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第 01 讲 轴对称
课程标准 学习目标
1. 认识轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练判
断。
①轴对称与轴对称图形的概念
2. 掌握轴对称与轴对称图形的性质，并能够熟练应用
②轴对称与轴对称图形的性质
其解决相关题目。
③线段的垂直平分线
3. 掌握垂直平分线的定义，性质，判定，并能够熟练
应用垂直平分线的性质与判定。
知识点01 轴对称图形的概念
1. 轴对称图形的概念：
若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 完全重合 ，则这个图形是一个轴对称图
形。这条直线叫做轴对称图形的 对称轴 。可以有多条对称轴。
题型考点：①轴对称图形的判断。②对称轴的判断。
【即学即练1】
1．下列交通安全图标不是轴对称图形的是（ ）（图中的三角形是等边三角形）A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴
对称图形，
故选：C．
【即学即练2】
2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1 条 B．2条 C．4 条 D．无数条
【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的直线，有无数条．
故选：D．
知识点02 轴对称
1. 轴对称的概念：
一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 完全重合 ，则这两个图形的位置关系成轴对
称。这条直线是轴对称的 对称轴 。只有一条对称轴。
重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。重合的点叫做 对应点 。
注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。
题型考点：①判断轴对称。
【即学即练1】
3．下列选项中左右两图成轴对称的为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据轴对称的概念．只有C成轴对称．故选：C．
知识点03 轴对称与轴对称图形的性质
1. 轴对称与轴对称图形的性质：
①轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 ，成轴对称的两个图形 全等 。
②对应边 相等 ，对应角 相等 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对
称轴上。
③对称轴经过任何一组对应点连线的 中点 且与线段 垂直 。
④对应点的连线之间相互 平行 。
题型考点：①对性质的理解。②利用性质计算。
【即学即练1】
4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：
①△ABC≌△A′B′C′；
②∠BAC′＝∠B′AC；
③l垂直平分CC′；
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，
正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1 个
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；
②∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′，
即∠BAC′＝∠B′AC，正确；
③l垂直平分CC′，正确；
④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误．
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
【即学即练2】
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）A．90° B．100° C．70° D．80°
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：B．
【即学即练3】
6．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝6，△BCD的周长为
17，那么AC边的长是 1 1 ．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵△BCD的周长为17，
∴CD+BD+BC＝17，
∴CD+AD+BC＝17，即AC+BC＝17，
∵BC＝6，
∴AC＝11，
故答案为：11．
知识点04 垂直平分线
1. 垂直平分线的定义：
过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，
若C点事AB的中点，则MN是线段AB的垂直平分线。
2. 垂直平分线的性质：
①垂直平分线 垂直且平分 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ 90 °， AC ＝ BC。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以
△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中
∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。3. 垂直平分线的判定
到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 垂直平分线 上。
题型考点：①利用垂直平分线的性质求值。②垂直平分线的判定。
【即学即练1】
7．如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B的度数为（
）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【解答】解：在Rt△ABC中
∵DE是AB的垂直平分线
∴∠B＝∠BAD
∵∠CAD：∠DAB＝2：1
∴4∠B＝90°
∴∠B＝22.5°
故选：B．
【即学即练2】
8．如图所示，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，若 AE＝ ，则 BE 两点间的距离是
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BE，
∵DE垂直平分线AB
∴BE＝AE＝2 ．
故选：C．【即学即练3】
9．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC＝8，AB＝6，BC＝4，则△ADB的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵AC＝AD+CD，
∴AC＝AD+BD＝8，
∴△ADB的周长＝AD+DB+AB＝AC+BC＝8+6＝14，
故选：A．
【即学即练4】
10．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴∠ABD＝∠EBD，∠BAD＝∠BED＝90°，
在△BAD和△BED中
∴△BAD≌△BED（AAS），
∴AB＝BE，
∵BD平分∠ABE，
∴BD垂直平分AE（三线合一），题型01 轴对称与轴对称图形的判断
【典例1】
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【典例2】
下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【典例3】
将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．
故选：C．
【典例4】
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号1，2等）．【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④
故填①②④
题型02 镜面对称的规律题
【典例1】
如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球从 A
（﹣2，0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面 B的坐标是（0，
2），则该球第二次碰到台球桌面的坐标是 （ 2 ， 0 ） ，该球最后落入的球袋是 2 号袋．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
因为一个球从A（﹣2，0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面 B的
坐标是（0，2），
所以该球第二次碰到台球桌面的坐标是（2，0），该球最后落入的球袋是2号袋．
故答案为：（2，0），2．
【典例2】
如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC的边时反弹，反弹时
反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P （﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的
1
点为P ，…，第n次碰到正方形的边时的点为P ，则点P 的坐标是（ ）
2 n 2020A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）
【解答】解：如图，
根据反射角等于入射角画图，可知光线从P 反射后到P （0，3），再反射到P （﹣2，4），再反射到
2 3 4
P （﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点
5
P 的坐标是（﹣2，4），
2020
故选：B．
【典例3】
在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点 P从（0，2）出
发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点 P第2022次
碰到长方形的边时，点P 的坐标为 （ 0 ， 2 ） ．
2022
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵P（0，2），P （2，0），P （6，4），
1 2∴P （8，2），P （6，0），P （2，4），P （0，2），P （2，0），…，
3 4 5 6 7
∴P 的坐标以6为循环单位循环．
n
∵2022÷6＝337，
∴点P 的坐标是（0，2），
2022
故答案为：（0，2）．
【典例4】
如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC的边时反弹，反弹的
反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第 1次碰到正方形的边时的点为P （2，
1
0），第2次碰到正方形的边时的点为P ，…，第n次碰到正方形的边时的点为P ，则点P 的坐标为
2 n 2021
（ 4 ， 3 ） ．
【解答】解：如图：
根据反射角等于入射角画图，可知小球从P 反射后到P （0，3），再反射到P （2，4），再反射到P
2 3 4 5
（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2021÷6＝336…5，即点P 的坐
2021标是（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【典例5】
如图所示，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC的边时反弹，反弹
时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P ，第2次碰到矩形的边时的点为P ，…，
1 2
第n次碰到矩形的边时的点为P ，则点P 的坐标是 （ 1 ， 4 ） ．
n 2021
【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2021÷6＝336…5，
当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
题型03 轴对称的性质理解
【典例1】
如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，下列结论：
①AB＝A'B'；
②OB＝OB′；
③AA'∥BB'中，
正确的有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴OB＝OB′，△ABC≌△A′B′C′，AA′∥BB′，故②③正确，
∴AB＝A′B′，故①正确，
所以正确的一共有3个，
故选：A．
【典例2】
如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′交对称轴l于点M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，
则下列说法不正确的是（ ）
A．三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等
B．AM＝A′M且AA′⊥l
C．∠B＝100°
D．连接BB′，CC′，则AA′，BB′，CC′三条线段不仅平行而且相等
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等，AM＝A′M且AA′⊥l，
∠C＝∠C′＝30°，AA′∥BB′∥CC′，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，
∴A，B，C不符合题意；D符合题意．
故选：D．
【典例3】
如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；
（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴（1）△ABC≌△A'B'C'；
（2）∠BAC＝∠B'A'C'；
（3）直线l垂直平分CC'；
（4）直线l平分∠CAC'．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
题型04 利用轴对称的性质计算
【典例1】
如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则AC＝（ ）
A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴AC＝A'C′．
故选：D．
【典例2】
如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝54°，∠C'＝26°，则∠B等于（ ）A．36° B．154° C．80° D．100°
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝26°，
在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．
故选：D．
【典例3】
如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
则∠NCF的度数为（ ）
A．18° B．19° C．20° D．21°
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，
故选：C．
【典例4】
在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对
应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝12°，则∠EAF的度数为 39 ° ．
【解答】解：∵∠B'AD'＝12°，
∴2∠EAF＝90°﹣12°＝78°，
∴∠EAF＝39°．
故答案为：39°．
【典例5】
如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的
面积是 9 ．【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，BC＝2BD＝2×3＝6，AD⊥BC，
∴S△BEF ＝S△CEF ，
∵△ABC的面积是： ＝ ，
∴图中阴影部分的面积是 ．
故答案为：9．
题型05 利用垂直平分线的性质计算
【典例1】
如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，则AB+AC＝ 12
cm．
【解答】解：∵l是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+AD+BD＝12cm，
∴AB+AD+DC＝12cm，
∴AB+AC＝12cm，
故答案为：12．
【典例2】
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的
长是（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故选：B．
【典例3】
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点
F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为（ ）
A．40 B．20 C．15 D．10
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，GA＝GC，
∵△AEG的周长是20，
∴AE+EG+AG＝20，
∴BE+EG+GC＝20，
∴BC＝20．
故选：B．
【典例4】
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数
是（ ）
A．22° B．27° C．32° D．40°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ABC＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣42°）＝69°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝42°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．
故选：B．
【典例5】
如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若
M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．115° B．116° C．117° D．118°
【解答】解：∵∠ABC＝52°，
∴∠BMN+∠BNM＝128°．
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN．
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA＝ ∠BMN，∠CPN＝ ∠BNM．
∴∠MPA+∠CPN＝ （∠BMN+∠BNM）＝ ×128°＝64°．
∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．
故选：B．
【典例6】
如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，
若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB的度数为（ ）A．56° B．58° C．60° D．63°
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BE＝AC，
∴CE＝AC，
∵∠ACE＝20°，
∴∠A＝∠AEC＝ （180°﹣∠ACE）＝80°，
∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，
∴∠EBC＝∠ECB＝40°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝ ∠EBC＝20°，
∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，
故选：C．
【典例7】
如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（ ）厘
米．
A．16 B．18 C．26 D．28
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
【典例8】
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．6cm B．12cm C．15cm D．24cm
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，BE＝AE＝3cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴CD+DA+AC＝9cm，
∴CD+BD+AC＝9cm，
∴BC+AC＝9cm，
∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝BC+AC+2AE＝9+2×3＝15（cm），
故选：C．
【典例9】
如图，∠AOB内一点P，P ，P 分别是P关于OA、OB的对称点，P P 交OA于点M，交OB于点N．若
1 2 1 2
△PMN的周长是5cm，则P P 的长为（ ）
1 2
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P 、P ，
1 2
∴PM＝P M，PN＝P N，
1 2
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P M+MN+P N＝P P ，
1 2 1 2
∵△PMN的周长是5cm，
∴P P ＝5cm．
1 2
故选：C．1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
是轴对称图形．
故选：C．
2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【解答】解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，下列说法不正确的是（ ）
A．AP＝A′P
B．MN垂直平分A A′，C C′
C．这两个三角形的面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上
【解答】解：A、P到点A、点A′的距离相等正确，不符合题意；
B、点C、点C′到直线MN的距离相等正确，点A、点A′到直线MN的距离相等正确，不符合题意；
C、∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴这两个三角形的面积相等，不符合题意；
D、直线AB，A′B′的交点一定在MN上，此选项错误，符合题意．
故选：D．
4．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝3，若点P关于直线l，m的对称点分别是
点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2A．0 B．5 C．6 D．7
【解答】解：连接OP ，OP ，P P ，
1 2 1 2
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，
1 2
∴OP ＝OP＝3，OP＝OP ＝3，
1 2
OP +OP ＞P P ，
1 2 1 2
0＜P P ＜6，
1 2
故选：B．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点B′落
在BC边上．若∠C＝2∠B′AC，AB′平分∠DAC，则∠B的度数为（ ）
A．67.5° B．50° C．45° D．22.5°
【解答】解：设∠B′AC＝x，则∠C＝2x，
∵AB′平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠B′AC＝2x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∴2x+2x＝90°，
∴x＝22.5°．
∴∠AB′D＝∠C+∠B′AC＝3x＝67.5°，
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠B＝∠AB′D＝67.5°．
故选：A．
6．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（
）
A．144° B．108° C．72° D．54°
【解答】解：由折叠的定义知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB，
∵∠A＝54°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126°
∴∠ABA′+∠ACA′＝2×126°＝252°，
∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）＝360°﹣252°＝108°，
故选：B．
7．如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对
应点分别为A'、D'，若∠2＝ ，则∠1的度数为（ ）
α
A．2 B．90°﹣ C． D．
【解答】解：由折叠可得：∠AEF＝∠A'EF，
α α
∴ ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴ ，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、
N，以下说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝∠B+∠C；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等，
其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：∵PM⊥AC，PN⊥AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∵∠BAC+∠PMA+∠PNA+∠P＝360°，∠BAC＝120°，
∴∠P＝60°，
故①符合题意；
∵AC的垂直平分线是PM，
∴EC＝EA，
∴∠EAC＝∠C，
同理：∠EAB＝∠B，
∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C＝60°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAC+∠EAB）＝60°，
∴∠EAF＝∠B+∠C，
故②符合题意；
∵∠PEF＝∠CEM＝90°﹣∠C，∠PFE＝∠BEN＝90°﹣∠B，∠B不一定等于∠C，
∴∠PEF不一定等于∠PFE，
∴PE不一定等于PF，
故③不符合题意；
∵PM，PN分别平分AC，AB，
∴P是△ABC的外心，
∴点P到点B和点C的距离相等，
故④符合题意．
∴正确的是①②④．
故选：B．
9．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝70°，则∠BOC＝ 140 ° ．【解答】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝140°，
故答案为：140°．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连
接AE，AF，若△AEF的周长为7，则BC的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．无法确定
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周长＝7．
故选：A．
11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线
分别交 BC于点 D、E．已知△ADE的周长为 11cm，分别连接 OA、OB、OC，若△OBC 的周长为
23cm，则OA的长为 6 cm ．
【解答】解：∵OM、ON分别为AB、AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，OA＝OB，EA＝EC，OA＝OC，
∵△ADE的周长为11cm，
∴AD+DE+EA＝11cm，∴BD+DE+EC＝11cm，即BC＝11cm，
∵△OBC的周长为23cm，
∴OB+BC+OC＝23cm，
∴OB+OC＝23﹣11＝12（cm），
∴OA＝6cm，
故答案为：6cm．
12．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作
AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ 3 9 ．
【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝26°，
∴∠QED＝26°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝ CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，
故答案为：39．
13．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂在平分AE，垂足为F，交AC于点D．
连接DE．
（1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝15°，求∠CDE的度数．
【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝19，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝7，
∴AB+BE＝19﹣7＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝15°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，
在△BAD和△BED中，，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝135°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣15°＝90°．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于
点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；
（2）∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．
15．有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′
处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．
（1）如图，当点B′落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．
（2）当∠A′EB′＝ ∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．【解答】解：（1）猜想：∠FEG＝90°．
∵∠AEA'+∠A'EB＝180°，
∵折叠，
∴∠AEF＝∠A'EF，∠B'EG＝∠GEB，
∴∠FEA'+∠A'EG＝∠FEG＝90°．
（2）①当点B落在∠AEG内部时，
′
∠B'EG＝2x，
∴∠FEA'＝ ∠AEA'＝90°﹣ x，
∴∠FEG＝∠FAA'+∠A'EB'+∠B'EG＝90°﹣ x+x+2x，
∴∠FEG＝90°+ x；
如图2，当点B落在∠A'EF内部时，
∠A'EB'＝x，∠A'EB'＝ ∠B′EB，
∴∠B'EB＝4x，
∴∠AEA'＝180°﹣∠A'EB＝180°﹣（∠B'EB﹣∠A'EB）＝180°﹣3x，
∴∠BEG＝ ∠BEB'＝2x，∠AEF＝ ∠AEA'＝90°﹣ x，
∴∠FEG＝180°﹣∠BEG﹣∠AEF＝90°﹣ ．
综上所述，当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝90°+ ，当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝90°﹣
；
②可能．
当点B落在∠AEG内部时，
若EB'平分∠FEG，此时，∠B′EG＝∠FEB′，
∠FEB′＝ ，
∠B′EG＝2x，
即2x＝ ，
解得：x＝ ，
∴∠FEG＝ ；
当点B落在∠A′EF内部时，∠FEG＝90°﹣ ，
∵EB平分∠FEG，
∴∠B′EG＝ ∠FEG，
即2x＝ ，
解得：x＝20°，
∴∠FEG＝90°﹣ x＝90°﹣ ×20＝80°
综上所述：当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝（ ）°；当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝
80°．
