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跟踪训练 05 数列求和
一．选择题（共15小题）
1．已知数列 满足： ， ，则数列 的前100项的和为
A．50 B．98 C．100 D．102
【解答】解：由 ， ，
令 、2、3、4， ，
可得 ， ，
两式相加可得 ， ， ，
两式相加 ， ， ，
进行推论归纳可得 ， ，
所以，对任意的 ， ，
所以，数列 的前100项的和为 ．
故选： ．
2．已知数列 中， ，则数列 的前 项和为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，且 ，数列 是首项为4，公比为9的等比数列，
故 的前 项和为 ．
故选： ．
3．已知数列 满足 ，记 为不小于 的最小整数， ，
则数列 的前2023项和为
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解：由题意得 ，
则 当 时 ，
当 时也满足上式，
所以 ，
所以 ，
即 时， ，
故 的前2023项和为 ．
故选： ．
4．已知数列 的前 项和为 ， ，则
A．1012 B． C．2023 D．
【解答】解： ，
， ， ， ，
， ，以此类推， ， ， ，
．
故选： ．
5．数列 满足 ，且 ，则数列 的前2024项的和
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可知 ，
，
，
，
，
数列 是以4为最小正周期的周期数列，
，
．
故选： ．
6．已知数列 满足 ， ，其前 项和为 ，则
A． B． C．3 D．【解答】解：由题意，可得 ，
，
，
，
，
，
数列 是以4为最小正周期的周期数列，
，
．
故选： ．
7．高斯 被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进
行 的求和运算时，他这样算的： ， ， ，
，共有50组，所以 ，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差
数列前 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试根据以上提示探求：若 ，则
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
【解答】解：根据等比数列的下标性质由 ，
函数 ，
，
令 ，
则 ，
， ．
故选： ．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设 ，
用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数．已知数列 满足 ，且
，若 ，数列 的前 项和为 ，则
A．4956 B．4959 C．4962 D．4965
【解答】解： ，
， ， ， ，
，又 ，
，
，
，．
故选： ．
9．课本选择性必修第二册第一章介绍了斐波那契数列，若数列 满足 ，
，则称数列 为斐波那契数列，若把斐波那契数列中的奇数用1替换，偶
数用 换得到数列 ，在数列 的前10项中任取3项，则这3项之和为1的不同取法
有
A．60种 B．63种 C．35种 D．100种
【解答】解：由题意得数列 中各项依次为奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数、 ，
数列 的前10项中，有7项为1，3项为 ，
若所取3项之和为1，则取2个值为1的项，1个值为 的项，
故不同的取法种数为 ．
故选： ．
10．已知正项数列 中， ，则数列 的前120项和为
A．4950 B．10 C．9 D．
【解答】解：由 ，可得数列 是首项为1公差为1的等差数列，
则 ，又 ，则 ，
则 ，则 数 列 的 前 120 项 和 为
．
故选： ．
11．欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数，
例如： （1） ， （3） ．数列 满足 ，其前 项和为 ，则
A．1024 B．2048 C．1023 D．2047
【解答】解：由题意得 ，
则 ，即 表示从1到 的正整数中，与 互质的正整数的个数，相当
于去掉从1到 的正整数中所有2的倍数的个数（共 个数），
．
．
故选： ．
12．已知数列 满足 为 的前 项和．现有四个结论：①当
取最大值时， ；②当 取最小值时， ；③当 取最大值时，
；④ 的最大值为 ．其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意知 ，则 ，因为 ，所以 ，
令 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 或 ，又 ，故 ．
当 取最大值时， ，此时 ，则 ， ，
故 ，故①正确；
当 取最小值时， ，此时 ，则 ， ，
故 ，故②不正确；
由 ，知 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
故当 取最大值时， ，
此时 ，故③不正确，④不正确，故有1个正确．
故选： ．
13．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
A．130 B．169 C．200 D．230
【解答】解：依题意，由 ，
可得．
故选： ．
14．数列 满足 ，且前 项和为 ，数列 满足 ，则
为
A．18 B．28 C．32 D．36
【解答】解：由 ，可得数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
则前 项和为 ，
则 ，
可得 时，数列 递减， 时，数列 递增．
则
，
故选： ．
15．如图所示的数阵称为杨辉三角．斜线 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：
1，2，3，3，6，4，10， ，记这个数列的前 项和为 ，则 等于A．128 B．144 C．155 D．164
【解答】解：根据题意，解：由题意可得锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10， ，
即组合数 、 、 、 、 、 、 、 、
故
．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．已知 为数列 前 项和，则下列结论成立的有
A．若数列 为等比数列，且 ，则数列 为等差数列
B．若数列 为等差数列，若 ，则
C．若数列 为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为 ，且
，则公差为2
D．若数列 的通项公式为 ，则该数列的前100项和
【 解 答 】 解 ： 选 项 ： 依 题 意 ， 设 等 比 数 列 得 公 比 为 ，，
所以数列 为等差数列， 选项正确；
选项：数列 为等差数列，则 ， ，
又 ，即 ，化简可得 ，
则 ， ，所以 ， 选项错误；
选项：等差数列 的前10项中，偶数项的和为 ，奇数项的
和为 ，
又偶数项的和与奇数项的和之比为 ，且 ，则 ，解得 ，
，
所以 ， 选项正确；
选项： ，
则 ， ， 选项
正确；
故选： ．
17．在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形
数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第 1
行开始，第 行从左至右的数字之和记为 ，如： ， ， ，的前 项和记为 ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，
5，10，10，5， ，记为 ， 的前 项和记为 ，则下列说法正确的是
A．
B． 的前 项和为
C．
D．
【解答】解：从第一行开始，每一行的数依次对应 的二项式系数，
为一个等比数列， ，
所以 ，故 错误；
， 的 前 项 和 为
， 故 正
确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2， ，构成一个等差数列，
项数之和为 的最大整数为10，
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
在 中去掉， 取的就是第12行中的第三项， ，故 正确；，这11行中共去掉了22个1，
故 正确，
故选： ．
18．下列说法中正确的有
A．若数列 为等差数列，数列 的前 项和为 ，则 ， ， 成等
差数列
B．若数列 为等比数列，且 ，则 为递增数列
C．若数列 的前 项和 ，那么这个数列的通项公式为
D．数列 ， ， ， ， 的前 项和为
【解答】解：对于 ，等差数列 的前 项和为 ，设其公差为 ，
则 ，
，
即 ， ， 成等差数列， 正确；
对于 ，等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，
解得 或 ，
当 时， ，即 ，则 为递增数列，
当 ， ，
有 ，则 为递增数列，
所以 为递增数列， 正确；
对于 ，因为 ，不满足 ， 错误；
对于 ，当 时，数列 ， ， ， ， 的前 项和为 ，
而 无意义， 错误．
故选： ．
19．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．
B．若 ，则 的最小值为
C． 取最小值时
D．设 ，则
【解答】解：设数列 的首项为 ，公差为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ， ，
选项 ， ，即 正确；
选项 ，若 ，则 ，且 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ， ，所以等号取不到，
即 错误；
选项 ，令 ，则 ，
所以数列 的前5项均为负数，从第6项开始为正数，
所以 取最小值时， ，即 正确；
选项 ， ，
所以 ，
所以 ，
两 式 相 减 得 ，
所以 ，即 错误．
故选： ．
20．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算
法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早 500年左右，由此可见我国古代数学的
成就是非常值得中华民族自豪的，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质．从第 1行开始，
第 项从左至右的数字之和记为数列 ，如： ， ， ，
的前 项和记为 ．图中实线上的数1、3、6、10、 记为数列 ，下列说法正确的有A．
B．
C．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
D． 的前10项和为
【解答】解：由题意可知 ，所以 ，故
正确；
，故 正确；
第2023行中第1011个数为 ，第1012个数为 ， ，故 错误；
由 题 意 可 知 ， 所 以 ， 故 前 10 项 和 为
，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共5小题）21．幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早记载于中国公元前 500年的春秋时期492《大
戴礼》中，宋代数学家杨辉称之为纵横图．如图 3所示，将1，2，3， ，9填入 的
方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，
将连续的正整数1，2，3， ， 填入 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的
数字的和相等，这个正方形就叫做 阶幻方．记 阶幻方的一条对角线上的数字之和为
（如 ，则 50 5 ．
【解答】解：根据题意， 时，需要将100个正整数1，2，3， ，100，填入
的方格内，
全部数字的和为 ，
而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为 ，
又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故 ．
故答案为：505．
22．若数列 的通项公式是 ，则 303 6 ．
【解答】解：因为 ，所以 ， ， ， ，
所以 ．
故答案为：3036．
23．数列 的前 项和为 ，且 ，则 ．
【解答】解： ，．
故答案为： ．
24．数列 满足 ， ， 为 的前 项和，若 ，则
的范围为 ．
【解答】解： ，
令 ， ，则 ，
， ，
，
数列 的前 项和 ，
又 ， ，
，
，
，
又 ，
的范围为 ．
故答案为： ．25．已知等差数列 中， ， ，记数列 的前 项和为 ，若
，对任意的 恒成立，则整数 的最小值是 4 ．
【解答】解：由题意等差数列的公差 ，
故 ，所以 ，
由于
，
单调递减， ，
所以 ，从而 ．
故答案为：4．
四．解答题（共3小题）
26．已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且 ，
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）因为 ，
所以当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，
所以 ，又当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，满足上式，
故 ， ，
所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
设 ，数列 的前 项和为 ，
则 ①，
②，
① ②有 ，
所以 ，
所 以
27．设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 在区间 ， 中的项的个数，求数列 前100项的和．【解答】解：（1）已知公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，
设等比数列 的公比为 ，
由 ，
得 ，
即 ，
得 ，
又 ，
解得 或 （舍去），
得 ，
又 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列 的通项公式为 ；
（2）由 为数列 在区间 ， 中的项的个数，
可知 ， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
．
数列 前100项的和为480．
28．已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等比
数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为 ， ，
由题意有 ，
所以有 ，即 ，
所以 ，
又因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，整理得 ，
解得 ，所以 ，
由等差数列定义可知 ；
（2）由（1）可知 ，所以 ，
由题意当 时，有 ，
所以 ，
以上两式相减得，
所以 ，
且当 时，有 ，
综上所述： ．
