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期末考前基础练练练-一元一次方程
一．方程的解（共3小题）
1．若 是方程ax2+y＝1的解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：把 代入方程ax2+y＝1，得：
a﹣2＝1，
解得a＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．
2．已知x＝﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9＝0的一个解，求3k2﹣15k﹣95的值．
【分析】将x＝﹣1代入方程求出k的值，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：﹣8﹣4﹣k+9＝0，
解得：k＝﹣3，
当k＝﹣3时，3k2﹣15k﹣95＝27+45﹣95＝﹣23．
【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．观察方程 + + +……+ ＝2014，并求方程的解．
【分析】先根据乘法分配律将x提取出来，再分别将 化为 ﹣ ，化简可得方程的解．
【解答】解： + + +……+ ＝2014，
x（ + + +……+ ）＝2014，
x（1﹣ +……+ ﹣ ）＝2014，
x（1﹣ ）＝2014，＝2014，
x＝2015．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法，此题要注意规律，掌握分数的拆项规律是关键．
二．等式的性质（共3小题）
4．下列等式变形正确的是（ ）
A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣7＝7﹣b
C．如果a＝b，那么3a＝5b D．如果a+c＝c+b，那么a＝b
【分析】运用等式的性质对各选项进行逐一辨别．
【解答】解：∵只有当a≠0时，ax＝ay两边都除以a可得x＝y，
∴选项A不符合题意；
∵当a＝b时，两边都减7可得a﹣7＝b﹣7，
∴选项B不符合题意；
∵当a＝b时，两边都乘以3可得3a＝3b，
∴选项C不符合题意；
∵当a+c＝c+b时，两边都减去c可得a＝b，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了运用等式性质对等式进行正确变形的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
5．已知等式3m＝4n+2，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B．3m+2＝4n+4 C．3m﹣2＝4n D．
【分析】利用等式的性质变形并判断．
【解答】解：3＝ + ，只有m≠0时，才能得到等式3m＝4n+2，A选项符合题意；
3m+2＝4n+4，移项、合并同类项得到3m＝4n+2，B选项不符合题意；
3m﹣2＝4n，移项得到3m＝4n+2，C选项不符合题意；
m＝ n+ ，等式左右两边同时乘以3就可得到3m＝4n+2，D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
6 ． （ 1 ） 观 察 下 列 算 式 ： ， 计 算 ：；
（2）观察下列算式： ，这里已经写出了三个等式，请
你写出第20个等式；
（3）计算： ．
【分析】（1）利用前面算式的计算规律得到原式1﹣ + ﹣ + ﹣ +•••+ ﹣ ，然后进行加减
运算即可；
（2）找出等式中数据与序号数的规律得到 ＝ ﹣ （n为正整数），然后n
取20即可；
（3）利用（2）等式的变换规律得到原式 ×（1﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+•••+ ×（
﹣ ），然后进行有理数的混合运算．
【解答】解：（1） ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +•••+ ﹣
＝1﹣
＝ ；
（2）第20个等式为： ＝ ﹣ ；
（3） ＝ ×（1﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+•••+ ×（
﹣ ）
＝ ×（1﹣ + ﹣ + ﹣ +•••+ ﹣ ）
＝ ×（1﹣ ）
＝ ×＝ ．
【点评】本题考查了等式的性质：等式的变形的依据为等式的性质．也考查了有理数的混合运算；运用
等式 ＝ ﹣ 是解决问题的关键．
三．一元一次方程的定义（共7小题）
7．已知（a+3）⋅x|a|﹣2﹣2＝0是关于x的一元一次方程，则a是（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．±2
【分析】根据一元一次方程的定义得出a+3≠0且|a|﹣2＝1，再求出即可．
【解答】解：∵（a+3）x|a|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴a+3≠0且|a|﹣2＝1，
解得a＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出 a+3≠0和|a|﹣2＝
1是解此题的关键．
8．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，则m＝ ．
【分析】根据一元一次方程的定义可得答案．
【解答】解：方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|＝1，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：m＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是根据定义列出|m|＝1，m﹣1≠0，解出m．
9．若（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求﹣4a2﹣2[a﹣（2a2﹣a+2）]的值．
【分析】先化简代数式，再由（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，所以a﹣1≠0且|a|＝1，求
得a的值，代入所化简后的代数式即可求得．
【解答】解：﹣4a2﹣2[a﹣（2a2﹣a+2）]
＝﹣4a2﹣2[a﹣2a2+a﹣2]
＝﹣4a2﹣2a+4a2﹣2a+4
＝4﹣4a．
根据题意得，a﹣1≠0且|a|＝1，
解得a＝﹣1，把a＝﹣1，代入化简后的代数式得，
4﹣4a
＝4﹣4×（﹣1）
＝4+4
＝8．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为1的方程．
10．若（n+1）x|n|+1+（n﹣1）x+3n＝0是关于x的一元二次方程，则它的一次项系数是 0 ．
【分析】先根据一元二次方程的定义求出 n的值，然后根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0
（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别
叫二次项系数，一次项系数，常数项，即可得出答案．
【解答】解：∵（n+1）x|n|+1+（n﹣1）x+3n＝0是关于x的一元二次方程，
∴|n|+1＝2，n+1≠0，
解得n＝1，
则方程整理为：x2+3＝0，
∴它的一次项系数是0．
故答案为：0．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及其一般形式，属于基础题，只含有一个未知数，并且未知数的
最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；同时注意掌握一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0
（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别
叫二次项系数，一次项系数，常数项．
11．（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
【分析】（1）根据题意首先得到：|m﹣1|＝1，解此绝对值方程，求出m的两个值．分别代入所给方程
中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去．
（2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，
∴|m﹣1|﹣2＝1，且m﹣4≠0，
由|m﹣1|﹣2＝1，得m＝4或m＝﹣2，
由m﹣4≠0，得m≠4，∴m＝﹣2；
（2）∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，
∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c
＝﹣2b．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握相关概念及
整式的运算法则是解题的关键．
12．给出下列说法：① 的系数是2；② 是多项式：③x2﹣x﹣2的常数项为2；④单项式x2y与
2x2y的和仍为单项式；⑤2x﹣5x＝3x+1是一元一次方程．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据多项式定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和
叫做单项式的次数进行分析即可．
【解答】解：① 的系数是 ，说法错误，不符合题意；
② 是多项式，说法正确，符合题意；
③x2﹣x﹣2的常数项为﹣2，说法错误，不符合题意；
④单项式x2y与2x2y的和仍为单项式，说法正确，符合题意；
⑤2x﹣5x＝3x+1化简得﹣6x＝1，是一元一次方程，说法正确，符合题意；
正确的说法是②④⑤，
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式和多项式，关键是掌握单项式和多项式的相关定义．
13．已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值及方程的解．
（2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（ xm+2）的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到
x＝4；
（2）把代数式化简得到原式＝x2﹣3x﹣6，然后把x＝4代入计算即可．
【解答】解：（1）∵方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，∴1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：﹣2x+8＝0，解得x＝4；
（2）∵5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（ xm+2）
＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6
＝x2﹣3x﹣6，
当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2，
即代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（ xm+2）的值是﹣2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义和整式的加减．解题的关键是掌握一元一次方程的解的定
义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
四．一元一次方程的解（共2小题）
14．关于x的方程3x+10＝0与3x+3k＝1的解互为相反数，则k的值为 ．
【分析】先解一元一次方程3x+10＝0，得到的解是方程3x+3k＝1的解的相反数，再求k即可．
【解答】解：3x+10＝0，
3x＝﹣10，
x＝﹣ ，
∵方程3x+5＝0与3x+3k＝1的解互为相反数，
∴x＝ 是方程3x+3k＝1的解，
∴3× +3k＝1，
解得k＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的解法，理解互为相反数的定义是解题的关键．
15．（1）当x等于什么数时，代数式 与2x﹣ 的值互为相反数？
（2）已知x＝﹣1是关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx的解．
①求代数式2a﹣b的值；
②求代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值．
【分析】（1）利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值；（2）①把x＝﹣1代入x的方程2a+2＝﹣1﹣bx可解答；
②先去括号，合并同类项并整体代入可解答．
【解答】解：（1）由题意得： +2x﹣ ＝0，
2（x﹣8）+8x﹣x﹣2＝0，
2x﹣16+8x﹣x﹣2＝0，
9x﹣18＝0，
x＝2，
即当x＝2时，代数式 与2x﹣ 的值互为相反数；
（2）①把x＝﹣1代入x的方程2a+2＝﹣1﹣bx中得：2a+2＝﹣1+b，
∴2a﹣b＝﹣3；
②5（2a﹣b）﹣2a+b+2
＝10a﹣5b﹣2a+b+2
＝8a﹣4b+2
＝4（2a﹣b）+2
＝4×（﹣3）+2
＝﹣12+2
＝﹣10．
【点评】此题考查了解一元一次方程，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五．解一元一次方程（共12小题）
16．解方程：
（1）5x﹣2＝7x+8．
（2）4x﹣3（5﹣x）＝6．
（3） ．
（4） ．
【分析】（1）移项、合并同类项、一次项的系数化为1即可求解；
（2）去括号、移项、合并同类项、一次项的系数化为1即可求解；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、一次项的系数化为1即可求解；
（4）去分母、去括号、移项、合并同类项、一次项的系数化为1即可求解．【解答】解：（1）5x﹣2＝7x+8，
5x﹣7x＝8+2，
﹣2x＝10，
x＝﹣5；
（2）4x﹣3（5﹣x）＝6，
4x﹣15+3x＝6，
7x＝21，
x＝3；
（3） ，
6（x+15）＝15﹣10（x﹣7），
6x+90＝15﹣10x+70，
6x+10x＝85﹣90，
16x＝﹣5，
x＝﹣ ；
（4） ，
2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，
4x+2﹣5x+1＝6，
x＝﹣3．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
17．解方程：
（1）x+3＝17﹣6x；
（2） ﹣2＝ ．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1，进行计算即可
解答；
【解答】解：（1）x+3＝17﹣6x，
x+6x＝17﹣3，
7x＝14，x＝2；
（2） ﹣2＝ ，
2（x+1）﹣8＝x，
2x+2﹣8＝x，
2x﹣x＝8﹣2，
x＝6．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18．解方程：
（1）2（3x﹣1）＝7﹣（x﹣5）．
（2） ．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为 1，进行计算即可
解答；
（2）先把原方程化简为 ﹣1＝ ，然后按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，
合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2（3x﹣1）＝7﹣（x﹣5），
6x﹣2＝7﹣x+5，
6x+x＝7+5+2，
7x＝14，
x＝2；
（2） ，
﹣1＝ ，
30x﹣21＝7（17﹣20x），
30x﹣21＝119﹣140x，
30x+140x＝119+21，
170x＝140，
x＝ ．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．19．解方程：（1） ．
（2） ．
【分析】（1）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得： ﹣ ＝1，
去分母得：30x﹣7（17﹣20x）＝21，
去括号得：30x﹣119+140x＝21，
移项合并得：170x＝140，
解得：x＝ ；
（2）去分母得：3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
去括号得：3x﹣9+2x﹣2＝24，
移项合并得：5x＝35，
解得：x＝7．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
20．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．
例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．
（1）求（﹣3）※5的值；
（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．
【分析】（1）由新运算的定义把式子转化为（﹣3）（﹣3+5），再进行运算；
（2）由新运算的定义把式子转化为（﹣2）[（﹣2）+（3x﹣2）]＝x+1，然后解方程求x；
【解答】解：（1）由题意知，（﹣3）※5＝（﹣3）×[（﹣3）+5]＝（﹣3）×2＝﹣6．
（2）由题意知，（﹣2）※（3x﹣2）＝（﹣2）×[（﹣2）+（3x﹣2）]＝（﹣2）×（3x﹣4）＝﹣
6x+8，
∵（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，
∴﹣6x+8＝x+1．
移项得：
﹣7x＝﹣7，
方程两边都除以﹣7得：x＝1．
∴x的值为1．
【点评】本题是阅读型题目，弄清题目中定义的含义是解题的关键．
21．小明解方程 时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的
解为x＝4，试求a的值，并正确地求出方程的解．
【分析】先根据错误的做法：“方程左边的 1没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方程，求出a的值，
再把a的值代入原方程，求出正确的解．
【解答】解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，
∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝4代入上式，解得a＝﹣1．
原方程可化为： ，
去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1）
去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13
系数化为1，得x＝13
故a＝﹣1，x＝13．
【点评】本题易在去分母、去括号和移项中出现错误．由于看到小数、分数比较多，学生往往不知如何
寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
22．定义：若整数k的值使关于x的方程 的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”．
（1）判断k ＝0，k ＝1是否为方程 的“友好系数”，写出判断过程；
1 2
（2）方程 “友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有
“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．
【分析】（1）分别求出方程的解，然后进行判断即可；
（2）求出方程的解，根据x是整数，k也是整数进行求解即可．
【解答】解：（1）当k ＝0时， +1＝0，
1
解得：x＝﹣6，
∴k ＝0是方程的友好系数；
1当k ＝1时， +1＝x，
2
解得：x＝6，
∴k ＝1是方程的友好系数；
2
（2）∵ ，
∴x+4+2＝2kx，
∴（1﹣2k）x＝﹣6，
∵k为整数，
∴k≠ ，
∴1﹣2k≠0，
解得：x＝ ，
要使x的值为整数，则2k﹣1＝±6，±3，±2，±1，
∵k为整数，
∴k＝0或±1或2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，根据x的值为整数得到2k﹣1＝±6，±3，±2，±1是解题的关键．
23．若“※”是新规定的某种运算符号，且x※y＝x2+2y，则（﹣3）※k＝5中k的值为 ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出k的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：（﹣3）2+2K＝5
9+2k＝5，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
24．对于有理数 a、b、c、d，规定一种运算： ＝ad﹣bc，比如 ＝1×4﹣2×3＝﹣2．如果
＝5，则x的值为 ．
【分析】利用题中的新定义化简所求式子得到一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得果 ＝5变形得：4﹣6（x﹣1）＝5，
去括号得：4﹣6x+6＝5，移项合并得：6x＝5，
解得：x＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了解一元一次方程，掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为
1，求出解是解题关键．
25．已知 的值与2互为倒数，那么a的值为 ．
【分析】根据倒数的意义可得 ＝ ，按照解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，
系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ 的值与2互为倒数，
∴ ＝ ，
2a+3＝1，
2a＝1﹣3，
2a＝﹣2，
a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，倒数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
26．定义运算法则：a b＝a2+ab，例如3 2＝32+3×2＝15．若2 x＝10，则x的值为 ．
【分析】根据题意列⊕出关于x的一元一⊕次方程，求出x的值即可⊕．
【解答】解：∵2 x＝10，
∴22+2x＝10，即⊕4+2x＝10，解得x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解一元一次方程，根据题意得出关于x的一元一次方程是解题的关键．
27．对a、b、c、d规定一个运算法则为： （等号右边是普通的减法运算）．
（1）计算： ＝ ， ＝ ；（2）求出满足等式 的x的值．
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义列方程求解即可．
【解答】解：（1） ＝1×4﹣2×3＝﹣2， ＝2（2m+n）﹣（m﹣n）×（﹣4）＝8m﹣2n，
故答案为：﹣2，8m﹣2n；
（2）由题意得， ，
解得 ．
【点评】本题主要考查新定义及一元一次方程的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键．
六．由实际问题抽象出一元一次方程（共6小题）
28．一项工程，甲队单独完成需要12天，乙队单独完成需要24天，现在由甲、乙两队共同工作3天后甲
队另有任务离开，剩下的工程由乙队完成，求完成这项工程所用的时间．若设完成此项工程共用 x天，
则可列的方程是 ．
【分析】由完成此项工程共用x天，可得出甲、乙两队的工作时间，结合甲队完成的工程量+乙队完成
的工程量＝总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵完成此项工程共用x天，
∴甲队工作了3天，乙队工作了x天，
根据题意得： + ＝1．
故答案为： + ＝1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
29．根据下列问题，设未知数，列出方程：
（1）三个连续自然数的和是33，求这三个数．
（2）父亲的年龄为50岁，儿子的年龄为23岁，问：几年后父亲的年龄是儿子年龄的两倍？
（3）一辆汽车第一次用去油箱里汽油的25%，第二次用去余下的20%，这时油箱内还剩6L汽油，问：
原来油箱内有汽油多少升？
【分析】（1）根据连续的自然数相差1，可以设中间的数为n，则其前后两个数分别是n﹣1，n+1，然后由和是33不难列出方程；
（2）设x年后父亲年龄是儿子年龄的两倍，根据年龄差不变，抓住2倍关系列出方程即可；
（3）设原来油箱内有汽油x升，清楚第一次用去谁的25%，第二次用去剩下的20%就是用剩下的量乘
以20%，得到20%×（1﹣25%）x，结合最后余下的油，即可列出方程．
【解答】解：（1）设这三个连续自然数中间的数为n，则其前后两个数分别是n﹣1，n+1，根据已知可
得：n﹣1+n+n+1＝33．
（2）设x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，根据题意得到：50+x＝2（23+x）．
（3）设原来油箱内有汽油x升，则第一次用去25%x，第二次用去20%×（1﹣25%）x，根据已知可得：
x﹣25%x﹣20%×（1﹣25%）x＝6．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．
30．根据条件列方程：
（1）正方形的边长为2x，周长为50厘米．
（2）x的相反数减去3的差是x的2倍．
【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程．
（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍．
【解答】解：（1）根据题意得到：4×2x＝50．
（2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系．
31．足球比赛的计分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队共打了14场比赛，负
了5场，得19分，设该队共平x场，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．3（9﹣x）+x＝19 B．2（9﹣x）+x＝19
C．x（9﹣x）＝19 D．3x+9﹣x＝19
【分析】设该队共平x场，则该队胜了（9﹣x）场，由题意：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得
0分，一个队共打了14场比赛，得19分，列出一元一次方程即可．
【解答】解：设该队共平x场，则该队胜了14﹣x﹣5＝（9﹣x）（场），
根据题意得：3（9﹣x）+x＝19，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
32．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、
乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总的工作量“1”，根
据此列方程即可．
【解答】解：设甲、乙共用 x天完成，则甲单独干了（x﹣10）天，本题中把总的工作量看成整体
“1”，则甲每天完成全部工作的 ，乙每天完成全部工作的 ．
根据等量关系列方程得： ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等
关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
33．整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起
做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一个人做要30小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，就是已知工作的速度．本
题中存在的相等关系是：这部分人2小时的工作+增加3人后4小时的工作＝全部工作．设全部工作是
1，这部分共有x人，就可以列出方程．
【解答】解：假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则：一个人做要30小时完成，现在
计划由一部分人先做2小时，工作量为 x，再增加3人和他们一起做4小时的工作量为 （x+3），
故可列式 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，这一个关系是解题的关键．
七．一元一次方程的应用（共7小题）
34．剧院举行新年专场音乐会，成人票每张80元，学生票每张40元，剧院制定了两种优惠方案，方案
1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的80%付款．某校有5名老师与若干名（不少于5
人）学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别表示这两种方案；
（2）当学生人数为多少人时，两种方案的费用相同？
（3）若现有30名学生，则哪种方案费用更少？
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据（1）中代数式列方程计算即可；
（3）根据（1）中代数式求值比较即可．
【解答】解：（1）方案1：y ＝（x﹣5）×40+80×5＝40x+200，
1
方案2：y ＝40x×80%+80×5×80%＝32x+320；
2
（2）由题意知，40x+200＝32x+320，
解得x＝15，
∴当购买15张票时，两种优惠方案费用相同；
（3）当x＝30时，y ＝40x+200＝40×30+200＝1400（元），y ＝32x+320＝32×30+320＝1280（元），
1 2
1280＜1400，
∴方案2费用更少．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
35．某校开展校园艺术节系列活动，派张老师到文体商店购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每
个10元，请认真阅读结账时老板与张老师的对话内容，解答下列问题．
商店老板：如果你再多买一个，就可以全部打八五折，花费比现在还省17元！
张老师：那就多买一个吧，谢谢！
（1）求张老师原计划购买多少个文具袋？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每
支6元．经过沟通，这次该商店老板全部给予八折优惠，合计272元．求张老师购买的钢笔和签字笔各
有多少支？
【分析】（1）设张老师原计划购买文具袋x个，根据“再多买一个，就可以全部打八五折，花费比现
在还省14元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设张老师购买了钢笔y支，签字笔x支，根据题意列出一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设张老师原计划购买文具袋x个，
依题意，得：10x﹣85%×10（x+1）＝17，
解得：x＝17．
答：张老师原计划购买文具袋17个．
（2）设张老师购买了钢笔y支，签字笔x支，
依题意，得：0.8[8y+6（50﹣y）]＝272
解得：y＝20．x＝50﹣y＝30，
答：张老师购买了钢笔20支，签字笔30支．
【点评】本题考查一元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确
列出一元一次方程．
36．方程应用：A、B两地相距80千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18
千米．（列方程解应用题）
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相距16千米？
（2）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙追上甲？
【分析】（1）此小题有两种情况：①还没有相遇他们相距16千米；②已经相遇他们相距16千米．但
都可以利用相遇问题解决；
（2）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，此时是追及问题，设 y小时后乙追上甲，那么y小时甲
走了14y千米，乙走了18y千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题．
【解答】解：（1）设两人同时出发相向而行，需x小时两人相距16千米，
①当两人已经相遇他们相距16千米，
依题意得14x+18x＝80+16，
解方程得：x＝3；
②当两人没有相遇他们相距16千米，
根据题意得：14x+18x+16＝80，
解方程得：x＝2；
答：若两人同时出发相向而行，则需经过2或3小时两人相距16千米；
（2）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则y小时后乙追上甲，
根据题意得：18y＝14y+80，
解方程得：y＝20．
答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则20小时后乙追上甲．【点评】考查了一元一次方程的应用，此题是一个比较复杂行程问题，既有相遇问题，也有追及问题．
解题的关键是读懂题意，正确把握已知条件，才能准确列出方程解决问题．
37．今年小强上七年级，父母是工人，需要很早离家去公司，早晨不能送小强去学校上学．于是，他的父
母每月会给小强100元作为乘车费，平时小强会选择乘公交车上学，但时间紧张的时候，他会选择打出
租车去上学，其中，两种不同乘车方式的价格如表所示：
乘车方式 公交车 出租车
价格（元/次） 2 6
已知小强3月份早晨上学共计乘车23次，他没有把100元乘车费用完，还剩余34元，求小强3月份早
晨上学乘公交车的次数和打出租车的次数各是多少？
【分析】设乘公交车x次，则打出租车（23﹣x）次根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设乘公交车x次，则打出租车（23﹣x）次，
依题意，得：2x+6（23﹣x）＝100﹣34．
2x+138﹣6x＝66，
解得x＝18，
所以23﹣x＝5．
答：乘坐公交车的次数18次，打出租车的次数5次．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
38．阅读下列材料：
定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若CB＝ CA，则称点C是[A，B]的相关点．
例如：如图1，点C是[A，B]的相关点，点D不是[A，B]的相关点，但点D是[B，A]的相关点．
根据这个定义解决下面问题：
（1）如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣2，点N表示的数是4，若点G是[M，N]的相关
点，则点G表示的数是 ；
（2）数轴上点E所表示的数为﹣10，点F所表示的数为20．一动点P从点F出发，以每秒2个单位的
速度沿数轴向左运动，另一个动点Q从点E出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间
为t秒．问当t为何值时，P为[F，Q]的相关点？【分析】（1）根据新定义列方程可得答案；
（2）表示出P表示的数是20﹣2t，Q表示的数是﹣10+t，再根据新定义列方程可得答案．
【解答】解：（1）设点G表示的数是x，
根据题意得：GN＝ GM，即|x﹣4|＝ [x﹣（﹣2）]，
解得x＝10或x＝2，
故答案为：10或2；
（2）P表示的数是20﹣2t，Q表示的数是﹣10+t，
∵P为[F，Q]的相关点，
∴PQ＝ PF，即|（20﹣2t）﹣（﹣10+t）|＝ ×2t，
解得t＝10或t＝30，
∴当t为10或30时，P为[F，Q]的相关点．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能根据新定义列出方程
解决问题．
39．已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示数C，且点A、B表示的数a、b满足：（a+3）2+|5﹣b|＝
0．
（1）当AC的长度为6个单位长度时，则a＝ b＝ c＝ ．
（2）在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长度是多少？
（3）点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度向点B运动，到达点B停留3秒钟后加快速度（仍保
持匀速运动）返回到点A；点N从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B后立即以
相同速度返回到点O后停止；结果点M到点A比点N到点O晚1秒钟，设点M从出发到运动结束的整
个过程时间记为t秒，求在整个运动过程中，当MN＝1时t的值．
【分析】（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解；（3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题
意分情况画出图形，即可求解．
【解答】（1）∵（a+3）2+|5﹣b|＝0．
∴a＝﹣3，b＝5，
又∵AC的长度为6个单位长度，设C点所对应的数为c，
|﹣3﹣c|＝6，
c＝3或﹣9；
故答案为：﹣3，5，3或﹣9．
（2）点P是AB的中点，
∴点P表示的数是1，
当点c＝﹣9时，AC＝6，
∵点Q是AC的中点，
∴点Q表示的数是﹣6
∴PQ的长度是7
同理可得：PQ的长度是1；
（3）点N从出发到返回原点O并停止运动的时间为：5×2÷2＝5（秒），
点M从出发到运动结束的时间为：5+1＝6（秒），
点M从点A出发到达点B用时：8÷4＝2（秒），
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时：6﹣2﹣3＝1（秒），
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）为：8÷1＝8，
①当M和N都向点B运动时：MN＝2t﹣（4t﹣3）＝1或4t﹣3﹣2t＝1，
∴t＝1或t＝2，
②当点M到达点B停留3秒时，点N正返回原点O，2t＝5+1，t＝3，
③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时，此时点N距离点B：
8x1﹣3＝5，设点M从点B出发运动x秒时MN＝1，则5﹣8x＝1或 8x﹣5＝1或x＝0.5或x＝0.75，
∴当MN＝1时t的值为1或2或3或5.5或5.75．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是的熟练掌握非负数的性质和
两点间的距离公式，找准等量关系，正确列出一元一次方程求解．
40．如图，数轴上点A、B对应着数10、15．C、D两点同时从点A、原点O出发分别以lcm/s和2cm/s的
速度沿数轴向右运动．设运动时间为ts．（1）当t＝2时，请说明BC＝ AD；
（2）当t＞5，且CD＝AB时，求t的值；
（3）取线段CD的中点M，当BM＝ OA时，求t的值．
【分析】（1）求出t＝2时，BC，AD的长度即可说明；
（2）表示出C，D表示的数，用CD＝AB列方程可解得答案；
（3）表示出M表示的数，再列方程可解得答案．
【解答】解：（1）当t＝2时，D运动表示4的点处，C运动到表示12的点处，
∴BC＝15﹣12＝3，AD＝10﹣4＝6，
∴BC＝ AD；
（2）当t＞5时，D表示的数是2t，C表示的数是10+t，
∴CD＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，AB＝15﹣10＝5，
∴|t﹣10|＝5，
解得t＝15或t＝5（舍去），
∴t的值是15；
（3）∵D表示的数是2t，C表示的数是10+t，
∴M表示的数是 ＝ t+5，
∴BM＝|15﹣（ t+5）|＝|10﹣ t|，
∴|10﹣ t|＝ ×10，
解得t＝5或t＝ ，
∴t的值为5或 ．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示C，D所表示的数．
