文档内容
专题 11 反比例函数的图象和性质之八大题型
根据定义判断是否是反比例函数
例题：（2023上·甘肃白银·九年级统考期末）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】按反比例函数的定义比较即可．
【详解】A. 与 比较，即可知是反比例函数，故不符合题意；
B. 是反比例函数，故不符合题意；
C. 是反比例函数，故不符合题意；
D. 不是反比例函数，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，准确理解定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）下列函数是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．【详解】解：A、符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；
B、该函数属于正比例函数，故本选项不合题意；
C、该函数属于一次函数，故本选项不合题意；
D、该函数属于一次函数，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如
的函数叫做反比例函数．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A、 是正比例函数，则此项不符题意；
B、 叫做 是 的反比例函数，则此项不符题意；
C、 叫做 是 的反比例函数，则此项符合题意；
D、 是正比例函数，则此项不符题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟记定义，一般地，形如 （ 是常数，
）的函数叫做 是 的反比例函数．
判断点是否在反比例函数上
例题：（2023下·浙江衢州·八年级统考期末）下列各点在反比例函数 图象上是( )
A． B． C． D．【答案】A
【分析】将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上．
【详解】解：A、将 代入 中得： ，故本选项符合题意；
B、 代入 中得： ，故本选项不符合题意；
C、 代入 中得： ，故本选项不符合题意；
D、 代入 中得： ，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的
点坐标特点解决问题．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）双曲线 要经过点 ，则m的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】直接把点 代入函数解析式即可求得 的值．
【详解】解：将 代入双曲线 得，
，
解得： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象过某个点，这个点的坐标应适合
这个函数解析式．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）函数 的图像经过点 ，则下列点中不在此函
数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由反比例函数图象上点的坐标特点找到横纵坐标的积不等于8的点即可．
【详解】解： 函数 的图象经过点 ，
．
A、 ，在反比例函数图象上，不符合题意；
B、 ，在反比例函数图象上，不符合题意；
C、 ，不在反比例函数图象上，符合题意；
D、 ，在反比例函数图象上，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点
的横纵坐标的积相等．
比较反比例函数值或自变量的大小
例题：（2023下·福建泉州·八年级校联考期末）在反比例函数 的图象上有三个点
，则函数值 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数判断函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为 ，其中 ，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，
∵ 在反比例函数上，
∴ 在第二象限，
又∵ ，∴ ，
又∵ 在第四象限，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当 ，在每个象限内，反
比例函数值y随x的增大而增大．
【变式训练】
1．（2023下·浙江金华·八年级统考期末）已知点 ， ， ， ， ， 都在反比例函
数 的图象上，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以
判断出 ， ， 的大小关系，本题得以解决．
【详解】解： 反比例函数 的中 ，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大．
点 ， ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上， ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数
的性质解答．
2．（2023下·四川内江·八年级统考期末）在反比例函数 的图象上有三个点，则 的大小关系为 ．（用“<”连接）
【答案】
【分析】先由 得到函数在第一象限和第三象限的函数值随 的增大而减小，然后即可得到
， ， 的大小关系．
【详解】解： ，
反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随 的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会判断 的正负．
反比例函数的图象和性质
例题：（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）对于反比例函数 ，下列结论：①图象分布在第
一、三象限；②当 时， 随 的增大而减少；③图象经过点 ， ；④若点 ， ，
， 都在图象上，且 ，则 ，其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象性质逐项分析，可得答案．
【详解】解：对于反比例函数 ，
∵
∴图象分布在第一、三象限，故①正确，
②当 时， 随 的增大而减少，故②正确，③当 时， ，故③正确，
④不确定 与 的大小关系，
∴不能确定点 、 所在的象限，故不能判断 的大小关系，④不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象性质．
【变式训练】
1．（2023·河南南阳·统考二模）已知双曲线 经过点 ，则下面说法错误的是（ ）
A．该双曲线的解析式为 B．点 在该双曲线上
C．该双曲线在第二、四象限 D．当 时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：双曲线 经过点 ，可得 ，即 ，A选项正确，不符合题意；
将 代入得， ，B选项正确，不符合题意；
∵
∴该双曲线在第二、四象限，C选项正确，不符合题意；
当当 时，y随x增大而增大，D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．
2．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）定义新运算： ，则对于函数 ，
下列说法正确的是( )
A．当 时， 随 增大而增大 B．该函数图象经过点
C．该函数图象位于第一、三象限 D．当 时，
【答案】A
【分析】根据新运算“ ”的运算方法，得出 与 的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即
可．【详解】解：∵
∴
A．当 时， 随 增大而增大，说法正确，故本选项符合题意；
B．当 时， ，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
D．当 时， ，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的
关键．
已知比例系数求特殊图形的面积
例题：（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系 中， 是反比例函数
的图象上的一点，则矩形 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数 的几何意义，直接求出即可．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴矩形 的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义，理解反比例函数 的几何意义并熟练运用是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在反
比例函数 的图象上，且 轴， ，垂足为点 ，交 轴于点 ．则
的面积为 ．
【答案】5
【分析】过点 作 轴于点 ，则四边形 为矩形，根据反比例函数 值的几何意义，
得到矩形 的面积等于 ，再根据 的面积是矩形面积的一半即可得解．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，
∵ 轴， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
设 与 轴的交点为 ，则四边形 和四边形 均为矩形，
∵点B在反比例函数 的图象上，点C在反比例函数 的图象上，∴矩形 的面积 ，
∵ 为矩形 的对角线，
∴ 的面积等于矩形 的面积的一半，即： 的面积等于 ；
故答案为：5．
【点睛】本题考查利用 值的几何意义，求图形的面积．熟练掌握反比例函数 值的几何意义，是
解题的关键．
2．（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，矩形 的边 在x轴上，
在y轴上，反比例函数 的图象x经过 边上的点D和 边上的点E，若D好是 的中点，
其坐标为 ，连接 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】6
【分析】根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再根据点D为线段
的中点即可找出点 的坐标，根据k值几何意义得出 求解即
可；
【详解】∵D坐标为 ，点 在反比例函数 的图象上
∴
∵D好是 的中点
∴点 的坐标为
∵四边形 为矩形，点D、E在反比例函数 的图象上，
∴
∴ ，故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D
的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数k值是解题的关键．
已知反比例函数经过的象限或增减性求参数
例题：（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数 ，当 为何值时：
(1)函数的图象在第二、四象限？
(2)在每个象限内， 随 的增大而减小？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据反比例函数 的图象在第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取
值范围即可；
（2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，解得 ；
（2）∵在每个象限内， 随 的增大而减小，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知反比例函数 的图像在二、四象限，则 的
取值范围是 ．
【答案】【分析】根据反比例函数的性质列式计算即可得解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
解得， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 ，（1） ，反比例函数
图象在一、三象限；（2） ，反比例函数图象在第二、四象限内．
2．（2023下·江苏南京·八年级校考期末）若反比例函数 的图像在每一个象限内，y随x的
增大而减小，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数 时，它图象所在的每个象限内y
随x的增大而减小．
【详解】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数 的性质，对于反比例函数 （ ），（1） ，反比
例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2） ，反比例函数图象在
第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．
一次函数与反比例函数图象综合判断
例题：（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，函数 与 在同一坐标系中，图
象只能是下列图中的（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】分别利用k的取值，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案．
【详解】解：当 时，一次函数 的图象经过第一、二、三象限，反比例函数 图
象在第一、三象限，
当 时，一次函数 的图象经过第二、三、四象限，反比例函数 图象在第二、四
象限，
四个选项中只有B符合，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，关键是熟练掌握两个函数图象的性质．
【变式训练】
1．（2023下·湖南株洲·八年级校考期末）如图，函数 与 在同一坐标系内的
图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐项分析即可．
【详解】解：A.由反比例函数的图象在二、四象限可知， ；而一次函数的图象经过二、四象
限可知， ，即 ，相矛盾，故A选项错误，不符合题意；
B.由反比例函数的图象在二、四象限可知， ；而一次函数的图象经过一、三象限可知，
，即 ，又 ，一次函数与 轴交于正半轴，与一次函数经过一、三、四象限相矛盾，
故B选项错误，不符合题意；
C.由反比例函数的图象在一、三象限可知， ；而一次函数的图象经过一、三象限可知，
，即 ，相矛盾，故B选项错误，不符合题意；
D.由反比例函数的图象在一、三象限可知， ；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即 ，又 ，一次函数与 轴交于正半轴，与一次函数经过一、二、四象限相符合，
故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，熟知一次函数与反比例函数的图象的特
点是解答此题的关键，利用数形结合的思想解答．
2．（2023下·黑龙江大庆·九年级校考期末）在同一平面直角坐标系中，函数 ，
的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a、b与0的大小关系对图象即可作出判断．
【详解】解：A、一次函数 的图象经过一、二、四象限，则 ， ，
反比例函数 经过二、四象限，则 ，正确，符合题意；
B、一次函数 的图象经过二、三、四象限，则 ， ，
反比例函数 经过二、四象限，则 ，矛盾，不符合题意；
C、一次函数 的图象经过一、三、四象限，则 ， ，
反比例函数 经过一、三象限，则 ，矛盾，不符合题意；，；
D、一次函数 的图象经过一、二、四象限，则 ， ，
反比例函数 经过一、三象限，则 ，矛盾，不符合题意；，；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的判断，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．
一次函数与反比例函数交点问题
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的
图象上与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知点 ，点 的横
坐标为 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点 是 轴上一点，且 ，求点 坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】（1）把点 代入 ，解得 ，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，
然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据 求得 ，进而即可求得D的坐标．
【详解】（1）解：将点 代入 ，得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点 的横坐标为 ，∴将 代入 ，得 ，
∴ .
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）由 可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交
于点 ， 与y轴交于点C，与x轴交于点D．(1)求k，b的值；
(2)观察函数图象，直接写出不等式 的解集；
(3)连接OA，OB，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）将 代入 得 ，将 代入 即可求解；
（2）根据图象中一次函数与反比例函数的交点即可求解；
（3）由 即可求解；
【详解】（1）解：将 代入 得 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）将 ， 分别代入 得 ，
∴ ，
∴ ，
由图象可知当 时，x的取值范围为 或 ，
（3）令 ，则 ，解得： ；
∴ ．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键．
2．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于 ， 两点，且一次函数 的图象交x轴于点C，交y轴于点
D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足 ，请求出点P的坐标；
(3)当 时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
(2)点P的坐标为 ；
(3)x的取值范围是 或 ．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，
最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函
数的解析式；（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得 ，进一步根据题意得到 的长度，利用
距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当 时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 在双曲线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵一次函数 的图象经过A、B两点，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式 ；
（2）解：在 中，当 时， ；当 时，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，则 ，
解得 或 （舍去），
将 代入 ，得 ，
∴P的坐标为 ；
（3）解：观察图象可知，当 时，x的取值范围是 或 ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求
一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）点 和点 在反比例函数 的图象上，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数 的系数 ，得出 ，解得即可．
【详解】解： 点 和点 在反比例函数 的图象上，
，解得 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积
应等于比例系数．
2．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）已知反比例函数 ，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点
【答案】C
【分析】根据反比例函数 的图象位于第二、四象限；不可能与坐标轴相交； 时，
， 时， ； 时， ．逐一判断．
【详解】∵该反比例函数解析式为 ，
∴ ，
∴图象位于第二、四象限，故A错误，不符合题意；
当 时， ，当 时， ，故B错误，不符合题意；
图象不可能与坐标轴相交，故C正确，符合题意；
当 时， ，
∴图象必经过点 ，而不过点 ，故D错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象不与坐标轴相交，函数值在同一
象限内的增减性，函数值在不同象限内的正负性，点与图象的位置关系，是解题关键．
3．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）已知 ， 两点均在函数 的图象
上，则m与n的数量关系是（ ）A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】根据反比例函数的增减性即可得．
【详解】解： ， 两点均在函数 的图象上，
因为 ，双曲线经过第二、四象限
故点 在第二象限， 在第四象限，
所以
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．（2023下·四川乐山·八年级统考期末）函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】分 和 两种情况，分别判断出一次函数图象和反比例函数图象所过的象限，结合
选项可得答案．
【详解】解：分类讨论：
①当 时， 的图象过第一、二、四象限，的图象过第二、四象限，
②当 时， 的图象过第一、三、四象限，
的图象过经过第一、三象限．
综上，符合题意的选项为D．
故选：D．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图象，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的
象限与系数的关系是解决此题的关键．
5．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意
一个不在坐标轴上的点 ，我们把 称为点P的“和差点”．若直线
上有两点A、B，它们的和差点 、 均在反比例函数 上，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ， 则 ， ，由 和 均在反
比例函数 上，可得 ， ，从而求出点A的坐标为：
或 ，点B的坐标为： 或 ，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为： ，点B的坐标为： ，则 ，
，
∵ 和 均在反比例函数 上，
∴ ， ，解得： 、 ， 、 ，
当 时， ；
当 时， ，
∴点A的坐标为： 或 ，点B的坐标为： 或 ，
设一次函数 与x的轴相交于点C，
当 时， ，即 ，
∴点C的坐标为： ，
∴ ，
如图所示： ，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函
数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）若反比例函数 的图像在第一、三象限，则m
的取值范围是 ．【答案】
【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限， ，解不等式即可得结果．
【详解】解：由于反比例函数 的图象位于第一、三象限，
则 ，
解得： ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质， 时，函数图象位于一、三象限； 时，函数位于
二、四象限．
7．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于
点 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】由点 为反比例函数 的图象与一次函数 的图象的交点，可得出 、
，将其代入 中即可求出结论．
【详解】解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例
函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征
找出 、 是解题的关键．
8．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）已知一次函数 与反比例函数
相交于点 ， ，不等式 的解集是 ．【答案】 或
【分析】图象法解不等式即可．
【详解】解：∵一次函数 与反比例函数 相交于点 ，
，
∴ ，
∴ ， ；
作出一次函数和反比例函数的图象如图所示：
由图可知： 的解集为： 或 ；
故答案为： 或
【点睛】本题考查图象法解不等式，解题的关键是正确的画出一次函数和反比例函数的就图象．
9．（2023下·浙江金华·八年级统考期末）如图，已知 的顶点 分别在反比例函数
和 的图像上，且 轴．若 的面积为3，则 ．【答案】
【分析】根据题意，设 ，则 ，再由 轴．若 的面积为3，利用平面直
角坐标系中三角形面积的求法列方程求解即可得到答案．
【详解】解： 的顶点 分别在反比例函数 和 的图像上，
设 ，则 ，
轴．若 的面积为3，
，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形综合，涉及反比例函数图像与性质、平面直角坐标系中三角
形面积的求法及解方程等知识，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的求法是解决问题的关键．
10．（2023上·广东广州·九年级统考期末）点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A
作 轴，垂足为点B， 的面积是1，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①此反比例函数图象经过点 ；
②此反比例函数的解析式为 ；
③若点 在此反比例函数图象上，则点 ）也在此反比例函数图象上；
④点 ， 在此反比例函数的图象上．
【答案】 /
②③ ③②
【分析】根据 ，可得反比例函数的解析式为 ，再结合函数图象特点，逐个分析即可．
【详解】解：根据题意可得， ，
∵反比例函数在第一象限内，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
故②正确；
，故结论①错误；
若点 在此反比例函数图象上，则 ，
∴ ，
∴点 ）也在此反比例函数图象上故结论③正确；
∵点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点， 轴，垂足为点B，
∴点B在x上，故结论④错误；
综上所述，正确结论为②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了函数图象系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象的特点是解本题的关键，
综合性较强，难度适中．
三、解答题
11．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知 与 成反比例函数关系，且当 时，
．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】（1）设该函数的解析式为 ，再把当 时， 代入可得 的值，进而可得
函数的解析式；
（2）把 代入（ ）中的函数解析式可得答案．
【详解】（1）解：∵ 与 成反比例函数关系，
∴设该函数的解析式为 ，
∵当 时，
∴ ， ，
∴ 与 之间的函数表达式为： ；
（2）解：当 时， ．
【点睛】考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（
）设出含有待定系数的反比例函数解析式 （ 为常数， ）；（ ）把已知条件（自变
量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（ ）解方程，求出待定系数；（ ）写
出解析式．
12．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点A ，与y轴交于点B，与x轴交于点 ．
(1)求b与m的值；
(2) 为x轴上一点，连接AP，当 的面积为9时，求a的值．
【答案】(1) 的值为2， 的值为6(2) =2或
【分析】（1）把 代入 可得 的值，进而可求出一次函数解析式，得到点A 的坐
标，再将点A的坐标代入反比例解析式即可求得 的值；
（2）确定 与点 的坐标之间的等量关系即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得：
解得 ，
∴ ．
把A 代入 得：
解得 ，
∴ ．
把 代入 得 =6．
故 的值为2， 的值为6．
（2）解：由（1）可知， ．
∵ 为 轴上一动点，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题．掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐
标表示图形面积是解题关键．
13．（2023上·河南信阳·九年级校考期末）如图，已知 ， 是一次函数和反比例函
数图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)观察图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）设反比例函数解析式为： ，把 代入反比例函数 ，得出 的值，
再把 代入 求出n，设一次函数的解析式 ，运用待定系数法即可求解；
（2）设直线 与 轴交于点 ，把三角形 的面积看成是三角形 和三角形 的面积
之和进行计算．
（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得 的
取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为： ，
∵ 在反比例函数 的图象上，
．
反比例函数的解析式为 ．
在 上，
，即 ，．
设一次函数的解析式 ，
经过 ， ，
．
解之得 ．
一次函数的解析式为 ．
（2）解：设 是直线 与 轴的交点，
当 时， ，
解得 ，
点 ．
．
∵ ，
．
（3）解：由图象可知当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
一次函数值大于反比例函数值时自变量 的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数 ，求出函数解析式；要能够熟练借
助直线和 轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．
14．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．(1)若点 ，点B的横坐标为4．
①求反比例函数的解析式；
②已知点P在y轴上，当 最小时，求点P的坐标；
(2)求证： ．
【答案】(1)① ；②
(2)见解析
【分析】（1）①将点 代入 即可求解；②作 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴
的交点即为点 ，求出直线 的解析式即可求解；
（2）求出直线 的解析式，进一步求出点 的坐标，利用两点间的距离公式即可求证．
【详解】（1）解：①将点 代入 得：
∴反比例函数的解析式为：
②作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，
∵点B的横坐标为4，∴ ，
∵点 ，
∴ 关于 轴的对称点 ，
设直线 的解析式为： ，
则： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 则 ，
∴ ；
（2）证明：将 ， 代入 得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
令 则 ，
故 ，
令 则 ，
故 ，
, ，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合问题．掌握待定系数法求函数解析式、线段最值问题的求解、两点间的距离公式是解题关键．
15．（2023下·山西长治·八年级统考期末）探究函数图象与性质
勇毅班同学根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是勤奋小组同学
记录的探究过程，请你补充完整．
(1)函数 的自变量 的取值范围是__________．
(2)列出 与 的对应值，请直接写出 的值： __________， __________；
… 0 2 3 4 …
… 0 2 …
(3)在平面直角坐标系 中，描出表格中各对对应值，并画出图象；
(4)请写出函数 的一条性质．
【答案】(1)
(2) ，
(3)见解析
(4)①图象无限接近直线 ，但与直线 永不相交；② ；③图象关于点 中心对称；
④当 或 随 的增大而减小.（写出一条即可）
【分析】（1） 根据分母非零即可得出 ，解之即可得出自变量 的取值范围；
（2） 将 ， 分别代入 求得a，b值即可；
（3） 描点、 连线画出函数图象；（4） 观察函数图象， 写出函数的一条性质即可 ．
【详解】（1） ，
．
故答案为： ．
（2）将 代入 得： ，
解得： ，
将 代入 得： ，
故答案为： ； ．
（3）描点、 连线画出图象如图所示 ．
（4）①图象无限接近直线 ，但与直线 永不相交；
② ；
③图象关于点 中心对称；
④当 或 随 的增大而减小.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及函数图象， 根据给定数据描点、 连线画出函数图象是
解题的关键 ．
