单元测试第九章不等式与不等式组（综合能力拔高卷）（解析版）_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第5套）

人教版七年级数学下册
【单元测试】第九章 不等式与不等式组（综合能力拔高
卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：
___________
本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满
分100分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充
分考查学生双基综合能力！
一、单选题：本题共 10个小题，每小题 2分，共20分。在每小题给出的四个
选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国·七年级期末）已知（m﹣4）x|m﹣3|＋2＞6是关于x的一元一次不等式，
则m的值为（ ）
A．4 B．2 C．4或2 D．不确定
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，|m-3|=1，m-4≠0，分别进行求解即可．
【详解】解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0，
所以m-3=±1，m≠4，解得m=2．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义和绝对值．解题的关键是明确一元一次不等式的
定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
2．（2021·四川·七年级期中）不等式 恰有两个负整数解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式得到 ，再根据恰有2个负整数解得到 即可．【详解】解：解不等式 ，得到不等式的解集为： ，
∵不等式恰有两个负整数解，
∴ ，
整理得到：
∴ 的取值范围是： ，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的整数解问题，解题的关键是利用数轴分析，其次解题时必须理
解题意，属于基础题，中考常考题型．
3．（2021·河南·七年级期末）若关于 的不等式组 的解集是 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x＜2可得关于a的不等式，
解之可得．
【详解】解：解不等式组 ，
由①可得：x＜2，
由②可得：x＜a，
因为关于x的不等式组 的解集是x＜2，
所以，a≥2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期中）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）
A．a-b＞0 B．ac²＞bc² C．c-a＞c-b D．a+3＜b-3
【答案】A
【分析】在不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变，在不等式的
两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，在不等式的两边都乘以或除以同一个
负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质逐一分析即可.
【详解】解： a＞b，
故A符合题意；
a＞b，
当 时， 故B不符合题意；
a＞b，
故C不符合题意；
a＞b，
故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键.
5．（2021·上海市建平中学西校期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则
下列不等式中错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据数轴上点的位置得到 ， ，则 ， ， ，由此逐
一判断即可．
【详解】解：由数轴可知 ， ，∴ ， ， ，
A选项：∵ ，∴ ，故A不符合题意；
B选项：∵ ，∴ ，故B不符合题意；
C选项：∵ ， ，∴ ，故C符合题意；
D选项：∵ ， ，∴ ，故D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子正负，不等式的性质，熟知数轴和
不等式的性质是解题的关键．
6．（2021·全国·七年级单元测试）“垃圾分类做得好，明天生活会更好”，学校需要购
买分类垃圾桶10个，放在校园的公共区域，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分
类垃圾桶350元/个，B型分类垃圾桶400元/个，总费用不超过3650元，则不同的购买方
式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（10-x），然后根据题意列出不
等式组，确定不等式组整数解的个数即可．
【详解】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（10-x）个，
由题意得： ，解得 ，
则x可取7、8、9、10，即有四种不同的购买方式．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组
的整数解是解答本题的关键．
7．（2022·河南·郑州中学七年级期末）把不等式组 的解集表示在数轴上，下
列符合题意的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的解法求解，再由在数轴上表示解集的方法进行判断即可．
【详解】解：
解不等式①得
解不等式②
解不等式组得： ，在数轴上表示如下．
故选：C．
【点睛】本题考查了解不等式组及解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式组的解法是解题
的关键．
8．（2021·重庆长寿·七年级期末）从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一
个数记为m，若数m使关于x的不等式组 无解，且使关于x的一元一次方程
（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】不等式组整理后，根据无解确定出 的范围，进而得到 的值，将 的值代入检
验，使一元一次方程的解为整数即可．
【详解】解：解：不等式组整理得： ，由不等式组无解，得到 ，
解得： ，
即 ，0，1，2，3，5；
当m=-1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1，符合题意；
当m=0时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1.5，不合题意；
当m=1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-3，符合题意；
当m=2时，一元一次方程（m－2）x＝3无解，不合题意；
当m=3时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=3，符合题意；
当m=5时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=1，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查根据不等式组的解集确定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等
式组的解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关
键．
9．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）若a，b为实数，下面四个命题中，正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】可根据不等式的性质、算式平方根的定义或取特殊值法判断即可．
【详解】解：A、若a=1，b=－2，满足a－b＞0，但a2＜b2，故选项A错误；B、若
，则 ，即 ，故选项B正确；C、若a=1，b=－1，满足a－
b≠0，但a2=b2，即a2－b2=0，故选项C错误；
D、若a=－1，b=1，满足 ，但a2=b2，即a2－b2=0，故选项D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质、算式平方根的定义，会利用特殊值法判断命题的正误是解答的关键．
10．（2021·重庆沙坪坝·七年级期中）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得
10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小
明答对x道题，根据题意可列不等式（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥125 B．10x+5（20﹣x）≤125
C．10x+5（20﹣x）＞125 D．10x﹣5（20﹣x）＞125
【答案】D
【分析】根据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从
而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
10x-5（20-x）＞125，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的不等式．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·上海·期中）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值
范围为__．
【答案】
【解析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，
可得答案．
【详解】解：不等式 的解集为 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的性质，解一元一次不等式，掌握不等式性质，不等
式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向发生改变是解题关键．12．（2022·浙江·七年级单元测试）解不等式 ，则符合这不等式的最
小负整数为______．
【答案】-3
【分析】首先根据不等式的解法求解不等式，从而求出最小负整数解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴不等式的最小负整数解为-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等
式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以
或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等
号的方向改变．
13．（2021·全国·七年级期中）若方程组 的解满足2x﹣3y＞1，则k的的
取值范围为 ___．
【答案】 ##
【分析】将①－②即可得 ，结合题意即可求得 的范围．
【详解】解：
① ②得，
2x﹣3y＞1解得
故答案为：
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式，利用加减消元法得出方程组的
解是解题关键．
14．（2021·全国·七年级单元测试）对于任意实数p，q，定义一种运算：
例如： ，请根据上述定义解决问题，若关于 的不
等式组 有3个整数解，则 的取值范围为___．
【答案】
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，
求出m的范围即可．
【详解】解：根据题意得 ，
化简得 ，
解得： ，
∴不等式组的解集是
∵不等式组有3个整数解，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组
是解此题的关键．
15．（2021·上海·七年级期中）一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为
元，则x的取值范围是____________
【答案】
【分析】根据“八八折销售至少可获得10%的利润、九折销售可获得不足20%的利润”列不
等式组求解可得．
【详解】解：根据题意，得：
解得：37.5≤x＜40，
故答案为：37.5≤x＜40．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解题意抓住题目中的关键语
句，列出不等式组．此题用到的公式是：进价+利润=售价．
16．（2021·北京·七年级期中）把一堆花生分给一群猴子，如果每只猴子分3颗，就剩
8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子分到的花生不足5颗．求猴子的只数与花生
的颗数分别为________．
【答案】5只和23颗或6只和26颗．
【分析】设猴子的只数为x只，根据题意列出不等式组，求整数解即可．
【详解】解：设猴子的只数为x只，根据题意列出不等式组得，
，
解得， ，
因为x为整数是，
所以， 或 ，
花生的颗数为颗 或 颗
故答案为：5只和23颗或6只和26颗．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是准确把握题目中的不等量关系，
列出不等式组．
17．（2021·河南浉河·七年级期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 ．如： ， ．
如果 ，则 ___________．
【答案】0或 或
【分析】根据 的定义可得一个关于 的一元一次不等式组，解不等式组、结合 为非
负整数即可得．
【详解】解：由题意得： ，
即 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ，
为非负实数，
，
，
为非负整数，
或 或 ，
解得 或 或 ，故答案为：0或 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解 的定义是解题关键．
18．（2021·重庆巴南·七年级期末）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子
的习俗．某超市准备了515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，将这些粽子分成了
A,B,C三类礼品盒进行包装．A类礼品盒里有4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；B类
礼品盒里有3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；C类礼品盒里有6个豆沙粽，4个火腿
粽和4个腊肉粽．已知A,B,C三类礼品盒的数量都为正整数，并且A类礼品盒少于44盒，
B类礼品盒少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m=_______________
【答案】640
【分析】设A类包装有x盒，B类包装有y盒，C类包装有z盒，根据题意列出x、y、z的
三元一次方程组，再由x、y的取值范围列出不等式组求得m的整数值范围， 进而代入验
算，可得m的值.
【详解】解：设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个，
根据题意得 .
由①-②，得 ④，
由①×3-③×2，得 ⑤，
则 ，则 ，
由 得 ，解得 .
根据题意可知，x，y，z，m都是正整数,且根据③可知m为偶数,
经代入验算可知，只有当 时，满足题意.
故答案为：640．
【点睛】本题主要考查了列三元一次方程组解应用题，列一元一次不等式组解应用题，难
度较大.三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，
共56分。
19．（2022·浙江·七年级期中）求下列不等式（不等式组）的解：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）-1＜x＜
【分析】
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）求出两个不等式的解集，找出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1） ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ；
（2） ，
解不等式①得：x＜ ，
解不等式②得：x＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x＜ ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，主要考查学生的计算能力．
20．（2021·全国·七年级单元测试）已知关于x、y的二元一次方程组 的
解x、y都是正数，且x的值小于y的值．（1）求该二元一次方程组的解（用含m的代数式表示）
（2）求m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）运用加减消元法，即可求得x和y；
（2）根据x、y都是整数，列出不等式组，即可求出m的取值范围．
【详解】解：（1）： ，
由②得： ，
将 代入①中，
∴ ，
，
，
，
将 代入 中，
∴ ，
∴二元一次方程组的解为： ．
（2）∵二元一次方程组的解x、y是正数，且x的值小于y的值，
∴ ，
∴解得： ，∴m的取值范围是： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式的综合，解题的关键是掌握解二元一次方程组
的方法．
21．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）若一个正整数m既能表示成 （a，b
是正整数，且 ）．又能表示成 （x，y是正整数，且 ）的形式，则称这个
数为“优秀数”．
例如： ， ，所以5是“优秀数”．
(1)判断17是否是“优秀数”，并说明理由；
(2)对于一个三位“优秀数”n， ， ，且满足y是a的2倍、x与b的差
为40，求满足条件的n的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2) 或
【分析】
（1）根据定义可得 ，进而判断即可；
（2）根据已知条件列出式子，可得 ，进而根据n为三位数，求得b的范围，
根据求一个数的算术平方根以及a,b为正整数的条件确定b的值，进而求得a的值即可求解．
【详解】(1)解：17是优秀数
∵171242,179282
∴17是优秀数
(2)
na2 b2，nx2y2，

nab22ab,nxyxy.
 y是a的2倍、x与b的差为40，
 y2a,xb40xb40
则
y2a
a2b2 b402ab402a
a2b2 b280b4a21600
解得5a280b16000
即a2 16b320
a2b2 b216b320b82256
Qn是三位数，b822561000
b82 744

282 784,272 729，b为正整数，
b828
即b20
a2 16b320

a4 b20
a是正整数， b20是正整数
b20

b5或16
则a20或24
na2b2 20252 425或242162 576256832
满足条件的n的值为425或832
【点睛】本题考查了平方差公式，求一个数的算术平方根，一元一次不等式的应用，根据
算术平方根确定b的值是解题的关键．
22．（2021·江苏丹阳·七年级期末）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且mn、m0、n0，那么这个两位数叫做“互异数”．
将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与
原两位数的和与11的商记为W(a)．
例如：a14，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为
41+14=55，和与11的商为55�11 5，所以W(14)=5．
根据以上定义，解答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为________；
②计算：W(36)=________；W(10m+n)=________；（m、n分别为一个两位数的十位数
字与个位数字）
（2）如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且W(b)=7；另一个“互异
数”c的十位数字是x2，个位数字是2y1，且W(c)=13，请求出“互异数”b和c；
（3）如果一个“互异数”d的十位数字是x，个位数字是x3，另一个“互异数”e的十
位数字是 ，个位数字是3，且满足W(d)+W(e)<25，请直接写出满足条件的所有x的
x2
值________；
（4）如果一个“互异数”f的十位数字是x4，个位数字是x，且满足W(f)<t的互异数
有且仅有3个，则t的取值范围________．
【答案】（1）①21；②9，m+n；（2）b=25，c=49；（3）3或4；（4）10＜t≤12
【分析】
（1）①由“互异数”的定义可得；
②根据定义计算可得；
（2）由W（b）=7，W（c）=13，列出二元一次方程组，即可求x和y；
（3）根据题意W（d）+W（e）＜25可列出不等式，即可求x的值；
（4）根据“互异数”f的十位数字是x+4，个位数字是x，分类讨论f，根据满足W（f）＜
t的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围．
【详解】解：（1）①∵如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且m≠n、
m≠0、n≠0，那么这个两位数叫做“互异数”，
∴“互异数”为21，故答案为：21；
②W（36）=（36+63）÷11=9，W（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n；
故答案为：9，m+n；
（2）∵W（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n，且W（b）=7，
∴x+y=7①，
∵W（c）=13，
∴x+2+2y-1=13②，
x2
联立①②解得 ，
y5
故b=10×2+5=25，
c=10×（2+2）+2×5-1=49；
（3）∵W（d）+W（e）＜25，
∴x+x+3+（x-2+3）＜25，
解得x＜7，
∵x-2＞0，x+3＜9，
∴2＜x＜6，
∴2＜x＜6，且x为正整数，
∴x=3，4，5，
当x=5时e为33不是互异数，舍去，
故答案为：3或4；
（4）当x=0时，x+4=4，此时f为40不是互异数；
当x=1时，x+4=5，此时f为51是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=6；
当x=2时，x+4=6，此时f为62是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=8；
当x=3时，x+4=7，此时f为73是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=10；
当x=4时，x+4=8，此时f为84是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=12；∵满足W（f）＜t的互异数有且仅有3个，
∴10＜t≤12，
故答案为：10＜t≤12．
【点睛】本题以新定义为背景考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程的应用，解题
的关键是根据新定义列出方程和不等式．
23．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校七年级期中）某学校实践课准备用图甲所示
的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．
①请完成下列表格：
x只竖式箱子 y只横式箱子
A型板材张数(张) x
B型板材张数(张) 3y
②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型
板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部
切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20
只，且材料恰好用完，则n的最小值是 ，此时能制作横式箱子 只．
【答案】(1)①4x，2y；②制作出竖式和横式的箱子各20只和10只
(2)35，5
【分析】
(1)根据竖式箱子和横式箱子的组成，即可求得；(2) 设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板，根据一张3×3m的C型
板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板，得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张
 11 111
n x
B板，得 9x17 2 ，可得 11 111，联立成方程组 2 6 ，再对x，n
3n3x81  3 n 2 x 6   nx27
进行讨论，即可求得．
【详解】(1)解：①由图可知：做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，
需2张A板，3张B板，
故答案为：4x，2y；
②根据题意，得
 x2y50
 ，
4x3y100
x10
解得 ，
y20
答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只；
(2)
解：设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板，
且一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板，
得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板，
因为竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板，
则剩余A板(9x-17)张，B板(3n-3x-81)张，
9x17 2
根据题意，得  ，
3n3x81 3
11 111
整理，得n x ，
2 6
∵9x-17≥0，
17
∴x ，
9
∵3n-3x-81≥0，∴n≥x+27，
 11 111
n x
 2 6 ，
  nx27
 17
x

 9
解得 ，
260
n
 9
17
∵x ，且x为整数，
9
111
∴x取最小值为2时，n11 (不符合题意，舍去)，
6
当x=3时，n=35，
∴x取最小值为3时，n=35最小．
此时，剩余A板10张，可以做5只横式板．
∴n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只．
故答案为：35，5．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等
式是解题关键．
24．（2022·河南洛阳·七年级期末）某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑
到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推
出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．
年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B
类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．
（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，
她怎样购票比较合算？
（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？
（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低
于多少次？
【答案】（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；
（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次【分析】
（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购买B类年
票，这两种方式何者次数更多即可．
（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A类年票、购买B类年票所
消费的总金额，最后比较总花费大小即可．
（3）小明选择购买A类年票，说明A类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B类年票
所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．
【详解】解：（1）由于预算限制，小丽不可能买A类年票；若直接购票，可以进中心
8010=8次；若购买B类年票，可进中心(8060)210次，所以应该购买 B 类年票．
（2）若直接购买门票，需花费2010=200元；若购买A类年票，需花费120元；若购买B
类年票，需花费60+202=100元；所以应该购买B类年票．
10x120
（3）设小明每年进拓展中心约x次，根据题意列出不等式组： ，解得
602x120
x12
 ，故 ．
x30 x30
所以小明一年中进入拓展中心不低于30次．
【点睛】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分
类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．
25．（2021·天津河西·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，AB//CD//x轴，
BC//DE//y轴，且ABCD4cm,OA5cm,DE2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm
的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线
向点D运动．若P,Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（Ⅰ）直接写出B,C,D三个点的坐标；（Ⅱ）设两点运动的时间为t秒，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积；
（Ⅲ）当三角形OPQ的面积的范围小于16时，求运动的时间t的范围．
【答案】（Ⅰ）B4,5,C4,2,D8,2
；（Ⅱ）当0t4时，三角形OPQ的面积为
9
16
5tcm2
；当
4t5
时，三角形
OPQ
的面积为528tcm2；（Ⅲ）0t
5
或
2
t5．
【分析】
（Ⅰ）先求出OE的长，再根据OA,AB,DE的长即可得；
（Ⅱ）先分别求出点P运动到点C所需时间、点Q运动到点D所需时间，从而可得0t5，
再分0t4和4t5两种情况，分别利用三角形的面积公式、梯形的面积公式即可得；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，分0t4和4t5两种情况，分别建立不等式，解不等式即
可得．
【详解】解：（Ⅰ） AB//CD//x轴，ABCD4cm，
OE ABCD8cm，

BC//DE//y轴，OA5cm,DE 2cm，
B4,5,C4,2,D8,2
；
（Ⅱ）∵点P运动的路径长为ABBC 437(cm)，所用时间为7秒；点Q运动的路径
10
长为 ，所用时间为 5秒，
OEDE8210(cm)
2
∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间t的取值范围为0t5，
8
点 运动到点 所用时间为4秒，点 运动到点 所用时间为 4，
P B Q E 2
因此，分以下两种情况：
①如图，当0t4时，OA5cm,OQ2tcm，1 1
则三角形 的面积为 OQOA 2t55t(cm2)；
OPQ 2 2
②当4t5时，
如图，过点P作PM DE，交ED延长线于点M ，
PM 4cm,EQ2t8cm,PBt4cm，
EM OAPB9tcm,MQEM EQ173tcm，
则三角形OPQ的面积为S
梯形OPME
S
三角形PMQ
S
三角形OEQ
，
48 1 1
 (9t) 4(173t) 8(2t8)，
2 2 2
528t(cm2)，
综上，当0t4时，三角形OPQ的面积为5tcm2；当4t5时，三角形OPQ的面积为
528tcm2
；
（Ⅲ）①当0t4时，则5t16，
16
解得t ，
5
16
则此时 的取值范围为0t ；
t 5
②当4t5时，
则528t16，
9
解得t> ，
2
9
则此时 的取值范围为 t5，
t 2
9
16
综上，当三角形 的面积的范围小于16时，0t 或 t5．
OPQ 5 2
【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积公式、一元一次不等式的应用等知识点，
较难的是题（Ⅱ），正确分两种情况讨论是解题关键．