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专题14 已知两点坐标求两点距离
【例题讲解】阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x，y）、B（x，y），那么A、B两点的距离
1 1 2 2
AB＝ ．则AB2＝（x﹣x）2+（y﹣y）2．
1 2 1 2
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：
故答案为：
(2)解： 点B在坐标轴上，设 或
当 时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或
或
当 时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或 解得：
或
(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，整理得：
解得：
【综合解答】
1．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图
法进行了一系列探究活动：
(1)在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求 的面积．如图1，在
正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的
顶点处），不需要求 的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则
的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为 ，点B为 ，则线段 的长为___________；②若
点A为 ，点B为 ，则线段 的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小： _______ （填“>”或“<”）；
(4)若 三边的长分别为 、 、 （ ， ．且 ），
请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出 ，并求
出它的面积（结果用m，n表示）．
2．阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x，y）、B（x，y），那么A、B两点的距离
1 1 2 2AB＝ ．则AB2＝（x﹣x）2+（y﹣y）2．
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例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
3．（一）问题提出
（1）平面直角坐标系中，如果 A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y
轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么 A、B两点间的距离，C、D两点间的距离
分别是多少？
（2）平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离是多少？
（3）已知平面上的两点P(x，y)，P(x，y)，如何求P，P 的距离|PP|
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（二）问题探究
（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E(5，0)、F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|
=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M(0，-3)、N(0，5)之间的距离|MN|=|3-5|=2．
结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、
B两点间的距离|AB|＝ ；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那
么C、D两点间的距离|CD|＝ ：
（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B(3，4)，过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理
得|OB|＝ ；结论：平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离|OP|＝ ；
（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求Rt ABC或Rt DEF的斜边长．例如：从坐标
系中发现：D(-7，5)，E(4，-3)，所|以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理
得：|DE|= ．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB＝ ；在图3中：
设P(x，y)，P(x，y)，试用x，x，y，y 表示：|PC|＝ ，|PC|＝ ，|PP|
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＝ ．
（三）拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4，3)．
（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．
（2）C为坐标轴上的点，且使得三角形ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C点的坐标为（不必写解答过程，直接写出即可）．
4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点 ， ，其两点间的
距离 ．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐
标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
（1）已知 ， ，试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，请判定此三角形的形状，并说明
理由．
（3）已知 ，在x轴上是否存在一点P，使 为等腰三角形，若存在请直接写出点P的
坐标；若不存在说明理由．
5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问
题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求方程|x﹣1|＝5的解
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的
距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．
将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为
AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．
因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|＝5的解
因为数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为 ．探究二：探究 的几何意义
（1）探究 的几何意义
如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，
则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 MO＝ ＝ ＝
因此 的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究 的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二） （1）可知，A′O＝
，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A
的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．
因为AB＝A′O，所以AB＝ ，因此 的几何意义可以理解为点A
（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究 的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．
（4） 的几何意义可以理解为： ．
拓展应用：
（5） 的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣
1）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．
（6） 的最小值为 ．（直接写出结果）6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P(x，y)，P(x，
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y)，其两点间的距离PP＝ ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于
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坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|y﹣y|．
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（1）已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；
（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？
说明理由．
7．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是 ， ，则 ， 两点之间的距离可以
用公式 ．计算，阅读以上内容并解答下列问题：
（1）已知点 ， ，则 ， 两点之间的距离为__________；
（2）若点 ， ， ，判断 的形状，并说明理由．
8．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标
系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同
样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P，P，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作
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两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边PQ＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定
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理可得，线段PP 的长为 ．
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根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为_____．
（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为______．
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是______．
（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，
且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
9．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找 或 的长度，显然是转化为
求 或 的斜边长．
下面：以求 为例来说明如何解决：
从坐标系中发现： ， ．所以 ， ，所以由勾股
定理可得： ．
下面请你参与：（1）在图①中： ________， ________， ________．
（2）在图②中：设 ， ，试用 ， ， ， 表示 ________，
________， ________．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题
目：已知： ， ， 为坐标轴上的点，且使得 是以 为底边的等腰三角形．请
求出 点的坐标．
10．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P（ ， ），P（ ， ），其
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两点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于
坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
（l）已知点A（7，3），B（2， ），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于 轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为 ，试求A，B两
点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值．
11．热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点它们的坐标分别为(a，0)和(c，0)．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，
若在y轴上的两点坐标分别为(0，b)和(0，d)，则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P，P，其坐标分别为(a，b)和(c，d)，分别过这两个点作两坐标轴的平行
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线，构成一个直角三角形，其中直角边PQ=|a﹣c|，PQ=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段PP
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的长为 ．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(6，5)，则线段AB的长为_________________；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是(﹣3，0)，且CD=6，则点C的坐标是_________________；
（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，
且A，B，C三点不在同一条直线上，求 ABC周长的最小值．
12．阅读理解： △
在平面直角坐标系中，任意两点 ， 之间的位置关系有以下三种情形；
①如果 轴，则 ，
②如果 轴，则 ，
③如果 与 轴、 轴均不平行，如图，过点 作与 轴的平行线与过点 作与 轴的平行线相
交于点 ，则点 坐标为 ，由①得 ；由②得 ；根据勾股定理可得
平面直角坐标系中任意两点的距离公式
小试牛刀：
（1）若点 坐标为 ， 点坐标为 则 ；
（2）若点 坐标为 ， 点坐标为 则 ；（3）若点 坐标为 ， 点坐标为 则 ；
学以致用：
若点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 是 轴上的动点，当 取得最小值时点 的坐
标为 并求出 最小值=
13．数形结合是一种重要的数学思想，我们不但可以用数来解决图形问题，同样也可以用借助图
形来解决数量问题，往往能出奇制胜，数轴和勾股定理是数形结合的典范.数轴上的两点A和B所
表示的数分别是 和 ，则A，B两点之间的距离 ；坐标平面内两点 ，
，它们之间的距离 .如点 ， ，则
. 表示点 与点 之间的距离，
表示点 与点 和 的距离之和.
（1）已知点 ， ， ________；
（2） 表示点 和点 之间的距离；
（3）请借助图形，求 的最小值.
