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专题27.45《相似》全章复习与巩固（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．若 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（
）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ，点D为 的中点， ∥ 交 于点E，连接
，若 ， ，则 的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．26
4．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原
矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：2 D． ：1
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于
点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作
射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（ ）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA
C． D．
6．如图，AC⊥BC， ，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交
于点E，连接AE，若 ， ，则BC＝（ ）
A． B．8 C． D．10
7．如图，在 中， ，高 ，正方形 一边在 上，点
分别在 上， 交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB= ，AD=6，直线 与BC、AD、AC分别相交于E、
F、P点，且AF=2，∠BEF=60o，则AP长为（ ）A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交CD的延长线
于点G，若2AF=3FD.则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B， 与 是以点
A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点 的坐标为( )
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
11．已知： ，则 的值是_______.
12．把两个含 角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 为 的中点，连结交 于点 ．则 =_________．
13．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以
点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为_______．
14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的
位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边
DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高
AB=____m．
15．如图，在直角 ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的
两个动点，若要使 AP△Q是等腰三角形且 BPQ是直角三角形，则AQ =________．
△ △
16．如图，正方形ABCD中， ，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作 ，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______．
17．如图，正方形纸片 的边长为12， 是边 上一点，连接 ．折叠该纸
片，使点 落在 上的 点，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，点 在 上．若
，则 的长为__________．
18．如图，正方形 中， 绕点 逆时针旋转到 ， ， 分别交
对角线 于点 ，若 ，则 的值为_______．
三、解答题
19．已知a，b，c为 的三边，且 ， .
(1) 求a，b，c的值；(2) 判断 的形状.20．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 的高度．如图，当李
明走到点 处时，张龙测得李明直立时身高 与影子长 正好相等；接着李明沿 方
向继续向前走，走到点 处时，李明直立时身高 的影子恰好是线段 ，并测得
，已知李明直立时的身高为 ，求路灯的高 的长．（结果精确到 ．
21．如图，AD平分 ，过点D作 于点M， 的延长线于点N，
且 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求BD的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1) 求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延
长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．24．在矩形 的 边上取一点 ，将 沿 翻折，使点 恰好落在 边
上点 处．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，当 ，且 时，求 的长；
（3）如图3，延长 ，与 的角平分线交于点 ， 交 于点 ，当
时，求 出的值．参考答案
1．D
【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．
解：A.由 ，可得 ，不符合题意；
B.由 ，可得 ，不符合题意；
C.由 ，可得 ，不符合题意；
D.由 ，可得 ，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转
化．
2．B
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入数据即
可得出AP的长．解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB；
∴AP＝2× ＝ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的
线段＝原线段的 ，较长的线段＝原线段的 ．
3．C
【分析】根据题意可知 为 的中位线，根据等腰三角形的性质可得 ，
勾股定理解 即可求解．
解： 点D为 的中点，
，
∥ ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
故选C．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，
勾股定理，求得 是 中点是解题的关键．
4．D
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，
然后求解即可．
解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，则对折后的矩形的长为y，宽为 ，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y： ，
解得x：y= ．
故选：D．
【点拨】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
5．D
【分析】根据作图可知 是 的角平分线， ，根据 证明
，可得 ， ，根据面积法可得
，可得 即可判断D选项正确，其他选项无法证明．
解：根据作图可知 是 的角平分线， ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
，，
，
即 ．
A,B,C选项无法证明．
故选：D．
【点拨】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明
两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．
6．B
【分析】过 作 垂足分别为 由角平分线的性质可得：
利用 ， 可以求得 进而求得 ，利用面积公式
列方程求解即可．
解：如图，过 作 垂足分别为
平分
，
设
， ，（负根舍去）
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间
的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．
7．B
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求
得．
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
8．D
【分析】过点F做FH垂直CB，垂足为H，根据 计算出 ，再得出
，根据 可以得到 ，再根据勾股定理计算出AC，从而计算出AP的长度．
解：过点F做FH垂直CB，垂足为H，
∵ABCD为矩形， ，
∴四边形ABHF是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质、勾股定理和相似三角形的性质，解题的关键是根据
计算出EH，从而计算出CE．
9．A【分析】由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝ k，AD＝AF+FD＝ ，
再利用相似三角形性质即可解决问题．
解：由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝ k，AD＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DGF，
∵∠AFE＝∠GFD，
∴△ABF∽△DFG，且∠AFE＝∠GBC，
∴△BCG为等腰三角形，即BC＝CG＝AD＝ ，
∵△GFD为等腰三角形，即FD＝GD，
∴CD＝CG﹣DG＝ ，
AB∥CD，
，
∴△ABE∽△CGE，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟
练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
10．D
【分析】分点 在y轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出
与 的长度即可
解：如图所示，∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ 当 时 ；当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，
∴ ， ，
∴ ， ，
当点 在y轴右侧时，
，
∴点B的对应点 的坐标为 ；
当点 在y轴左侧时，
，
∴点B的对应点 的坐标为 ；
综上，点B的对应点 的坐标为 或 ．
故选D．
【点拨】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况
讨论，避免漏解．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连
线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这
时的相似比又称为位似比．
11．
【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.解：由 ，可设a=2k，b=3k，(k≠0),
故： ，
故答案： .
【点拨】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.
12．
【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2 x，
BC= x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有 ，由角平分线的性质得
，进而求得 的值.
解：连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，
∴∠D=60º，AD=4x，AC= ，
BC= = x，AB= x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE= =2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60º，
∵∠BAD=∠BAF+∠CAD=30º+30º=60º，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，
∴ ，
在ΔBAE中，∵∠BAF=∠CAD=30º
∴AF平分∠BAE，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【点拨】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段
成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，
找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
13．（8，6）或（－16，－6）
解：试题分析：直线y= x+1与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣2，0），B（0，1），
已知△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，所以 =
= ，即可求得O′B′=3，AO′=6，所以B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；位似变换.
14．5.5
解：在 DEF和 DBC中， ，
△ △
∴△DEF∽△DBC，
∴ ，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即 ，
解得BC=4，∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点拨】考点：相似三角形
15． 或
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当
AQ=PQ，∠PQB=90°时；由相似三角形的性质列比例式求解即可．
解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴ ，
①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴x= ，
∴AQ= ．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴y= ．
综上所述，满足条件的AQ的值为 或 ．
【点拨】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
16．4
【分析】先证明 ，得到与CQ有关的比例式，设 ，则
，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
解：
又
设 ，则 ．
，化简得 ，
整理得 ，
所以当 时，y有最大值为4．
故答案为4．
【点拨】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，
几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．
17．
【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据 ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长
解：在正方形 中，∠BAD=∠D = ，
∴∠BAM+∠FAM=
在Rt 中，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=
∴∠BAM+∠ABM=
∴∠ABM=∠FAM
∴
∴ ，∴
∴AM= , ∴AG=
∴GE=13-
【点拨】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似
的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
18．16
【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明 ，利用相似的性质即可得出
答案．
解：在正方形 中， ，
∵ 绕点 逆时针旋转到 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：16．
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正
方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
19．（1） ， ， ；（2） 是直角三角形.
【分析】（1）解此类含等比式的题目，解题关键是能否想到设出比例系数k，从而通
过解方程组来得到a、b、c和k的值.
（2）判断△ABC的形状，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角
形，通过计算来判断出a，b，c三者之间的关系.
解：（1）∵ ，
∴ .
设 ，
则 解得
又∵ ，
∴ ，解得 .
∴ ， ， .
(2)∵ ，
∴ 是直角三角形.
【点拨】此题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用“设k法”.
20．路灯的高CD的长约为6.1m
【分析】根据 ， ， ， 得到 ，从而得到 ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
解：设 长为 m，
， ， ， ，
，
m，
，
，即 ，
解得： ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
路灯高的长 约为6.1m
【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从
而证得相似三角形．
21．（1）证明见分析；（2）6．
【分析】（1）根据AD平分 ， ， ，可得 ，
，利用 ，易证 ，即有 ；
（2）根据 ， ，可得 ，即 是等腰直角三角
形，得到 ，利用 ，根据平行线的性质有 ，即有：
．
解：（1）∵AD平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴
（2）∵
∴
又∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴∵
∴ ,
即有： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，平行线分线段成比例
等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
22．（1）证明见分析（2）证明见分析（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD
【分析】（1）先判断出 ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出 ABF≌△ADF
得出∠AFB=∠AFD，最后进行△简单的推算即可； △
（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；
（3）由（2）得到判断出 BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．
解：(1)证明：在 ABC和△ADC中，
△ △
∴ ABC≌ ADC(SSS)，
∴△∠BAC=∠△DAC，
在 ABF和 ADF中,
△ △
∴ ABF≌ ADF(SAS)，
∴△∠AFB=∠△AFD，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE，
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴ BCF≌ DCF，
∴△∠CBF=∠△CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD.
23．（1）证明见分析；（2）证明见分析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CD BH，
得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．
(2) 由BE2=AB•AE，得到 = ，再利用AG BC，平行线分线段成比例定理得到
= ，再结合已知条件即可求解．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD AB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌ CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠△BCE．
∵CD BH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，
∴ = ，
∵AG BC，∴ = ，
∴ = ，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线
段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（1）15°；（2） ；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到 ，再由折叠
的性质可得到 ；
（2）由三等角证得 ，从而得 ， ，再由勾股定理求
出DE，则 ；
（3）过点 作 于点 ，可证得 ．再根据相似三角形的性质得
出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
解：（1）∵矩形 ，
∴ ，
由折叠的性质可知BF=BC=2AB， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）由题意可得 ，
，
∴
∴
∴ ，∴
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点 作 于点 ．
∴
又∵
∴ ．
∴ ．
∵ ，即
∴ ，
又∵BM平分 ， ，
∴NG=AN，
∴ ，
∴
整理得： ．【点拨】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性
质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．
