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第七章 相交线与平行线全章题型总结【8 个知识点 16 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 两条直线相交】
【邻补角的概念与性质】
1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.
2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.
3.性质：邻补角互补.
【对顶角的概念与性质】
1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
2.性质：对顶角相等.
【题型1 邻补角与对顶角】
【例1】（2024春•襄州区校级月考）如图，直线AB和CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中
构成对顶角的是（ ）A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠COF和∠BOD D．∠BOC和∠AOD
【分析】根据对顶角的定义求解即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，只有∠BOC和∠AOD是对顶角，
故选：D．
【例2】（2024春•金山区期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列选项中与∠AOC
互为邻补角的是（ ）
A．∠BOC B．∠BOD C．∠COE D．∠BOE
【分析】根据有一条公共边，另一条边互为反向延长线的角是邻补角，可得答案．
【解答】解：与∠AOC互为邻补角的是∠AOD，∠BOC．
故选：A．
【例3】（2024春•武汉期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．∠AOC的邻补角是∠COF
B．∠DOA的对顶角是∠BOF
C．若∠AOE＝25°，则∠AOF＝155°
D．∠DOF+∠AOC＝180°
【分析】根据对顶角、邻补角的定义及性质判断即可．
【解答】解：A、∠AOC的邻补角是∠COB和∠AOD，故此选项不符合题意；B、∠DOA的对顶角是∠BOC，故此选项不符合题意；
C、若∠AOE＝25°，则∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣25°＝155°，故此选项符合题意；
D、∠DOF+∠FOC＝180°，而不能证明∠AOC＝∠FOC，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2024秋•二道区期末）将两根长方形木条a、b按如图所示放置，固定木条a，转动木条b，若
∠1减小5°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠2减小5° B．∠3增大5°
C．∠4增大5° D．∠2和∠4的和不变
【分析】根据对顶角和邻补角的定义解答即可．
【解答】解：A、∠1和∠2是邻补角，当∠1减小5°时，∠2增加5°，故选项错误，不符合题意；
B、∠1和∠3是对顶角，当∠1减小5°时，∠3也减小5°，故选项错误，不符合题意；
C、∠1和∠4是邻补角，当∠1减小5°时，∠4增加5°，故选项正确，符合题意；
D、∠4和∠2都与∠1是邻补角，当∠1减小5°时，∠2和∠4都增加5°，∠2与∠4的和增大10°，故选
项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（2024•唐山三模）如图，直线a与直线b交于点A，此时图中有两对对顶角，若过点A再画一
条不与直线a，b重合的直线c，则新增加的对顶角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】两条直线相交于一点形成 2对对顶角，n条直线相交于一点形成n（n﹣1）对对顶角，据此解
答即可．
【解答】解：两条直线相交于一点形成2对对顶角，
三条直线相交于一点形成2×3＝6对对顶角，
所以新增加4对对顶角，
故选：C．【变式3】（2024秋•晋江市期末）若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2＝140°，则∠1的补角是 °．
【分析】根据对顶角相等以及互为补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠2＝140°，
∴∠1＝∠2＝70°，
∴∠1的补角是180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
【知识点2 两条直线垂直】
【垂直的定义】
1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直
线
叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【垂线的画法及性质】
1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.
一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合
二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点
三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【垂线段最短】
1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.
2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.
【点到直线的距离】
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型2 “垂线段最短”的运用】
【例1】（2024秋•长春期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小
强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（ ）A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据垂线段最短即可解答．
【解答】解：小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为垂线段最短．
故选：C．
【例2】如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PB与l垂直，在从点P到点A、从点P
到直线l的多条道路中，点P到点A的最短路线是 ，点P到直线l的最短路线是 （只填写序
号即可）．
【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直
线上各点所连的线段中，垂线段最短．填空．
【解答】解：①因为两点之间线段最短，所以在连接 PA的所有路线中，点 P到点A的最短路线是
（3），（1分）
②线段BP是点P到直线L的垂线段，根据垂线段最短可知，（1）～（5）中，PB最短，所以点P到
直线l的最短路线是（4）．（2分）
故答案为：（3）、（4）．
【变式1】如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示河流与铁路．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解
答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
【解答】解：如图所示
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿BD走，垂线段最短；
（3）沿AC走，垂线段最短．
【变式2】如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是 ．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是 ．
【分析】（1）过A作AC⊥MN，AC最短；
（2）连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．
【解答】解：（1）过A作AC⊥MN，根据：垂线段最短．
（2）连接AB交MN于D，根据是：两点之间线段最短．
【变式3】如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
【解答】解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
【题型3 点到直线的距离】
【例1】（2024秋•海口期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝
5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，
∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm，
故选：A．【例2】（2024春•娄星区期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，
∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距
离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是
（ ）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条
直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【解答】解：①线段AP的长是点A到直线PC的距离，原来的说法错误；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；
④线段PB的长是点P到直线l的距离，原来的说法错误．
故选：A．
【变式1】（2024春•越秀区期末）直线l上有三点A，B，C，点P为直线l外一点，若PA＝2cm，PB＝
3cm，PC＝4cm，点P到直线l的距离为d cm，则下列说法正确的是（ ）
A．d＞4 B．3＜d≤4 C．2＜d≤3 D．d≤2
【分析】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．
【解答】解：因为垂线段最短，
所以点P到直线l的距离为不大于2cm，即d≤2cm．
故选：D．
【变式2】（2024春•宁江区校级期末）如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已
知PA＝2.7米，MC＝2.6米，则小明跳远的成绩可能是（ ）A．2.7米 B．2.65 米 C．2.6米 D．2.5米
【分析】跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段MB的长度．
【解答】解：根据跳远成绩的计算方法可知：垂线段MB的长度是小明跳远的成绩，
∵垂线段最短，
∴MB＜MC，
∴小明跳远的成绩可能是2.5米．
故选：D．
【变式3】（2024秋•射洪市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝16，AB＝20，
点D是AB边上的动点，则线段CD的最小值是 ．
【分析】根据垂线段最短得出当CD⊥AB时，CD的长度最小，再运用等面积法求解即可．
【解答】解：由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的长度最小，如图．
∵∠ACB＝90°，
1 1
∴S = AC⋅BC= AB⋅CD，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×16×12= ×20×CD，
2 2
∴CD＝9.6．
【知识点3 两条直线被第三条直线所截】
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）
的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【题型4 三线八角的判断】
【例1】（2024秋•西山区校级期末）下列判断错误的是（ ）
A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠2与∠4是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∠3与∠4是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∠5与∠6不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意；
D、∠1与∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】（2024秋•新安县期末）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意；
B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意；
故选：C．
【变式2】（2024春•新罗区期中）如图，直线l 、l 、l 两两相交于点A、B、C，生成如图所示的∠1～
1 2 3∠12的12个小于平角的角中，互为同位角、内错角、同旁内角的对数分别记为 a、b、c，则a+b+c的
值为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【分析】根据内错角、同位角、同旁内角的定义即可判断．
【解答】解：依题意，得：
∵∠1与∠8、∠11；∠2与∠7、∠12；∠3与∠6、∠9；∠4与∠5、∠10；∠5与∠9；∠6与∠12；
∠7与∠11；∠8与∠10互为同位角，
∴a＝12；
∵∠1与∠9；∠2与∠5、∠10；∠3与∠8；∠7与∠9；∠8与∠12互为内错角，
∴b＝6；
∵∠1与∠10；∠2与∠8、∠9；∠3与∠5；∠7与∠12；∠8与∠9互为同旁内角，
∴c＝6；
∴a+b+c＝12+6+6＝24．
故选：B．
【变式3】（2024春•微山县期中）如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠C中，同位角对数为a，内错
角对数为b，同旁内角对数为c，则abc＝ ．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角
中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内
角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的
同旁，则这样一对角叫做同旁内角，结合图形进行分析即可进行分析即可
【解答】解：同位角有：∠1与∠C，∠5与∠C，
内错角：∠2与∠4，∠3与∠5，
同旁内角：∠2与∠5，∠3与∠4，∠4与∠C，∠3与∠C，
∴a＝2，b＝2，c＝4，
∴abc＝2×2×4＝16，
故答案为：16．
【知识点4 平行线的概念】
【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【平行线的基本事实及其推论】
（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【题型5 平行线的概念及其推论】
【例1】同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行
【分析】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答．
【解答】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系．
故选：B．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c
B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥cD．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，
∴a⊥c，故本选项错误；
B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误；
C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误；
D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确；
故选：D．
【变式2】如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的平行线，可画出的平行线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”解答．
【解答】解：过直线l外一点Q画直线l的平行线，只能画一条，
故选：B．
【变式3】下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．
【解答】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：B．【知识点5 平行线的判定】
定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
两直线平行．
定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两
直线平行．
定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互
补，两直线平行．
注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【题型6 平行线的判定条件】
【例1】如图，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝
180°．其中，能推出AD∥BC的条件为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据平行线的判定方法结合题目所给的条件进行推理即可．
【解答】解：①∠3＝∠4可以根据同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项正确；
②∠1＝∠2可以根据内错角相等，两直线平行判定AB∥DC，故此选项错误，
③因为 EF∥CD 得∠1＝∠2 又因为∠D＝∠4，根据三角形内角和是 180°得∠DAC＝∠BCA 得
AD∥BC，
故此选项正确；
④∠3+∠5＝180°，可得到∠5＝∠DAB，再根据同位角相等，两直线平行判定 AD∥BC，故此选项正
确；
故选：C．
【例2】如图所示，下列说法正确的是（ ）A．若∠3＝∠5，则CD∥EF B．若∠2＝∠6，则CD∥EF
C．若∠4＝∠3，则CD∥EF D．若∠1＝∠6，则GH∥AB
【分析】根据平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：A、若∠3＝∠5，不能判定CD∥EF，故不符合题意；
B、若∠2＝∠6，不能判定CD∥EF，故不符合题意；
C、∵∠4＝∠3，
∴180°﹣∠4＝180°﹣∠5，
∴∠5＝∠2，
∴CD∥EF，故符合题意；
D、若∠1＝∠6，不能判定GH∥AB，故不符合题意；
故选：C．
【变式1】如图，下列条件：①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠4＝∠5，④∠2+∠4＝180°中，能判断直
线l ∥l 的有（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴l ∥l ；
1 2
∵∠4＝∠5，
∴l ∥l ；
1 2
∵∠2+∠4＝180°，∴l ∥l ，
1 2
则能判断直线l ∥l 的有3个．
1 2
故选：C．
【变式2】如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，连接DE，DF，CD，下列条件
中，不能推理出AC∥DE的是（ ）
A．∠EDC＝∠DCF B．∠DEB＝∠FCE
C．∠DEC+∠FCE＝180° D．∠FDE+∠DEC＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：由∠EDC＝∠DCF，能判定DE∥AC，故A不符合题意；
由∠DEB＝∠FCE，能判定DE∥AC，故B不符合题意；
由DEC+∠FCE＝180°，能判定DE∥AC，故C符合题意；
由∠FDE+∠DEC＝180°，不能判定DE∥AC，故D符合题意；
故选：D．
【变式3】如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，添加一个条件，仍不能判
定AB∥CD，添加的条件可能是（ ）
A．∠BOE＝55° B．∠DOF＝35°
C．∠BOE+∠AOF＝90° D．∠AOF＝35°
【分析】根据平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝55°，
∴∠BOD＝2∠BOE＝110°，
∵∠D＝110°，
∴∠BOD＝∠D，∴CD∥AB，故A不符合题意；
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，∠DOF＝35°，
∴∠DOE＝55°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOB＝2∠DOE＝110°，
∵∠D＝110°，
∴∠DOB＝∠D，
∴AB∥CD，故B不符合题意；
∵∠BOE+∠AOF＝90°，
∴∠EOF＝90°，但不能判断AB∥CD，故C符合题意；
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，∠AOF＝35°，
∴∠BOE＝55°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOB＝2∠BOE＝110°，
∵∠D＝110°，
∴∠DOB＝∠D，
∴AB∥CD，故D不符合题意；
故选：C．
【知识点6 平行线的性质】
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
【题型7 由平行线的性质求角度】
【例1】（2024秋•常州期末）将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，
∠A＝30°．若∠1＝ °，则∠3﹣∠2的大小为（ ）
αA．30° B．60° C．（30+ ）° D．（30+2 ）°
【分析】过B作BK∥MN，得到BK∥PQ，推出∠5＝α∠1＝ °，∠6＝∠2，α得到∠2+ °＝60°，因此
2∠2+2 °＝120°，由三角形内角和定理得到∠3+∠2＝150°，即α可求出∠3﹣∠2＝（30+2α）°．
【解答】α 解：过B作BK∥MN， α
∵MN∥PQ，
∴BK∥PQ，
∴∠5＝∠1＝ °，∠6＝∠2，
∴∠2+ °＝∠α5+∠6＝∠ABC＝60°，
∴2∠2+α2 °＝120°，
∵∠3+∠α4＝180°﹣∠A＝150°，∠4＝∠2，
∴∠3+∠2＝150°，
∴∠3+∠2﹣（2∠2+2 °）＝150°﹣120°，
∴∠3﹣∠2＝（30+2 α）°．
故选：D． α
【例2】（2024秋•沈丘县期末）如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（
）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
【分析】先过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH，最后根据
∠CFH＝∠3﹣∠EFH，求得∠4即可．
【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1＝∠AEG，
∴∠GEF＝∠2﹣∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1，
∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
∵FH∥CD，
∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
故选：D．
【变式1】（2024秋•三亚期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其
中顶点 F、G 分别落在直线 AB，CD 上，GE 交 AB 于点 H，若∠EHB＝45°，则∠AFG 的度数为
（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【分析】由AB∥CD可得∠EGD＝∠EHB＝45°，结合∠FGE＝60°可得出∠FGD的度数，再由AB∥CD
得出∠AFG＝∠FGD，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EHB＝45°，
∴∠EGD＝∠EHB＝45°，
∵∠E＝30°，∠FGE＝60°，∴∠FGD＝∠FGE+∠EGD＝60°+45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠AFG＝∠FGD＝105°．
故选：D．
【变式2】（2024秋•中牟县期末）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产
“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的
数学问题：已知BC∥DE，∠ADE＝80°，∠ABC＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】过A作AF∥BC，得到AF∥DE，由平行线的性质推出∠FAD＝∠ADE＝80°，∠FAB＝∠ABC
＝110°，即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：过A作AF∥BC，
∵BC∥DE，
∴AF∥DE，
∴∠FAD＝∠ADE＝80°，∠FAB＝∠ABC＝110°，
∴∠BAD＝∠FAB﹣∠FAD＝30°．
故选：B．
【变式3】（2024秋•三水区期末）如图，BG∥CE，BC∥GE，点F在GE上，线段BG的延长线与线段
CF的延长线相交于点A．如果∠AGE＝70°，∠FCB：∠FCE＝5：6，求∠CFE的度数（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】先利用平行线的性质可得∠CFE＝∠FCB，∠AGE＝∠ABC＝70°，再利用平行线的性质可得
5
∠BCE＝110°，然后根据题目的已知易得：∠FCB= ∠BCE＝50°，即可解答．
11
【解答】解：∵BC∥GE，
∴∠CFE＝∠FCB，∠AGE＝∠ABC＝70°，
∵BG∥CE，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝110°，
∵∠FCB：∠FCE＝5：6，
5
∴∠FCB= ∠BCE＝50°，
11
∴∠CFE＝∠FCB＝50°，
故选：B．
【变式4】（2024秋•香坊区期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实
物平面图，图②是其部分结构示意图，其中AB∥ED，∠ABC＝115°，∠EDC＝135°，则∠BCD的度数
为 °．
【分析】根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：过点C作CM∥AB，∵AB∥ED，
∴AB∥CM∥ED，
∴∠ABC+∠BCM＝180°，∠EDC+∠DCM＝180°，
∵∠ABC＝115°，∠EDC＝135°，
∴∠BCM＝65°，∠DCM＝45°，
∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝110°，
故答案为：110．
【题型8 填写推理依据，完善证明过程】
【例1】（2024秋•北碚区校级期末）已知：如图，在三角形DBF中，DE⊥BF，DE平分∠BDF，点A是
1
线段BD延长线上一点，点C在线段EF上，连接AC交DF于点M，∠A= ∠BDF．
2
求证：AC⊥BF．
请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据．
证明：∵DE平分∠BDF，
1
∴∠BDE= ∠BDF（① ）．
2
1
∵∠A= ∠BDF，
2
∴∠A＝② （③ ），
∴AC∥④ （⑤ ），
∴∠ACB＝∠DEB（⑥ ）．
∵DE⊥BF，
∴∠DEB＝90°（⑦ ），
∴∠ACB＝⑧ ，
∴AC⊥BF．【分析】结合角平分线定义推出∠A＝∠BDE，即可判定AC∥DE，再根据平行的性质及垂直的定义求
解即可．
【解答】证明：∵DE平分∠BDF，
1
∴∠BDE= ∠BDF（角平分线定义）．
2
1
∵∠A= ∠BDF，
2
∴∠A＝∠BDE（等量代换），
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．
∵DE⊥BF，
∴∠DEB＝90°（垂直的定义），
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BF．
故答案为：①角平分线定义；②∠BDE；③等量代换；④DE；⑤同位角相等，两直线平行；⑥两
直线平行，同位角相等；⑦垂直的定义；⑧90°．
【变式1】（2024秋•仁寿县期末）完成下列证明：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．
求证：DG∥BA．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ ），
∴∠EFB＝∠ADB（ 等量代换），
∴EF∥AD（ ），
∴∠1＝∠BAD（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ ＝∠ （等量代换），
∴DG∥BA．（ ）．【分析】根据垂直得出∠EFB＝∠ADB＝90°，根据平行线的判定得出EF∥AD，根据平行线的性质得出
∠1＝∠BAD，求出∠2＝∠BAD，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ 垂直定义）
∴∠EFB＝∠ADB（ 等量代换）
∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠BAD（ 两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BAD（等量代换）
∴DG∥BA．（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（垂直定义）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，同位角相等）；2；BAD，
（内错角相等，两直线平行）．
【变式2】（2024秋•儋州期末）填空：已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：
CD⊥AB．
证明：∵FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝ ．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（ ）；
∴∠2＝ ．（ ）；
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝ （等量代换），
∴CD∥ （内错角相等，两直线平行）；
∴ ＝ ＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴CD⊥AB．【分析】根据平行线性质与判定，即可求解．
【解答】解：∵FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠DCB．（两直线平行，内错角相等），
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠DCB（等量代换），
∴CD∥HF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BHF＝∠BDC＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴CD⊥AB．
故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠DCB；两直线平行，内错角相等；∠DCB；EF；
∠BHF；∠BDC．
【变式3】（2024秋•丹徒区期末）根据题意将下列空格补充完整．
如图，若∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A．试说明AB与DF平行．
理由：因为∠DEH+∠EHG＝180°，
所以ED∥ （ ），
所以∠1＝∠C（ ），
∠2＝ （ ）．
因为∠1＝∠2，
所以∠C＝ ．
又因为∠C＝∠A，
所以∠A＝ ，
所以AB∥DF（ ）．【分析】根据平行线的判定与性质，将所给证明过程补充完整即可．
【解答】解：因为∠DEH+∠EHG＝180°，
所以ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
所以∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠2，
所以∠C＝∠DGC．
又因为∠C＝∠A，
所以∠A＝∠DGC，
所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：AC，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠DGC，两直线平行，内错
角相等，∠DGC，∠DGC，同位角相等，两直线平行．
【题型9 平行线的判定与性质的应用】
【例1】（2024秋•新安县期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？请说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠BDC可得AB∥CD，进一步可推得∠ADC+∠3＝180°，即可证明AD∥CE；
（2）由角平分线的定义可得∠ADC＝37.5°，结合（1）的结论可推得∠2＝∠ADC＝37.5°，根据两直线
垂直的定义可得∠DAF＝90°，由此即得答案．
【解答】解：（1）AD∥CE，理由如下：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC＝75°，
1
∴∠ADC= ∠BDC=37.5°，
2
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC＝37.5°，
∵DA⊥FA，
∴∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAF﹣∠2＝52.5°．
【例2】（2024秋•紫金县期末）如图，点 D、F在线段 AB上，点 E、G分别在线段 BC 和AC 上，
CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）求证：DG∥BC；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠DGC＝63°，∠DCG＝2∠BCD+27°，求∠B．
【分析】（1）先根据CD∥EF得出∠2＝∠BCD，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠BCD，进而可得出结论；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；（2）解：∵DG∥BC，
∴∠DGC+∠BCG＝180°，
∵∠DGC＝63°，
∴∠BCG＝117°，
即∠BCD+∠DCG＝117°，
∵∠DCG＝2∠BCD+27°，
∴∠BCD＝30°，
∵DG∥BC，
∴∠1＝∠BCD＝30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠1＝∠ADG＝30°，
∵DG∥BC，
∴∠B＝∠ADG＝30°．
【变式1】（2024秋•西安期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且
∠DEF＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠BDC＝∠DFE；
（2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝2∠B，求∠BDC的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠B＝∠ADE，然后利用等量代换可得∠ADE＝∠DEF，从而利用
内错角相等，两直线平行可得AD∥EF，再利用平行线的性质可得∠BDC＝∠DFE，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得：∠ADC＝2∠ADE，再利用（1）的结论可得∠ADC＝2∠B，然后根
据已知和平角定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴AD∥EF，
∴∠BDC＝∠DFE；（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠BDC＝2∠B，∠BDC+∠ADC＝180°，
∴2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠BDC＝2∠B＝90°．
【变式2】（2024秋•扬州期末）如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在
边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数．
【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得AB∥GD，从而得∠2＝∠BAD，则可求得∠BAD+∠3＝
180°，即可证得EH∥AD；
（2）由平行线的性质可得∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，可得∠BAC＝58°，再利用平行线的性质可
求得∠H＝∠BAD，则可求∠4的度数，从而求∠H的度数．
【解答】解：（1）EH∥AD，理由如下：
∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，∵∠DGC＝58°，
∴∠BAC＝58°，
∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H＝∠4+10°，
∴∠4+10°+∠4＝58°，
解得：∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
【变式3】（2024秋•金水区校级期末）如图，AB∥CD，∠A＝∠BDC．
（1）求证：AE∥BD．
（2）若∠AEC的平分线交CD的延长线于点F，且∠BDC＝140°，∠F＝22°．求∠CEF的度数．
【分析】（1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BDC+∠B＝180°，结合∠A＝∠BDC易
得∠A+∠B＝180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可；
（2）过点E作EG∥AB，易得∠A+∠AEG＝180°，进而解得∠AEG的值，再证明CD∥EG，由“两直
线平行，内错角相等”可得∠FEG＝∠F＝22°，进而求得∠AEF的值，然后根据角平分线的定义确定
∠CEF的度数即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BDC+∠B＝180°，
∵∠A＝∠BDC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AE∥BD；
（2）解：如图，过点E作EG∥AB，∴∠A+∠AEG＝180°，
∵∠BDC＝∠A＝140°，
∴∠AEG＝180°﹣∠A＝40°，
∵AB∥CD，AB∥EG，∠F＝22°，
∴CD∥EG，
∴∠FEG＝∠F＝22°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠FEG＝62°，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF＝∠AEF＝62°．
【知识点7 定义、命题、定理】
命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．
命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写
成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 .
举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.
像这样的例子叫作反例.
【命题与证明综合应用】
（1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”
“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如
本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明.
（3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经
过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然
后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方
法.【题型10 命题与定理】
【例1】（2024秋•南岗区校级期中）下列命题中：
（1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）平移时，连接对应点的线段平行且相等；
（4）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；
（5）对顶角相等；
（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平移性质、平行线的判定、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选
项．
【解答】解：（1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，错误；
（2）两平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；
（3）平移时，连接对应点的线段平行且相等或相等且在同一直线上，故错误；
（4）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误；
（5）对顶角相等，正确；
（6）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；
故选：A．
【例2】（2024秋•南岸区期末）以下四个例子中，不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命
题的是（ ）
A．设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60°
B．设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°
C．设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°
D．设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°
【分析】反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项．
【解答】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项错误，符合题意；
B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项正确，不符合题意；
C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项正确，不符合题意；
D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项正确，不符合题意．
故选：A．【例3】（2023秋•子洲县校级期末）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：
．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题．
【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相
等．
故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【变式1】（2024秋•南岗区校级期中）下列语句中：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条
直线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线
与已知直线平行；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一
点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据垂直的定义、平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义，邻补角的定义等逐项判
断即可求解．
【解答】解：①同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，故①不
符合题意；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不符合题意；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意；
④两直线平行，同位角相等，故④不符合题意；
⑤两条直线相交，若邻补角相等，则邻补角均为90度，即这两条直线互相垂直，故⑤符合题意；
⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ，故⑥不符合题意；
综上可知，真命题的个数有1个，
故选A．
【变式2】（2024秋•金水区期末）小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正
确，请你帮他举出一个反例 ．（画出图形，并加以解释）
【分析】因此此题可画出图形然后根据平行线的性质可进行求解．
【解答】解：如图所示，根据平行线性质可知∠DEF＝∠BGD，∠ABC+∠BGD＝180°，
∴∠DEF+∠ABC＝180°，
故如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补；
故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补．
【变式3】（2024秋•市南区期末）如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为
已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题．
①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB．
你选的条件是 ，结论是 ．请加以证明．
【分析】由角平分线定义得到∠2＝∠CBE，因此∠CBE＝∠E，判定AE∥BC，推出∠A+∠ABC＝
180°，由补角的性质推出∠A＝∠1，判定DF∥AB．
【解答】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下：
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠2＝∠CBE，
∵∠E＝∠2，
∴∠CBE＝∠E，
∴AE∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠1+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠1，
∴DF∥AB．故答案为：①②，③．
【知识点8 平移】
【平移定义】
1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．
2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.
【平移的性质】
（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同.
（2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)
且相等.
【平移作图】
（1）定：确定平移的方向和距离；
（2）找：找出原图形中的关键点；
（3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点；
（4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形.
【题型11 平移的性质应用】
【例1】（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条
直线上，若EC＝2，BF＝8，则AD的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】根据平移的性质可得BC＝EF，CF＝3，然后列式求解即可．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC向右平移得到，
∴BC＝EF，AD＝BE，
∴BE＝CF＝（8﹣2）÷2＝3，
∴AD＝BE＝3．
故选：B．
【变式1】（2024春•鼓楼区期末）如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则
四边形ABFD的周长为（ ）A．18 B．20 C．22 D．24
【分析】根据平移的性质，可以得到 DF＝AC，AD＝CF＝3，再根据四边形的周长为
AB+BC+CF+DF+AD，结合△ABC的周长为12即可求出答案．
【解答】解：由平移的性质可知：DF＝AC，AD＝CF＝3，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC＝12，
∴AB+BC+DF＝12，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝12+3+3＝18，
故选：A．
【变式2】（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，将△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，若BF＝7CE，
则BC的长为 cm．
【分析】根据平移的性质得出BE＝CF＝AD，进而解答即可．
【解答】解：由平移可得，BE＝CF＝AD＝4cm，
∵BF＝BE+EF＝4+（CF﹣CE）＝4+4﹣CE＝7CE，
∴CE＝1cm，
∴BC＝BE﹣CE＝4﹣1＝3（cm），
故答案为：3．
【变式3】（2024秋•西山区校级期末）如图，将直角三角形 ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，
已知BE＝4，AG＝3，AC＝7，则图中阴影部分的面积为 ．【分析】根据平移的性质可得S△DEF ＝S△ACB ，DF＝AC＝7，BE＝CF＝4，推出阴影部分的面积＝S梯形
，即可求解．
CFDG
【解答】解：由平移的性质得，S△DEF ＝S△ACB ，DF＝AC＝7，BE＝CF＝4，
∴阴影部分的面积＝S梯形CFDG ，
∵AG＝3，AC＝7，
∴GC＝AC﹣AG＝7﹣3＝4，
(GC+DF)⋅CF (4+7)×4
∴S = = =22，
梯 形CFDG 2 2
∴阴影部分的面积为22．
故答案为：22．
【题型12 平移变换—作图】
【例1】（2024春•高新区校级月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的
三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
（3）若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点E，F即可；
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（3）利用平移变换的性质判断即可．
【解答】解：（1）如图1，△EFD即为所求；（2）如图2，线段CH即为所求；
（3）CD∥AE．
故答案为：CD∥AE．
【例2】（2024春•思明区校级期中）在如图所示4×4方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形
（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．
（1）在图1中，将△ABC先向右平移2格，再向上平移1格得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；
（2）在图2中，线段AB与CD相交于点O，且∠AOC＝ ，请画一个△CDE，使得△CDE中的一个角
等于∠ ． α
α
【分析】（1）把△ABC向右平移2个单位即可；（2）把BA向右平移2个单位，再向下平移2个单位，根据平行线的性质，即可求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，△CDE为所作．
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠ ，
∴△CDE即为α所求．
【变式1】（2024春•靖江市校级月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC
的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应
点．
（1）画出平移后的△A′B′C′；
（2）△A′B′C′的面积为 ；
（3）作出△ABC在BC边上的高AM；
（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 ．
【分析】（1）根据点A与点A′的位置变换确定平移的方向与距离，再利用网格特点作出B、C的对应
点B′、C′；
（2）利用矩形的面积减去直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积；（3）先过C点作BC的垂线得到格点E，然后把CE平移到AM的位置，则AM与BC的交点即为M
点；
（4）根据平移的性质进行判断；利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
1 1 1
（2）S△A'B'C′ ＝3×3−
2
×2×1−
2
×2×3−
2
×1×3＝3.5；
故答案为：3.5；
（3）如图，点AM为所作；
（4）如图，连接AA'，CC'，则AA'与CC'平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【变式2】（2024春•桐柏县期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位长度，
△ABC的三个顶点都在格点上，点M也在格点上．用无刻度的直尺在网格内按要求完成作图并回答问
题：
（1）过点M作一条线段MN平行且等于BC．
（2）将图中三角形ABC先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到三角形A′B′C′，
①在图中作出平移后的三角形A′B′C′．
②在平移过程中，线段AB扫过的面积为 ．
【分析】（1）利用网格的大小根据平移的性质作图即可；
（2）①根据平移的性质作图即可．②线段AB在向左平移过程中未扫过面积，再向上平移2个单位的
过程中扫过的面积为2×3的矩形面积．
【解答】解：（1）如图线段MN即为所求，（图一或图二，答案不唯一）．（2）①平移后的三角形A′B′C′如图所示，
②线段AB在向左平移过程中未扫过面积，
再向上平移2个单位的过程中扫过的面积为：3×2＝6．
故答案为：6．
【变式3】（2024春•睢宁县期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸
格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在AC上找一点P，使得线段BP平分△ABC的面积，在图上作出线段BP；
（4）在图中能使S△QBC ＝S△ABC 的格点Q的个数有 个（点Q异于A）．【分析】（1）分别作出A，B，C都是对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可．
（3）作出△ABC的中线BP即可．
（4）过点A作BC的平行线，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求作．
（2）如图，线段CD即为所求作．
（3）如图，线段BP即为所求作．
（4）如图，满足条件的Q有4个．
故答案为：4．【题型13 相交线中的角度计算】
【例1】（2024春•英德市期中）直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，OG平分∠BOF．
（1）如图1，①∠AOD的余角有 ．（填写所有符合情况的角）
②若∠AOD：∠COG＝2：3，求∠AOD的度数．
（2）如图2：探究∠AOD与∠COG是否存在数量关系，如果存在，请直接写出∠AOD与∠COG的数
量关系，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①因为CD⊥EF，所以∠DOE＝∠COE＝∠DOF＝∠COF＝90°，可得∠AOD+∠AOE＝
90°，因为∠AOE＝∠BOF，所以∠AOD+∠BOF＝90°，可得∠AOD的余角；
②因为∠COG＝∠BOC+∠BOG＝∠AOD+∠BOG，∠AOD：∠COG＝2：3，所以∠AOD＝2∠BOG，
即∠BOC＝2∠BOG，因为 OG 平分∠BOF，所以∠BOF＝2∠BOG，可得∠BOC＝∠BOF，因为
∠BOC+∠BOF＝∠COF＝90°，所以∠AOD＝∠BOC＝45°；
（2）因为∠AOD＝∠BOC，∠COF＝90°，所以∠BOF＝90°+∠AOD，因为OG平分∠BOF，可得
1 1
∠BOG= ∠BOF＝45°+ ∠AOD，因为∠COG＝∠BOG﹣∠BOC＝∠BOG﹣∠AOD，可得∠COG＝
2 2
1
45°− ∠AOD．
2
【解答】解：（1）①∵CD⊥EF，
∴∠DOE＝∠COE＝∠DOF＝∠COF＝90°，
∴∠AOD+∠AOE＝90°，
∵∠AOE＝∠BOF，
∴∠AOD+∠BOF＝90°，
故答案为：∠AOE、∠BOF；
②∵∠COG＝∠BOC+∠BOG＝∠AOD+∠BOG，∠AOD：∠COG＝2：3，
∴∠AOD＝2∠BOG，即∠BOC＝2∠BOG，
∵OG平分∠BOF，∴∠BOF＝2∠BOG，
∴∠BOC＝∠BOF，
∵∠BOC+∠BOF＝∠COF＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC＝45°；
（2）∵∠AOD＝∠BOC，∠COF＝90°，
∴∠BOF＝90°+∠AOD，
∵OG平分∠BOF，
1 1
∴∠BOG= ∠BOF＝45°+ ∠AOD，
2 2
∵∠COG＝∠BOG﹣∠BOC＝∠BOG﹣∠AOD，
1
∴∠COG＝45°− ∠AOD．
2
【变式1】（2024秋•响水县期末）已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC，OE⊥AB于点O．
（1）如图①，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
1
（2）如图②，若∠CON= ∠EON（∠EON＜180°），∠MON＝80°，求∠BON的度数．
3
1
【分析】（1）由角平分线定义得到∠MON= ∠AOB，即可得到答案；
2
1
（2）设∠BON＝x°，由条件得到50°− x°+x°＝100°，求出x的值，即可得到答案．
3
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC，∠CON= ∠BOC，
2 2
1
∴∠MOC+∠CON= （∠AOC+∠BOC），
2
1 1
∴∠MON= ∠AOB= ×180°＝90°；
2 2（2）设∠BON＝x°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠EON＝90°+x，
1 1
∴∠CON= ∠EON＝30°+ x°，
3 3
∵∠MON＝80°，
1 1
∴∠COM＝80°﹣（30°+ x°）＝50°− x°，
3 3
∵OM平分∠AOC，
1
∴∠AOM＝∠COM＝50°− x°，
3
∵∠AOM+∠BON＝100°，
1
∴50°− x°+x°＝100°，
3
∴x＝75，
∴∠BON＝75°．
【变式2】（2024春•岳阳期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF．求证：OE平分∠AOF；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度
数．
【分析】（1）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；
（2）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．
【解答】（1）证明：∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠FOD＝90°，
∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，∵∠BOD＝∠FOD，
∴∠FOB＝2∠FOD，
∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
（2）解：∵∠FOG：∠AOE＝2：3，
∴设∠FOG＝2 ，则∠AOE＝3 ，
∴∠EOG＝3 ﹣α2 ＝ ， α
∵∠EOG+∠αGODα＝9α0°，∠GOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOD＝ ，
∴∠FOD＝∠BOD＝α，
∵A，O，B三点在一α条直线上，
∴3 +3 + + ＝180°，
解得α ＝α2α2.5α°，
∴∠CαOG＝112.5°．
【变式3】（2024春•醴陵市校级期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两
侧，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（2）如图2，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断
∠AOE与∠DOE的数量关系．
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；分两种情况：当OG在EF下方
时；当OG在EF上方时，计算即可；
（2）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5 ，则∠FOH＝ ，再结合角平分线的
性质可用 表达出∠COH∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度α数． α
【解答】解α：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
当OG在EF下方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
1
∴∠AOE= ∠AOD=50°，
2
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
1
∴∠AOE= ∠AOD=50°，
2
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
综上，∠EOG为80°或100°；
（2）设∠DOE＝5 ，则∠FOH＝ ，
α α∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6 ，
∴∠BOC＝275°﹣15 ， α
∴∠AOD＝360°﹣∠αCOD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15 ）﹣120°＝15 ﹣105°，
∴∠AOE＝10 ﹣105°， α α
∴∠AOE＝2∠αDOE﹣105°．
【题型14 两块三角板平行问题】
【例1】（2024秋•沈丘县期末）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，
∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．
在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC
的某一边平行（不共线）．
【分析】需要分类讨论，当DE∥AB时，BD∥AC时，当DE∥AC时，当BE∥AC时，当DE∥BC时，
分别画出图形，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：当DE∥AB时，如图1，
此时∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠CBE＝15°，
t＝15°÷30°＝0.5；
当BD∥AC时，如图2，
此时∠DBC＝45°，
t＝45°÷30°＝1.5；
当DE∥AC时，如图3，此时，∠EBC＝60°+45°＝105°，
t＝105°÷30°＝3.5；
当BE∥AC时，如图4，
此时∠EBC＝90°+45°＝135°，
∴t＝135°÷30°＝4.5；
当DE∥BC时，如图5，
此时∠EBC＝90°+60°＝150°，
t＝150°÷30°＝5，
故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5．
【例2】（2024春•牡丹区月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C按如图方式叠放在一起
（其中∠B＝60°，∠E＝30°，∠A＝∠D＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足
三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ ．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：①当AD∥CE时，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝45°，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°；②当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
③如图中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝45°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝45°．
故答案为：135或165或45．
【变式1】（2024春•拱墅区校级期中）小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺
ABC，将另一块三角尺DEF，绕公共顶点B按顺时针方向旋转．旋转的度数不超过180度，若两块三角尺有一边平行，则三角尺DEF旋转的度数可能是 ．
【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
【解答】解：设旋转的度数为 ，
若DE∥AB，则∠E+∠ABE＝1α80°，
∴∠E＝∠ABE＝90°，
∴ ＝90°﹣30°﹣45°＝15°，
α
若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，
∴ ＝120°﹣30°﹣45°＝45°，
α
若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，
∴ ＝90°，
α
当点C，点B，点E共线时，
∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB＝90°，∴ ＝180°﹣45°＝135°，
α
故答案为：15°或45°或90°或135°．
【变式2】（2024春•五华区校级期中）如图，将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点 C重合放在
一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位
置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线BC的上方时，这两块三角尺还存在一组边互
相平行的情况，∠BCD角度所有可能的值为 ．
【分析】根据题意有以下五种情况：（1）当DE∥AB时，（2）当CE∥AB时，（3）当DE∥BC时，
（4）当CD∥AD时，（5）当DE∥AC时，根据每一种情况画出图形，利用平行线的性质求出∠BCD
角度即可．
【解答】解：∵改变三角尺DCE的位置，且点D在直线BC的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（1）当DE∥AB时，延长BC交DE于点F，如图1所示：
∵∠B＝60°，DE∥AB，点D在直线BC的上方，∴∠DFC＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠D＝∠E＝45°，
∴∠DCF＝180°﹣（∠DFC+∠D）﹣180°﹣（120°+45°）＝15°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCF＝180°﹣15°＝165°；
（2）当CE∥AB时，如图2所示：
则∠ACE＝∠A＝30°．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠DCA﹣90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE＝30°；
（3）当DE∥BC时，如图3所示：
则∠BCD＝∠D＝45°；
（4）当CD∥AD时，如图4所示：
则∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACD＝90°+30°＝120°；
（5）当DE∥AC时，如图5所示：则∠ACD＝∠D＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+45°＝135°；
综上所述：∠BCD的度数为165°或30°或45°或120°或135°，
故答案为：165°或30°或45°或120°或135°．
【变式3】（2023秋•海口期末）将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝
60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．
（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C
点自由旋转．
①当EB∥AC时，∠ACE＝ °；
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 °，请说明理由；
③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不
必写出理由．
【分析】（1）依题意得∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，进而得∠ACB＝90°+∠DCB，∠DCE＝90°﹣
∠DCB，由此得∠ACB+∠DCE＝180°，据此得∠ACB与∠DCE的数量关系；
（2）①当EB∥AC时，有以下两种情况：（ⅰ）当BE在AC的上方时，根据平行线的性质得∠ACE＝
∠E＝45°，（ⅱ）当BE在AC下方时，根据平行线的性质得∠ACB＝∠B＝45°，进而可得∠ACE的度
数，综上所述可得∠ACE的度数；
②要使CB∥AD，有以下两种情况：（ⅰ）当CB在AC的上方时，根据平行线的性质得∠DCB＝∠D＝30°，则∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°，由此可求出∠ACE的度数；（ⅱ）当CB在AC的下方时，
根据平行线的性质得∠ACB＝∠A＝60°，由此可得∠ACE的度数，综上所述可得∠ACE的度数；
③当CE∥AD时，有以下两种情况：（ⅰ）当CE在AC上方时，根据平行线的性质得∠DCE＝∠D＝
30°，由此可得∠ACE的度数；（ⅱ）当CE在AC下方时，根据平行线的性质得∠ACE＝∠A＝60°，综
上所述可得当CE∥AD时，∠ACE的度数；当EB∥DC时，有以下两种情况：（ⅰ）当BE在CD的左
侧时，根据平行线的性质得∠BCD＝∠B＝45°，则∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝45°，由此可得∠ACE的
度数；（ⅱ）当BE在CD的右侧时，根据平行线的性质得∠DCE＝∠E＝45°，由此可得∠ACE的度
数，综上所述可得当EB∥DC时，∠ACE的度数；当EB∥AD时，有以下两种情况：（ⅰ）当EB在
AD的左侧时，设 BC与AD交于点 T，根据平行线的性质得∠ATC＝∠B＝45°，则∠ACT＝180°﹣
（∠ATC+∠A）＝75°，由此可得∠ACE的度数；（ⅱ）当EB在AD的右侧时，延长AC交EB于点H，
根据平行线的性质得∠CHE＝180°﹣∠A＝120°，则∠ECH＝180°﹣（CHE+∠E）＝15°，∠DCE＝
∠DCH﹣∠ECH＝75°，由此可得∠ACE的度数，综上所述可得当EB∥AD时，∠ACE的度数．
【解答】解：（1）∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；
（2）①当EB∥AC时，有以下两种情况：
（ⅰ）当BE在AC的上方时，如图1所示：
∵EB∥AC，∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
（ⅱ）当BE在AC下方时，如图2所示：∵EB∥AC，∠B＝45°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝45°+90°＝135°，
综上所述：∠ACE＝45°或135°，
故答案为：45°或135°．
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为60°或150°，理由如下：
有以下两种情况：
（ⅰ）当CB在AC的上方时，如图3所示：
∵CB∥AD，∠D＝30°，
∴∠DCB＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（ⅱ）当CB在AC的下方时，如图4所示：∵CB∥AD，∠A＝60°，
∴∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝60°+90°＝150°，
综上所述：∠ACE的度数为30°或150°；
故答案为：30°或150°．
③当CE∥AD时，有以下两种情况：
（ⅰ）当CE在AC上方时，如图5所示：
∵CE∥AD，∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+30°＝120°；
（ⅱ）当CE在AC下方时，如图6所示：∵CE∥AD，∠A＝60°，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
综上所述：当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；
当EB∥DC时，有以下两种情况：
（ⅰ）当BE在CD的左侧时，如图7所示：
∵EB∥DC，∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
（ⅱ）当BE在CD的右侧时，如图8所示：∵EB∥DC，∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+45°＝135°，
综上所述：当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；
当EB∥AD时，有以下两种情况：
（ⅰ）当EB在AD的左侧时，如图9所示：
设BC与AD交于点T，
∵EB∥AD，∠B＝45°，
∴∠ATC＝∠B＝45°，
∴∠ACT＝180°﹣（∠ATC+∠A）＝180°﹣（45°+60°）＝75°，
∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACT＝90°﹣75°＝15°，
（ⅱ）当EB在AD的右侧时，如图10所示：延长AC交EB于点H，
∵EB∥AD，∠A＝60°，
∴∠CHE＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECH＝180°﹣（CHE+∠E）＝180°﹣（120°+45°）＝15°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DCH＝90°，
∴∠DCE＝∠DCH﹣∠ECH＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°，
综上所述：当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．
∴当 CE∥AD 时，∠ACE 的度数为 120°或 60°；当 EB∥DC 时，∠ACE 的度数为 45°或 135°；当
EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．
【题型15 平行线间的拐点问题综合】
【例1】（2024春•诸暨市校级月考）如图，已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD之间的点．
（1）如图1，若∠E＝100°，求∠B+∠D的度数；
（2）若∠B＝36°，∠D＝108°．
①如图2，请探索∠F﹣∠E的度数是否为定值，请说明理由；
②如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【分析】（1）：过点E作EM∥AB，则EM∥AB∥CD，然后根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM，∠D
＝∠DEM，即可解题；
（2）①如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，证明AB∥EN∥FP∥CD，可得∠1＝∠B＝36°，∠4＝180°﹣∠D＝72°，∠3＝∠2，再利用角的和差运算可得结论；
1 1
②如图，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，可得∠2=∠1= ∠BEF，∠3=∠4= ∠EFD，由三角
2 2
形的内角和定理可得∠P＝180°﹣（∠2+∠PFE）＝∠3—∠2，结合①得：∠EFD﹣∠BEF＝36°，从而
可得∠P＝18°．
【解答】解：（1）过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEM，∠D＝∠DEM，
∴∠B+∠D＝∠BE+∠DEM＝∠BED＝100°；
（2）①∠EFD﹣∠BEF＝36°，是定值，理由如下：
如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥FP∥CD，而∠B＝36°，∠D＝108°，
∴∠1＝∠B＝36°，∠4＝180°﹣∠D＝72°，∠3＝∠2，
∴∠EFD﹣∠BEF＝∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝∠4﹣∠1＝72°﹣36°＝36°；
②如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，
1 1
∴∠2=∠1= ∠BEF，∠3=∠4= ∠EFD，
2 2
∴∠P＝180°﹣（∠2+∠PFE）＝180°﹣（∠2+180°﹣∠3）＝∠3﹣∠2，∵由①得：∠EFD﹣∠BEF＝36°，
1 1
∴∠3−∠2= (∠EFD−∠BEF)= ×36°=18°，
2 2
∴∠P＝18°．
【例2】（2024春•下陆区校级月考）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G．
【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，
并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．
【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可
得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；
（2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数，进一步
求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论；
（3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系．
【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF，
∴∠AEF＝∠MAE，
∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15°
∴∠AEG＝60°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG＝∠AEG＝60°，
∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴EF∥CD．
（2）解：∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，
∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°，
∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°，
∴∠AEG＝70°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG＝∠AEG＝70°，
∴∠FEC＝100°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠NCE+∠FEC＝180°，
∴∠NCE＝80°．
（3）证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF，
∴∠MAE+∠FEA＝180°，
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG，
∵EG平分∠AEC，
∴∠GEC＝∠AEG，
∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG，
∵AB∥CD，AB∥EF，
∴EF∥CD，
∴∠FEC+∠NCE＝180°，
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°，
∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE，
即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．
【变式1】（2024春•忠县校级月考）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之
间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图 2，若点 P是CD下方一点，MG 平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求
∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接 EM、EN，且GM的延长线 MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数
【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝ ，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求
得∠MGN＝32°+ ，∠MPN＝64°﹣ ，即可得到∠MGN+α∠MPN＝32°+ +64°﹣ ＝96°；
（3）过G作GKα∥AB，过E作ET∥αAB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，利α用平行线α的性质以及角平分线的
1
定义，可得∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°− y﹣2x，∠MGN＝x+y，再根据2∠MEN+∠G＝105°，即可
2
1
得到2（90°− y﹣2x）+x+y＝105°，求得x＝25°，即可得出∠AME＝2x＝50．
2
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝ ，
∵GK∥AB，AB∥CD， α
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝ ，
∵GK∥AB，∠BMG＝α32°，
∴∠MGK＝∠BMG＝32°，
∵MG平分∠BMP，
∴∠GMP＝∠BMG＝32°，∴∠BMP＝64°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝ ，
∵AB∥CD， α
∴PQ∥CD∥GK，
∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝ ，
∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝α32°+ ，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣ ，
∴∠MGN+∠MPN＝32°+ +64°﹣ ＝α 96°； α
（3）如图3，过G作GKα∥AB，过α E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠AME＝2x，
∵CD∥AB，AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
1 1
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE= ∠CNG＝90°− y，
2 2
∵ET∥AB，AB∥CD，
∴ET∥CD，
1
∴∠TEN＝∠CNE＝90°− y，
2
1
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°− y﹣2x，∠MGN＝x+y，
2
∵2∠MEN+∠MGN＝105°，1
∴2（90°− y﹣2x）+x+y＝105°，
2
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
【变式2】（2024春•大渡口区校级月考）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、
CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝50°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，求∠P的度数；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图 3，在 AB 的上方有一点 O，若 FO 平分∠GFC．线段 GE 的延长线平分∠OEA，则当
∠EOF+∠EGF＝ 时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．（用含 的式子表示）
【分析】（1）①α②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；α
（2）过点 O 作 OT∥AB，则 OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝x，∠OEH＝∠HEA＝y，∠G＝
∠BEG+∠GFD＝y+180°﹣2x，根据平行线的性质求得x+y＝180°﹣ ，从而求解．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥ABα，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴NG∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG，
1 1
∴∠BEP= ∠BEG，∠PFD= ∠GFD，
2 2
1 1
∴∠EPF= (∠BEG+∠GFD)= ∠EGF=45°，
2 2
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝50°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝50°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝ ，
∵QR∥CD，AB∥CDα，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝80°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴ +∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝100°，
∴α∠FQE＝100°﹣ ，
由①可知∠G＝2∠αP＝∠BEG+∠GFD＝50°+ ，
∴∠FQE+2∠P＝100°﹣ +50°+ ＝150°； α
（2）结论：∠OEA+2∠OαFC＝3α60°﹣2 ；
理由：∵在AB的上方有一点O，若FOα平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的
延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝x，∠OEH＝∠HEA＝y，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝x，∠TOE＝∠OEA＝2y，
∴∠EOF＝x﹣2y，
∵∠HEA＝∠BEG＝x，∠GFD＝180°﹣2x，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝y+180°﹣2x，
∵∠EOF+∠EGF＝ ，
∴x﹣2y+y+180°﹣2xα＝ ，
∴x+y＝180°﹣ ， α
1 α
∴∠OFC+ ∠OEA=180°−α，
2
∴∠OEA+2∠OFC＝360°﹣2 ．
【变式3】（2024春•铁西区校级α月考）已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE．
（1）如图1，则∠BAE、∠DCE、∠AEC之间满足的数量关系是 ；
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG（CE∥FG）．
①如图2，若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若FH平分∠CFG，请写出∠AHF与∠AEC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；
1
（2）①证明∠AHF=∠BAH+∠DFH= (∠BAE+∠DCE)，再根据∠AEC＝∠BAE+∠DCE，可
2
得结论；1 1
②根据∠AHF＝∠BAH+∠HFD，∠BAH= ∠BAE，∠GFH= (180°−∠DFG)，∠ECD＝
2 2
∠DFG，求解可得结论；
【解答】解：（1）∠BAE+∠DCE＝∠AEC，理由如下：
如图1中，
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE＝∠DCE，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC；
（2）①∵FG∥CE，
∴∠ECD＝∠GFD，
∵AH平分∠BAE，HF平分∠GFD，
1 1 1
∴∠BAH= ∠BAE，∠DFH= ∠DFG= ∠DCE，
2 2 2
1
∴∠AHF=∠BAH+∠DFH= (∠BAE+∠DCE)，
2
∵∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝80°
1
∴∠AHF= ×80°=40°；
2
1
②∠AHF=90°+ ∠AEC，理由如下：
2
1 1
∵∠AHF＝∠BAH+∠HFD，∠BAH= ∠BAE，∠GFH= (180°−∠DFG)，∠ECD＝∠DFG，
2 2
1 1 1 1
∴∠AHF= ∠BAE+90°− ∠DFG+∠DFG=90°+ (∠BAE+∠DCE)=90°+ ∠AEC．
2 2 2 2
【变式4】（2024春•崇阳县校级月考）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若 + ＝40°，求∠B+∠F的度
数； α β
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，请直接写出∠BAH与∠NBM的数量关系．
【分析】（1）过B点作BM∥HD，可求得∠CBM＝∠BCG，从而可证BM∥GE，即可证明AD∥CE；
（2）过B点作BM∥GE，过F点作FN∥HD，先证明∠GCF＝2 ＝∠NFC，∠HAB＝2 ＝∠ABM，再
根据平行线的性质即可求解； α β
（3）根据已知条件可导出∠BAH＝∠ABC﹣∠BCG＝2（∠NBC﹣∠MBC）＝2∠NBM即可．
【解答】（1）证明：如图所示，过B点作BM∥HD，
∴∠HAB＝∠ABM，
∵∠ABM+∠CBM＝∠ABC，∠HAB+∠BCG＝∠ABC，
∴∠CBM＝∠BCG，
∴BM∥GE，
∴BM∥HD∥GE，
即：AD∥CE；
（2）解：如图，过B点作BM∥GE，过F点作FN∥HD，
则HD∥FN∥BM∥GE，∴∠NFC＝∠GCF，∠ABM＝∠HAB，
∵∠BCF＝∠BCG，AF是∠BAH的角平分线，
∴∠HAF＝∠BAF＝ ，∠CBM＝∠BCG＝ ，∠GCF＝2 ＝∠NFC，∠HAB＝2 ＝∠ABM，
∴∠AFN＝∠HAF＝β，∠CBM＝∠BCG＝α， α β
∵∠AFC＝∠AFN+NβFC，∠ABC＝∠ABM+α∠CBM，
∴∠AFC＝ +2 ，∠ABC＝ +2 ，
∴∠ABC+∠βAFαC＝ +2 + +α2 ＝β3（ + ）＝3×40°＝120°；
（3）解：∵∠HABβ+∠αBCαG＝β∠ABCβ，α
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴2∠BCR＝∠BCG，2∠NBC＝∠ABC，
∵∠BCR＝∠MBC，
∴∠BAH＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2（∠NBC﹣∠MBC）＝2∠NBM，
1
∴∠NBM= ∠BAH．
2
【题型16 平行线间的动态旋转问题】
【例1】（2024春•沈河区校级月考）为保证安全，某两段铁路 MN，PQ两旁安置了两座可旋转探照灯
A，B，探照灯的光线可看作射线．如图，灯 A的光线AC从射线AM开始，绕点A顺时针旋转至射线
AN上便立即回转，灯B的光线BD从射线BP开始，绕点B顺时针旋转至射线BQ便立即回转，两灯不
停交叉照射巡视．已知PQ∥MN，连接AB．
（1）若∠QBA：∠BAM＝1：2，求∠BAN的度数；
（2）若灯B的光线先转动，每秒转动1°，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动2°，在灯B的光线
第一次到达BQ之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．
【分析】（1）由PQ∥MN可得∠QBA+∠BAM＝180°，∠BAN＝∠QBA，由∠QBA：∠BAM＝1：2可
得∠BAM＝2∠QBA，代入∠QBA+∠BAM＝180°即可求解；
（2）分三种情况：当AC与BD相遇前，两灯的光线AC∥BD；当AC与BD相遇后，AC为灯到达AN前的光线，灯B未到达BQ，两灯的光线AC∥BD；当AC与BD相遇后，AC为灯到达AN后的光线，灯
B未到达BQ，两灯的光线AC∥BD；列出方程解答即可求解．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠QBA+∠BAM＝180°，∠BAN＝∠QBA，
∵∠QBA：∠BAM＝1：2，
∴∠BAM＝2∠QBA，
∴∠QBA+2∠QBA＝180°，
∴∠QBA＝60°，
∴∠BAN＝60°；
（2）当AC与BD相遇前，设灯A的光线转动t秒，两灯的光线AC∥BD，如图2，
由 （1）知，∠BAN＝60°，∠BAM＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MAB＝∠ABP＝120°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴120﹣2t＝120﹣（45+t），
∴t＝45；
当AC与BD相遇后，灯A的光线转动t秒，AC为灯到达AN前的光线，灯B未到达BQ，两灯的光线
AC∥BD，如图3，
∴∠BAC＝∠DBA，
∴2t﹣120＝1×45+t﹣120，
解得t＝45，∵2t﹣120＝2×45﹣120＝﹣30，
∴此时t＝45不合，舍去；
当AC与BD相遇后，灯A的光线转动t秒时，AC为灯到达AN后的光线，灯B未到达BQ，两灯的光线
AC∥BD，如图3，
∴∠BAC＝∠DBA，
∴60﹣（2t﹣180）＝45+t﹣120，
解得t＝105；
综上，t＝45s或t＝105s时，两灯的光线互相平行，
故答案为：45或105．
【例2】（2024春•江阴市校级月考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺
DEFG的EF边上．
（1）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90°，且点C恰好落在DG边上时，请直接写
出∠1＝ °，∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
（2）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射
线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、
QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，设交点为P．当t＝15（s）时，则∠QPB＝ °；
②在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠BCD，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可
得∠1，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；
（2）①画出图形，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列
方程可解得答案．
【解答】解：（1）如图2，∵DG∥EF，
∴∠DCB＝∠CBF＝n°，
∴∠ACD＝90°﹣n°，
∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°，
∵DG∥EF，
∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG
＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）
＝（90+n）°；
故答案为：（120﹣n），（90+n）；
（2）①如图：
根据题意得：∠FBP＝15×2°＝30°，∠AQP＝15×3°＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠FBP＝60°﹣30°＝30°，
又∠AQP＝∠ABP+∠QPB，
∴∠QPB＝∠AQP﹣∠ABP＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15；
②存在BM∥QN，理由如下：
如图：
∵QN∥BM，
∴∠AQN＝∠ABM，
∴3°t＝60°﹣2°t，
解得t＝12，
如图：
∵BM∥QN，
∴∠ABM＝∠BQN，
∴2°t﹣60°＝180°﹣3°t，
解得t＝48，
综上所述，t的值为12或48．
【变式1】（2024春•邗江区校级月考）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点
F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）∠AEP＝ °；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立
刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
【分析】（1）过点P作PG∥AB，则∠AEP＝∠EPG，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得
∠GPF＝∠PFC＝90°，再利用角的和差即可求解；
（2）①当∠MEP＝15°时，分两种情况，当ME在AE和EP之间，当ME在EP和EB之间，计算出ME
的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知∠FPE＝120°可计算出∠EPN的度数；
②分三种情况，根据平行线的性质列出方程求解即可．
【解答】解：（1）过点P作PG∥AB，则∠AEP＝∠EPG，
∵AB∥CD，PF⊥CD，
∴PG∥AB∥CD，∠PFC＝90°，
∴∠GPF＝∠PFC＝90°，
∵∠FPE＝120°，
∴∠AEP＝∠EPG＝30°，
故答案为：30；
（2）①当ME在AE和EP之间时，如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝15°，15 3
∴射线ME运动的时间t= = 秒，
20 4
3 135
∴射线PN旋转的角度∠FPN= ×45°=( )°，
4 4
又∵∠EPF＝120°，
135 345
∴∠EPN=∠EPF−∠EPN=120°−( )°=( )°；
4 4
当ME在EP和EB之间时，如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝45°，
45 9
∴射线ME运动的时间t= = 秒，
20 4
9 405
∴射线PN旋转的角度∠FPN= ×45°=( )°，
4 4
又∵∠EPF＝120°，
405 75
∴∠EPN=∠EPF−∠FPN=120°−( )°=( )°；
4 4
75 345
∴∠EPN的度数为( )°或( )°；
4 4
②I．当PN由PF运动如图4时EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP＝∠EPN，即20t﹣30＝45t﹣120，
18
解得t= （秒）；
5Ⅱ．当PN垂直AB时，立刻按原速返回到EM∥PN时，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP＝∠EPN，即180°+90°﹣20t°＝45t°，
54
解得t= ；
13
Ⅲ．当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP+∠EPN＝180°，即20t﹣30+45（t﹣4）﹣60＝180，
90
解得t= （秒），
13
18 54 90
∴当t的值为 秒或 秒或 秒时，EM∥PN．
5 13 13
【变式2】（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起
见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立
即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速
度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝
2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交
PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若
不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 0＜t＜30时，根据4t＝2×
（15+t），可得 t＝15；当30＜t＜75时，根据2（15+t）+（4t﹣180）＝180，可得t＝55；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝4t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠ACB＝2t﹣60°，即可得出
∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
1
∴∠BAN＝180°× =60°，
3
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜45时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴4t＝2×（15+t），
解得：t＝15；
②当45＜t＜75时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴2（15°+t）+（4t﹣180°）＝180°，
解得：t＝55；
综上所述，当t＝15秒或t＝55秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠MAC＝4t，∠MAB＝120°，
∴∠BAC＝4t﹣120°＝4（t﹣30°），
又∵∠DBC＝2t，∠ABD＝120°，
∴∠ABC＝120°﹣2t，
∴∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣2t，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣60°＝2（t﹣30°），
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【变式3】（2024春•武汉月考）如图 1，已知直线 GH∥MN，现有直角三角板 ABC（∠CAB＝30°，
∠ACB＝90°）和直角三角板DEF（∠E＝45°，∠EDF＝90°）点A，B在直线GH上，点D，F在直线
MN上．
（1）如图2，平移三角板DEF，若点C与点E恰好重合，则∠ACF的度数为 ．（2）如图3，绕点A旋转三角板ABC，再延长BC交MN于Q，若∠GAC的平分线交MN于S，∠BQM
的平分线交AS于T，求∠ATQ的度数．
（3）如图4，若三角板ABC从图1的位置开始绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF也
从图1的位置开始绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤150），请直接写出当
旋转到边BC与边DF平行时t的值．
【分析】（1）过C作CH∥HG，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
（2）过点T作TR∥GH，可得∠GAT＝∠ATR，∠MQT＝∠RTQ，结合角平分线的性质，可得∠ATR＝
∠CAT，∠BQT＝∠RTQ，由四边形的内角和为360°可得出答案．
（3）过点C作CK∥GH，用含t的代数式分别表示出∠BCK，∠NDF，再列方程求解即可．
【解答】解：（1）过C作CH∥HG，
∴∠ACH＝∠CAB＝30°，
∵GH∥MN，
∴CH∥MN，
∴∠FCH＝∠CFD＝45°，
∴∠ACF＝∠ACH+∠FCH＝30°+45°＝75°；
故答案为：75°；
（2）解：过点C作CK∥GH，过点T作TR∥GH，如图．∵GH∥MN，
∴GH∥MN∥CK∥TR，
∴∠GAT＝∠ATR，∠QTR＝∠MQT，GAC+∠ACK＝180°，∠QCK+∠CQM＝180°，
∴∠GAC+∠ACQ+∠CQM＝360°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠GAC+∠CQM＝270°，
∵AT平分∠GAC，TQ平分∠BQM，
1 1
∴∠GAT＝∠CAT= ∠GAC，∠MQT＝∠BQT= ∠CQM，
2 2
1
∴∠GAT+∠MQT= （∠GAC+∠CQM）＝135°，
2
∴∠ATR+∠QTR＝∠ATQ＝135°．
（3）解：t＝120．
理由：过点C作CK∥GH，如图．
∵GH∥MN，
∴CK∥MN，
∴∠BCK＝∠NDF．
由题意可得，∠HAB＝t°，∠NDF＝2t°﹣180°，
∴∠ACK＝∠GAC＝180°﹣30°﹣t°＝150°﹣t°，
∴∠BCK＝90°﹣（150°﹣t°）＝t°﹣60°．
∴t°﹣60°＝2t°﹣180°，
解得t＝120．
【变式4】（2024春•重庆月考）如图所示，AB∥CD，△EFM的顶点E，F分别在直线AB，直线CD上，点M在直线AB和直线CD之间，EF平分∠AEM．
（1）如图1，FM平分∠EFD，∠BEM＝20°，求∠M的度数．
（2）如图2，已知点N为MF延长线上一点，且∠BEM＝∠NEF＝∠N＝a°，请用含a的式子表示
∠NFC的度数，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，∠BEM＝30°，将△FNE绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得到
△FN'E'，将△EFM绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得到△EF'M'，当EF'首次旋转到直线AB上时，
△EF'M'立刻绕点E逆时针以原速旋转，当EM'旋转到直线AB上时，两个三角形同时停止旋转，请直接
写出当E'N'∥F'M'时的旋转时间t的值．
【分析】（1）过点M作MG∥AB，则AB∥CD∥MG，由平行线的性质得到∠BEM＝∠GME，∠DFM
＝∠GMF，∠AEB＝∠DFE，即可推出∠EMF＝∠BEM+∠DFM，利用平角的定义求出∠AEM＝160°，
再利用角平分线的定义推出∠DFM＝40° 即可得到答案；
（2）过点N作NH∥AB，则NH∥AB∥CD，由平行线的性质得到∠AEN＝∠HNE，∠CFN＝∠HNF，
由平角的定义得到∠AEM＝180°﹣ ，再利用角平分线的定义和角度之间的关系求出∠NFC＝∠HNF＝
α
5
90°− α；
2
（3）由题意先计算出EF首次到AB的时间和EM'首次到AB的时间，再列式计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点M作MG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MG，
∴∠GME＝∠BEM＝20°，∠GMF＝∠MFD，∠AEF＝∠EFD，
∵∠EMF＝∠GME+∠GMF，∴∠EMF＝∠BEM+∠DFM，
∵AEM＝180°﹣∠BEM＝160°，EF平分∠AEM，
1
∴∠AEF= ∠AEM＝80°＝∠DFE，
2
∵FM平分∠DFE，
1
∴∠DFM= ∠DFE＝40°，
2
∴∠EMF＝∠BEM+∠DFM＝60°；
5
（2）∠NFC＝90°− ，理由如下：
2
α
如图所示，过点N作NH∥AB，
∵AB∥CD，NH∥AB，
∴NH∥AB∥CD，
∴∠AEN＝∠HNE，∠CFN＝∠HNF，
∵∠BEM＝ ，
∴∠AEM＝α180°﹣∠BEM＝180°﹣ ，
∵EF平分∠AEM， α
1 1
∴∠AEF= ∠AEM＝90°− α，
2 2
∵∠NEF＝ ，
α 3
∴∠AEN＝∠AEF﹣∠NEF＝90°− α=∠HNE，
2
∵∠ENM＝ ，
α 5
∴∠HNF＝∠HNE﹣∠ENM＝90°− α，
2
5
∴∠NFC＝∠HNF＝90°− α；
2180°−30°
（3）由题意得：EF'首次到 AB 的时间为： ÷3°=25s，F'M'首次到 AB 的时间为：
2
180°−30°
25+(180°− )÷3°=60s，
2
当0≤t≤25时，如图所示，可以把线段E'N'、EF'、EM'、F'M'的端点放在同一个位置，当两线段平行的
时候，即这两线段共线，
当E'N'∥F'M'，则5t+75+30+30+15﹣3t＝180，
解得t＝15；
当25＜t≤25时，如图所示，可以把线段E'N'、EF'、EM'、F'M'的端点放在同一个位置，当两线段平行
的时候，即这两线段共线，
5
由（2）的结论可知∠MFD＝180°﹣（90°− ×30°）＝15°，
2
∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，
当E'N'∥F'M'时，则5（t﹣25）+3（t﹣25）＝360﹣80﹣75﹣45，
解得t＝45，
或5（t﹣25）+3（t﹣25）＝360﹣80﹣75﹣45+180，
解得t＝67.5（舍去）；
综上，t的值为15或45．
