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专题23 与垂径定理有关的拓展探究
1．问题提出
（1）如图①， 的半径为8，弦 ，则点O到 的距离是__________．
问题探究
（2）如图②， 的半径为5，点A、B、C都在 上， ，求 面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图， 的直径为 ，等腰直角三角形 的边 是
的弦，直角顶点P在 内，延长 交 于点C，延长 交 于点D，连接 ．
现准备在 和 区域内种植草坪，在 和 区域内种植花卉．记 和
的面积和为 ， 和 的面积和为 ．
①求种植草坪的区域面积 ．
②求种植花卉的区域面积 的最大值．
2．问题提出：（1）如图1，已知 是边长为2的等边三角形，则 的面积为______．
问题探究：（2）如图2，在 中，已知 ， ，求 的最大面积．
问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽 米，长
米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，
并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观
测角 ．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若
存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．3．【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知
识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在 中， ， ，D是 外一点，且 ，求 的
度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆 ，则C，D两点必在 上， 是 的圆
心角， 是 的圆周角，则 ______°．
【初步运用】
（2）如图，在四边形ABCD中， ， ，求 的度数；
【方法迁移】
（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得 （不写
作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图，已知矩形ABCD， ， ，M为边CD上的点．若满足 的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
②如图，在 中， ，AD是BC边上的高，且 ， ，求AD的长．
4．小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点C是 上一动点，直径AB＝8cm，过点C作CD AB交 于D，O为AB的中点．连
接OC，OD，当△ABC的面积为3.5cm2时，求线段CD的长．
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
(1)根据点C在 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CD，OC的长度和△OCD的面积，
得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，△OCD的面积为0）．
CD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
0 1.9 3.9 5.6 m 7.8 7.9 6.8 0
填空：m＝ （结果保留一位小数）；
(2)将线段CD的长度作为自变量x，△OCD的面积是x的函数，记为y，请在平面直角坐标系xOy
中画出函数的图象，并写出△OCD面积的最大值；(3)在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当△OCD的面积为3.5cm2时，线段
CD长度的近似值（结果保留一位小数）．
5．【教材回顾】（1）如图①，点 、 分别是 的边 、边 的中点，连结 ，则
是 的一条中位线．则 和 的数量关系是____，位置关系是_____．
【提出问题】如图④， 是以 为直径的⊙ 的一条弦，连结 、 ，点 在 的上方，
点 在 的下方， 于 ， 于 ，点 、 均在弦 上．已知 ，
，求 的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：
【分析问题】先看两种特殊情况：
（2）如图②，当点 与点 重合时，点 也与点 重合，点 与点 重合，此时 ，
（点看成是长度为0的线段），则 _____．（写出具体的数值）
（3）如图③，当 时， 、 重合，此时 与 的数量关系是____，先根据条件
易求 的长度，则 ____．（写出具体的数值）
【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求 的值．6．学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，
运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在 ABC中，AB＝AC，
∠BAC＝90°，D是 ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作
辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得
到∠BDC＝ ．（直接写答案）
问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数；
问题拓展：如图3，在 ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的
长．
7．小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点 是线段 上一动点，线段 ， 的垂直平分线交 于 ，取线段 的中
点 ，连接 并延长交 于 ，连接 ．若 是等腰三角形，求线段 的长度．
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点 在线段 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 ， ， 的长度，得
到下表的几组对应值．
/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
/cm 6.7 5.6 4.5 3.5 3.5 4.5 6.7
/cm 6.7 6.5 6.2 5.7 5.0 4.2 3.6 3.2 2.9
填空： 的值为_________， 的值为___________；（2）将线段 的长度作为自变量 ， 和 的长度都是 的函数，分别记为 和 ，并在
平面直角坐标系 中画出了函数 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 为等腰三角形时，
线段 长度的近似值（结果保留一位小数）．
8．问题提出
（1）如图①，已知直线 ，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则 _______
（填“＞”“＜”或“＝”）；
问题探究
（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上， ，求 面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，在 中， ， ， ，根据设计要求，点D为 内
部一点，且 ，过点C作 交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四
边形ADCE的最大面积．9．【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．
【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．
【应用】
（2）如图2， 的弦 ， 的延长线相交于点 ，且 ，连接 ．求证： 平分
．
10．[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦
AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段
MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度
即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O
的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变
化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围 ；[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一
动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接写出答案）
11．问题提出（1）如图①，在 ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则 ABC面积的最大
值是 ． △ △
问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决（3）如图③， ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50
米，现在他想利用周边地△的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可
能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你
认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
12．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
13．如图， ABC是圆内接等腰三角形，其中AB=AC，点P在 上运动（点P与点A在弦BC
△
的两侧），连结PA，PB，PC，设∠BAC=α， =y，小明为探究y随α的变化情况，经历了
如下过程
（1）若点P在弧BC的中点处，α=60°时，y的值是______．
（2）小明探究α变化获得了一部分数据，请你填写表格中空缺的数据．在如图2平面直角坐标系
中以表中各组对应值为点的坐标进行描点，并画出函数图象：α … 30° 60° 90° 120° 150° 170° …
y ．． 0.52 1.73 1.93 1.99 …
（3）从图象可知，y随着α的变化情况是______；y的取值范围是______．
