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考点 6-4 数列前 n 项和综合应用
1．（2021·全国·高三课时练习）已知数列 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
利用 的前 项和求出数列 的通项公式，可计算出 ，然后利用裂项法可求出
的值.
【详解】
.
当 时， ；
当 时，由 ，
可得 ，
两式相减，可得 ，故 ，
因为 也适合上式，所以 .
依题意， ，
故 .
故选：C.
2．（2014·全国·高三课时练习（理））设函数 的导函数 ，则数列
的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据导数，求解 的值，得到数列 ，即可求解数列的和.
【详解】
由题意，函数 ，则 ，
又由 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 的前n项和为 ，故选A.
3．（2018·全国·高三课时练习）若数列 的通项公式是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和.
【详解】
由于 ，故
.故选A.
4.（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}
的前n项和 ，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】
结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .
【详解】
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 .
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，
依题意 ，即 ，通过对比系数可知 ，故 .
故答案为：
5．（2014·全国·高三课时练习（理））在数列 中， (n ∈N )，设 S 为数列 的前
+ n
n 项和 .则S -2S +S =_________.
2007 2006 2005
【答案】3
【详解】
当n为偶数时，a＋a＝a＋a＝…＝a ＋a＝1，故S＝ ；当n为奇数时， a＝2，a＋a＝a＋a＝…
1 2 3 4 n－1 n n 1 2 3 4 5
＝a ＋ a＝1，故 S＝2＋ ＝ .故S －2S ＋S ＝1005－2×1003＋1004＝3.
n－1 n n 2007 2006 2005
6．（2021·全国·高三课时练习）将等比数列 按顺序分成1项，2项，4项，…， 项的各组，再将公
差为2的等差数列 的各项依次插入各组之间，得到数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，…，数列 的前 项和为 ．若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列 的前100项中含有数列 的
前6项，含有数列 的前94项，运用分组求和的方法可求得答案.
【详解】
解：由已知得 ， ， ，等比数列 的公比 ．令 ，则 ， ，
所以数列 的前100项中含有数列 的前6项，含有数列 的前94项，
故
．
故选：D．
7．（2021·全国·高三课时练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ， ，…，
中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由条件得到此数列为递减数列，进而可以推出 ， ，
，进而可得出答案.
【详解】
由 ，得到 ；
由 ，得到 ，
∴等差数列 为递减数列，
且 ，
, ,
当 时， ，且 最大， 最小，所以 最大；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，且 ， ，所以 ，
综上所述， ， ，…， 中最大的是 .
故选：C．8．（2020·全国·高三课时练习（理））设数列 的前n项和为 ， ， 为常数列，
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意知， ，当 时，能得到 ，由此能求出 ．
【详解】
数列 的前n项和为 ，且 ，
，
为常数列， 由题意知， ，
当 时， ，
从而 ，
，当 时上式成立，
．
故选B．
9.（2014·全国·高三课时练习（理））若数列 是正项数列，且 ，
则 __________．
【答案】
【分析】
通过已知条件求出数列的通项公式，然后化简所求数列的各项，利用等差数列求出数列的和．
【详解】
因为数列{an}是正项数列，且 n2+3n ，（n∈N*）…①
所以 （n﹣1）2+3n﹣3+2 ，…②
所以①﹣②得， 2n+2 ，可得 ，则： 4（n+1） ，又 故
所以 4[3+4+…（n+1）] 2n2+6n+10．
故答案为
10．（2018·全国·高三课时练习（理））已知数列 中， ，等比数列 的公比 满足
，且 ，则 __________．
【答案】
【详解】
， ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为 .
11．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列 的通项公式为
，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C．180 D．240
【答案】D
【分析】
分别取 ， ， 和 ， ，可验证出 ，利用周期性可验算
得到结果.
【详解】
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， .
， .故选：D
12．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 满足 ， ．记数列 的前
项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意首先整理所给的递推关系式，得到数列的通项的范围，然后利用裂项相消法求和即可确定前100项
和的范围．
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，
，
，故 ，
由累加法可得当 时，
，
又因为当 时， 也成立，所以 ，
所以 ，
，故 ，
由累乘法可得当 时， ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
13．（2021·河南·高三阶段练习（理））定义 表示不超过 的最大整数，如 ， ．若数
列 的通项公式为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得当 时，含有 个数列 中的项 ，又 ，
再利用错位相减法即求.
【详解】
由题知当 时，含有 个数列 中的项 ，
又 ，
所以 ，
两边同乘以 ，得 ，
两式相减，得
，
所以 ．
故选： ．
14．（2022·北京·高三专题练习）设函数 ， ，
（ ，n≥2）．设数列 的前n项和 ，则 的最小值
为______．
【答案】 ##8.2
【分析】
由题设 ，讨论n的奇偶性求 的通项公式，再确定 的通项公式，进而得到 ，
结合对勾函数性质确定其最小值.
【详解】
由题设， ，
所以 ，即 且n ≥ 2，
则 ，故 ，
又 在 递减，在 递增，
当 时， ；当 时， ，显然 ，综上， 的最小值为 .
故答案为：
15．（2021·全国·高三专题练习）已知 是等差数列 的前 项和，若 ，设
，则数列 的前 项和 取最大值时 的值为______________
【答案】2019
【分析】
设等差数列 的公差为 ，运用等差数列的性质，可得数列 的公差 ，且 ， ， ，
， ， ，求得 ，计算可得 ，分析比较，即可得到所求
最大值时 的值．
【详解】
解：等差数列 的公差设为 ，若 ，
则 ， ，所以公差 ， ，
即 ， ，即 ，可得 ，
即数列 递减，且 ， ， ， ， ， ，
，
则
，
由 ，要使 取最大值，可得 取得最小值，
显然 ，而 ，
可得 时， 取得最小值，
故答案为： ．
