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第15 章 分式（单元测试·基础卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（23-24八年级下·山西长治·期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱
家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今
为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达
0.00000000018米，其中0.00000000018用科学计算法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（20-21八年级上·湖南衡阳·期中）若 有意义，则 （ ）
A．无意义 B．有意义
C．值为0 D．以上答案都不对
3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）与分式 的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年级上·福建厦门·期末）若 是一个最简分式，则△可以是（ ）
A．x B． C．3 D．3x
5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，规定 ，按此规定图2中M处的代数式是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）若关于x的分式方程 有增根，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．57．（2024·山东临沂·模拟预测）当 比 多1时， （ ）
A．4 B．6 C． D．
8．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知 ， ，用含 的代数式表示 为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级下·山东青岛·期末）小明在解关于x的分式方程 时，发现墨水不小心把其
中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．（23-24八年级下·山西太原·期末）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处
理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程
，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级下·重庆·期中） ．
12．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）若 ，则 为 ．
13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金
为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分
摊的车费少 元．
14．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知正整数a，b，c满足 ．
（1）当 ， 时， ；（2）当 时， （用含a的代数式表示）．
15．（2024·山东青岛·模拟预测）五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计
划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了 ，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好
在计划时间到达．设原计划速度为 千米每小时，则根据题意可列方程 ．
16．（2024·河北沧州·模拟预测）在如图所示的正方形数阵中规定运算： ，若 ，则
，此时关于 的分式方程 的解为 ．
17．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若关于x的分式方程 无解，则 ．
18．（23-24八年级下·上海青浦·期中）定义：形如 （ 、 不为零），且两个解分别为
， 的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 ，
则 ， ．如果关于 的十字分式方程 的两个解分别为 ， （其中 ，且
），那么
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·上海·阶段练习）
（1）计算： （2）计算：
20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）解方程：
(1) ； (2) ．21．（本小题满分10分）（2024八年级上·全国·专题练习）已知
(1)化简W；
(2)请从 ，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值．
22．（本小题满分10分）（22-23八年级下·贵州·期末）已知关于x的分式方程 ．
(1)当 时，求该分式方程的解；
(2)若该分式方程的解为正数，求m的取值范围．
23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·重庆渝中·期中）为了响应国家号召，我市开展公益直播拓展
兴企助农新渠道．已知，西红柿和土豆两种蔬菜单价分别是每斤5元和每斤2元，售卖这两种蔬菜一天的
销售总额为600元，其中西红柿比土豆少卖20斤，
(1)求这一天中，西红柿和土豆各卖了多少斤？
(2)线上开展直播平台后，两种蔬菜每天售卖数量大幅提升，据统计，线上这段时间西红柿共销售了4800
斤，土豆共销售了5000斤，西红柿每天销售数量是土豆的 ，西红柿销售天数比土豆多了10天，求线
上土豆的每天销售量．
24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真
阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：下面是我在课堂上化简分式 的过程：
4 x−2
解：原式 = − 第一步
(x+2)(x−2) (x−2) 2
4 1
= − 第二步
(x+2)(x−2) x−2
4 x+2
= − 第三步
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
4−x+2
=
第四步
(x+2)(x−2)
6−x
= ． 第五步
(x+2)(x−2)
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基
础．
任务：
(1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
(2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
(3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第______步
开始出现错误，化简的正确结果应该是______．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A C A B A A B
1．D
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为 ，其中 ，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所
决定．
【详解】解： ，
故选D．
2．D
【分析】先根据 有意义确定 ，再分别取 和 ，即可判断A、B、C选项不准确，即可求
解．
【详解】解：由题意得， ，解得 ，
当 时， 有意义，值为6，故A、C选项错误，不合题意；
当 时， 无意义，故B选项错误，不合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值，根据题意确定a的取值范围是接解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查的是分式的值，依据分式的基本性质对分式进行适当变形是解题的关键．依据分式
的基本性质对分式进行变形即可．
【详解】解： ．
故选：D
4．A
【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式
时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】解：A. ，是最简分式，故该选项符合题意；B. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
C. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出 的代数式．
【详解】解：
，
故选：C．
6．A
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代
入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到 ，求出x的值，代入整式方程求出的
值即可．
【详解】解：去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ，
解得： ，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了分式方程的运算，根据 比 多1，进行列式计算，得
，即可作答．【详解】解：∵ 比 多1
∴
即
∴
经检验 是 的解
故选：B
8．A
【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将 代入 ，化简即可得到答案，熟练掌握代数
式运算是解决问题的关键．
【详解】解： ， ，
，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
解分式方程得， ，由此方程有增根无解，可得 ，计算求解即可．
【详解】解： ，
，
解得， ，
∵此方程有增根无解，
∴ ，
解得， ，
故选：A．10．B
【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键，
根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百
分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为 克，故可得出减少了水分，即可得出答案．
【详解】根据分式方程 可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为 克，所以应蒸发掉了水
分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故选：B．
11． /
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数次幂和绝对值的运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查分式化解求值，根据 设 ，即可得到 ，然后代入计
算即可．
【详解】∵
∴设
∴
∴ ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键．【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是： 元，
当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是： 元，
则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少： 元，
故答案为： ．
14． 6
【分析】将 ， 代入，得到 ，可得 值；再将 代入，计算得到 ，即可求
解．
【详解】解：当 ， 时，
，则 ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6， ．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，解题的关键是正确列式，掌握减法运算法则．
15．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划速度为 千米每小时，则提速后的速度为 千
米每小时，根据时间 路程 速度，分别计算出原计划需要的时间，前半程的时间和后半程的时间，进而
列出方程即可．
【详解】解：设原计划速度为 千米每小时，则提速后的速度为 千米每小时，由题意得， ，
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查解分式方程，结合已知条件求得 的值是解题的关键．根据题意求得 的值后代入
分式方程，解方程即可．
【详解】解：由题意可得 ，
即 ，
解得： ，
则分式方程为 ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
故分式方程的解为 ，
故答案为： ； ．
17．
【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为
是解题关键．
解分式方程，可得 ，根据题意可知分式方程的增根为 ，即有 ，，求解即可获得答
案．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
合并同类项、系数化为1，得 ，
由题意可知，分式方程的增根为 ，即有 ，解得 ．
故答案为：
18． /
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分式方程等知识点；理解“十字分式方程”的定义以及题目中
的答题方法是解题的关键．把原方程变形为 ，再结合运用“十字分式方
程”求得 ，最后代入运算即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
19．（1） ；（2）1
【分析】本题主要考查分式的混合运算；
（1）先因式分解，再应用除法法则，再约分计算即可；
（2）先应用乘法分配律，再约分计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）
20．(1)
(2)无解
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ,
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是原方程的根，
故 是原方程的根．
（2）∵ ，
去分母，得，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
经检验， 使得分母无意义，是原方程的增根，
故原方程无解．
21．(1)
(2)当 时， ；当 时，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，再约分即可；
（2）根据分式有意义的条件，可以从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【详解】（1）解：
；
（2）∵当 ， 或0时，W无意义，
∴a可以为3或4，
当 时， ；
当 时， ．
22．(1)该分式方程的解为
(2) 且
【分析】（1）把 代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；（2）先解分式方程可得 ，然后根据题意可得 且 ，从而可得 且 ，最后进
行计算即可解答．
【详解】（1）解：当 时，原方程即为： ，
，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的根；
（2）解： ，
，
解得： ，
该分式方程的解为正数，
且 ，
且 ，
解得： 且 ，
的取值范围为： 且 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解题的关键是准确熟练地进行计算．
23．(1)西红柿卖了80斤．土豆卖了100斤
(2)线上土豆每天销售量为500斤
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关
键．
（1）设西红柿卖了x斤，则土豆卖了 斤，根据题意列出方程，解答即可；
（2）设线上土豆每天销售数量y斤，根据题意列出方程，解答即可．
【详解】（1）解：设西红柿卖了x斤，则土豆卖了 斤，
根据题意得： ，
解得： ，
土豆卖了： 斤,
答：西红柿卖了80斤，土豆卖了100斤．
（2）解：设线上土豆每天销售数量y斤.根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程根，且符合题意，
答：线上土豆每天销售量为500斤．
24．(1)C
(2)三；分式的基本性质
(3)四；
【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．
（1）根据分式加减运算进行解答即可；
（2）根据通分的定义进行解答即可；
（3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可．
【详解】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确；
故选：C．
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：三；分式的基本性质；
（3）解：从第四步开始出现错误，
4 x−2
= −
(x+2)(x−2) (x−2) 2
4 1
= −
(x+2)(x−2) x−2
4 x+2
= −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
4−x−2
=
(x+2)(x−2)
2−x
=
(x+2)(x−2)
．因此正确结果为： ．
1
故答案为：四；− ．
x+2
