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专题 32 一次函数中菱形存在问题综合应用
解答方法
1．菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．坐标系中的菱形：
有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同．
3．解题思路：
（1）思路 1：先等腰，再菱形
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
为AB’
典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB： 与直线CD：
y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．（1）求直线CD的解析表达式；
（2）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，
以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点 N的坐
标．
【答案】（1）y＝ x﹣2；
（2）点N的坐标为（2 ，﹣ ﹣2）或（﹣2 ， ﹣2）或（4，6）．
【解答】解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣ x+3并解得：a＝1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2，得4k﹣2＝1，
解得：k＝ ，
∴a＝1，k＝ ；
∴直线CD的表达式为：y＝ x﹣2；
（2）设点F的坐标为（m，﹣ m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），
则BD＝5，
当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（﹣ m）2，解得m＝±2 ，
则点F的坐标为（2 ，﹣ +3）或（﹣2 ， +3）；
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2 ，﹣ ﹣2）或（﹣2 ， ﹣2）；
当点F在点N的下方时，则BD＝DF，
即52＝m2+（﹣ m+3+2）2，
解得m＝0（舍去）或4，
同理可得，点N（4，6）；
综上，点 N 的坐标为（2 ，﹣ ﹣2）或（﹣2 ， ﹣2）或（4，
6）．
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、
y轴于A、B两点，AB＝5，OA：OB＝3：4．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点
的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝5，OA：OB＝3：4，
∴根据勾股定理，得OA＝3，OB＝4，
点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．
∵设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）
∴ ，解得 ，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣ x+4．
（2）当P在B的下边时，AB是菱形的对角线，AB的中点D坐标是（ ，
2），
设过D点，与直线AB垂直的直线的解析式是y＝ x+m，则 +m＝2，
解得：m＝ ，
则P的坐标是（0， ）．
设Q的坐标是（x，y），则 ＝ ， ＝2，
解得：x＝3，y＝ ，
则Q点的坐标是：（3， ）．
当P在B点的上方时，AB＝ ＝5，
AQ＝5，则Q点的坐标是（3，5）．
总之，Q点的坐标是（3，5）或（3， ）．
【变式1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线 L ：y＝﹣ x+6与L ：y＝ x
2 1
交于点A，分别与x轴、y轴交于点B、C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表
达式；
（3）在（2）的条件下，设P是直线CD上的点，在平面内是否存在其它点
Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 Q的坐标；
若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（6，3），C（0，6），B（12，0）；
（2）直线CD的解析式为y＝﹣x+6；
（3）（3 ，﹣3 ）或（6，0）或（6，6）．
【解答】解：（1）由 ，解得 ，
∴A（6，3）．
∵y＝﹣ x+6与分别与x轴、y轴交于点B、C，
∴C（0，6），B（12，0）；
（2）设D（m， m），
由题意：OC＝6，△COD的面积为12，
∴ ×6×m＝12，
∴m＝4，
∴D（4，2），
∵C（0，6），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6；
（3）当四边形OCPQ是菱形，
∴OC＝PC＝6，
设P（m，﹣m+6），
∴m2+m2＝36，
∴m＝3 或﹣3 ，
∴P（3 ，﹣3 +6），
∵PQ∥OC，PQ＝OC，
∴Q（3 ，﹣3 ），
如图2﹣1中，当OC为菱形的对角线时，OC垂直平分线段P′Q′，
易知P′（3，3），Q′（﹣3，3），
∴满足条件的点Q′的坐标为（﹣3，3）．
当OC＝OP时，P″（6，0），Q″（6，6）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（3 ，﹣3 ）或（6，0）或（6，
6）．
夯实基础
1．如图在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于
1
点B，直线l ：y＝2x与直线l 交于点P．
2 1（1）A点坐标为 ，P点坐标为 ；
（2）在线段AB上有一个动点M，过M点作直线MN∥y轴，与直线y＝2x
相交于点N，若△PMN的面积为 ，求M点的坐标．
（3）若点C为线段AB上一动点，在平面内是否存在点 D，使得以点O，
A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在
请说明理由．
【答案】（1）（3，0），（1，2）；
（2）M点的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
（3）D的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）或（3，3）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），
解 得 ，
∴P（1，2），
故答案为：（3，0），（1，2）；
（2）设M（m，﹣m+3），则N（m，2m），
当M在P右侧时，如图：∵MN＝2m﹣（﹣m+3）＝3m﹣3，
∴ （3m﹣3）×（m﹣1）＝ ，
解得m＝ 或m＝ （舍去），
∴M（ ， ）；
当M在P左侧时，如图：
∵MN＝（﹣m+3）﹣2m＝﹣3m+3，
∴ （﹣3m+3）×（1﹣m）＝ ，
解得m＝ （舍去）或m＝ ，
∴M（ ， ）；
∴M点的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
（3）设C（t，﹣t+3），D（p，q），又O（0，0），A（3，0），
①若CD，OA为对角线，则CD，OA的中点重合，OC＝OD，如图：∴ ，
解得 ，
∴D（ ，﹣ ）；
②若CO，DA为对角线，则CO，DA中点重合，OA＝AC，如图：
∴ ，解得 （C不在线段AB上，舍去）或 ，
∴D（﹣ ， ）；
③若CA，DO为对角线，则CA，DO中点重合，OA＝OC，\
∴ ，
解得 （C与A重合，舍去）或 ，
∴D（3，3）；
综上所述，D的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）或（3，3）．
2．已知：在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B
1
两点，直线l 经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
2
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）如图1，点P为直线l 一个动点，若△PAC的面积为10时，请求出点P
1
的坐标．
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A B C ，
1 1 1
请问在平面内是否存在点 D，使得以A 、C 、C、D为顶点的四边形是菱形？
1 1
若存在，直接写出点D的坐标．【答案】（1）y＝2x﹣4；
（2）（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）存在，（﹣5，0）或（2，0）或（﹣2，﹣8）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线l 的解析式为y＝2x﹣4；
2
（2）∵B（0，2），A（2，0），
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝45°，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∴BC＝6，OA＝2，
∴S ＝ ×6×2＝6，
△ABC
∴P点在B点左侧或在A点右侧，
设P（t，﹣t+2），当P点在B点左侧时，
∴S ＝S +S ＝6+ ×6×（﹣t）＝10，
△PAC △ABC △BCP
解得t＝﹣ ，
∴P（﹣ ， ）；
当P点在A点右侧时，
∴S ＝S ﹣S ＝ ×（t﹣2）×6＝10，
△PAC △PBC △ABC
解得t＝
∴P（ ，﹣ ）；
综上所述：P点坐标为（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）存在点D，使得以A 、C 、C、D为顶点的四边形是菱形，理由如下：
1 1
设△ABC向左平移m个单位长，D（x，y），
∴A （2﹣m，0），C （﹣m，﹣4），
1 1
当CD为菱形对角线时，
，
解得 ，
∴D（﹣5，0）；
当AC 为菱形对角线时，
1
，解得 或 （舍），
∴D（2，0）；
当A D为菱形对角线时，
1
，
解得 （舍）或 ，
∴D（﹣2，﹣8）；
综上所述：D点坐标为（﹣5，0）或（2，0）或（﹣2，﹣8）．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，
直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求四边形AODP的面积；
（3）在坐标平面内是否存在一点 Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是
菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点P的坐标为（﹣1，2）；
（2） ；
（3）存在，点Q的坐标为（1，3）．
【解答】解：（1）联立直线y＝2x+4与直线y＝﹣x+1得： ，∴ ，
∴点P的坐标为（﹣1，2）；
（2）由直线y＝2x+4得A（﹣2，0），B（0，4），
由直线y＝﹣x+1得C（1，0），D（0，1），
∴AC＝3，OC＝1，OD＝1，
∴S ＝ ×3×2＝3，
△ACP
S ＝ ×1×1＝ ，
△OCD
∴四边形AODP的面积＝S ﹣S ＝3﹣ ＝ ；
△ACP △OCD
（3）∵A（﹣2，0），P（﹣1，2），
∴AP＝ ＝ ，
∵C（1，0），D（0，1），P（﹣1，2），
∴AD＝ ＝ ，DP＝ ＝ ，
∴AD＝AP，
∴以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以PD为对角线，
如图：
∴存在，点Q的坐标为（1，3）．
4．如图1，直线y＝ x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与
x轴相交于点C．
（1）求点C的坐标；（2）在直线 BC 上有两点 M，N，△AMN 是等腰直角三角形，∠MAN＝
90°，求点M的坐标；
（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点 Q，使以点A、B、P、Q为顶点的
四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（﹣3，0）；
（2）点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；
（3）点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，
）．
【解答】解：（1）对于直线y＝ x+6，令x＝0，得到y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝10，
过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，
∴CH＝OC＝t，
∵S ＝S +S ，
△ABO △ABC △BCO
∴ OA•OB＝ AB•CH+ OC•OB，
∴6×8＝10t+6t，
∴t＝3，
∴OC＝3，
∴C（﹣3，0）；
（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，
∵B（0，6），C（﹣3，0），
∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，
设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），
过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，
∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，
∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，
∴∠NAE＝∠AMF，
∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），
∴EN＝AF，MF＝AE，
即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣6，
故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；
由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣
6）；
综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；
（3）设点P（0，p），
∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，
①当AB是边时，如图，
∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，
∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，
∵B（0，6），
∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），
∵A（﹣8，0），
∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；
②当AB是对角线时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，
∴AP＝BP，
∴BP2＝AP2，
∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣ ，
∴P（0，﹣ ），
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴Q（﹣8， ）；
综上所述，点 Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣
8， ）．
