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专题32 一次函数与将军饮马结合
1．如图，在平面直角坐标系中，点 在y轴正半轴上，点 在x轴正半轴上，
且 ． ．
(1)求AB；
(2)在y轴上是否存在一点P，使得 最小？若存在，请求出 的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐
标．
【答案】(1)5
(2)
(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值；
（2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点 连接 ，求解即可；
（3）根据AB是腰分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵
∴a=4，b=3
∴OA=4，OB=3
根据勾股定理可得
∴
所以AB长度为5．（2）解：存在点P，使得PB+PD最小值为
如图；过点D作 轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点 连接 ，过点D作
轴于点F，
∵
∴
在 和 中
∴
∴OB=AE=3，OA=DE=4
∴点D坐标为（4，7）
∵ ，DF=7
根据勾股定理可得
∴
∴PB+PD最小值为 ．
（3）解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0）
当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0）
∴使 以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【点睛】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三
角形的判定．2．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）画出 ABC关于y轴的对称的 ABC ．
1 1 1
（2） ABC的面积为 ；
1 1
（3）y轴上存在一点P使得 ABP的周长最小，点P的坐标为 ，周长最小值为
．
【答案】（1）见解析；（2）7；（3） ，
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用待定系数法求出AB 所在直线解析式，从而得出点P坐标，再利用勾股定理可得三角形
1
ABP周长最小值．
【详解】解：（1）如图所示，△ 即为所求．（2）如图所示，连接 ，△ 的面积为 ，
故答案为：7；
（3）如图所示，连接 ，与 轴的交点即为所求点 ，
设 所在直线解析式为 ，
则 ，
解得 ，
，
当 时， ，
；， ，
周长最小值为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得
出变换后的对称点．
3．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，
交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，
若不存在请说明理由．
【答案】(1)y＝-x＋5
(2) ；
(3)存在， 或
【分析】(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可写出一次函数的表达式．
(2)先作出A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B与y轴的交点即为P点．求出直线A′B的
函数表达式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出A′B的长，即PA+PB的最
小值．
(3)先求出△AOB的面积，再根据△MOA的面积等于△AOB的面积列方程求出M点的横坐标，即
可求出M点的坐标．（1）
把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得
，解得 ，
∴一次函数的表达式为：y=-x+5；
（2）
作A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，
且PA+PB=PA′+PB=A′B，
设A′B的表达式为y=mx+n，则
，解得 ，
∴直线A′B的表达式为 ，
当x=0时，y= ，
∴P(0， )，
且
，
∴PA+PB的最小值为 ；
（3）
由y=-x+5得C(5，0)，
∴S AOB=S AOC-S BOC
△ △ △，
设M(xM，yM)，
∵S MOA=S AOB，
△ △
，
∴ ，
∴ 或 ，
∴M( ，0)或（ ，0），
∴存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为( ，0)或（ ，0）．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值(即将军
饮马)，两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点 和直线 ，我们称点 是直线 的
反关联点，直线 是点 的反关联直线．特别地，当 时，直线 的反关联点为
．已知点 ， ， ．
(1)点B的反关联直线的解析式为______，直线AC的反关联点的坐标为______；
(2)设直线AC的反关联点为点D；①若点P在直线AC上，求 的最小值；
②若点E在点B的反关联直线上，且 ，求点E的坐标．
【答案】(1) ，
(2)① ；② 或
【分析】（1）根据反关联点，反关联直线的定义解决问题即可；
（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接DB′交AC于P，连接PB，此时PD＋PB的值最小，
然后利用勾股定理求解即可；
②设E（m，−4m），根据 构建方程求出m即可．
(1)
解：∵B（0，−4），
∴点B的反关联直线的解析式为：y＝−4x，
∵A（−2，2），C（0，0），
∴直线AC的解析式为y＝−x，
∴直线AC的反关联点的坐标为（0，−1），
故答案为：y＝−4x，（0，−1）；
(2)
由（1）可知， ，
①如图，作点B关于直线AC的对称点B'，连接DB'交AC于P，连接PB，此时 的值最小，
∵ ， ，
∴ 的最小值为： ；②设 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边
在AB左侧作等腰直角 ABC，∠CAB＝90°．
△(1)当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时
①求AB解析式；
②求C点坐标；
(2)当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．
【答案】(1)① ；②
(2) ，
【分析】（1）①根据 ， ，推出 ，所以 ， ，设直线 的
解析式为 ，将 、 坐标代入即可求出 解析式；
②过点 作 轴的平行线，分别过点 、 作 轴的平行线，交于 、 ．则 ，所以
， ，即 ；
（2）由 可知 ，点 在直线 上运动，作点 关于直线 的对称点 ，
所以 ， 的最小值为 的长度，此时 ，即可求出 坐
标．
（1）
解：① ， ，
，
， ，
设直线 的解析式为 ，
，，
解析式： ；
②过点 作 轴的平行线，与分别过点 、 作 轴的平行线交于 、 ．
则
， ，
；
（2）
由 可知 ， 在 轴负半轴同理可说明）
点 在直线 上运动，作点 关于直线 的对称点 ，
， ，
．
的最小值为 ，
此时 ，
．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找
到点 的运动轨迹是关键．
6．如图，直线 与坐标轴交于A、B两点，与过点 的直线 交于点D，且．
(1)求点D的坐标及直线 的解析式；
(2)求 的面积：
(3)在y轴上是否存在一点P，使 最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出 的
最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)点P的坐标为 时， 的最大值为
【分析】（1）作 轴于点，可证得： ，故可得： ， ，由
，可得出 ， ， ， ，即可得出：D ，即可得出直线 的
解析式；
（2）由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）延长 交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时 的最大值为线段 的长度，由
可得出：点P ．由勾股定理可得， ，即可得出答案．
【详解】（1）作 轴于点，由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
由 ，令 ，得 ，
∴ ， ，
令 ，得 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
∴点D的坐标为 ，
设直线 的解析表达式为 ，
代入 和 ，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析表达式为 ；
∴点D的坐标为 ，直线 的解析表达式为 ；
（2）由题意得， ， ，∴ ；
（3）存在，理由如下：
延长 交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时 的最大值为线段 的长度．
令 ，代入 ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ．
在 中，由勾股定理得，
．
综上，点P的坐标为 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造
三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，
求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值．
【答案】（1）点 A 的坐标(2，4)；（2）P 点坐标为( ，0)，PA＋PB 的最小值为 ．
【分析】(1)把两个函数关系式联立成方程组求解，即可求得交点A的坐标；
(2)作点B关于 轴的对称点C，连接AC交 轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，利用两点之
间的距离公式计算即可求得最小值．
【详解】(1)解方程组 ，得： ，
∴点A的坐标为(2，4)；
(2) ∵点B在直线 上，且横坐标为5，
∴点B的坐标为(5，1)，
作B点关于x轴对称点C，
则点C的坐标为(5，-1)，
连接AC交 轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，
设直线AC的表达式为 ，
将点A、C的坐标(2，4)、(5，-1)代入，得： ，
解得： ，
∴直线AC的表达式为 ，
令 ，则 ，
∴P点坐标为( ，0)，
∴PA+PB的最小值=AC= ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，一次函数的交点问题，一次函数的应用，两点间距离公式
等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
8．如图1，一次函数 的图象与坐标轴交于点 ， ， 平分 交 轴与点 ，
，垂足为 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求 所在直线的解析式；
（3）如图2，点 是线段 上的一点，点 是线段 上的一点，求 的最小值．【答案】（1）A（8，0）；B（0， ）；（2） ；（3） ．
【分析】（1）直接令x=0和y=0，即可求出点A、B的坐标；
（2）由角平分线的性质定理，设 ，由面积法求出m=3，然后得到点C的坐标，再根
据 ，求出 ，即可求出CD所在直线的解析式；
（3）由题意，作点E关于直线BC的对称点 ，则 ，点 恰好落在直线AB上，则求出
的最小值，即为求 的最小值，当 ⊥AB时， 为最小，再利用面积法，即可求
出答案．
【详解】解：（1）在一次函数 中，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴点A为（8，0），点B为（0， ）；
（2）根据题意，如图，设CD=m，∵ 平分 ，OC⊥OB，CD⊥BD，
∴ ，
∵OA=8，OB=6，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为（3，0）；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴设直线CD的解析式为 ，
把点C（3，0）代入，则 ，
∴直线CD的解析式为 ；
（3）根据题意，作点E关于直线BC的对称点 ，则 ，如图：
∵BC是角平分线，∴点 恰好落在直线AB上，
∴ ，
∴ 的最小值就是 的最小值，
当 ⊥ 时， 为最小值；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，轴对称的性质，角平分线的性质，最短路径问题，
以及勾股定理求两点的距离等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用数形结合的思想进
行分析，从而进行解题．
9．在 中， ，点P为 边上的动点，速度为 ．
(1)如图1，点D为 边上一点， ，动点P从点D出发，在 的边上沿D→B→C的
路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设 的面积为 （cm2）， 的面积为 （
），点P运动的时间为t（ ）． ， 与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列
问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求 和 的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在 的边上沿A→B→C的路径
匀速运动，点Q运动的速度为 ，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时， 最大？最大值为多少？
【答案】(1)①5，6；②点
(2) 时， 最大值为5.5
【分析】（1）①由图象可求解；②由勾股定理可求 的长，由三角形的面积公式可求 ，即
可求点H坐标；
（2）分三种情况讨论，由线段的和差关系可求解．
【详解】（1）①由图2可知， ， ，
∴ （ ），
故答案为：5，6；
②如图1，过点A作 于T，
∵ ， ，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴ （ ），
∴当 时，即 ，
此时点P是 的中点，
∴ ，
∴ ，∴点 ；
（2）①当 时，P，Q均在 上，
∴当 时， 最大 ，
②当 时，P在 上，Q在 上，
∴ ，
∴当 时， 最大 ，
③当 时，P，Q均在 上，
∴ ，
∴当 时， 最大 ，
∴综上， 时， 最大值为5.5 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了函数图象的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题
是本题的关键．
10．如图1，直线 和直线 相交于点A，直线 与x轴交于点C，点P在
线段 上， 轴于点D，交直线 于点Q．已知A点的横坐标为4．
(1)点C的坐标为______；
(2)当 时，求Q点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下， 平分线交x轴于点M；
①求出M点的坐标；
②在线段 上找一点N，使 的周长最小，直接写出周长最小值______．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后再求出b的值，最后求出直线 与x轴的交点坐
标即可；
（2）设点Q的坐标为： ，则点P的坐标为： ，根据 列出关于m的
方程，解方程即可；
（3）①过点M作 于点N，设 ，则 ，根据角平分线的性质得出
，证明 ，得出 ，代入求出t的值，即可得出答案；
②作点O关于直线 的对称点 ，过点 作 轴于点E，连接 交直线 于点F，连
接 ，交 于一点，当N点在此点上时， 的周长最小，根据相似三角形的判定和性质
求出点 的坐标，求出 的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
∴点A的坐标为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴点C的坐标为： ．
故答案为： ．
（2）解：设点Q的坐标为： ，则点P的坐标为： ，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点Q的坐标为： ．
（3）解：①过点M作 于点N，如图所示：
∵点Q的坐标为： ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴M点的坐标为 ；
②如图所示，作点O关于直线 的对称点 ，过点 作 轴于点E，连接 交直线
于点F，连接 ，交 于一点，当N点在此点上时， 的周长最小，
∵点M点的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 的周长最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，角平分线的
性质，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
11．【阅读】已知平面直角坐标系中有两点 ， ，根据勾股定理，可知两点间的
距离 ．特别地，如果点 ， 所在的直线与坐标轴重合
或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为 或 ．
例如：已知点 ， ，则这两点间的距离 ．根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知 ， ，则A，B两点间的距离为________．
(2)已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N
两点问的距离为________．
(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，试探究在x轴上是否存在一点P，使得
的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在；P（2，0）；
【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据平行于y轴的两点间的距离公式进行计算即可；
（3）先做出点B关于x轴的对称点 ，连接 与x轴的交点即为P点， 即为 的最
小值．
【详解】（1）解：
，
故答案为： ；（2）解：
，
故答案为：5；
（3）解：存在．如图所示：作B关于x轴的对称点 ，连接 与x轴的交点即为P点， 即
为 的最小值．
设直线 的解析式为：
则：
解得：
∴直线 的解析式为：
当 时，
∴ P的坐标为：（2，0）
【点睛】本题考查两点间的距离公式，以及求线段和的最小值．在坐标系下求线段和的最小值，
属于将军饮马问题，需要作已知点的对称点，然后将对称点与另一个已知点连接所成的线段即为
最短．
12．如图1所示，直线 ： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 ： 与x
轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．(1)求点E的坐标；
(2)如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求 的最大值；
(3)如图1，将 绕平面内某点旋转90°，O的对应点 落在直线 上，D的对应点 落在直线
上，请直接写出旋转后C的对应点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）通过联立直线解析式求解即可得出答案；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，则PD=PD′，|PE-PD|=|PE-
PD′|=D′E最大，再运用勾股定理即可求得答案；
（3）分两种情况：①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，设O′（m，- m+3），由
O′D′=OD=4，建立方程求解即可；②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，同理即可求得答案．
【详解】（1）由题意得： ，解得： ，
∴点E的坐标（2，2）；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，
则PD=PD′，
∴|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，
∵直线l：y=3x-4与y轴分别交于D点，
2
∴D（0，-4），
∴D′（0，4），
过点E作EG⊥y轴于点G，则EG=2，D′G=2，
∴
∴|PE-PD|的最大值为 ；
（3）∵直线l：y=3x-4与x轴、y轴分别交于C、D两点，
2
∴C（ ，0），D（0，-4），
∴OC= ，OD=4，OD⊥x轴，OC⊥y轴，
∴O′D⊥y轴，O′C⊥x轴，
①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，如图2，∵O的对应点O'落在直线l 上，D的对应点D′落在直线l 上，
1 2
设O′（m， m+3），
则点D′的纵坐标为 m+3，
∴ m+3=3x-4，
解得
，
∵O′D′=OD=4，
解得
，
②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，如图3，∵O的对应点O'落在直线l 上，D的对应点D′落在直线l 上，
1 2
设O′（m， m+3），
则点D′的纵坐标为 m+3，
∴ m+3＝3x﹣4，
∴x ，
∴D′（ ， m+3），
∵O′D′＝OD＝4，
∴m﹣（ ）＝4，解得：m ，
∴O′（ ， ），
∵OC′＝OC ，
∴C′（ ， ）；
综上所述，旋转后C的对应点C′的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数综合运用，涉及到点的对称性、勾股定理、旋
转变换的性质、分类讨论思想的运用等，综合性较强，有一定难度．
13．如图，直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，在 上取一点 ，以线段
为直角边向右作等腰直角三角形 ， 沿直线 的方向以每秒1个单位长度的速度
向右匀速运动，设运动时间为 秒（ ）．
（1）求 ， 两点的坐标；（2）在 运动的过程中， 为何值时，顶点 落在直线 上？请说明理由；
（3）在 运动的过程中，是否存在实数 ，使得 有最小值？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（6，0），B（0，3）；（2）t=1；（3）存在实数t，使得 有最小值，此
时t为2秒．
【分析】（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解；
（2）确定出经过 秒，顶点 的坐标为（1+t，2），落在直线l上，把点的坐标代入直线解析式，
即可求出时间t；
（3）定点O，A到动点D距离和的最小值问题，作出A关于CD的对称点A'，连接OA'，与CD交
于点D’，只需要求出移动距离就可以求出时间t．
【详解】解：（1）∵直线 分别与x轴，y轴交于A，B两点，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，3）；
（2）∵ ，
∴BC=3-2=1，
∵以线段 为直角边向右作等腰直角三角形 ，
∴D（1，2），
∵经过 秒，顶点 的坐标为（1+t，2），
∴ ，解得：t=1；
（3）存在实数t，使得 有最小值，
理由如下：
∵点D向右移动所在的直线：y＝2，作点A关于直线CD对称点A'，则A'（6，4），
连接OA'，交于直线CD于点D'，此时O D'＋D'A最小，
∵O（0，0），A'（6，4），
∴直线OA'：y＝ x，
与直线CD：y＝2联立解得点D'（3，2），
如图DD'＝3−1＝2，
t＝2÷1＝2（秒），
答：存在实数t，使得 有最小值，此时t为2秒．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质以及等腰昊直角三角形的性质，关键在于根据“马饮
水”问题确定出满足 最小值的点D．
14．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍
交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．
同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了
问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点 ，连结 ，
∵点B， 关于直线l对称，点C， 在l上，
∴ _________， _________，∴ _________．在 中，∵ ，∴ ，即 最小．
(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是
否存在一点P，使 的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定
点P的位置，再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则 的
最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
【答案】(1)
(2)连结 并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析
(3) 或 ； 或
【分析】（1）根据点B， 关于直线l对称，可得 ， ，从而得到
．在 中，根据三角形的三边关系，即可；
（2）连结 并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；
（3）分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点 ，连接 ，
延长 交x轴于点P，则点P即为所求；此时 的最大值为 ；当点P在y轴上时，
连接 ，延长 交y轴于点 ，则点 即为所求，此时 的最大值为 ，即
可求解．
【详解】（1）解：证明：如图4，在直线l上另取任一点 ，连结 ，
∵点B， 关于直线l对称，点C， 在l上，
∴ ， ，∴ ．
在 中，∵ ，
∴ ，即 最小．
故答案为：
（2）解：连结 并延长，交直线l于点P，点P即为所求．
证明：如图，在直线l上任取任一点 ，连结 ，
在 中，根据两边之差小于第三边得： ，
而当点B，A，P共线时， ，
所以此时 最大；
（3）解：如图，当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点 ，连接 ，
延长 交x轴于点P，则点P即为所求；此时 的最大值为 ，
∵ ，
∴点 ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
此时点P的坐标为 ；
当点P在y轴上时，连接 ，延长 交y轴于点 ，则点 即为所求，此时 的最大
值为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
此时点 的坐标为 ，
综上所述， 的最大值为 或 ，此时P点坐标为 或 ．
故答案为： 或 ； 或
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际，最短距离问题，勾股定理，三角形的三边关系，熟练
掌握一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的三边关系是解题的关键．
