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专题十四 线段的计算
一、单选题
1．如图，C，D是线段AB上的两点，且C是线段AD的中点，若AB=10，BD=4，则BC的长为
（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
2．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是
（ ）
A．和 B．谐 C．社 D．会
3．如图，C、D是线段AB上两点，若AD=8，DB=17，且D是AC的中点，则BC的长是（
）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AB的三等分点．已知AC=12，则CD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，C，D是线段AB上两点，若AD＝6，DB＝14，且D是AC中点，则BC的长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．96．如图，C是线段AB上一点，D是AC中点，E是CB中点，若AD=3，AB=10，则DE=（
）
A．2 B．5 C．6 D．8
7．如图，C是线段AB上一点，D是AC中点，E是CB中点，若AD=3，AB=10，则DE=（
）
A．2 B．5 C．6 D．8
8．下列说法正确的是（ ）
A．射线AB和射线BA表示同一条射线
B．已知A，B，C三个点，若过其中任意两点作直线，则直线共有3条
C．若线段AP=BP，则P是线段AB的中点
D．延长线段AB和反向延长线段BA的含义相同
9．要将一根木条固定在墙上，需要在木条上钉的钉子的个数最少是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
10．已知线段AB，延长AB至C，使AB＝mBC，反向延长AB至D，使AD＝ BD，若AB：CD＝
3
6：13，则m的值为（ ）
6 4 3 5
A． B． C． D．
5 3 2 3
11．如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，点N是线段CB的中点，MN=1，
AB=4CM，AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题
12．在数轴上，点A表示的数为－3，点B表示的数为2，则线段AB的长为 ．
13．用两个钉子就能把直木条固定在墙上，其中蕴含的数学原理是 ．
14．点A，B，C在同一条直线上，AB=2cm，BC=3AB，则AC的长为 cm．
15．A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是 ．
16．已知线段AB=10cm，在AB所在直线上取BC=4cm，其中M、N分别为AB和BC的中点，则
MN= cm．
1
17．已知线段AB=12，C是直线AB上的一点，且BC= AB，那么A、C两点的距离是 ．
3
18．已知线段AB=2cm，点C线段AB延长线上一点，BC=2AB，若D为线段AC的中点，则线段
BD的长为 cm．
2
19．已知线段AB=a，在直线AB上取一点C，使得BC= AB，若M，N分别为AB，BC的中点，
3
则MN= （用含a的式子表示）
20．如图，点C为线段AB上一点，点C将AB分成2：3两部分，M是AC的中点，N是BC的中点，
若AN＝35cm，则AB的长为 cm．
21．已知AB=8，C为线段AB的中点，点D在直线AB上，若BD=3AC，则CD= ．
22．已知线段AB=10cm， 点C在射线 AB上， 且BC=4cm， 点M 是线段AC的中点， 则线段
AM的长为 ．
23．已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，MN=2，则
AB= ．
PC
24．如图，点C，D在线段AB上，P，Q分别是AD，BC的中点，若AB=3CD，则 =
QD．
25．已知线段AB=30，直线AB上有一点C，且AC:BC=1:3，D为AC的中点，则BD的长为
．
26．点A，B，C在同一条直线上，AB=3cm，BC=1cm，则AC= ．
三、解答题
27．如图所示，已知直线AC，点B在直线AC上，点P在直线AC外．按要求画图：
(1)画射线PA，画线段PB，画直线PC（保留作图痕迹）
(2)尺规作图：在射线PA上画一条线段PD，使得PD=PB（保留尺规作图痕迹）
28．如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC:CB=1:4，AC=12cm．
(1)求AB的长；
(2)若F为CB的中点，求EF长．
29．如图，已知三点A，B，C，按下列要求画图．(1)画线射AB，直线BC；
(2)连接AC并反向延长至点D，使DA=AC；
(3)取线段BC的中点E，找出－点P，使它到点E，B，D，A的距离之和PE+PB+PD+PA最小，
这样作图的依据是______．
30．根据下列语句，画出图形．如图，已知四点A，B，C，D．
(1)顺次连接A、B、C、D；
(2)在线段AB反向延长线上取一点E，使AE=AD；
(3)在四边形ABCD内取一点О，连OA、OB，OC、OD，使A、O、C三点不共线；B、O、D三
点不共线．
(4)在四边形ABCD内找一点P，使PA+PB+PC+PD最小．31．如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D均在格点上，
请用直尺按要求完成画图并回答问题．
1
(1)连接AB，延长AB到E，使BE= AB；
2
(2)分别画直线AC、射线AD；
(3)在射线AD上找点P，使PC+PE最小，画出点P，此画图的依据是______．
32．如图，点C为线段AB上一点（AC>BC），D在线段BC上，BD=2CD，点E为AB的中点．
(1)若AD=10，设CD的长为x．
①直接写出AE的长为____________（用含x的式子表示）；
②当EC=3CD时，求x的值：
EC
(2)若AC=2BC，请直接写出 的值为____________．
BD33．如图，C为线段AB的中点，点D在AC上，CD=2AD，若CD=6，求AC和BD的长．
34．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．
(1)如图1，若AB=3cm，BC=2cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
1 1
(2)如图2，若BD= AB= CD，E为线段AB的中点，EC=9cm，求线段AC的长度．
5 3
35．如图，已知点A，B，C，D．按要求画图．(1)连接AD，作射线BC；
(2)画点P，使PA+PB+PC+PD的值最小；
(3)画点E，使点E既在直线CD上，又在直线AB上．
36．如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D均在格点上，
请用直尺按要求完成画图并回答问题．
(1)连接AB，延长AB到E，使BE=AB；
(2)分别画直线AC，射线AD；
(3)在射线AD上找点P，使PC+PB最小，并写出此画图的依据是____________．
37．如图，在平面内有A、B、C三点，
(1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论；
①作射线BA；
②作线段BC；
③连接AC，并在线段AC上作一条线段AD，使AD=AB，连接BD．
(2)数数看，此时图中线段共有______条．38．如图，已知点A，B，C，D．
(1)按要求画图：
①连接AD；
②画射线BC；
③画线段AB的中点E；
④画一点F，使点F既在直线CD上又在直线AB上．
(2)在（1）的基础上，若BF:AB=2:3，EF=14，求线段AB的长，
39．如图，在平面内有四点A，B，C，D．按下列要求完成画图或作答．
(1)连接AC；
(2)画射线AB；
(3)作直线BC；(4)在直线BC上找一点E，使得AE+ED最小，理由为______．
40．如图所示，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答：
(1)在图1中，画直线AC，画射线AB，并连接BC；
(2)在（1）的条件下，在图1中，在射线AB上画一点E，使得CE+DE最小，此画图的依据是
______；
(3)在图2中，平面已经被分成了______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有
______个不同的区域．
41．（1）如图①，OB是∠AOC的平分线，∠COE=2∠COD，若∠AOE=136°，
∠COD=31°15′，求∠AOB的大小．（2）如图②，平面内有A、B、C、D四个点，根据要求作图．
（ⅰ）连接BD，并反向延长线段BD．
（ⅱ）作直线AC．
（ⅲ）作出一点M，使MA+MB+MC+MD最小，并说明理由．
42．如图，点C为线段AB上一点(AC>BC)，D在线段BC上，BD=2CD，点E为AB的中点．
(1)若AD=8，当EC=2.5CD忖，求CD的长．
EC
(2)若AC=3BC，求 的值．
BD43．如图，点C在线段AB上.点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)著AC=9cm，CB=6cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任-点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，求线段MN的长．
44．如图，已知四点A、B、C、D．
(1)请按要求画出图形（不用说明理由）．
①连接AC；
②画直线AB；
③连接CD并反向延长；
④画点M，使点M既在直线AB上也在直线CD上；(2)若平面内有一动点P，线段AB=a，CD=b，AC=m，BD=n，则PA+PB+PC+PD的最小值
为_____．（直接写出结果）
45．如图，已知A、B、C、D四点，请按要求作图，并解答．
(1)画直线AB；
(2)画射线DB；
(3)连接AC与射线DB交于点P；
(4)若点M是线段BD的中点，BP=3，DP=7，则MP= ．
46．如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．(1)若AB=10cm，求线段MN的长；
(2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．
1 1
47．已知：如图：AD= DB，点E是BC的中点，BE= AB，若3AC−2DE=t，设多项式
4 5
3a2− [ −5a− (1 a−16 ) +2a2 ] 的值是t，其中a=4，求线段CD的长．
2
48．如图，直线l 、l 交于点A，点B在直线l 上.按要求完成下列问题：
1 2 1
(1)在图1中作射线DB；
(2)在图1中作直线BC；
(3)在图1中作线段CD，与直线l 交于点E；
1(4)如图2，两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部分，
那么5条直线相交，最多可将平面分成_____部分．
49．按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系： ；
(2)如图1，画直线PA；
(3)如图1，画射线PB；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各
作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个交点．
50．如图，点E是线段AB的中点，点C是线段EB上一点，AC=24cm．
(1)若CB=4EC，求AB的长；
(2)若点F为CB的中点，求EF长．参考答案
1．A
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质．先求得AD的长，根据线段中点的性质，可
得CD的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：∵AB=10，BD=4，
∴AD=6，
∵点C是AD的中点，
1
∴CD= AD=3，
2
∴BC=BD+CD=4+3=7，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体是空间图形，找到相对的面是关键．利用正方体
及其表面展开图的特点解题即可．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中“建”与“会”相对，“设”与“谐”相对，“和”与“社”相对．
故选：D．
3．B
【分析】先根据中点定义求出CD=AD=8，然后根据线段之间的数量关系求出结果即可．
【详解】解：∵D是AC的中点，AD=8，
∴CD=AD=8，
∵DB=17，
∴BC=BD−CD=9，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段之间的数量关系，解题的关键是数形结合，根据中点定义求出CD=AD=8．
4．C
【分析】由线段中点的意义求得AB=2AC=24，利用点D为线段AB的三等分点求得BD=8，据此
即可求解．
【详解】解：∵点C为线段AB的中点，AC=12，
∴BC=AC=12，AB=2AC=24，
∵点D为线段AB的三等分点，
1
∴BD= AB=8，
3
∴CD=BC−BD=12−8=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的意义，熟练掌握两点间距离的计算方法进行求解
是解决本题的关键．
5．B
【分析】根据线段中点的定义得到CD=AD=6，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵AD=6，D是AC中点，
∴CD=AD=6，
∵DB=14，
∴BC=BD−CD=14-6=8，
故选：B．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
6．B
【分析】本题考查根据线段中点计算，解题的关键是线段和差关系及中点意义．根据D是线段AC
1 1
的中点得到DC= AD，根据E是线段BC的中点得到CE= BC，结合AB=10即可得到答案；
2 2【详解】解：∵D是线段AC的中点，
1
∴DC= AD，
2
1
∵E是线段BC的中点CE= BC，
2
∵AB=10，
1
∴DE=DC+CE= AB=5，
2
故选：B．
7．B
【分析】本题考查根据线段中点计算，解题的关键是线段和差关系及中点意义；
1 1
根据D是线段AC的中点得到DC= AD，根据E是线段BC的中点得到CE= BC，结合AB=10即
2 2
可得到答案．
【详解】解：∵D是线段AC的中点，
1
∴DC= AD，
2
1
∵E是线段BC的中点CE= BC，
2
∵AB=10，
1
∴DE=DC+CE= AB=5，
2
故选：B．
8．D
【分析】本题考查射线定义，直线定义，线段定义，反向延长线定义．根据题意逐一对选项进行分
析即可得到本题答案．
【详解】解：A、∵射线表示从一个端点出发另一端无限延长的线，∴射线AB和射线BA不表示同一条射线，
故A选项不正确；
∵已知A，B，C三个点，若过其中任意两点作直线，
B、∴可做出直线AB,AC,BA,BC,CB,CA，即6条，
故B选项不正确；
C、∵若线段AP=BP，点P可以在线段AB的中点处，也可不在线段上，
故C选项不正确；
D、∵延长线段AB和反向延长线段BA的含义相同，
故D选项正确．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查直线的确定：两点确定一条直线，根据直线的性质解答即可．
【详解】解：因为两点确定一条直线，所以需要2个；
故选：B．
10．C
m (3 )
【分析】根据已知条件易求AD＝ BC，再利用线段的和差可得CD＝ m+1 BC，由AB：CD＝
2 2
6：13可得关于m的方程，解方程可求解m值．
【详解】解：如图，
1
∵AD＝ BD，
3
∴AB＝2AD，1
即AD＝ AB
2
∵AB＝mBC，
m
∴AD＝ BC，
2
m 3
∴CD＝AD＋AB＋BC＝ BC＋mBC＋BC＝（ m＋1）BC，
2 2
∵AB：CD＝6：13，
3
∴mBC：（ m＋1）BC＝6：13，9m＋6＝13m
2
3
解得m＝ ，
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，求解CD与BC的关系是解题的关键．
11．C
【分析】本题主要考查了线段中点的性质、线段的和差、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形
结合思想是解题的关键．
1 1
根据线段中点的性质可得MB= AB,NM=CN= BC，再根据MN=1求得AC=2、再根据
2 2
AB=4CM变形得到关于AB的方程求解即可．
【详解】解：点M是线段AB的中点，点N是线段CB的中点，
1 1
∴AM=MB= AB,BN=CN= BC．
2 2
∵MN=1，
1 1 1 1
∴MN=AM−BN= AB− BC= (AB−BC)= AC=1，即AC=2，
2 2 2 2
∵AB=4CM，(1 )
∴AB=4(AM−2)=4 AB−2 ，AB=2AB−8，解得AB=8．
2
故选C．
12．5
【分析】用点B表示的数减去点A表示的数，求出线段AB的长为多少即可．
【详解】解：∵2−（−3）＝5，
∴线段AB的长为5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及数轴上两点间的距离的求法，要熟练掌握．
13．两点确定一条直线
【分析】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题关键．
【详解】解：用两个钉子就能把直木条固定在墙上，其中蕴含的数学原理是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
14．8或4
【分析】由点在直线上的不同位置，分类讨论，进行线段的和差计算AC的长即可．
【详解】解：AC的长度有两种情况：
①点C在线段AB的延长线时，如图1所示：
∵AC=AB+BC，AB=2cm，BC=3AB=6cm，
∴AC=2+6=8（cm）；
②点C在线段AB的反向延长线时，如图2所示：∵AC=BC−AB，AB=2cm，BC=3AB=6cm，
∴AC=6−2=4cm；
综合所述：AC的长为8cm或4cm，
故答案为：8或4．
【点睛】本题综合考查了线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算等知识点，重点掌握
两点间距离计算方法，易错点在线段的反向延长线上时，计算线段的大小．
15．9cm或1cm
【分析】由已知条件知A，B，C三点在同一直线上，解本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，
分情况可以求出A，C两点的距离．
【详解】解：第一种情况：C点在AB之间时，故AC=AB-BC=1cm；
第二种情况：当C点在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．
故答案为：9cm或1cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据题意画出线段图，找准线段间的关系．
16．3或7/7或3
1
【分析】分类讨论：当点C在线段AB上时，如图1，利用线段中点定义得到AM= AB=5，
2
1
BN= BC=2，然后利用MN=AB−AM−BN进行计算；当点C在线段AB的延长线上时，如图
2
1 1
2，根据线段中点定义得到BM= AB=5，BN= BC=2，然后利用MN=BM+BN进行计算．
2 2
【详解】解：当点C在线段AB上时，如图1，∵M N AB BC
、 分别是 、 的中点，
1 1
∵AM= AB=5，BN= BC=2，
2 2
∴MN=AB−AM−BN=10−5−2=3(cm)；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
∵M N AB BC
、 分别是 、 的中点，
1 1
∵BM= AB=5，BN= BC=2，
2 2
∴MN=BM+BN=5+2=7(cm)；
综上所述，MN的长为3cm或7cm．
故答案为：3或7．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．距离是一个量，有
大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
17．8或16
【分析】先根据线段的关系求出BC=4，再分点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，两种
情况利用线段的和差关系求解即可．
1
【详解】解：∵AB=12，BC= AB，
3
1
∴BC= ×12=4，
3
①如图1，点C在线段AB上，则AC=AB−BC=12−4=8；
②如图2，点C在线段AB的延长线上，AC=AB+BC=12+4=16．综上所述A，C两点的距离是8或16．
故答案为：8或16．
【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，正确画出对应的图形利用分类讨论的思想求解是解题的
关键．
18．1
【分析】根据线段中点的计算求出AD，再利用线段之间和与差的关系，求出BD即可．
【详解】解：由题意可知：
AB+BC
AB=2cm，BC=4cm，AD= =3cm
2
∴BD=AD−AB=3−2=1cm
故答案为：1．
【点睛】本题考查线段之间和与差的关系以及线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段中点的
计算求出AD的长度，掌握线段之间和与差的关系求出BD=AD−AB=3−2=1cm．
1 5
19． a或 a
6 6
【分析】分两种情况进行讨论，先画图来确定C、A、B三点的位置，然后根据这三点的位置来确定
MN的长．
【详解】解：如图，当点C在线段AB上时，
∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
1 1
∴BM＝ AB，BN＝ BC，
2 2
2 2
又∵AB＝a，BC= AB＝ a，
3 31 1 1
∴MN＝BM−BN＝ a− a＝ a；
2 3 6
当点C在线段AB的延长线上时，
∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
1 1
∴BM＝ AB，BN＝ BC，
2 2
2 2
又∵AB＝a，BC＝ AB＝ a，
3 3
1 1 5
∴MN＝BM＋BN＝ a＋ a＝ a．
2 3 6
1 5
故答案为： a或 a．
6 6
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的
线段的长度，解题关键是分情况讨论．
20．50．
1 1
【分析】设AC＝2xcm，BC＝3xcm，根据中点定义可得CN＝ BC＝ ×3x＝1.5x，进而
2 2
可列方程2x+1.5x＝35，解出x的值，可得AB的长．
【详解】解：∵点C将AB分成2:3两部分
∴设AC＝2xcm，BC＝3xcm
∵N是BC的中点
1 1
∴CN＝ BC＝ ×3x＝1.5x
2 2
∵AN＝35cm
∴2x+1.5x＝35
解得：x＝10∴AB＝5×10＝50(cm)
故答案为：50
【点睛】本题是一元一次方程在求线段问题中的应用，根据线段的和差倍分设出未知数、列出等量
关系式从而达到用代数方法解决几何问题的目的．
21．8或16/16或8
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的
思想求解．分当D在AB延长线上时和当D在BA延长线上时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D在AB延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=8，
1
∴AC=BC= AB=4，
2
∴BD=3AC=12，
∴CD=BC+BD=16，
如图2所示，当D在BD延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=8，
1
∴AC=BC= AB=4，
2
∴BD=3AC=12，
∴CD=BD−BC=8，
故答案为：8或16．22．3cm或7cm
【分析】本题考查了线段的中点的含义，线段的和差运算，解题关键是进行分类讨论． C再线段
AB上，C在线段AB的延长线上，根据中点的性质可得答案．
【详解】解：如图，当C在线段AB上，
∵AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB−BC=6(cm)，
∵M为线段AC的中点，
1
∴AM= AC=3(cm)；
2
如图，当C在线段AB的延长线上，
∵AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB+BC=14(cm)，
∵M为线段AC的中点，
1
∴AM= AC=7(cm)；
2
综上所述，线段AM的长为3cm或7cm，
故答案为：3cm或7cm．
23．6或12/12或6
【分析】根据点C是线段AB上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可．
【详解】解：如图1，∵点C是线段AB上的三等分点，
2
∴BC= AB，
3
∵M，N是线段AB，BC的中点，
1 1 1
∴BM= AB，BN= BC= AB，
2 2 3
1 1 1
∴MN=BM−BN= AB− AB= AB，
2 3 6
∴AB=6MN=2×6=12；
如图2，
∵点C是线段AB上的三等分点，
1
∴BC= AB，
3
∵M，N是线段AB，BC的中点，
1 1 1
∴BM= AB，BN= BC= AB，
2 2 6
1 1 1
∴MN=BM−BN= AB− AB= AB，
2 6 3
∴AB=3MN=2×3=6；
故答案为6或12．
【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画
图计算．
24．1
1 1
【分析】先由线段 中点定义得出PD= AD，BQ= BC，又因为AB=3CD，利用线段和差即
2 21 1 1 1 1
可求得PC=PD−CD= AD−CD= (AB−BD)−CD= (3CD−BD)−CD= CD− BD，
2 2 2 2 2
1 1 1 1 PC
QD=BQ−BD= BC−BD= (CD+BD)−BD= CD− BD，代入 即可求解．
2 2 2 2 QD
【详解】解∶∵，P，Q分别是AD，BC的中点，
1 1
∴PD= AD，BQ= BC，
2 2
∵AB=3CD，
1 1 1 1 1
∴PC=PD−CD= AD−CD= (AB−BD)−CD= (3CD−BD)−CD= CD− BD，
2 2 2 2 2
1 1 1 1
QD=BQ−BD= BC−BD= (CD+BD)−BD= CD− BD，
2 2 2 2
1 1
CD− BD
PC 2 2
∴ = =1，
QD 1 1
CD− BD
2 2
故答案为∶1．
【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．
105 75
25． 或
4 2
【分析】本题考查了两点间的距离．认真读懂题意，可知道符合题意的点C有两种情况，BD也有两
种可能，分别计算BD的长．
【详解】解：如图，
∵ AB=30 AB C
线段 ，直线 上有一点 ，且
AC:BC=1:3，
∴BC=AB−AC=30−AC，
AC 1
∴ = ，
30−AC 3
∴AC=7.5，∵D为AC的中点，
1 15
∴DA= AC= ，
2 4
15 105
∴BD=AB−DA=30− = ；
4 4
如图，
∵ AB=30 AB C
线段 ，直线 上有一点 ，且
AC:BC=1:3，
∴BC=AB+AC=30+AC，
AC 1
∴ = ，
30+AC 3
∴AC=15，
∵D为AC的中点，
1 1 15
∴CD=AD= AC= ×15= ，
2 2 2
15 75
∴BD=AB+AD=30+ = ，
2 2
105 75
综上所述，BD的长为 或 ．
4 2
105 75
故答案为： 或 ．
4 2
26．2cm或4cm
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根
据题意画出的图形进行解答．
【详解】解：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB−BC，又∵AB=3cm，BC=1cm，
∴AC=3−1=2cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，
又∵AB=3cm，BC=1cm，
∴AC=3＋1=4cm．
故线段AC=2cm或4cm．
故答案为：2cm或4cm．
【点睛】考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，
体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
27．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图−基本作图、直线、射线、线段．
（1）根据射线、线段、直线的定义画图即可．
（2）以点P为圆心，线段PB的长为半径画弧，交射线PA于点D，则线段PD即为所求．
【详解】（1）解：如图，射线PA、线段PB、直线PC即为所求；
；
（2）解：如图，线段PD即为所求．
28．(1)20cm；(2)6cm．
【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差计算，找出线段之间的数量关系是解题关键
（1）设EC的长为xcm，则BC=4xcm，再根据线段中点，得出AE=BE=5xcm，根据
AB=AE+EC，求出x的值，即可得出AB的长；
（2）由（1）可得，BC=8cm，进而得到CF=4cm，即可求出EF长．
【详解】（1）解：设EC的长为xcm，
∵EC:CB=1:4，
∴BC=4xcm，
∴BE=5xcm，
∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE=5xcm，
∵AC=12cm，
∴AE+EC=6x=12cm，
∴x=2，即EC=2cm，
∴AB=AE+BE=10x=20cm；
（2）解：∵AB=20cm，AC=12cm，
∴BC=8cm，
∵F为线段CB的中点，
1
∴CF= BC=4cm，
2
∴EF=EC+CF=6cm
29．(1)见解析
(2)见解析(3)画出见解析，两点之间，线段最短
【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形即可；
（2）根据线段的定义画出图形即可；
（3）用量取法得出点E，再根据线段的性质分析即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，点P即为所求；
由图可知：PE+PB+PD+PA=DE+AB，此时和最小，
理由：两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，直线，射线，线段的定义，两点之间线段最短等知识，解题
的关键是掌握直线，射线，线段的定义．
30．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据题意连接顺次连接A、B、C、D即可；
（2）延长BA，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，点E即为所求，
（3）根据题意画出点O即可；
（4）连接AC,BD交于点P，点P即为所求．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图所示，延长BA，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，点E即为所求，（3）如图所示，
（4）如图所示，连接AC,BD交于点P，点P即为所求．
【点睛】此题考查了作线段等于已知线段，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间线
段最短．
31．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析1
【分析】（1）根据题意，连接AB，延长AB到E，使BE= AB
2
（2）根据题意画直线AC，射线AD；
（3）根据两点之间，线段最短，连接BC交AD于点P，则PC+PB最小．
1
【详解】（1）如图所示，连接AB，延长AB到E，使BE= AB，
2
（2）如图所示，直线AC，射线AD ，
（3）如图所示，连接CE交AD于点P，
两点之间，线段最短；
【点睛】本题考查了画线段、射线、直线，两点之间线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
32．(1)①x+5；②x=1
3
(2)
4【分析】（1）①由题意可知BD=2x，从而可求出AB=AD+BD=10+2x，根据E为AB中点，
1
即得出AE= AB=x+5；②由EC=BE−CD−BD，EC=3CD，即可列出关于x的等式，解出x
2
即可；
3
（2）由AC=2BC，即可得出AB=3BC．由BD=2CD，可得出BC= BD，从而可求出
2
9 9
AB= BD，再根据E为AB中点，即得出BE= BD．最后根据EC=BE−CD−BD，即可求出
2 4
比值．
【详解】（1）①∵CD=x，BD=2CD
∴BD=2x，
∴AB=AD+BD=10+2x．
∵E为AB中点，
1
∴AE=BE= AB=x+5．
2
故答案为：x+5；
②∵EC=BE−CD−BD，EC=3CD
∴x+5−x−2x=3x，
解得：x=1；
（2）∵AC=2BC，
∴AB=3BC．
∵BD=2CD，
3
∴BC= BD，
2
9
∴AB= BD，
29
∴BE= BD．
4
∵EC=BE−CD−BD
9 1 3
∴EC= BD− BD−BD= BD，
4 2 4
EC 3
∴ = ．
BD 4
【点睛】本题考查线段的和与差，线段中点的有关计算，线段n等分点的计算和一元一次方程的应
用．掌握线段之间的关系是解题关键．
33．9，15
【分析】根据CD=2AD，CD=6得AD=3，即可得AC的长；根据C为线段AB的中点得i
AC=CB=9，即可得．
【详解】解：∵CD=2AD，CD=6，
∴AD=3，
∴AC=CD+AD=3+6=9；
∵C为线段AB的中点，
∴AC=CB=9，
∴BD=CD+BC=6+9=15．
【点睛】本题考查了线段之间的关系，解题的关键是理解题意，掌握线段之间的关系．
1
34．(1) cm
2
(2)14cm
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键．
（1）先求出AC的长，中点求出AD的长，用AB−AD即可得出结果；
（2）设BD=xcm，则AB=5xcm，CD=3xcm，中点求出BE的长，根据EC=EB+BC=9cm，列出方程进行求解，进一步求出AC的长即可．
【详解】（1）解：∵AB=3cm，BC=2cm．
∴AC=AB+BC=5cm．
∵D为AC的中点，
1 5
∴AD= AC= cm．
2 2
5 1
∴DB=AB−AD=3− = (cm)．
2 2
1 1
（2）解：∵BD= AB= CD，
5 3
∴设BD=xcm，则AB=5xcm，CD=3xcm，
∵点E为AB的中点，
1 5
∴EB= AB= xcm，
2 2
∵EC=EB+BC=9cm，
5
∴ x+3x−x=9，解得：x=2，
2
∴AC=AB+CD−BD=7x=7×2=14(cm)．
35．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了画射线、线段和直线，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握定义．
（1）根据线段、射线的定义进行画图即可；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可；
（3）根据题意画图即可．【详解】（1）解：如图，线段AD，射线BC即为所求；
（2）解：如图，点P即为所求作的点；
（3）解：如图，点E即为所求作的点．
36．(1)见解析
(2)见解析
(3)图见解析；两点之间，线段最短
【分析】（1）根据题意，连接AB，延长AB到E，使BE=AB
（2）根据题意画直线AC，射线AD；
（3）根据两点之间，线段最短，连接BC交AD于点P，则PC+PB最小．
【详解】（1）如图所示，连接AB，延长AB到E，使BE=AB，
（2）如图所示，直线AC，射线AD ，（3）如图所示，连接BC交AD于点P，
两点之间，线段最短；
【点睛】本题考查了画线段、射线、直线，两点之间线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
37．(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)6
【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据线段的定义，作出图形即可；③根据题意，
按照要求作出图形即可；
（2）根据线段的定义即可求解．
【详解】（1）如图所示：（2）图中的线段有：AB,AD,AC,DC,BD,BC共6条．
故答案为：6．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，两点之间线段最短，射线、线段的画法以及作一条线段等于已
知线段．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆
解成基本作图，逐步操作．
38．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查线段作图，射线作图，中点定义作图，交点定义作图，线段和差．
（1）①根据线段定义即可作出图形；②根据射线定义即可作出图形；③根据线段中点定义即可作出
图形；④根据交点定义即可作出图形；
（2）根据题意设BF=2x，AB=3x，利用线段和得到BF+BE=EF=14即可求出本题答案．
【详解】（1）解：如下图所示：
；
（2）解：∵BF:AB=2:3，
∴设BF=2x，AB=3x，
∵点E为AB的中点，1 3
∴BE= AB= x，
2 2
∵EF=14，
∴BF+BE=EF=14，
3
∴ x+2x=14，
2
解得x=4，
∴AB=3x=12．
39．(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
(4)画图见解析，两点之间，线段最短．
【分析】本题考查的是画线段，直线，射线，两点之间，线段最短，熟练的画图是解本题的关键．
（1）根据画线段的要求画图即可；
（2）以A为端点，过点B画射线即可；
（3）过B，C画直线即可；
（4）连接连接AD，交直线BC于点E即可．
【详解】（1）解：线段AC即为所求；
（2）如图，射线AB即为所求；
（3）如图，直线BC即为所求；
（4）如图，E即为所求；连接AD，交直线BC于点E，此时线段AE与线段DE之和最小．
理由：两点之间，线段最短．
40．(1)见解析
(2)图见解析，两点间线段最短
(3)7，11
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）连接CD交AB于点E，点E即为所求作，依据：两点间线段最短，据此即可求解；
（3）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的不同的区域．
【详解】（1）解：直线AC，射线AB，线段BC如图所示，
；
（2）解：如图，点E即为所求作；
此画图的依据是两点间线段最短；
故答案为：两点间线段最短；
（3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有11
个不同的区域．故答案为：7，11．
【点睛】本题主要考查了尺规作图及线段的基本性质，掌握直线、射线、线段的概念和线段的性质
是解题的关键．
41．（1）36°45′；（2）图见解析，理由是：两点之间线段最短
【分析】（1）先根据∠COE=2∠COD可得∠COE=62°30′，再根据角的和差可得
∠AOC=73°30′，然后根据角平分线的定义即可得；
（2）先画出线段BD，反向延长线段BD，再画直线AC，然后连接AD,BC，交点即为点M．
【详解】解：（1）∵∠COE=2∠COD，∠COD=31°15′，
∴∠COE=62°30′，
∵∠AOE=136°，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=73°30′，
∵OB是∠AOC的平分线，
1
∴∠AOB= ∠AOC=36°45′ ；
2
（2）根据要求作图如下：
连接AD,BC，交点即为点M，理由是：两点之间线段最短．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，画线段、直线、射线，两点之间线段最短，熟练掌握
角的运算和两点之间线段最短是解题关键．
8
42．(1)
9
3
(2)
2
【分析】（1）设CD=x，根据线段中点的定义可得EC=EB−CB=4+x−3x=4−2x，再列方程
可得答案；
（2）用含x的代数式表示出EC和BD的长度，再计算即可．
【详解】（1）解：设CD=x，则BD=2CD=2x，
∵AD=8，
∴AB=8+2x，
∵点E为AB的中点，
1
∴AE= AB=4+x=BE，
2
∴EC=EB−CB=4+x−3x=4−2x，
∴4−2x=2.5x，
8
解得：x= ，
9
8
∴CD= ；
9
（2）∵BC=CD+BD=3x，AC=3BC=9x，BD=2CD=2x
∴AB=3x+9x=12x，
∵E为AB的中点，
1
∴EB= AB=6x，
2∴EC=EB−BC=3x，
EC 3x 3
∴ = = ．
BD 2x 2
【点睛】本题考查了线段的和差倍分运算，一元一次方程的应用，中点的定义，解决本题的关键是
用代数式表示线段．
43．(1)7.5cm
1
(2) acm
2
1 1
【分析】（1）由题意可得MC= AC，NC= BC，再根据已知边长求解即可；
2 2
1 1
（2）由题意可得MC= AC，NC= BC，再根据已知条件求解即可；
2 2
【详解】（1）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴MC= AC，NC= BC，
2 2
∵AC=9cm，CB=6cm，
1 1 1 1
∴MN=MC+CN= AC+ BC= (AC+BC)= ×15=7.5cm；
2 2 2 2
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
∴MC= AC，NC= BC，
2 2
∵AC+CB=acm，
1 1 1 1
∴MN=MC+CN= AC+ BC= (AC+BC)= acm；
2 2 2 2
【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键．
44．(1)见解析
(2)m+n【分析】本题考查了基本作图，线段、直线、射线的定义，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键
（1）根据线段、直线、射线的定义画出图形即可；
（2）画出图形，利用三角形的三边关系求解即可．
【详解】（1）解：①如图，线段AC即为所求作；
②如图，直线AB即为所求作；
③如图，射线DC即为所求作；
④如图，直线AB与射线DC的交点M即为所求作；
（2）解：如图，AC与BD交于点O，
则PA+PC≥AC=m（当且仅当P在线段AC上时取等号），
PB+PD≥BD=n（当且仅当P在线段BD上时取等号），
∴ PA+PB+PC+PD≥AC+BD=m+n，即点P与点O重合时取等号，
故答案为：m+n．
45．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析(4)2
【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义、线段的和差等知识点，掌握相关定义成为解题
的关键．
（1）根据直线的定义作图即可；
（2）根据射线的定义作图即可；
（3）根据线段的定义画出图形即可；
（4）先求出DM，根据PM=DP−DM计算即可．
【详解】（1）解：如图，直线AB即为所求．
（2）解：如图：射线DB即为所求．
（3）解：如图：线段AC，点P即为所求．
（4）解：∵BP=3，DP=3，
∴DB=DP+PB=10，
∵DM=MB，
∴DM=BM=5，
∴MP=PD−DM=7−5=2．
故答案为：2．
46．(1)MN＝5cm3
(2)PN＝ cm
2
1 1 1 1
【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC＝ AC，CN＝ BC．再根据MN＝MC+CN＝ AC+ BC
2 2 2 2
1
＝ （AC+BC）代入计算即可得出答案；
2
1
（2）先根据题意可计算出AP的长度，由线段中点的性质可得AB＝2AP，CB＝AB﹣AC，CN＝
2
CB，再根据PN＝CN﹣CP代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵M、N分别是AC、BC的中点，
1 1
∴MC＝ AC，CN＝ BC，
2 2
1 1 1 1 1
∴MN＝MC＋CN＝ AC＋ BC＝ （AC＋BC）＝ AB＝ ×10＝5（cm）.
2 2 2 2 2
（2）解：∵AC＝3，CP＝1，
∴AP＝AC＋CP＝4，
∵点P是线段AB的中点，
∴AB＝2AP＝8，CB＝AB－AC＝5，
∵点N是线段CB的中点，
1 5
∴CN＝ CB＝ （cm），
2 2
5 3
∴PN＝CN－CP＝ －1＝ （cm）．
2 2
【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题
的关键．
47．CD=12
【分析】先化简多项式，再把a的值代入化简后的式子求出t的值，然后设BE为x，根据题目的已知条件表示出AC和DE即可解答．
【详解】解：3a2− [ −5a− (1 a−16 ) +2a2 ]
2
1
=3a2-（-5a- a+16+2a2）
2
1
=3a2+5a+ a-16-2a2
2
11
=a2+ a-16，
2
11 11
当a=4时，a2+ a-16=42+ ×4-16=22，
2 2
∴t=22，
1
∵BE= AB，
5
∴设BE=x，AB=5x，
1
∵AD= DB，
4
∴AD=x，BD=4x，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=x，
∴AC=AB+BE+EC=7x，
DE=DB+BE=5x，
∵3AC-2DE=t，
∴21x-10x=22，
∴x=2，
∴CD=AC-AD=7x-x=6x=12．【点睛】本题考查了两点间距离，整式的加减-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
48．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)16
【分析】本题主要考查了画线段、射线、射线、图形规律等知识点，掌握相关定义是解题的关键．
（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据直线的定义作图即可；
（3）根据线段的定义作图；
（4）根据题意得两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部
分，……，以此类推即可求解．
【详解】（1）解：如图1：射线DB即为所求
（2）解：如图1：直线BC即为所求
（3）解：如图1：线段CD即为所求
（4）解：根据题意得：
2条直线相交，把一个平面分成4部分，3条直线相交，把一个平面分成4+3=7部分，
4条直线相交，把一个平面分成4+3+4=11部分，
5条直线相交，把一个平面分成4+3+4+5=16部分，
故答案为：16．
49．(1)P在直线l外；
(2)见解析
(3)见解析
(4)7
【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；
（2）根据直线的定义即可画直线PA；
（3）根据射线的定义即可画射线PB；
（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数．
【详解】（1）点P与直线l的关系：P在直线l外；
故答案为：P在直线l外；
（2）如图1，直线PA即为所求；
（3）如图1，射线PB即为所求；
（4）如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点．故答案为：7．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题
的关键是掌握直线的性质．
50．(1)40cm
(2)12cm
【分析】本题考查了线段的和与差，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差即可解答；
（1）设CE=x,则CB=4x,根据线段中点的定义得到AE=BE，求得AE=5x，得到
AC=6x=24cm，于是得到结论；
（2）根据线段中点的定义得到AE=BE，设CE= y求得AE=BE=24−y，得到
BC=BE−CE=24−y−y,再根据F为CB的中点，于是得到结论；
【详解】（1）解： ∵CB=4EC，
设CE=xcm，则CB=4xcm,
∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE，
∴AE=5xcm,
∴AC=6x=24cm,
∴x=4cm，
∴AB=2AE=10x=40cm;（2）∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE,，
设CE= ycm,
∴AE=BE=24−y,
∴BC=BE−CE=24−y−y，
∵ F为CB的中点，
1
∴CF= BC=12−y,
2
∴EF=CE+CF= y+12−y=12cm.
