文档内容
第3 章 代数式（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子n﹣3、a2b、m+s≤2、x、﹣ah、s＝ab中代数式的个数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加
个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（ ）
A．78 B．87 C．23 D．12
4．已知 和 互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．0
5．某学校楼阶梯教室，第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多2个座位，则第n排座位数是（
）
A． B． C． D．
6．如果代数式 的值为1，那么代数式 的值等于（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．春节游河南，探寻千年古韵，品味地道年味！有游客 人，到龙门石窟游玩，需要住宿，如每 个人
住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是（ ）
A． B． C． D．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为1，则最后输出的结果是（ ）
A． B．2 C．6 D．99．对于代数式 ，第三学习小组讨论后得出如下结论：①代数式还可以写成 ；②如图，较大
正方形的边长为y，较小正方形的边长为1，则代数式表示阴影部分的面积；③其可以叙述为：y与1的平
方差的一半；④代数式的值可能是﹣1，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图 有1颗弹
珠；图 有3颗弹珠；图 有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四
层．若用 表示图 的弹珠数，其中 ，2，3，…，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．一支铅笔的价钱是 元，一块橡皮的价钱是 元，买 支铅笔和 块橡皮应付( )元．
12．下列各式： ， ， ， ，其中符合代数式书写规范的有 个．
13．对于式子“ ”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师
购买一个篮球和一个足球共需要付款 元，请你对式子“ ”赋予一个实际意义：
．
14．当 时， 的值是 ；当 时， 的值15．如果 满足 ，则 的值是 ．
16．已知 ，求 的值为 ．
17．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把
第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 …，第n个数记为 ，则 ．
18．如图，等边三角形的边长为1，现将其各边 等分，并以相邻分点为顶点向外作小等边三角形，
再将相邻分点之间的线段去掉，得到一个锯齿图形，当 时，锯齿图形的周长为 （用含 的代
数式表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）若 ， ，且 ，则求 的值．
解：∵ ， ．
∴ ____________， ____________．
∵ ，
∴ ____________．
∴当 ____________， ____________， ____________；
当 ____________， ____________， ____________．
解题过程中体现数学中____________思想．
20．（8分）已知 ．（1） ______（用含x的代数式表示）；
（2）当y是非负数时，x的取值范围是_____；
（3）当 时，求x的取值范围．
21．（10分）已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
22．（10分）（1）已知 的值为3，求 的值．
（2）已知当 时，代数式 的值为18，求 的值．
23．（10分）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： ，则 ______；
我们将 作为一个整体代入，则原式 ．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）若 ，则 ______；
（2）若 ，则 ______；（3）若 ，则 ______．
24．（12分）小亮房间窗户宽为 ，高为 ，窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径
相同）
（1）用代数式表示窗户能射进阳光的面积是________．（结果保留π）
（2）当 ， 时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取 ）
（3）小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此
时窗户能射进阳光的面积是多少？（结果保留π）参考答案：
1．A
【分析】根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“ ”或者省略不写；（2）
数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来
写，带分数要写成假分数的形式，判断各项即可．
【详解】 、 书写符合要求，故本选项符合题意；
、 书写不符合要求应写为 ，故本选项不符合题意；
、 书写不符合要求应写为 ，故本选项不符合题意；
、 书写不符合要求应写为 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点拨】本题考查了代数式的书写要求解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘
号，通常简写成“ ”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式
中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．
2．C
【分析】代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，依据此意义求解．
【详解】因为代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，所以n﹣3、a2b、x、﹣ah都是代数式，所以
代数式的个数有4个．故选C．
【点拨】考核知识点：代数式．理解代数式的意义是关键．
3．A
【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为 ，个位数字为 ，则 ，化简可得
，据此即可得出答案．
【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为 ，个位数字为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
即小明心里想的那个两位数是78，
故选：A．
【点拨】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键．
4．D【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、相反数的定义、代数式求值等知识点，根据绝对值的非负性和
相反数的定义求出m与n的值成为解题的关键．
根据绝对值的非负性和相反数的定义求出m与n的值，再代入 计算即可．
【详解】解：∵ 和 互为相反数，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意是解题的关键．根据题意列出代数式即可．
【详解】解：由题意可知，第一排有m个座位，
第二排有 个座位，
第三排有 个座位，
第四排有 个座位，
故第n排座位数是 ，
故选B．
6．B
【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到
，再由 进行求解即可．
【详解】解： ，
，
，将 代入得：原式 ，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了列代数式，根据有一个人无房住可得住进房间的人数为 人，再除以 即可求出
客房的间数，读懂题意是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，客房的间数为 ，
故选： ．
8．A
【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先将 代入 中计算出对应的值为2，比较2与7的大小，利用计算程序再把 代入 中
计算出对应的值为6，比较6与7的大小，利用计算程序再把 代入 中计算出对应的值为 ，
由于 ，根据计算程序确定最后输出的值．
【详解】解：将 代入 中，得 ，
将 代入 中，得 ，
将 代入 中，得
∴最后输出的结果是 ，
故选：A．
9．C
【分析】根据代数式的书写方式、代数式与图形、平方差、偶次方的非负性逐个判断即可得．
【详解】解：代数式 还可以写成 ，则①正确；
图中阴影部分的面积等于较大正方形的面积与较小正方形的面积之差的一半，即为 ，则②正确；
代数式 可以叙述为： 与1的平方差的一半，则③正确；
，，
所以代数式 的值不可能是 ，即④错误；
综上，正确的个数为3个，
故选：C．
【点拨】本题考查了代数式、偶次方的非负性等知识，熟练掌握代数式的意义是解题关键．
10．A
【分析】可找出规律： ，从而可将
化为 ，对其进行裂项运算，即可求解．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
…
第 个图： ；
；故选：A．
【点拨】本题主要考查了图形规律问题，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题
的关键．
11． /
【分析】根据总价 单价 数量，一支铅笔的价钱是 元，买 支铅笔应付 元，一块橡皮的价钱是 元，
买 块橡皮应付 元，相加即可．
【详解】解：一支铅笔的价钱是 元，一块橡皮的价钱是 元，买 支铅笔和 块橡皮应付 元．
故答案为： ．
【点拨】本题考查用字母表示数，解决本题的依据是:总价 单价 数量．
12．2
【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案．
【详解】解： 应该写成 ，
应该写成 ，
， 符合书写规范，
综上所述，符合代数式书写规范的有2个，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除
法应该写成分数的形式是解题的关键．
13．答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是 元
【分析】本题考查代数式，解题的关键是理解题意．
根据题意解决问题即可．
【详解】解：答案不唯一，如：一个篮球的价格是 元，购买2个篮球总价是 元．
故答案为：一个篮球的价格是 元，购买2个篮球总价是 元(答案不唯一)．
14．
【分析】本题考查的是代数式求值，先根据题意得出 是解答此题的关键．
直接将 代入得出 ，进而将 代入得出答案即可．
【详解】解：∵当 时， 的值为 ；
，
，当 时，有 ，
故答案为：2023．
15． 或 或
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，合理分类讨论是解题的关键．
根据运算的结果分类讨论解答即可．
【详解】解：①当 ， 时， ，则 ，符合题意，此时 ；
②当 时，a=2，则 ，即 ，符合题意，此时 ；
③当 时， ，则 ，即 ，符合题意，此时 ；
故答案为：−2或2或0
16．0
【分析】本题根据已知式子的值求代数式的值，将 整理变形为与 相
关的式子，将 代入整理后的式子，即可解题．
【详解】解：
，
，
原式 ，
故答案为：0．
17．
【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为 ，再进行求解即可．
【详解】解：根据题意知
，
，
，则 ，
，
故答案为：210．
18．
【分析】本题考查了列代数式及图形的规律，找出图形周长的计算规律是解答本题的关键．分别求出当
， ， 时，锯齿图形的周长，并找出计算规律，即得答案．
【详解】当 时，其周长为 ；
当 时，其周长为 ；
当 时，其周长为 ；
当 时，其周长为 ．
故答案为： ．
19． ， ， ， ，5， ， ， ， ，分类讨论
【分析】此题考查了绝对值、代数式的值等知识，根据题意得到 ， ．再分别求 的值即可．
【详解】解：∵ ， ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴当 ， ， ；
当 ， ， ．
解题过程中体现数学中分类讨论思想．
故答案为： ， ， ， ，5， ， ， ， ，分类讨论
20．(1)
(2)
(3)【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次不等式以及一元一次不等式组的应用．
（1）移项，化系数为1即可得出答案．
（2）根据y是非负数，列出关于x的一元一次不等式求解即可得出答案．
（3）根据 ，列出关于x的一元一次不等式组求解即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
故答案为： ；
（2）解：由（1）知 ，
当y是非负数时， 即 ，
解得： ，
故答案为： ；
（3）解：当 时，即 ，
解得： ．
21．(1)
(2)17
【分析】本题考查了完全平方公式以及提公因式法分解因式，求代数式的值，熟练掌握分解因式的方法，
是解题的关键．
（1）提公因式得出 ，再代入求出即可；
（2）将 变形为 ，再代入求出即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴．
22．（1）11；（2）32
【分析】本题考查代数式求值，结合已知条件将代数式进行适当的变形是解题的关键．
（1）由题意可得 ，然后将 变形后代入已知数值计算即可；
（2）将 代入 可得 ，整理可得 ，然后将 变形后代
入已知数值计算即可．
【详解】解：（1）由题意可得 ，
则 ，
那么 ；
（2）将 代入 可得 ，
则 ，
那么 ．
23．(1)2025；
(2)11；
(3)16．
【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键．
（1）把已知等式代入原式计算即可得到结果；
（2）原式变形后，把 代入计算即可求出值；
（3）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为：2025；
（2）解：∵ ，
∴
；
故答案为：11；
（3）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为：16
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了列代数式以及代数式求值，灵活运用长方形和圆的面积公式是解答本题的关键．
（1）根据长方形的面积公式表示出长方形的面积，然后再根据圆的面积公式表示窗帘部分的面积，最后
作差即可；
（2）根据（1）得出的式子，再把a、b的数值代入即可求出答案；
（3）利用（1）的方法列出代数式．
【详解】（1）解：长方形的面积为 ，窗帘部分的面积为： ，所以窗户能射进阳光的面积是 ；
故答案为：
（2）解：当 时，
．
答：窗户能射进阳光的面积是 ；
（3）解：长方形的面积为 ，窗帘部分的面积为： ，
所以窗户能射进阳光的面积是 ．
