文档内容
考点 6-3 数列通项与递推公式综合应用
1．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗
环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
【详解】
解：因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；，得 ，故D正确.
故选：D.
2．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小
项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已知正项数列
为“梦想数列”，且 ，则 （ ）
A． =2 B． =2
C． =2 +1 D． =2 +1
【答案】B
【分析】将 作为整体代入，即可求解.
【详解】
依题意， ，
即 是首项为2，公比为3的等比数列， ；
故选：B.
4.（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下列
四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【分析】
推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判
断③.
【详解】
由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知 是数列 的前n项和， ，
，则 ___________．
【答案】1011
【分析】
根据递推式计算可知数列 具有周期性，即可解出．
【详解】
因为 ， ，所以 ，因此数列 具有周期性，
， ，故 ．
故答案为：1011．
6．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ， ， ，
当 时， ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分别求出 ， ，判断出 随着 增大而增大， 随着 增大而减小，且 ，
，即可得到实数 的取值范围.
【详解】
由 ①，可得 ②，所以②－①得 ，即 .因为 ，所以
，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，故 .当 时， ，当 时， 也符合 ，故 .
显然 随着 增大而增大， 随着 增大而减小，且 ， ，
故要使得 恒成立，则 .
故选：B
7．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列 的首项 ，函数
有唯一零点，则通项 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由奇偶性定义可判断出 为偶函数，由此可确定唯一零点为 ，从而得到递推关系式；利用递推关
系式可证得数列 为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到 .
【详解】
，
为偶函数，图象关于 轴对称，
的零点关于 轴对称，又 有唯一零点， 的零点为 ，
即 ， ，即 ，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，则 .
故选：C.
8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知 为数列 的前n项和，若 ，则
的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由题设求出 ，再通过构造得 ，由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
令 可得 ，又 ，解得 ，又 ，
则 ， ，即 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 ， .
故选：B.
9.
（2022·全国·高三专题练习）数列 满足： ， ，则 的通项公
式为_____________.
【答案】
【分析】
先由条件得 ，再结合累乘法求得 的通项公式即可.
【详解】
由 得， ，
则 ，
即 ，又 ，所以 .
故答案为： .
10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的前
2022项的和为___________.
【答案】
【分析】
利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.
【详解】由题意可知，满足 ，
当 时， ，
，以上各式累加得，
.
，
当 时， 也满足上式，∴ ，则 .
∴数列 的前n项和为 ，
∴ .
故答案为： .
11．（2022·全国·高三专题练习）设 ，数列 中， ， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当
【答案】A
若数列 为常数列， ，则只需使 ，选项的结论就会不成立.将每个选项的 的取值代入
方程 ，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.
而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.
【详解】
若数列 为常数列，则 ，由 ，可设方程
选项A： 时， ， ， ，故此时 不为常数列，
，且 ， ，则 ，故选项A正确；
选项B： 时， ， ，则该方程的解为 ，
即当 时，数列 为常数列， ，则 ，故选项B错误；
选项C： 时， ， 该方程的解为 或 ，
即当 或 时，数列 为常数列， 或 ，同样不满足 ，则选项C也错误；
选项D： 时， ， 该方程的解为 ，
同理可知，此时的常数列 也不能使 ，
则选项D错误.
故选：A.
12．（2022·全国·高三专题练习）数列 ， 满足 ， ， ，
若 的前 项和为 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由已知数列递推式求得首项，且得到 ，与原递推式作差可得数列
的通项公式，代入 ，得到 的通项公式，从而得出 ,然后构造函数，证明不等式成立，
从而得到答案．
【详解】
由 ，①
得 ，
，②
①-②得： ，即 ．
成立，
∴ ；则 ．
所以 ，
设 ，则 ．
∴ 在 上单调递减，则 ，即 ．
令 ，则 ．
∴ ，故 ．
设 ，则 ．
在 上单调递增，
∴ ，即 ．
令 ，则 ．
∴ ．
故 ．
∴ ．
故选D．
13．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足对任意的 ，总存在 ，使得 ，则 可能
等于（ ）
A． B．2022n C． D．
【答案】B
【分析】
A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令n＝2时，得到 ，m不存在，A错误；B选项，
利用等差数列求和公式进行求解得到方程 ，取 即可，C选项，利用平方和
公式得到 ，当n＝2时， ，m不存在；D选项，当n＝2时， ，m不存在.
【详解】
对于选项A：当 时，则 是等比数列，因为所以 ，当n＝2时， ，m不存在，A错误；
对于选项B：当 时， 是等差数列，因为 ，则
，取 即可，B正确；
对于选项C：当 时， ，则 ，
当n＝2时， ，m不存在，C错误；
对于选项D：当 时， ，则 ，当n＝2时， ，m不存
在，D错误．
故选：B．
14．（2022·北京·测试学校四高三）已知数列 满足 ，则 最接近的整
数为___________.
【答案】4
【分析】
令 ，将原递推化简为 可得 是以 为首项，公比为 的等比数列.
进而得到 ，再根据 的范围确定 的范围即可
【详解】
令 ，则 且 ，
原递推即为 ，
整理后即为 ，由 得 ，
即 ，故 是以 为首项，公比为 的等比数列.所以 .
所以 ，
另一方面， ，
所以 ，
综上所述， ，所以与之最接近的整数为4.
故答案为：415．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的各项均为正数，其前n项和 满足 ，则
其通项 ______．
【答案】
【分析】
设出首项和公差，根据 和 得到方程组，变形后得到 ，从而求出公差，进一
步求出首项，求出通项公式.
【详解】
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
令 得： ，即 ，
令 得：
则 ，
由 ，两式相减得： ，
即 ，
因为等差数列 的各项均为正数，所以 ，
解得： ，代入 中，解得： ，
所以 .
故答案为：
