥AB，
∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°，
∴四边形ONEM是正方形，
∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝2，
故选：A．
【典例3】
如图，点A、B、C三点在 O上，点D为弦AB的中点，AB＝8cm，CD＝6cm，则OD＝（ ）
⊙A． cm B． cm C． cm D． cm
【解答】解：连接OA，
设OA＝r（cm），
则OC＝OA＝r（cm），
∵点D为弦AB的中点，O为圆心，
∴OD⊥AB，
∵AB＝8（cm），
∴AD＝BD＝4（cm），
∵CD＝6（cm），
∴OD＝CD﹣OC＝（6﹣r）（cm），
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（6﹣r）2+42，
解得 ，
∴ （cm），
故选：B．
【典例4】
如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝（ ）
⊙
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝4，
在Rt△OCE中，OE＝ ＝ ＝3．故选：C．
题型05 垂径定理的应用
【典例1】
高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O为圆心的圆的一部分，路面
AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B． 米 C．6米 D． 米
【解答】解：设 O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
⊙
∴AD＝ AB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴ O的半径OA是5米．
故选：A．
⊙
【典例2】
唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的
轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（ ）
A．10m B．8m C．6m D．5m
【解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，
∴OD＝（r﹣2）m，
∵AB＝8m，∴AD＝4m，
在Rt△ODA 中，有
OA2＝OD2+AD2，即
r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5m，
则该桨轮船的轮子直径为10m．
故选：A．
【典例3】
一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的
学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A，B，
C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（
）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
∴DM＝ CD＝ ×4＝2（cm），BN＝ AB＝ ×3＝1.5（cm），
设OM＝x，
∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，
∴x＝1.5，
∴OM＝1.5（cm），
∴OD＝ ＝2.5（cm），
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．【典例4】
如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作 O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组
合而成的图形（点B，C在 O上），其中BC∥EF；已知 O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝
⊙
48，则香水瓶的高度h是（ ）
⊙ ⊙
A．56 B．57 C．58 D．59
【解答】解：如图，作OG⊥BC交BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，
∵OG⊥BC，BC＝14，
∴ ，
∵BO＝EO＝25，
在Rt△BGO中， ，
∵BC∥EF，OG⊥BC，
∴OH⊥EF，
∴ ，
在Rt△EHO中， ，
∴h＝HO+GO+AB＝7+24+26＝57，
故选：B．1．以下说法正确的是（ ）
A．半圆是弧
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形
D．两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直．
【解答】解：A．半圆是弧，所以A选项符合题意；
B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项不符合题意；
C．所有角的度数都相等，所有的边都相等的多边形叫做正多边形，所以C选项不符合题意；
D．两直线相交形成的四个角中有一个角为直角，则这两条直线互相垂直，所以D选项不符合题意．
故选：A．
2．如图， O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
⊙
A．42° B．29° C．21° D．20°
【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝ ∠AOC＝ ×87°＝29°．
故选：B．
3．已知 O的半径是3cm，则 O中最长的弦长是（ ）
A．3⊙cm B．6c⊙m C．1.5cm D． cm
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴ O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故选：B．
⊙
4．如图， O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝ ，则AB的长为（ ）
⊙
A． B． C． D．
【解答】解：连接OA，
∵ O的弦AB垂直平分半径OC，CD＝ ，
∴⊙OC＝ ，
∴OA＝ ，
∵OC⊥AB，
∴AD＝ ，
∵AB＝2AD，
∴AB＝ ．
故选：D．5．如图，半径为5的 A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
⊙
A．﹣3 B．3 C．4 D．6
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的 A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），
∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，
⊙
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD＝BD＝4，
由勾股定理得：AD＝ ＝ ＝3，
∴点A的横坐标是3，
故选：B．
6．如图， O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
⊙
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，如图，∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝8．
∴OC＝ ＝ ＝6．
∵垂线段最短，
∴点M与点C重合时，OM取得最小值6，当点M与点A，B重合时，OM取得最大值10，
∴6≤OM≤10．
∴OM不可能为5，
故选：A．
7．如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交 O于点
C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．5 C．4 D．2
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，
∴OC＝OA＝ ＝10，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，
且 O被水面截得的弦AB长为4米， O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB
所在直线的距离是（ ）
⊙ ⊙A．1米 B． 米 C．3米 D． 米
【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，
则OC⊥AB， ，
在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，
∴ ，
∴ ，
即点C到弦AB所在直线的距离是 米，
故选：D．
9．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为 6和4，大圆的弦AB交小圆于点
C，D．若AC＝3，则CD的长为 ．
【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OC，OA，设CH＝x，
∴CH＝DH，AH＝x+3，
∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，
∴x＝ ，
∴CD＝2CH＝ ．故答案为： ．
10．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB
＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝8米，
设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
11．如图，在 O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交 O于点D，则
CD长的最大值为 ．
⊙ ⊙
【解答】解：∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝ ＝ ，
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝ AB＝2，
即CD的最大值为2，
故答案为：2．12．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水面宽度变为
8，则此时排水管水面上升了 ．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE＝ AB＝3，OF⊥CD，
∴CF＝DF＝ CD，
∵OA＝5，
∴OE＝ ＝ ＝4，
∵CD＝2CF＝8，
∴CF＝4，
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝ ＝ ＝3，
当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，
当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝4+3＝7，
即水管水面上升了1或7．
故答案为：1或7．
13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否
要采取紧急措施？【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝ AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
14．如图，过△OAB的顶点O作 O，与OA，OB边分别交于点C，D，与AB边交于M，N两点，且
CD∥AB，已知OC＝3，CA＝2．
⊙
（1）求OB的长；
（2）若∠A＝30°，求MN的长．
【解答】解：（1）∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠OCD，∠B＝∠ODC，
∴∠A＝∠B，∴OB＝OA＝OC+CA＝3+2＝5；
（2）过点O作OE⊥MN于点E，连接OM，
∵∠A＝30°，
∴OE＝ OA＝ ，
∴在Rt△OEM中，ME＝ ＝ ＝ ，
∴MN＝2ME＝ ．
15．如图，已知AB是半径为2的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC
于E点，且△AEF为等边三角形．
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若AF＝1，求DA的长度；
（3）若DA＝ AF，求证：CF⊥AB．
【解答】（1）证明：∵AB是 O直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°
∴∠B＝30°，
∵∠EFA＝∠B+∠FDB，
∴∠B＝∠FDB＝30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）解：过点A作AM⊥DF于点M，
∵AB＝2×2＝4，AF＝1，
∴BF＝4﹣1＝3，∵DF＝BF，
∴DF＝3，
∵△AEF是等边三角形，
∴FM＝EM＝ AF＝ ，AM＝ FM＝ ，
在Rt△DAM中，AD＝ AF＝ ×1＝ ；
（3）证明：设AF＝2a，
∵△AEF是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝ a，
在Rt△DAM中，AD＝ AF＝2 a，AM＝ a，
∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，
∴AB＝AF+BF＝8a，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝4a，
∵AE＝EF＝AF＝2a，
∴CE＝AC﹣AE＝2a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，
∴CF⊥AB．
