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第 01 讲 随机事件与概率
课程标准 学习目标
1. 明确确定性时间与随机事件的概念，能够判断时间
①确定性时间与随机事件 属于确定性事件还是随机事件。
②事件的可能性大小 2. 根据时间能够判断时间可能性的大小。
③概率 3. 掌握概率的意义与计算方法，能够计算简单随机事
件的概率。
知识点01 确定性事件与随机事件
1. 必然事件的概念：
在一定条件下 一定发生 的事件叫必然事件。
2. 不可能事件的概念：
在一定条件下 不可能发生 的事件叫不可能事件。
必然事件与不可能事件都是确定性事件。
3. 随机事件的概念：
在一定条件下，可能 发生 也可能 不发生 的事件叫随机事件。
题型考点：①判断事件的确定与随机。
【即学即练1】1．下列事件为随机事件的是（ ）
A．负数大于正数
B．三角形内角和等于180°
C．明天太阳从东方升起
D．购买一张彩票，中奖
【解答】解：A．负数大于正数是不可能事件，不符合题意；
B．三角形内角和等于180°是必然事件，不符合题意；
C．明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意；
D．购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意．
故选：D．
【即学即练2】
2．下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等
B．两个偶数的和为偶数
C．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
D．立定跳远运动员的成绩是9m
【解答】解：A、等腰三角形的三条边都相等，不是必然事件，不符合题意；
B、两个偶数的和为偶数，是必然事件，符合题意；
C、任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、立定跳远运动员的成绩是9m，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
知识点02 事件的可能性大小
1. 事件发生的可能性大小：
一般地，事件发生的可能性是 有大小的 ，不同的随机事件发生的可能性大小 不同 。容易发
生的可能性 大 ，不易发生的可能性 小 。
题型考点：①判断随机事件的可能性大小。
【即学即练1】
3．在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．标准大气压下，水的沸点为100℃
B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环
C．佛山10月17日的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【解答】解：A、标准大气压下，水的沸点为100℃，是必然事件，不符合题意；
B、杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C、佛山10月17日的最高温度为35℃，是随机事件，不符合题意；D、用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【即学即练2】
4．一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1
个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球 B．摸出的是白球
C．摸出的是黑球 D．摸出的是绿球
【解答】解：因为黑球最多，
所以被摸到的可能性最大．
故选：C．
知识点03 概率
1. 概率的定义：
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生 可能性大小 的数值，称为随机事件A发生的概
率。记做 P （ A ） 。
发生的可能性越大，概率 越大 ；发生的可能越小，则概率 越小 。
2. 简单事件的概率计算：
如果在一次实验中，有n中可能的结果，并且它们发生的 可能性大小 是相同的，事件A包含其中
的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）= 。由m与n的含义可知，0≤m≤n，所以可知P
（A）的取值范围为 0 ≤ P （ A ）≤ 1 。
3. 确定性事件与随机事件的概率大小：
若事件A是必然事件，则P（A）＝ 1 ；若事件A是不可能是事件，则P（A）＝ 0 ；若事
件A是随机事件，则P（A）的取值范围为 0 ＜ P （ A ）＜ 1 。
4. 几何概率的计算：
即求 部分 与 总和 的比值。有时候求长度比，有时候求面积比，有时候求体积比。
题型考点：①概率与可能性的关系。②利用概率公式求简单事件的概率。③求几何概率。
【即学即练1】
5．若气象部门预报明天下雨的概率是65%，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定会下雨
B．明天一定不会下雨
C．明天下雨的可能性较大
D．明天下雨的可能性较小
【解答】解：气象部门预报明天下雨的概率是65%，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有C合题意．故选：C．
【即学即练2】
6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币5次，正面都朝上是不可能事件
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【解答】解：A、连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能
都反面朝上，故此选项错误；
B、连续抛一枚均匀硬币5次，正面都朝上是可能事件，故本选项错误；
C、大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次，不正确，有可能都朝上，故本选项错
误；
D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为 ，故此选项正确．
故选：D．
【即学即练3】
7．不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出 1个球，
“摸出黑球”的概率是 ．
【解答】解：∵不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．
∴从袋子中随机摸出1个球，则摸到黑球的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【即学即练4】
8．李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心
理”专题讲座被安排在第一场的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：一共有3种可能出现的结果，其中第一场是“心理”的只有1种，
所以若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为 ，
故选：C．
【即学即练5】
9．如图是由6个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概
率是（ ）A． B． C． D．1
【解答】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的 ＝ ，
即这个点取在阴影部分的概率是 ，
故选：B．
【即学即练6】
10．如图，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，若三角形△ABC内有一点M，则点M落在
△AFG内（包括边界）的概率为 ．
【解答】解：设三角形△ABC的面积是a，
∵D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，
∴S△ABD＝ S△ABC＝ a，S△ABE＝ S△ABD＝ a，S△AEF＝ S△ABE＝ a，
同理可得：S△AEG ＝ a，S△EFG＝ S△EBC＝ a，
所以阴影部分的面积为 a+ a+ a＝ a，
则点M落在△AFG内（包括边界）的概率为 ＝ ．
故答案为： ．题型01 确实性事件与随机事件的判断
【典例1】
下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．种瓜得瓜 B．海市蜃楼 C．画饼充饥 D．海枯石烂
【解答】解：A、种瓜得瓜，是必然事件，本选项不符合题意；
B、海市蜃楼，是随机事件，本选项符合题意；C、画饼充饥，是不可能事件，本选项不符合题意；
D、海枯石烂，是不可能事件，本选项不符合题意；
故选：B．
【典例2】
下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．经过红绿灯路口，遇到红灯
C．明天太阳从东方升起
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【解答】解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，故B不符合题意；
C、明天太阳从东方升起，是必然事件，故C符合题意；
D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【典例3】
彩民李大叔购买1张彩票中奖，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．确定性事件
C．不可能事件 D．必然事件
【解答】解：彩民李大叔购买1张彩票中奖，这个事件是随机事件，
故选：A．
【典例4】
下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．购买一张彩票中奖
C．任意画一个三角形，内角和为360°
D．经过十字路口遇到红灯
【解答】解：A、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
B、购买一张彩票中奖，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，内角和为360°是不可能事件，符合题意；
D、经过十字路口遇到红灯是随机事件，不符合题意，
故选：C．
【典例5】
下列事件为确定事件的有（ ）
（1）打开电视正在播动画片
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上（4） 是无理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
π
【解答】解：（1）打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意；
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn，是确定事件，符合题意；
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
（4） 是无理数，是确定事件，符合题意；
故选：B．
π
题型02 判断事件的可能性大小
【典例1】
某校七年级选出三名同学参加学校组织的“校园安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出
场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不
透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星同学第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小
B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大
D．小星抽到1，2，3的可能性相同
【解答】解：∵3张同样的纸条上分别写有1，2，3，
∴小星抽到数字1的概率是 ，抽到数字2的概率是 ，抽到数字3的概率是 ，
∴小星抽到每个数的可能性相同；
故选：D．
【典例2】
小明参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，今从中任选一个，选中
判断题 的可能性较小．
【解答】解：选中选择题的可能性为60%，选中判断题的可能性为40%．
故答案为：判断题．
【典例3】
在一个不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，它们除颜色外都相同，从袋中任意
摸出：一个球，可能性最大的是（ ）
A．白球 B．红球 C．黄球 D．黑球
【解答】解：∵不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，共有8个球，
∴摸出白球的概率是 ，
摸出红球的概率是 ＝ ，摸出黄球的概率是 ＝ ，
摸出黑球的概率是 ，
∵ ＜ ＝ ＜ ，
∴从袋中任意摸出：一个球，可能性最大的是黑球；
故选：D．
【典例4】
某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一
种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？根据什么？
【解答】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，
所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，
遇到黄灯的可能性最小．
题型03 求简单事件的概率
【典例1】
有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4，5，6．从中随机抽取一张，编号是奇数的概率是
．
【解答】解：从编号分别是2，3，4，5，6的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是奇数的
可能性有2种可能性，
∴从中随机抽取一张，编号是奇数的概率等于 ，
故答案为： ．
【典例2】
一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是
．
【解答】解：蚂蚁获得食物的概率＝ ．故答案为 ．
【典例3】
篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概
率是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：抛硬币有两种结果：正面向上、反面向上，
则正面向上的概率为 ．
故选：B．
【典例4】
小张外出旅游时带了两件上衣（一件蓝色，一件黄色）和3条长裤（一件蓝色，一件黄色，一件绿色），
他任意拿出一件上衣和一条长裤，正好是同色上衣和长裤的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：共有2×3＝6种可能，正好是同色上衣和长裤的有2种，所以正好是同色上衣和长裤的概
率是 ，故选C．
【典例5】
如图，从给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；（2）∠1＝∠2；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠D+∠ABD＝180°．
恰能判断AB∥CD的概率是 ．
【解答】解：∵恰能判断AB∥CD的有（2），（3），（4），
∴恰能判断AB∥CD的概率是： ．
故答案为： ．
题型04 求几何概率
【典例1】
如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概
率是（ ）A． B． C． D．
【解答】解：先设每个小等边三角的面积为x，
则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是12x，
则这个点取在阴影部分的概率是 ＝ ．
故选：D．
【典例2】
如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A． B．1﹣ C． D．1﹣
【解答】解：设圆的半径为a，则圆的面积为： a2，正方形面积为：4a2，
π
故随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率为： ．
故选：B．
【典例3】
正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形
ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为 ．
【解答】解：正方形的面积为2×2＝4，
阴影部分的面积为：4S半圆 ﹣S正方形 ＝4× × ×12﹣4＝2 ﹣4，
π π∴P米粒落在阴影部分的概率＝ ＝ ，
故答案为： ．
【典例4】
某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，
若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个，
∴落在黑色区域即获得笔记本的概率为 ，
故选：D．
【典例5】
如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若
随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
【解答】解：∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，
∴S△DEF ＝ S△ABC ，
又∵点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，
∴S△PMN ＝ S△DEF ＝ S△ABC ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ＝ ，
故答案为： ．1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽了
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．买一张彩票，一定会中奖
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【解答】解：A、没有水分，种子发芽了，是不可能事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
故选：D．
2．“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．不确定事件 D．随机事件
【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0．故选：A．
3．端午节是我国传统节日，这天小颖的妈妈买了3只红豆粽和6只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外
其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：小颖的妈妈买了3只红豆粽和6只红枣粽，共9只粽子，
其中红豆粽有3只，
∴选到红豆粽的概率为 ＝ ．
故选：B．
4．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么
该顾客获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ＝ ，所以顾客获奖的概率为 ．
故选：D．
5．一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到
红球可能性最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），0＜4＜10＜
16，
∴摸到红球可能性最大的是D选项．
故选：D．
6．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的（ ）
A．盖面朝下的频数为550B．该试验总次数是1000
C．盖面朝下的概率为0.55
D．盖面朝上的概率为0.5
【解答】解：A、盖面朝下的频数是550，此选项正确，不符合题意；
B、该试验总次数是1000，此选项正确，不符合题意；
C、盖面朝下的频率是 ，此选项正确，不符合题意；
D、1000次试验的盖面朝上的频率为0.55，则盖面朝下概率约为0.55，此选项错误，符合题意；
故选：D．
7．掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
8．如图将一个飞镖随机投掷到3×5的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：共有方块3×5＝15块，阴影方块有7块，
所以飞镖落在阴影部分的概率为 ，
故选：B．
9．一个不透明的盒子中装在5个形状，大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣3，﹣2，
0、1、3，从中随机摸出一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为 ．
【解答】解：一共有5个小球，这5个小球所标的数字是正数的有2个，
所以这个小球所标数字是正数的概率为 ．
10．瑞瑞有一个小正方体，6个面上分别画有线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆这 6个图
形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．【解答】解：∵这6个图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的是线段、矩形、菱形和圆，
∴向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是： ，
故答案为： ．
11．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形若把某些小扇形涂上红色，使
转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是 ，则涂上红色的小扇形有 3 个．
【解答】解：12× ＝3（个）．
故涂上红色的小扇形有3个．
故答案为：3．
12．在每个小正方形边长均为1的1×2的网格格点（格点即每个小正方形的顶点）上放三枚棋子，按图所
示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其余格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶
点的三角形是直角三角形的可能性为 ．
【解答】解：∵第三枚棋子共有4个格点可以放，放在其中三个格点可以以这三枚棋子所在的格点为顶
点的三角形是直角三角形，
∴这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是 ；
故答案为： ．
13．在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红
球的概率是 ，问取走了多少个白球？
【解答】解：（1）P（从布袋中摸出一个球是红球）＝ ＝ ＝ ；
（2）设取走了x个白球，根据题意得：
＝ ，
解得：x＝1．
答：取走了1个白球．
14．让书香浸润人生，让阅读成为习惯，4月21日晚，文山州“深化全民阅读•畅享书香文山”2023年全
民阅读大会在文山市民族文化中心举行．文山州某书店借此机会为了吸引更多阅读爱好者，特设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：顾客每购买100元的图书，就可获
得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割
线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得 50元、30元、20元
的购书券，凭购书券可以在书店继续购书．
（1）甲顾客购书120元，可转动一次转盘，求他获得50元购书券的概率；
（2）乙顾客购书360元，可获得 3 次转动转盘的机会，求任意转动一次转盘，获得购书券的概率．
【解答】解：（1）∵转盘平均分成12份，共有12种等可能的情况，其中红色占1份，
∴他获得50元购书券的概率是 ；
（2）∵顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，
∴顾客购书360元，可获得3次转动转盘的机会，
∵转盘平均分成12份，共有12种等可能的情况，其中红色占1份，黄色占2份，绿色占3份，
∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是 ．
故答案为：3．
15．学校举办了一次党的二十大知识竞赛，为奖励“竞赛小达人”，学校购买了30盒黑色水笔作为奖品，
结果发现有若干盒黑色水笔中每盒混入了1支蓝色水笔，有若干盒黑色水笔中每盒混入了2支蓝色水笔．
具体数据见表：
混入蓝色水笔支数 0 1 2
盒数 18 x y
（1）y与x的数量关系可表示为： y ＝ 1 2 ﹣ x ；
（2）从30盒水笔中任意选取1盒，
①“盒中没有混入蓝色水笔” 随机 事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）；
②若“盒中混入1支蓝色水笔”的概率为 ，求y的值．
【解答】解：（1）由题意可知，18+x+y＝30，
即y＝30﹣18﹣x＝12﹣x，
故答案为：y＝12﹣x；
（2）①∵30盒黑色水笔中有18盒中没有混入蓝色水笔，
∴从30盒水笔中任意选取1盒，“盒中没有混入蓝色水笔”是随机事件，
故答案为：随机；②∵“盒中混入1支蓝色水笔”的概率为 ，
∴混入1支蓝色水笔的盒数为30× ＝5，即x＝5，
∴y＝12﹣x＝12﹣5＝7．
