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期末检测卷 04（冲刺满分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在实数 ， ，1.010010001， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：实数 ， ，1.010010001， ， 中，无理数有 ， 共2个，
故选：B．
2．我国的“天问一号”火星探测器成功着陆火星，据测算，地球到火星的最近距离约为55000000千米，
数据55000000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： ，
故选：C．
3．下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
B、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
C、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
D、折叠后能折成正方体，故本项符合题意．
故选：D．
4．如图，点A，O，B在同一条直线上， 平分 ，已知 ， ，则
的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
5．将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将抛物线抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得
抛物线的解析式为： ，
故选：B．
6．如图， 是 的直径，且经过弦 的中点 ，已知 ， ，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】解：连接 ，如图所示：
是 的直径，且经过弦 的中点 ，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
；
，
故选：B．
7．如图，在半径为10的 中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为点 ，且 ，则 的
长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D【详解】解：作 于 ， 于 ，连接 ， ，
，
，
由垂径定理、勾股定理得： ，
， 是互相垂直的两条弦，
，
， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
故选：D．
8．下列命题中，真命题的是（ ）
①若 ,则
②两直线平行,同旁内角相等
③若一组数据 极差为 7 ,则 的值是 6 或 .
④已知点 在一次函数 的图象上,则
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】D
【详解】解：①若 ,则 ，原命题是假命题，故①不符合题意；
②两直线平行, 同旁内角互补，原命题是假命题，故②不符合题意；
③若一组数据 极差为 7 ,则 的值是 6 或 ，原命题是真命题，故③符合题意；
④已知点 在一次函数 的图象上,则 ，即 ，原命题是真命题，故④符合题意；
综上分析可知，③④是真命题，故D正确．
故选：D．
9．如图，正方形 的边长为2，将长为2的线段 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如
果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示
方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段 的中点M所经过的路线围成的图形的面积
记为S．点N是正方形 内任一点，把N点到四个顶点A，B，C，D的距离均不小于1的概率记为
P，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
∵点M是 的中点， ，
∴点M到正方形各顶点的距离都为 ，
∴点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，
∴4个扇形的面积为 ，
∵正方形 的面积为 ，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为 ．
∵N点到四个顶点A，B，C，D的距离均不小于1的概率记为P，
∴ ，∴ ，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为 ．
故选：C．
10．如图， 中， ， ， ， 是斜边 的中点，过 作
于 ，连接 交 于 ；过 作 于 ，连接 交 于 ；过 作 于
，…，如此继续，可以依次得到点 、 、…、 ，分别记 、 、 、…、
的面积为 、 、 、…、 ．则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 中， ， ， ，
∴AB=2BC= ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 同底同高，面积相等，∵ 是斜边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， 为其重心，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
，…，
∴ ；
∴ ．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若 是一元一次方程，则 ___________．
【答案】
【详解】解：由题意得
且 ，
∴ ．
故答案为： ．
12．在一个暗箱里放有m个除颜色外其他完全相同的小球，这m个小球中红球只有4个，每次将球搅匀
后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 ，那么可以推算m大约是_____．
【答案】16
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在 ，
∴摸到红球的概率为 ，
而m个小球中红球只有4个，
∴推算m大约是 ．
故答案为：16．
13．如图，反比例函数 点 ， 是该反比例函数图象上的另外两点，且点 与点 ，点 与点 关
于原点对称．若已知四边形 为矩形， ，且矩形 的面积为18，则 的值为
___________．
【答案】 ##
【详解】解：由题意可知，设 点为 ， ， ，反比例函数
， ，即
，
，
， ，故答案为 ．
14．如图，等边三角形 的边长为 ，点 、 分别是边 、 的动点，且 ，连接
、 交于点 ， 为 的中点，连接 ，则线段 长的最小值为______．
【答案】 ##
【详解】解：在等边三角形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点F的运动轨迹是弧 ，
∴ ，
作 的外接圆O，当O，F，G三点共线时， 最小，连接 ，
过点O作 ，垂足为H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点G是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【详解】解：
== ；
当 时，
．
16．（8分）一个布袋中有8个红球和 个白球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是红球的概率；
(2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率
是 ，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答）
【答案】(1)
(2)取走了7个白球
【详解】（1）解：布袋中有8个红球和16个白球，共24个，
故从袋中摸出一个球是红球的概率是P＝ ；
（2）解：设取走x个白球，
则 ，
解得 ，
即取走了7个白球．
17．（8分）某商场在去年底以每件 元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件 元的售价销售
了 件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达
到了 件．
(1)求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
(2)从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每
降价 元，月销售量增加 件，当每件降价多少元时，四月份可获利 元？
【答案】(1)
(2)每件降价10元，四月份可获利10400元
【详解】（1）设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得：解得： （不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为 ．
（2）解：设每件降价y元，根据题意得：
整理得：
解得： （不合，舍去）．
答：每件降价10元，四月份可获利10400元
18．（10分）如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均为格点
(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出 的高 ；
(2)在图②中，连接点B与格点D．点P是 的中点，点Q为 上的一动点，当 的周长最小时，请
利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，
过点 作 格对角线，
因为 是 格对角线，
所以 ．
则 即为所求；（2）解：如图所示， 即为所求．
理由：设网格的边长为1，则 ，又 ，
,
为等腰三角形，
为 的中点，
为 的垂直平分线，
与 关于 对称，
的周长 ,
当 、 、 三点共线时，
的周长最小．
19．（10分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团
的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为 ，再往塔的方向前
进 至B处，测得仰角为 ．（参考数据： ）
(1)求证： ；
(2)若学生的身高忽略不计，求该塔 的高度？（结果精确到 ）
【答案】(1)见解析；
(2)
【详解】（1）证明：根据题意得： ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
（2）∵ ， ，
∴ ，
20．（10分）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教职工气排球比赛．比赛
采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍参加决赛，从 组的比分胜负表中知道
二中胜4场负1场．
教职工气排球比赛比分胜负表
组 一中 二中 三中 四中 五中 六中
一中
二中
三中
四中
五中 A六中
(1)根据表中数据可知，一中共获胜 场，“四中 五中”的比赛获胜可能性最大的是 ；
(2)若A处的比分是 和 ，并且参加决赛的队伍是二中和五中，则 处的比分可以是 和
（两局结束比赛，根据自己的理解填写比分）；
(3)若 处的比分是 和 ， 处的比分是 ， ， ，那么实力最强的是哪两支队
伍，请说明理由．
【答案】(1)2；五中
(2) ； （答案不唯一）
(3)六中和五中（答案不唯一）
【详解】（1）解：根据表中数据可知，一中胜2负3；二中胜4负1；三中胜1负3；四中胜0负4；五中
胜3负1；六中胜3负1．
从数据中可知，四中的能力较差，获胜的可能较小；
故答案为：2；五中．
（2）解：若A处的比分是 和 ，则五中胜，即五中胜4负1；
参加决赛的队伍是二中和五中，
在六中 三中时，三中胜，
处的比分可以是： ； ，三中胜；
故答案为： ； ．（答案不唯一）
（3）解：若 处的比分是 和 ，则五中胜，四中负；
处的比分是 ， ， ，则六中胜，三中负；
则一中胜2负3；二中胜4负1；三中胜1负4；四中胜0负5；五中胜4负1；六中胜4负1．
二中胜六中 ，输五中 ；五中胜二中 ，输六中 ，六中胜五中 ，输二中 ，
三队之间都是1胜1负，但胜负局数不一样，二中胜2负3；五中胜2负2；六中胜3负2，
实力较强的两支队伍是六中和五中．（答案不唯一）
21．（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口 离地竖直高度为 （单位： ），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物
线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度为 的长．下边缘
抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水
口 ，灌溉车到 的距离 为 （单位： ）．若当 ， 时，解答下列问题．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 的取值范围________．
【答案】(1)6
(2)2
(3)
【详解】（1）解：由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
设 ，
抛物线过点 ，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， （舍去），
喷出水的最大射程 为 ；
（2） 对称轴为直线 ，
点 的对称点为 ，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
点 的坐标为 ，
∵上边缘抛物线 在 时，y随x的增大而增大，
下边缘抛物线在 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2；
（3） ，
点 的纵坐标为0.5，
，
解得 ，
，
，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时，要使 ，
则 ，
当 时， 随 的增大而增大，且 时， ，
当 时，要使 ， ，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为 ，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
的最小值为2，
综上所述， 的取值范围是 ．
22．（12分）在 中， ， ，线段 绕点A逆时针旋转至 （AD不与 重
合），旋转角记为 ， 的平分线 与射线 相交于点E，连接 ．(1)如图①，当 时， 的度数是______；
(2)如图②，当 时，判断 的数量关系，并说明理由；
(3)当 ， 时，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3) 或
【详解】（1）解：由旋转的性质知： ， ，
，
，
，
平分 ，
，
；
故答案为： ；
（2）解：过点A作 交 的延长线于点 ，如图，
由旋转的性质知： ， ，
，
，
，
平分 ，
，，
，
，
，
， ，
，
；
，
，
， ，
，
， ，
，
由勾股定理得： ，
，
；
（3）解：当旋转角 时，由（2）的证明知： ， ，
，
，
；
当旋转角 时，过点A作 交 于点 ，如图，
， ， ，
，，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
；
综上， 或 ．
23．（14分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有 ，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝ ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3） ﹣1．
【详解】解：（1）∵ ，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵ ，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵ ，
则 ．
