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猜想 01 数轴上动点问题的答题技巧与方法（50 题专练）
一．数轴（共50小题）
1．（2022秋•定南县期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每
秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 1 ；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P
运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生
变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC＝6x BC＝4x，AB＝10，根据AC﹣BC＝
AB，列方程即可得到结论；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动
到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．
【解答】解：（1）（6﹣4）÷2＝1．
故点P在数轴上表示的数是1；
故答案为：1；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC＝6x BC＝4x，AB＝10，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得x＝5，
∴点P运动5秒时，追上点R；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP＝ AP+ BP＝ （AP+BP）＝ AB＝5．
②当点P运动到点B左侧时（如图②），
MN＝PM﹣PN＝ AP﹣ BP＝ （AP﹣BP）＝ AB＝5．综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．
【点评】主要考查了一元一次方程的应用、数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确画
出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解．
2．（2022秋•栾城区校级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b且a，b满足，（a+1）2+|b﹣
3|＝0，点P为数轴上一动点，其对应的数为x
（1）求a，b的值；
（2）若点P到点A，点B的距离相等，点P对应的数为 1 ；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请直接写出x的值；若不存
在，说明理由．
【分析】（1）根据绝对值的性质以及偶次方的意义得出a，b的值；
（2）利用点P到点A，点B的距离相等，A为﹣1，B为3，即可得出P的位置；
（3）根据当P在B点右侧以及当P在A点左侧得出即可．
【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3；
（2）∵点P到点A，点B的距离相等，A为﹣1，B为3，
∴x＝ ＝1；
故答案为：1；
（3）当P在A点右侧，则x﹣3+x+1＝6，
解得：x＝4，
当P在A点左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝6，
解得：x＝﹣2，故x＝4或﹣2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式
是解题关键．
3．（2022秋•宛城区校级期末）如图，在数轴上 A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的
正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ﹣ 2 ，b＝ 1 ，c＝ 7 ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 4 对应的点重合；
（3）若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分
别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点
C之间的距离表示为BC，那么3BC﹣2AB的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说
明理由；若不变，请求出其值．
【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性即可求出a，c，再利用题干条件即可求出b；
（2）先将对称点求出，再利用与点B重合的数和点B到对称点的距离相等即可求解；
（3）先将点A，B，C表示出来，即可得到AB，BC，代入式子即可得到定值．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，
∴a+2＝0，c﹣7＝0，
解得a＝﹣2，c＝7，
∵b是最小的正整数，
∴b＝1，
故答案为：﹣2，1，7；
（2）∵（7+2）÷2＝4.5，
∴对称点为7﹣4.5＝2.5，
2.5+（2.5﹣1）＝4，
故答案为：4；
（3）不变，理由如下：
∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速
度向右运动，
∴t秒钟过后，点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为1+2t，点C表示的数为7+4t，
∴AB＝1+2t﹣（﹣2﹣t）＝1+2t+2+t＝3t+3，BC＝7+4t﹣（1+2t）＝7+4t﹣1﹣2t＝2t+6，
∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝6t+18﹣6t﹣6＝12，∴3BC﹣2AB的值不随着时间t的变化而改变．
【点评】本题考查数轴，绝对值和偶次方的非负性，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握表示两点之
间距离的方法．
4．（2023秋•临洮县期中）小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数．向
左爬行的路程记为负数．爬行的路程依次为（单位：cm）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣11．
（1）小虫经后是否回到出发点O处？如果不是，请说出小虫的位置．
（2）小虫离开出发点O处最远时是 1 2 cm．
（3）在爬行过程中，如果每爬1cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？
【分析】（1）直接把各数相加即可；
（2）比较出各数绝对值的大小即可；
（3）求出小虫爬行的总路程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣11＝﹣1，
∴小虫在O点的左面1厘米处；
（2）∵第三次爬行完毕的时候是离0点最远的地方为5﹣3+10＝12
∴小虫离开出发点O处最远时是12cm，
故答案为：12．
（3）∵小虫爬行的距离＝|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣11|＝55cm，
∴2×55＝110（片）．
答：小虫共得110片嫩叶．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
5．（2022秋•衡东县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动 4cm到达A点，再向右移动
5cm到达B点，然后再向右移动 到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并写出A、B、C三点分别表示的数；
（2）把点A到点C的距离记为AC，则AB＝ 5 cm，AC＝ cm；
（3）若点A沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC＝3cm？
【分析】（1）根据题意分别求得点A，B，C对应的数，再表示在数轴上即可；（2）根据数轴上两点表示的数，用右边的数减去左的数即可求解；
（3）根据题意分类讨论，①当点A在点C的左侧时，②当点A在点C的右侧时，分别列出方程，解
方程即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：A点对应的数为﹣4，B点对应的数为1，点C对应的数为 ，
点A，B，C在数轴上表示如图：
（2）∵A点对应的数为﹣4，B点对应的数为1，，点C对应的数为 ，
∴ ，AB＝1﹣（﹣4）＝5．
故答案为：5， ．
（3）①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得： ，
解得： ．
②当点A在点C的右侧时，
设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得： ，
解得： ．
综上，经过 或 秒后点A到点C的距离为3cm．
【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的
关键．
6．（2022秋•顺平县期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是
10．
（1）写出线段AB的中点C对应的数；
（2）若点D在数轴上，且BD＝30，写出点D对应的数；
（3）若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点E处相遇，求点E对应的数．
【分析】（1）根据数轴上线段中点所对应的数的计算方法进行计算即可；
（2）分两种情况进行解答，即点D在点B的左侧或右侧，列式计算即可；
（3）先设运动时间为t，然后用含有t的式子表示点A和点B所对应的数，再令两个数相等列出方程，
最后解方程求得t的值，从而得到点E对应的数．
【解答】解：（1）线段AB的中点C对应的数为 ，
答：线段AB的中点C对应的数为﹣10；
（2）当点D在点B的左侧时，点D所对应的数为：10﹣30＝﹣20；
当点D在点B的右侧时，点D所对应的数为：10+30＝40，
答：点D对应的数为﹣20或40；
（3）设运动时间为t秒，由题意得，
点A对应的数为﹣30+3t，点B对应的数为10+t，
∴点A和点B相遇时，﹣30+3t＝10+t，
解得：t＝20，
此时，点E对应的数为10+20＝30，
∵点A和点B在点E相遇，
∴点E对应的数是30．
【点评】本题考查数轴，数轴上的点表示数，一元一次方程的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系
是解决问题的关键．
7．（2022秋•黄陂区期末）把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴
的单位长度为1cm，如图所示．
（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点 B处时、它的右端点在数轴上对应的数为
20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，
由此可得木棒的长为 5 cm ；我们把这个模型记为“木棒模型”；
（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距
3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；
（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．
某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要 41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年
龄．
【分析】（1）根据题意，观察数轴可得三根木棒长是20﹣5＝15cm，则此木棒长为5cm；
（2）分两种情况根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，画出“木棒模型”示意图，进而可求爷爷的年龄．
【解答】解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），
则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；
故答案为：5cm；
（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，
∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，
当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，
木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，
当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：
﹣ 5+5 ＝ 0 ， 木 棒 的 右 端 点 与 点 A 的 距 离 ＝ 10﹣ 0 ＝ 10 ，
∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷
爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，
因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，
所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），
所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），
答：爷爷现在的年龄是69岁．
【点评】本题考查的作图比较复杂，数轴和数轴上两点间的距离，对数轴和数轴上两点间距离公式的概
念的正确理解是解题的关键．8．（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的
距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 A，B，C所表
示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数： ，0，1，4，5所对应的点分别为C ，C ，
1 2
C ，C ，C ，其中是点A，B的“联盟点”的是 C ， C ， C ；
3 4 5 2 3 5
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点 P表示
的数．
【分析】（1）根据两点间的距离易得AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC 的长，
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
根据定义，进行判断即可求解．
（2）这两个小题运用分类讨论，再由方程即可求得．
【解答】解：（1）∵AC ═﹣ ﹣（﹣1）═ ，BC ═2﹣（﹣ ）═ ，
1 1
∴2AC ≠BC ，
1 1
∴C 不是A，B的“联盟点”．
1
∵AC ═0﹣（﹣1）═1，BC ＝2﹣0＝2，
2 2
∴2AC ═BC ，
2 2
∴C 是A，B的“联盟点”．
2
∵AC ═1﹣（﹣1）＝2，BC ═2﹣1＝1，
3 3
∴AC ═2BC ，
3 3
∴C 是A，B的“联盟点”．
3
∵AC ═4﹣（﹣1）＝5，BC ═4﹣2＝2，
4 4
∴AC ≠BC ，
4 4
∴C 不是A，B的“联盟点”．
4
∵AC ═5﹣（﹣1）＝6，BC ═5﹣2＝3，
5 5
∴AC ═2BC ，
5 5
∴C 是A，B的“联盟点”．
5综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C ，C ，C ．
2 3 5
（2）解；设点P表示的数为x，
①∵P在线段AB上，
∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，
当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝ ，
当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝ ，
综上所述，点P 表示的数为 ， ．
②由题意得，AB＝4，
∵P在A的左侧，
∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，
当点A为B，P的“联盟点”时，
若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，
若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，
当点B为A，P的“联盟点”时，
2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，
当点P为A，B的“联盟点”时，
BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，
综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．
【点评】此题考查了新定义，分类讨论，方程思想，两点间的距离．
9．（2022秋•广阳区校级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和3的两点之间的距离是 2 ．
②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 3 ．
③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是 8 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 | a ﹣ b | ．
（3）应用：
①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝ 7 ．
②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝ ﹣ 1 ．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 3 ．
④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 a ＞ 5 或 a ＜﹣ 3 ．
（4）拓展：
已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁
P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从B点出发，以3单位/秒
的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距 20个单位长度，并写出此时点P所表示
的数．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离可得；
（2）根据数轴上两点间的距离可得；
（3）根据数轴上两点间的距离可得；
（4）根据行程问题中的相遇问题解即可．
【解答】解：（1）①5﹣3＝2，
故答案为：2；
②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，
故答案为：3；
③5﹣（﹣3）＝8，
故答案为：8；
（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，
∴|a+4|+|a﹣3|
＝a+4+3﹣a
＝7，
故答案为：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|
∴表示数a的点在1和﹣3之间，
∴|a﹣1|＝|a+3|，
1﹣a＝a+3，
a＝﹣1，
故答案为：﹣1；
③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，
∴表示a的点在﹣2与1之间，
∴|a﹣1|+|a+2|
＝1﹣a+a+2
＝3，
故答案为：3；
④|a+3|+|a﹣5|＞8，
当﹣3＜a＜5时，
|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；
当a＜﹣3时，
|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，
a＜﹣3；
当a＞5时，
|a+3|+|a﹣5|＞8，
a+3+a﹣5＞8，
a＞5，
故答案为：a＜﹣3或a＞5；
（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，
①4x+3x+20＝20+100，
x＝ ，
点P表示的是4× ﹣20＝
②4x+3x﹣20＝20+100，
x＝20，
点P表示的是4×20﹣20＝60，【点评】本题考查的是数轴有理数和绝对值，解题的关键是理解绝对值的意义，会解相遇问题．
10．（2022秋•福田区期末）[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示
为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为 ．
[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，
对应的数为x．
（1）a＝ 4 ，b＝ 2 ；
（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 3 ，若点B为线段AP的中点，则P点对应的
数x为 0 ；
（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒3个单位长度，点B的速度
为每秒1个单位长度，则经过 1 秒点A追上点B；
（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时
点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点 A、点B、
点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据线段中点坐标公式即可求解；
（3）根据点A追上点B时，点B和点A的路程差＝A，B两点运动的速度差×时间，求解即可；
（4）根据动点的运动分三种情况讨论其中一个点是另外两个点的中点即可求解．
【解答】解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝4，b＝2．
故答案为4、2．
（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，
若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝ ＝3，
若B为线段AP的中点时，则 ＝2，解得x＝0．
故答案为3，0；
（3）解：设经过x秒点A追上点B，（3﹣1）x＝4﹣2，
2x＝2，
x＝1，
答：经过1秒点A追上点B．
（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，
t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，
当点A为PB的中点时，则有，
2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝ ，
当点B为PA的中点时，则有，
2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝ ，
当点P为BA的中点时，则有，
2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝ ，
答：经过 秒， 秒， 秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．
故答案为： 秒， 秒， 秒．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质；绝对值；偶次方，解决本题的难点是
弄清楚点的运动方向和运动后点的位置的表示，同时分类思想也是本题的亮点．
11．（2022秋•澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一
动点，其对应的数为x．
（1）点A到点C的距离为 2 5 ；
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的
值；若不存在，请说明理由；
（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一
运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【分析】（1）利用两点间距离公式即可求解；
（2）当P点在A点的左侧（含A点）时：得方程﹣10﹣x+5﹣x＝25；当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x﹣（﹣10）+5﹣x＝25；当P点在B点的右侧时：x﹣（﹣10）+x﹣5＝25，解方程即可；
（3）设点P表示的数为x，则点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，得PA+PB+PC＝AC+PB＝
25+PB，分析出PB的最值即可．
【解答】解：（1）AC＝15﹣（﹣10）＝25，
∴点A到点C的距离为25，
故答案为：25；
（2）存在，设点P表示的数为x，
当P点在A点的左侧（含A点）时：﹣10﹣x+5﹣x＝25，
解得：x＝﹣15，
当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x﹣（﹣10）+5﹣x＝25，
解得：无解；
当P点在B点的右侧时：x﹣（﹣10）+x﹣5＝25，
解得：x＝10，
∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x＝﹣15或10，使得点P到
点A、点B的距离之和为25单位长度；
（3）由题意得点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，
∵点P在点A、C之间，
∴PA+PB+PC＝AC+PB＝25+PB，
当点P与点A重合时，PB最大，此时PB＝5﹣（﹣10）＝15，
∴PA+PB+PC的最大值为25+15＝40，
当点P与点B重合时，PB最小，此时PB＝0，
∴PA+PB+PC的最小值为25，
∴S的最大值为40，最小值为25．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距
离：两点所对应的数的差的绝对值．
12．（2022秋•宜春期末）如图1，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，O为原点，且a，b满足|a+5|+
（b+2a）2＝0．
（1）则A、B两点的距离是 1 5 ；
（2）点P是数轴上一个动点，其表示的数是x，当AP＝3BP时，求x；
（3）如图2，E，F为线段OB上两点，且满足BF＝2EF，OE＝4，动点M从点A，动点N从点F同时出发，分别以3个单位/秒，1个单位/秒的速度沿直线AB向右运动，是否存在某个时刻，点M和点N相
距一个单位？若存在，求此时点M表示的数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）读懂题意，根据非负数的性质列等式，求出a、b的值即可得解；
（2）根据题意分情况列方程求出解即可；
（3）先求出BF，EF的长，由点M和点N相距一个单位，列出方程可求解．
【解答】解：（1）∵|a+5|+（b+2a）2＝0，
∴a+5＝0，b+2a＝0，
∴a＝﹣5，b＝10，
∴A、B两点的距离为|10﹣（﹣5）|＝15，
故答案为：15；
（2）当点P在A、B两点之间时，
∵AP＝3BP，a＝﹣5，b＝10，
∴x﹣（﹣5）＝3（10﹣x），
解得 ，
当P点在B点右边时，
∵AP＝3BP，a＝﹣5，b＝10，
∴x﹣（﹣5）＝3（x﹣10），
解得 ，
∴当AP＝3BP时， 或 ；
（3）存在，
∵BF＝2EF，OE＝4，OB＝10，
∴EF＝2，BF＝4，
∴AF＝OA+OE+EF＝5+4+2＝11，
设t秒时，点M和点N相距一个单位，
如图3，当点M在点N的左侧时，由AM+MN＝AF+FN得3t+1＝11+t
解得t＝5，
∴点M表示的数为﹣5+3×5＝10，
如图4，当点M在点N的右侧时，
由AM＝AF+FN+MN得3t＝11+t+1
解得t＝6，
∴点M表示的数为﹣5+3×6＝13，
综上所述：当t＝5秒或t＝6秒时，点M和点N相距一个单位，t＝5秒时，点M表示的数为10，t＝5秒
时，点M表示的数为13．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴知识，解题的关键是读懂题意，根据题
意列方程求解．
13．（2022秋•闽侯县校级期末）如图所示，在数轴上 A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|2a+6|+|b
﹣9|＝0
（1）点A表示的数为 ﹣ 3 ，点B表示的数为 9 ；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在点A、点B之间的
数轴上找一点C，使BC＝2AC，则C点表示的数为 1 ；
（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动；同一时刻，
另一动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，
这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间
为t秒．
请用含t的代数式表示：点P到点A的距离PA＝ ，点Q到点B的距离QB＝ 8 ﹣t （ 0 ≤ t ≤ 8 ） ；点P与点Q之间的距离PQ＝ ．
【分析】（1）利用非负数和的性质得到2a+6＝0，b﹣9＝0，然后解方程求出a、b，从而得到点A和点
B表示的数；
（2）利用AB＝12，BC＝2AC得到BC＝8，AC＝4，则OC＝1，从而得到C点表示的数；
（3）由于点P4秒运动到B点，而Q点8秒运动到B点，所以分0≤t≤4和4＜t≤8计算点P到点A的
距离PA；易得点Q到点B的距离QB＝8﹣t（0≤t≤8）；分P点在Q点左侧、P点运动到Q点右侧和P
点运动到B点进行计算．
【解答】解：（1）∵|2a+6|+|b﹣9|＝0
∴2a+6＝0，b﹣9＝0，解得a＝﹣3，b＝9，
∴点A表示的数为﹣3，点B表示的数为9；
（2）AB＝9﹣（﹣3）＝12，
∵BC＝2AC，
∴BC＝8，AC＝4，
∴OC＝1，
∴C点表示的数为1；
（3）点P到点A的距离PA＝ ；
点Q到点B的距离QB＝8﹣t（0≤t≤8）；
当0≤t≤2时，点P与点Q之间的距离 PQ＝t+4﹣3t＝4﹣2t，
当2＜t≤4时，点P与点Q之间的距离 PQ＝3t﹣t﹣4＝2t﹣4，
当4＜t≤8时，点P与点Q之间的距离 PQ＝8﹣t．
即PQ＝ ．故答案为﹣3，9；1； ；8﹣t（0≤t≤8）； ．
【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．
（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）一般来说，当数轴方向朝右时，
右边的数总比左边的数大．数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．
14．（2022秋•海港区校级期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣2，6，点A以每
秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为
t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为 8 ；运动1秒后线段AB的长为 6 ；
（2）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（3）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可；
（2）运动t秒时，点A表示的数为﹣2+5t，点B表示的数为6+3t，再根据A、B恰好重合列出方程求解
即可；
（3）运动t秒时，点A表示的数为﹣2+5t，点B表示的数为6+3t，则AB＝|8﹣2t|＝5，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得运动前线段AB的长为6﹣（﹣2）＝8；
运动1秒后点A表示的数为﹣2+5＝3，点B表示的数为6+3＝9，则运动1秒后线段AB的长为9﹣3＝
6，
故答案为：8，6；
（2）由题意得：﹣2+5t＝6+3t，
解得：t＝4；
（3）由题意可知：t秒时点A表示的数为：﹣2+5t，点B表示的数为：6+3t，
当点A在点B左侧时，6+3t﹣（﹣2+5t）＝5，解得 ；
当点A在点B右侧时，﹣2+5t﹣（6+3t）＝5，解得 ；故存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，t的值为 或 ．
【点评】本题主要考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离公式是解题的
关键．
15．（2022秋•莲池区期末）如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB
＝2，点C是AB的中点，如图画数轴．
（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是 2 ，点C表示的数是 ﹣ 1 ；
（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；
（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O所表示的数之和
等于21，求m；
（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长
度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．
【分析】（1）由数轴可得结论；
（2）用距离公式可得结论；
（3）点D是数轴的原点，分别求出A，B，C，O所表示的数相加；
（4）用方程中行程问题求出时间，表示出点E，F表示的数．相加即可．
【解答】解：（1）点B在点O的右侧，OB＝2，
∴点B表示的数是2，
故答案为：2；
AB＝6，点C是AB的中点，
∴BC＝3，
∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）AB＝6，点B在点A的右侧，
点A表示的数是﹣4，AD＝|﹣4﹣x|＝5，
x＝1或x＝﹣9；
（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，
∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，
∴AC＝3，AO＝4，
∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，
m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，
解得m＝2；
（4）设运动时间为t，据题意得：
|6﹣2t﹣t|＝3，
解得t＝1或3，
∴点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1或点E表示的数是2，点F表示的数是﹣1，
∴点A，B，E，F表示的数之和为：﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3或﹣4+2+2+（﹣1）＝﹣1，
综上所述，点A，B，E，F表示的数之和为﹣3或﹣1．
【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点和两点间的距离．
16．（2022秋•怀仁市校级期末）【材料阅读】
我们知道：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做这个数的绝对值．
对于“两点间的距离”，是指两点之间线段的长度，若一个数的绝对值为1，则这个数在数轴上的点与
原点间的距离为1，该点表示的数为1或﹣1．
【问题解决】
如图，数轴上的点A，B表示的数分别为﹣8，5（即点A，B到原点的距离分别是8个单位，5个单位）．
（1）点A，B间的距离为 1 3 ．
（2）将数轴在点C处折叠，若点A，B重合，则点C表示的数为 ﹣ 1. 5 ．
（3）点A，B均沿数轴正方向，分别以3个单位/秒、2个单位/秒的速度同时匀速运动，请列方程解决
下面的问题：经过多长时间，点A，B间的距离为2？
【分析】（1）根据数轴上的点A，B表示的数分别为﹣8，5，直接可得点A，B间的距离为13；
（2）设C表示的数是m，可得5﹣m＝m﹣（﹣8），即可解得m＝﹣1.5；
（3）经过t秒，点A，B间的距离为2，可得|﹣8+3t﹣（5+2t）|＝2，可解得t＝15或t＝11．【解答】解：（1）∵数轴上的点A，B表示的数分别为﹣8，5，
∴点A，B间的距离为|﹣8﹣5|＝13，
故答案为：13；
（2）设C表示的数是m，
根据题意得：5﹣m＝m﹣（﹣8），
解得m＝﹣1.5，
故答案为：﹣1.5；
（3）经过t秒，点A，B间的距离为2，
运动后A表示的数是﹣8+3t，B表示的数是5+2t，
∴|﹣8+3t﹣（5+2t）|＝2，
∴t﹣13＝2或t﹣13＝﹣2，
解得t＝15或t＝11，
答：经过15或11秒，点A，B间的距离为2．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点间距离的计算方法，找到等量关
系列方程．
17．（2022秋•和平区校级期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b﹣1）2
＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PA﹣PB＝2时，求x的值；
（3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当点P在A的左侧移动时，PN﹣PM的值是否
有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由．
【分析】（1）由|a+2|+（b﹣1）2＝0，得出a+2＝0，b﹣1＝0求出a，b的值，即可求出线段AB的值；
（2）分类讨论A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；
（2）当P在A的左侧移动时，设点P对应的数为x，列式求出|PN|﹣|PM|的值即可．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∵点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，
∴线段AB的长为3；
（2）当P在点A左侧时，
|PA|﹣|PB|＝﹣（|PB|﹣|PA|）＝﹣|AB|＝﹣3≠2；当P在点B右侧时，
|PA|﹣|PB|＝|AB|＝3≠2．
∴上述两种情况的点P不存在；
当P在A、B之间时，|PA|＝|x﹣（﹣2）|＝x+2，|PB|＝|x﹣1|＝1﹣x，
∵|PA|﹣|PB|＝2，
∴x+2﹣（1﹣x）＝2，
∴x＝ ，
即x的值为 ；
（3）|PN|﹣|PM|的值不变，值为 ．
∵|PN|﹣|PM|
＝ |PB|﹣ |PA|
＝ （|PB|﹣|PA|）
＝ |AB|
＝ ，
∴|PN|﹣|PM|＝ ．
【点评】本题考查了数轴的性质，掌握数轴上两点间的距离，运用数形结合的数学思想是解题的关键．
18．（2022秋•阳西县期末）如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，3．
（1）已知点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P到点A，B的距离相等，则x＝ 1 ；
（2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合．
①设与﹣3表示的点重合的点为数y，求y的值；
②若数轴上M，N两点之间的距离为2022，M在点N的左侧，且M，N两点经过折叠后互相重合，求
M，N两点分别表示的数．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）①求出折叠的点表示的数，列出关于y的方程，解方程即可得出y的值；②设点M表示的数是a，则点N表示的数是a+2022，列出关于a的方程，解方程即可得出a的值，即
可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：x﹣（﹣1）＝3﹣x，
解得：x＝1，
故答案为：1．
（2）①∵将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，
∴折叠的点表示的数为 ，
∴ ，
解得：y＝5，
②设点M表示的数是a，则点N表示的数是a+2022，
∵M，N两点经过折叠后互相重合，
∴ ，
解得：a＝﹣1010，
∴﹣1010+2022＝1012，
∴M，N两点表示的数分别是﹣1010和1012．
【点评】本题主要考查了数轴上的点，数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程．
19．（2022秋•阳泉期末）综合与探究
课堂情境：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．任何有理数都可以用数轴上的点表示．数轴
上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．数轴上右边的数总比左边的数大……根据这些性
质，我们可以借助数轴解决很多问题．
今天我们研究数轴上两点之间的距离与这两个有理数之间的关系．
观察发现：
（1）填空：如图1所示，在数轴上，有理数5与2对应的两点之间的距离为 3 ；
在数轴上，有理数6与﹣1对应的两点之间的距离为 7 ；
在数轴上，有理数﹣1与﹣5对应的两点之间的距离为 4 ；
答疑解惑：
小明提出：在数轴上，有理数﹣4与﹣1对应的两点之间的距离可以写为﹣4﹣（﹣1）吗？
小亮回答：不可以．两点之间的距离不能是负数．两个点之间的距离应该写成这两个数的差的绝对值；
小慧回答：不可以．两个点之间的距离等于右边的数减去左边的数．方法验证：
（2）观察图2数轴上给出的两点之间距离，选用小亮或小慧的方法求数轴上两点之间距离；
AB＝ 1 1 ；EF＝ 2 ；AC＝ 4 ；DE＝ 4 ；
解决问题：
（3）若点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发以每秒1个单位长
度的速度向右运动，求经过多长时间P，Q两点之间的距离为2个单位长度？
【分析】（1）根据两点间的距离求法直接求解即可；
（2）根据两点间的距离求法直接求解即可；
（3）设运动时间为t秒，根据题意可得|6﹣2t﹣（﹣5+t）|＝2，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵|5﹣2|＝3，
有理数5与2对应的两点之间的距离为3；
∵|6﹣（﹣1）|＝7，
∴有理数6与﹣1对应的两点之间的距离为7；
∵|﹣1﹣（﹣5）|＝4，
∴有理数﹣1与﹣5对应的两点之间的距离为4；
故答案为：3，7，4；
（2）AB＝|6﹣（﹣5）|＝11，EF＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2，AC＝|6﹣2|＝4，DE＝|0﹣（﹣4）|＝4，
故答案为：11，2，4，4；
（3）设运动时间为t秒，
∴P点运动后对应的点表示的数为6﹣2t，Q点运动后对应的点表示的数为﹣5+t，
∴PQ＝|6﹣2t﹣（﹣5+t）|＝2，
解得t＝3或t＝ ，
∴经过3s或 s，P，Q两点之间的距离为2．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的定义，会求数轴上两点间的距离是
解题的关键．
20 ． （ 2022 秋 • 松 原 期 末 ） 如 图 ， 在 数 轴 上 标 出 相 关 的 点 ， 并 解 答 问 题 ：
（1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣2 ，﹣1；
（2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数．
【分析】（1）在数轴上表示各数即可求解；
（2）先在数轴上标出表示﹣1的点A，再写出将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示：将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5．
【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确在数轴上表示各数的点的位置．
21．（2022秋•历城区校级期末）数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，
则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n．
（1）若点A是点M的2倍原距点．
①当点M在数轴正半轴上时，则m＝ 2 ；
②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由；
（2）若点M，N分别从数轴上表示数12，8的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为4个单
位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍
原距点，请直接写出a所有可能的值．
【分析】（1）①点A到原点的距离为4，根据定义可知点M到原点距离为2，点M在数轴正半轴，进
而可求出m；
②m＜0，则m＝﹣2，4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n得出n的值，再根据定义来判断；
（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点，由|10﹣2t|＝2×4求出t的
值，将t代入4＝2×|6﹣at|，求出a的所有可能值即可．【解答】解：（1）① ，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
故答案为：2；
②∵m＜0，
∴m＝﹣2．
∵点M为线段AN的中点，
∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n，
解得n＝﹣8．
∴ON＝8，ON＝2OA，
故N点是点A的2倍原距点；
（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点，
∴
解得：t ＝5，t ＝1．
1 2
将t ＝5代入4＝2×丨8﹣at丨得：4＝2×|8﹣5a|，
1
解得：a ＝ ，a ＝2；
1 2
将t ＝1代入4＝2×丨8﹣at丨得：4＝2×|8﹣a|，
2
解得：a ＝6，a ＝10．
3 4
故a所有的可能值为： ，2，6，10．
【点评】本题考查了数轴中的距离，解一元一次方程，绝对值等知识，根据数量关系列方程并正确的求
解是解题的关键．
22．（2022秋•顺德区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且
AB＝22，
（1）写出数轴上点B表示的数 ﹣ 1 4 ；
（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．
如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①：若|x﹣8|＝3，则x＝ 5 或 1 1 ．
②：|x+14|+|x﹣8|的最小值为 2 2 ．
（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 t（t＞0）秒．
求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以
P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的
距离为4．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数；
（2）①根据绝对值的性质即可求解；
②根据两点间的距离公式即可求解；
（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解；
（4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4，根据距离的等量关系即可求解．
【解答】解：（1）点B表示的数8﹣22＝﹣14．
故答案为：﹣14；
（2）①|x﹣8|＝3，
x﹣8＝±3，
则x＝5或11．
故答案为：5或11；
②|x+14|+|x﹣8|的最小值为8﹣（﹣14）＝22．
故答案为：22；
（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是2t，
则|8﹣2t|＝2，
解得t＝3或t＝5．
故当t为3或5秒时，A，P两点之间的距离为2；
（4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4．
此时P点表示的数是2t，Q点表示的数﹣14+4t，
则|﹣14+4t﹣2t|＝4
解得t＝9或t＝5．
故当t为9或5秒时，P，Q之间的距离为4．【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据
题意找到等量关系，列出方程求解．
23．（2022秋•黄埔区校级期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝
4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ﹣ 1 ，b＝ 3 ，并在数轴上面标出A、B两点；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左
运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的
值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据AB＝4，且OB＝3OA．就可以确定a和b的值；
（2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝2PB建立等式，就可以求出x的值；
（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值．
【解答】解：（1）因为AB＝4，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，
所以a＝﹣1，b＝3．
故答案为：﹣1，3．
（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．
②当P点位于A、B两点之间时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（3﹣x），
所以x＝ ．
②当P点位于B点右侧时，
因为PA＝2PB，
所以x+1＝2（x﹣3），
所以x＝7．
故x的值为 或7．
（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为2t，B点的值为（3+3t），所以3PB﹣PA
＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]
＝9+3t﹣（2t+1+t）
＝9+3t﹣3t﹣1
＝8．
所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．
【点评】本题主要考查数轴上两点之间距离、动点的坐标值的表示．以及代数式定值问题的证明．解题
的关键点是动点的坐标值的表示以及分类讨论思想的运用．
24．（2022秋•雅安期末）已知数轴上两点M、N对应的数分别为﹣8、4，点P为数轴上任意一点，其对
应的数为x．
（1）MN的长为 1 2 ；
（2）当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）MN的长为4﹣（﹣8）＝12，即可解答；
（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算．
【解答】解：（1）MN的长为4﹣（﹣8）＝12，
故答案为：12；
（2）根据题意得：x﹣（﹣8）＝4﹣x，
解得x＝﹣2；
（3）存在，
①当点P在点M的左侧时．
根据题意得：﹣8﹣x+4﹣x＝20，
解得x＝﹣12；
②P在点M和点N之间时，
则x﹣（﹣8）+4﹣x＝20，
方程无解，即点P不可能在点M和点N之间；
③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣8）+x﹣4＝20，解得x＝8；
∴x的值是﹣12或8．
【点评】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解题关键．
25．（2022秋•雅安期末）如图①，点C在线段AB上，若BC＝ AC，则称点C是线段AB的圆周率点，
线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． π
（1）若AC＝2，求AB的长；
（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），并判断AC与BD的数量关系；
（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把
圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M，N是线段OC
的圆周率点，求MN的长．
【分析】（1）AB＝AC+BC；
（2）作图辅助观察，可得AD、BD、AB、AC、BC的关系；
（3）圆一周是 ，可得OC，根据（2）的结论，可得MN的长．
【解答】解：（π1）BC＝ AC，AC＝2，
BC＝2 ， π
∴AB＝πAC+BC＝2+2 ；
（2）∵点D也是图①π 中线段AB的圆周率点（不同于点C），
∴
点D在如图所示的位置，
AD＝ BD，
AB＝AπD+BD＝（ +1）BD，
∵AB＝AC+BC＝（π +1）AC，
∴AC＝BD； π
（3）∵将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，
∴点C所表示的数为1+ ，
∵点M，N是线段OC的π圆周率点，∴
ON＝ CN，CM＝ OM，
∴OCπ＝OM+CM＝πON+CN＝（1+ ）OM＝（1+ ）CN，
∴CN＝OM＝1， π π
∴MN＝OC﹣OM﹣CN＝ ﹣1．
【点评】本题考查了圆的π周长、数轴，关键是求得线段之间的数量关系．
26．（2022秋•江夏区期末）在数轴上有A、B两点，它们对应的数分别是﹣4和12，线段CE在数轴上运
动（点C在点E的左边），且CE＝8，点M为AE的中点．
（1）如图1，当线段CE运动到线段AB之间（点C、点E两点均在A、B两点之间）时，CM＝1．
①直接写出AB＝ 1 6 ；
②求点C对应的数及线段BE的长；
（2）如图2，当线段CE运动到点A在点C、点E两点之间时，画出草图，并求出BE与CM的数量关
系．
【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（2）设点C所表示的数为x，得到点E所表示的数为x+8，根据中点的定义可求出点M所表示的数，
进而用含有x的代数式表示BE、CM，根据结果得出BE与CM的数量关系即可．
【解答】解：（1）①12﹣（﹣4）＝16，
故答案为：16；
②∵CM＝1，CE＝8，
∴ME＝CE﹣CM＝7，
∵M是AE的中点，
∴AM＝ME＝7，
∵点A所表示的数为﹣4，∴点C所表示的数为﹣4+7﹣1＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝16﹣14＝2，
答：点C所表示的数为2，BE＝2；
（2）BE＝2CM，理由如下：
如图，设点C所表示的数为x，则点E所表示的数为x+8，
∵点M是AE的中点，而点A所表示的数为﹣4，
∴点M所表示的数为 ＝ ，
∴BE＝12﹣（x+8）＝4﹣x，CM＝ ﹣x＝ ＝ （4﹣x），
∴BE＝2CM．
【点评】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法是正确解答的前提．
27．（2022秋•兴城市期末）已知点M，N，P是数轴上的三个点，点N对应的数是最小的正整数，点P的
位置如图所示．
（1）线段NP的长度为 6 ；
（2）当MP＝2NP时，请直接写出点M所表示的数；
（3）若点A从点N处出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点B从点P处出发，
以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点M从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿相
同方向匀速运动，当点A与点B重合时，求线段MP的长度．
【分析】（1）根据点N表示的是最小的正整数，得出点N表示的数，然后根据两点间距离求出线段
NP的长度即可；
（2）设点M表示的数为m，根据MP＝2NP列出关于m的方程|m﹣7|＝2×6，解方程即可；
（3）当点A与点B重合时，设运动时间为t秒，列出关于t的方程，解方程得出t的值，求出点M表示
的数，然后求出MP的长即可．
【解答】解：（1）∵点N对应的数是最小的正整数，
∴N表示的数为1，
∴NP＝7﹣1＝6，故答案为：6．
（2）设点M表示的数为m，根据题意得：|m﹣7|＝2×6，
解得：m＝﹣5或m＝19．
（3）当点A与点B重合时，设运动时间为t秒，则点A运动的路程为3t，点B运动的路程为t，点M运
动的路程为2t，由题意可列方程为：3t＝t+6，
解得：t＝3，
∴2t＝6，
∴当点A与点B重合时，点M和点P所表示的数为6和7，
∴MP＝|7﹣6|＝1．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关
键是根据题意列出方程，注意用方程解决问题．
28．（2022秋•章丘区校级期末）操作与探究
对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得
到点P的对应点P'．
如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对
应点分别为A′，B′．
（1）若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是 ；
（2）若点B′表示的数是2，点B表示的数是 4 ；
（3）已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（4）保持前两问的条件不变，点C是线段AB上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B
的对应点落在数轴上的B 处，若B A＝2，求点C表示的数．
1 1【分析】（1）根据题意列式计算求解；
（2）根据题意列方程求解；
（3）根据题意列方程求解；
（4）先根据题意分类，再利用中点公式求解．
【解答】解：（1）﹣3× +1＝ ，
故答案为： ；
（2）（2﹣1）×4＝4，
故答案为：4；
（3）设E表示的数为x，则 x+1＝x，
解得：x＝ ，
故答案为： ；
（4）∵B A＝2，∴B 表示的数为：﹣1或﹣5，
1 1
当B 表示的数为﹣1时，C表示的数为： （﹣1+4）＝1.5，
1
当B 表示的数为﹣5时，C表示的数为： （﹣5+4）＝﹣0.5．
1
【点评】本题考查了数轴，根据题意列方程是解题的关键．
29．（2022秋•越秀区校级期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动
点，其表示的数为x．
（1）若点P为AB的中点，则x的值为 1 ；
（2）若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 5 ；
（3）某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时
点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，
点P表示的数．
【分析】（1）利用数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，得出中点位置P点表示的数，可得x的值；
（2）根据PA+PB＝8列方程可解答；（3）利用当A在B的左侧或B右侧时，分别列方程得出即可．
【解答】解：（1）∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，3，点P为AB的中点，其表示的数为x，
∴x＝ ＝1；
故答案为：1；
（2）∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，3，
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∵点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，
∴x﹣3+x+1＝8，
∴x＝5，
故答案为：5；
（3）设运动时间为t秒，则运动后点A表示：﹣1+2t，点B表示3+0.5t，点P表示：x＝1﹣6t，
∵点A，B之间的距离为3个单位长度，
∴（3+0.5t）﹣（﹣1+2t）＝±3，
解得：t＝ 或 ，
∴x＝1﹣6× ＝﹣3或x＝1﹣6× ＝﹣27；
答：点P表示的数是﹣3或﹣27．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识，利用分类讨
论得出是解题关键．
30．（2022秋•道县期末）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以m（m≠0），再把所得
数对应的点沿数轴向右平移n个单位长度，得到点P'．称这样的操作为点P的“升级”，对数轴上的点
A，B，C，D进行“升级”操作得到的点分别为A'，B'，C'，D'．
（1）当 ，n＝1时，
①若点A表示的数为﹣4，则它的对应点A'表示的数为 ﹣ 1 ．若点B'表示的数是3，则点B表示的
数为 4 ；
②数轴上的点M表示的数为1，若线段CM＝3C'M，求点C表示的数；
（2）若线段A'B'＝2AB，请直接写出m的值，不需证明．
【分析】（1）①由 ，即可得出对应点 A'表示的数为﹣1，设点 B 表示的数为 x，，解得x＝4；
②设点C表示的数为a，则C′表示的数为 ，由 ，解得a＝﹣2或 ；
（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，则点A′表示的数为am+n，点B′表示的数为bm+n，
则|bm+n﹣am﹣n|＝2|b﹣a|，解得m＝±2．
【解答】解：（1）①∵点A表示的数为﹣4，
∴ ，
∴它的对应点A'表示的数为﹣1，
设点B表示的数为x，
∵点B'表示的数是3，
∴ ，
解得：x＝4．
故答案为：﹣1，4．
②设点C表示的数为a，则C′表示的数为 ，
∵CM＝3C′M，
∴ ，
解得：a＝﹣2或 ．
故答案为：﹣2或 ．
（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，
则点A′表示的数为：am+n，点B′表示的数为：bm+n，
∴|bm+n﹣am﹣n|＝2|b﹣a|，
∴|m（b﹣a）|＝2|b﹣a|，
解得：m＝±2．
∴若线段A'B'＝2AB，m＝±2．
【点评】本题考查了新概念“升级”、数轴、两点间的距离、绝对值、一元一次方程等知识；熟练掌握
数轴上两点间的距离是解题的关键．31．（2022秋•泉港区期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点
对应的数分别为﹣1、3．
（1）填空：线段AB的长度AB＝ 4 ；
（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是
否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？
（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点
F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，
的值是否发生变化？请说明理由．
【分析】（1）利用A、B两点对应的数字求得OA，OB的值，则AB＝OA+OB；
（2）利用线段中点的定义求得点C对应的数字，设P点对应的数为x，利用分类讨论的思想方法分别
用P，A，B对应的数字表示出PA，PB的长度，通过计算PA+PB即可得出结论；
（3）分别用含t的代数式表示出线段EF，OP，MN，通过计算即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4．
故答案为：4；
（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．
理由：
A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∵点A是BC的中点，
∴AC＝AB＝4．
∴OC＝AC+OA＝5，
∴C点对应的数为﹣5．
又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，
∴D点对应的数为4．
设P点对应的数为x，
①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；
②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，
∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，
∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；
③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，
∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．
综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，
∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；
（3）在运动过程中， 的值不发生变化．理由：
设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3，
∴EF＝OE+OF＝25t+4，
∵M、N分别是PE、OF的中点，
∴EM＝PM＝ PE＝ （OP+OE）＝3t+ ，ON＝ OF＝10t+ ，
∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+ ）＝2t+ ，
∴MN＝OM+ON＝12t+2，
∴ ．
∴在运动过程中， 的值不发生变化．
【点评】本题主要考查了实数与数轴的应用，数轴上点与数字的关系，中点的意义，利用点对应的数字
表示出相应线段的长度是解题的关键．
32．（2022秋•东港区校级期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个
点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 A，B，C
所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C ，C ，C .其中是点
1 2 3
A，B的“联盟点”的是 C 或 C ；
2 3
（2）点A表示的数﹣10，点B表示的数30，P为数轴上一个动点，且点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．
【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可；
（2）分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”，点B是点A、点P的“联盟点”，点P
是点A、点B的“联盟点”进行计算即可．
【解答】解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
当点C 所表示的数是3时，
1
AC ＝5，BC ＝1，所以C 不是点A、点B的“联盟点”，
1 1 1
当点C 所表示的数是2时，
2
AC ＝4，BC ＝2，由于AC ＝2BC ，所以C 是表示点A、点B的“联盟点”，
2 2 2 2 2
当点C 所表示的数是0时，
3
AC ＝2，BC ＝4，由于2AC ＝BC ，所以C 是表示点A、点B的“联盟点”，
3 3 3 3 3
故答案为：C 或C ；
2 3
②若点P在点B的右侧，
当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB，即x+10＝2×（30+10），
解得x＝70，
当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB，
即30+10＝2（x﹣30）或2×（30+10）＝x﹣30，解得x＝50或x＝110；
当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB，即x+10＝2×（x﹣30），
解得x＝70；
故答案为：70或50或110．
【点评】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法以及“联盟点”的意义是正确解答的关键．
33．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为8，点P从
点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，当点P到达点B后立即返回，再以每秒3个单
位长度的速度向左运动．设点P运动时间为t（s）
（1）当点P与点B重合时，t的值为 6 ；
（2）当t＝7时，点P表示有理数为 5 ；
（3）当点P与原点距离是2个单位长度时，t的值为 1 或 3 或 8 或 ；【分析】（1）用含t代数式表示点P所表示的数，使其等于8，进而求解．
（2）当点P从B向A运动时，点P所表示的数为8﹣3（t﹣6），列方程求解．
（3）点P到原点距离为2的数为2或﹣2，分类讨论点P从A向B和从B向A运动时点P表示的数为
±2，进而求解．
【解答】解：（1）当点P从A向B运动时，点P表示的数为：﹣4+2t，
由题意得﹣4+2t＝8，
解得t＝6．
故答案为：6．
（2）当点P从B向A运动时，点P所表示的数为8﹣3（t﹣6），
当t＝7时，8﹣3（t﹣6）＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
（3）当点P表示的数为2或﹣2时满足题意，
解﹣4+2t＝﹣2得t＝1，
解﹣4+2t＝2得t＝3，
解8﹣3（t﹣6）＝2得t＝8，
解8﹣3（t﹣6）＝﹣2得t＝ ．
故答案为：1或3或8或 ．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题关键是根据题意列出关于t的一元一次方程，分类讨论求解．
34．（2022秋•泰兴市期末）已知：如图①，在数轴上有两点A、B，它们表示的数分别为a、b．
（1）如果C、D在AB上，AC＝BD，猜想AD与BC有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图②，点P从点B出发沿着数轴先向左移动（2b﹣2a+1）个单位长度，再向右移动（ b﹣
a+1）个单位长度得到．
①如果a＝﹣4，b＝6时，则点P表示的数为 1 ；
②对任意a、b的值，试说明点P是线段AB的中点；
（3）点N在数轴上表示的数为n．若a+b＝6，请只使用圆规在图③中画出点M，使点M表示的数为
（6﹣n）．（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）【分析】（1）由AD＝AC+CD，BC＝BD+CD，可得AD＝BC；
（2）①由题意可得P点表示的数是6﹣21+16＝1；
②由题意可得 P 点表示的数是 b﹣（2b﹣2a+1）+ b﹣ a+1＝ （a+b），再由 AB 的中点为
（a+b），即可证明；
（3）①作线段AB的中点E；②以E为圆心，EN为半径做圆，交线段于点M．
【解答】解：（1）∵AD＝AC+CD，BC＝BD+CD，
又∵AC＝BD，
∴AD＝BC；
（2）①当a＝﹣4，b＝6时，点P从点B出发沿着数轴先向左移动21个单位长度，再向右移动16个单
位长度，
∴P点表示的数是6﹣21+16＝1，
故答案为：1；
②∵点P从点B出发沿着数轴先向左移动（2b﹣2a+1）个单位长度，再向右移动（ b﹣ a+1）个单
位长度，
∴P点表示的数是b﹣（2b﹣2a+1）+ b﹣ a+1＝ （a+b），
∵A、B的中点为 （a+b），
∴点P是线段AB的中点；
（3）①作线段AB的中点E；
②以E为圆心，EN为半径做圆，交线段于点M；
则M点即为所求．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，运动的点在数轴上的表示方法是解题的关键．
35．（2022秋•天山区校级期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝
8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ﹣ 2 ，b＝ 6 ，并在数轴上面标出A、B两点；
（2）若PA＝4PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左
运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的
值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据AB＝8，且OB＝3OA，就可以确定a和b的值；
（2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝4PB建立等式，就可以求出x的值；
（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值．
【解答】解：（1）因为AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，
所以a＝﹣2，b＝6．
故答案为：﹣2，6；
（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．
因为PA＝4PB，
所以x+2＝4（6﹣x），所以x＝ ；
②当P点位于B点右侧时，
因为PA＝4PB，
所以x+2＝4（x﹣6），
所以x＝ ，
所以x的值为 或 ；
（3）3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化，
t秒后，A点的值为（﹣2﹣t），P点的值为2t，B点的值为（6+3t），
所以3PB﹣PA
＝3（6+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣2﹣t）]
＝18+3t﹣（2t+2+t）
＝18+3t﹣3t﹣2
＝16．
所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化，其值为16．
【点评】本题主要考查数轴上两点之间距离、动点的坐标值的表示以及代数式定值问题的证明，掌握动
点的坐标值的表示以及分类讨论思想的运用是解题的关键．
36．（2022秋•平桥区期末）已知a、b满足（a﹣2）2+|ab+6|＝0，c＝2a+3b，且有理数a、b、c在数轴上
对应的点分别为A、B、C．
（1）则a＝ 2 ，b＝ ﹣ 3 ，c＝ ﹣ 5 ；
（2）点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF的长
度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值．
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可；
（2）根据中点的定义得到ED＝ CD，FD＝ AD，再根据EF＝ED﹣FD即可求解．
【解答】解：（1）∵a、b满足（a﹣2）2+|ab+6|＝0，
∴a﹣2＝0且ab+6＝0．解得a＝2，b＝﹣3．
∴c＝2a+3b＝﹣5．
故答案为：2，﹣3，﹣5；
（2）如图，当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，理由如下：
∵点E、点F分别为CD、AD中点，
∴ED＝ CD，FD＝ AD，
∴EF＝ED﹣FD＝ CD﹣ AD＝ AC＝ ×7＝3.5，
∴当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，其值为3.5．
【点评】此题考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
37．（2022秋•松原期末）如图，点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数
为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，点C表示的数为x，点M为线段OC的中点，
回答下列问题．
（1）点B表示的数为 ﹣ 1 ；
（2）若线段BM的长为4；
①求点M表示的数；
②直接写出x＝ ﹣ 1 0 或 6 ；
（3）当点C在射线AB上，将射线CA以点C为折点向左对折，点A对应的点为A′，当点B为A′C
的中点时，直接写出x的值．
【分析】（1）根据已知可求出AB的长，从而求出OB的长即可解答；
（2）①分两种情况，点M在点B的左侧或点M在点B的右侧，分别计算即可；
②在①的两种情况下分别求出x即可；
（3）根据折叠可得点A′表示的数为2x﹣5，再根据B为A′C的中点，得2x﹣5+x＝﹣2，即可求出x
＝1．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为5，
∴OA＝5，
∵线段AB的长为线段OA长的1.2倍，∴AB＝1.2OA＝6，
∴OB＝AB﹣OA＝6﹣5＝1，
∴点B表示的数为：﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）①分两种情况：
当点M在点B的左侧，
∵BM＝4，点B表示的数为﹣1，
∴点M表示的数﹣1﹣4＝﹣5，
当点M在点B的右侧时，点M表示的数﹣1+4＝3，
∴点M表示的数为﹣5或3；
②∴点C表示的数为x，点M为线段OC的中点，
∴当点M表示的数为﹣5时，x＝﹣10，
当点M表示的数为3时，x＝6；
故答案为：﹣10或6；
（3）∵点A表示的数为5，点C表示的数为x，
∴点A′表示的数为2x﹣5，
∵B为A′C的中点，
∴2x﹣5+x＝﹣2，
∴x＝1．
【点评】本题考查了数轴，根据题目的已知条件数形结合是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思
想．
38．（2022秋•广州期末）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，
其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ 1 ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点
B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会
随着t的变化而变化？请说明理由．
【分析】（1）观察数轴，可得答案；（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
【解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8，
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8，
∴x＝﹣3，
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8，
∴x＝5，
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2，
AP＝t+6+3t＝4t+6，
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2，
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
【点评】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
39．（2022秋•东西湖区期末）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜
n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2．
（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．
①则点D表示的数为 ﹣ 2 ．
②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点
运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终
为1，求a的值；
（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．
【分析】（1）①利用数轴上的点对应 的数字和线段中点的定义解答即可；
②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用MN＝1列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而
得到AD，BD的值，利用已知条件列出关于n﹣m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，
∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．
∵AC﹣AB＝2，
∴AC＝12，
∴点C对应的数字为4，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝ AC＝6，
设点D表示的数为x，
∴4﹣x＝6，
∴x＝﹣2．
∴点D表示的数为﹣2．
故答案为：﹣2；
②设EF运动的时间为t秒，
则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，
∵点M是EC的中点，N是BF的中点，
∴点M对应的数字为 ＝ ，点N对应的数字为 ＝ ，
∵MN＝1，
∴| |＝1．
解得：a＝0或a＝4，
∵a＞0，
∴a＝4；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，
∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，
∴c＝n+2，AB＝n﹣m．
∵点D是AC的中点，∴d＝ ，
∴AD＝ m＝ ，BD＝n﹣ ＝ ，
∵AD+3BD＝4，
∴ ＝4，
解得：n﹣m＝3．
∴AB＝3．
【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，线段中点的定义，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线
段的长度是解题的关键．
40．（2022秋•祁阳县期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|
+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．
（1）a＝ ﹣ 4 ，b＝ ﹣ 1 ，c＝ 2 ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 ﹣ 1 表示的点重合；
（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度
向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，
运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB
﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．
【分析】（1）利用非负数直接求出即可；
（2）利用中点直接得结论；
（3）分段讨论，点C 运动到原点之前和之后，用行程问题列出代数式．
【解答】解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，
a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，
故答案为：﹣4，﹣1，2；
（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，
点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，
故答案为：﹣1；
（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，
当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，
5AB﹣B
＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）
＝15+0.5t﹣3﹣0.1t
＝12+0.4t，
5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；
当t＞10时，BC＝4+0.3（0﹣10）t+0.2（t﹣10）＝0.5t﹣1，
5AB﹣BC
＝5（3+0.1t）﹣（0.5t﹣1）
＝16
这时5AB﹣BC的值不变．
【点评】本题考查的是绝对值、数轴、行程问题，解题的关键是求出a，b c的值、掌握行程问题．
41．（2022秋•黔江区期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重
合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到 B点时，它的右端在数轴上所对应的数为
24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6
（单位：cm），由此可得到木棒长为 6 cm．
（2）图中A点表示的数是 1 2 ，B点表示的数是 1 8 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小
红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要 38年才
出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是 24﹣6＝18（cm），依此可求木棒长
为6cm，
（2）根据木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 B时，它的右端在数轴
上所对应的数为18；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴
上所对应的数为6，依此可求出A，B两点所表示的数；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷若是小红现在这么大
看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为﹣38，小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为118，所以可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，可知爷爷的年龄．
【解答】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是24﹣6＝18（cm），
则木棒长为：18÷3＝6（cm）．
故答案为：6；
（2）∵木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 B时，它的右端在数轴上
所对应的数为24，
∴B点表示的数是18，
∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，
∴A点所表示的数是12．
故答案为：12，18；
（3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，
类似爷爷若是小红现在这么大看作当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为﹣38，
小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为118，
∴可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，
可知爷爷的年龄为118﹣52＝66（岁）．
故爷爷现在66岁．
【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒 AB），而后把
此转化为上一题中的问题，难度适中．
42．（2022秋•高新区期末）i点O为数轴的原点，点 A，B在数轴上分别表示数 a，b，且a，b满足
（a+5）2+|b﹣3|＝0．
（1）填空：a＝ ﹣ 5 ，b＝ 3 ，AB＝ 8 ．
（2）如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上
表示的数；
（3）如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运
动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段AQ的中点C（点C始终在线段PQ上），若线段PC的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系．
【分析】（1）根据数轴可得；
（2）分点M在点A的左边，AB之间和点B的右边三种情况讨论；
（3）分别表示出点P与点C表示的数，表示出PC的长度，因为PC的长度是定值，故含字母的部分为
0，解出即可．
【解答】解：（1）∵（a+5）2+|b﹣3|＝0，∴a＝﹣5，b＝3，AB＝8，
故答案为：﹣5，3，8；
（2）设点M对应的数为x，点A对应的数为﹣5，点B对应的数为3，
①当点M在点A的左侧时，
则MA＝﹣5﹣x，MB＝3﹣x，
∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，
∴MB＝3MA，
∴3﹣x＝3（﹣5﹣x），
解得x＝﹣9；
②当点M在线段AB之间时，
则MA＝x+5，MB＝3﹣x，
∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，
∴MB＝3MA，
∴3﹣x＝3（5+x），
解得x＝﹣3；
③当点M在点B右侧时，不满足题意，
综上所述：点M对应的数为﹣9或﹣3；
（3）n＝2m，理由如下：
设运动时间为t秒，根据题意得：AP＝mt，BQ＝nt，
∴AQ＝AB+BQ＝8+nt，
∵点C为线段AQ的中点，∴AC＝QC＝ AQ＝ （8+nt），
点C表示的数为： （8+nt）﹣5＝ nt﹣1，
点P表示的数为：mt﹣5，
∴PC＝ nt﹣1﹣mt+5＝ nt﹣mt+4，
∵线段PC的长度总为一个固定的值，
∴ ，
∴n＝2m．
【点评】本题考查的是数轴、绝对值和非负数，解题的关键是根据数轴的特点，表示出点表示的数和线
段的长度．
43．（2022秋•密云区期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B
的左侧），且AM＝BM，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m．
（1）当a＝﹣1，b＝3时，直接写出m的值；
（2）当m＝2时，计算a+b的值；
（3）若b＝6，BM＝2OM，求a的值．
【分析】（1）利用数轴知识，已知A、B两点表示的数，求线段AB中点M表示的数；
（2）已知中点表示的数，根据线段中点的定义，求出a+b的值；
（3）根据线段的和差，线段中点的定义求出a的值．
【解答】解：（1）∵a＝﹣1，b＝3，
∴m＝3﹣ [3﹣（﹣1）]＝3﹣2＝1；
（2）∵m＝2，
∴2＝b﹣ （b﹣a），
∴a+b＝4；
（3）∵b＝6，BM＝2OM，
∴BM＝b﹣m，OM＝|m|，∴6﹣m＝2|m|，
∴|m|＝ ，
∴m＝ 或m＝﹣ ，
∴m＝2或m＝﹣6，
∴BM＝6﹣2＝4或BM＝6﹣（﹣6）＝12，
∴a＝2﹣4＝﹣2或a＝﹣6﹣12＝﹣18，
综上所述，a的值为﹣2或﹣18．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识和线段的和差，线段中点的定义．
44．（2022秋•鄄城县期末）如图，已知数轴上点 A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B
两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间
为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ﹣ 4 ，点P表示的数是 6 ﹣ 6 t （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表
示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀
速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方
程得到t＝5；
②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求
得答案解即可．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关
键．
45．（2022秋•孟村县校级期末）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km
到达B村，然后向东骑行8km，到达C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，
C三个村庄的位置；
（2）C村距离A村有多远？
（3）邮递员共骑行了多少km？
【分析】（1）根据已知条件在数轴上表示出来即可；
（2）根据题意列出算式，即可得出答案；
（3）根据数轴可得邮递员骑行的路程是BC的2倍，据此即可求解．
【解答】解：（1）
；
（2）C村离A村的距离为2+3＝5（km）；
（3）邮递员一共行驶了2×8＝16（千米）．
【点评】本题考查了数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键．
46．（2022秋•德州期末）如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是
10个单位长度．
（1）点B表示的数是 ﹣ 6 ，并在数轴上将点B表示出来．（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A
的距离是2个单位长度？
（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的
速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）10﹣4＝6，
∵点B位于点A的左侧，
∴点B表示的数是﹣6，
故答案为：﹣6．
在数轴上将点B表示如图所示：
（2）设经过t秒点P与点A的距离是2个单位长度，
∴2t+2＝10或2t﹣2＝10
∴t＝4或t＝6
∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；
（3）设经过x秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，
∴2（10﹣2x）＝10﹣t或2（10﹣2x）＝10﹣x，
∴x＝ 或x＝6，
∴经过 秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及根据数量关系得到一元一次方程是解题的关键．
47．（2022秋•碑林区校级期末）将一条数轴在原点 O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，
图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单
位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点
O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位
长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点 B与点O之间时速度变为原来的两倍，
经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 1 9 秒，动点Q从点C运动至点A需要 2 3 秒；
（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
（3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点 A和点B在“折线数
轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动
点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷2+10÷1＝23（s）；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上
时表示的数是10﹣2（t﹣8），则t﹣5＝10﹣2（t﹣8），求出t的值，再求M点表示的数即可；
（3）分7种情况讨论：①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，
Q点表示的数是18﹣t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t＝ ；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在
BC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t＝ （舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB
上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，2t﹣18＝20，解得
t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示
的数是13﹣t，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝ ；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA
上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝ （舍）；
⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意．
【解答】解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，
∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，
∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），
动点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷210÷1＝23（s），
故答案为：19，23；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，
P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），
∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），
解得t＝ ，
∴M点表示的数是 ﹣5＝ ；
（3）存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点 A和点B在“折线数轴”上
的“友好距离”，理由如下：
∵点A表示﹣10，点B表示10，
∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，
①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，
此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，
由题意可得，28﹣3t＝20，
解得t＝ ；
②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在BC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，
由题意可得，23﹣2t＝20，
解得t＝ （舍）；
③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，
∴此情况不符合题意；
④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+13﹣t＝8（舍）；
⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为13﹣t+2t﹣20＝t﹣7，
由题意可得，t﹣7＝20，
解得t＝27；
⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为13﹣t+2t﹣20＝t﹣7，
由题意可得，t﹣7＝20，
解得t＝27；
⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；
综上所述：t的值为27或 ．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数上点与数轴的对应关系，弄清“友好函数”的定义是解题
的关键．
48．（2022秋•石门县期末）附加题：已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，
其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，
说明理由；
（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与
点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【分析】（1）若点P对应的数与﹣1、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．
（2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点
P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．
【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）＝2，2的绝对值是2，1﹣3＝﹣2，﹣2的绝对值是2，
∴点P对应的数是1．
（2）当P在AB之间，PA+PB＝4（不可能有）
当P在A的左侧，PA+PB＝﹣1﹣x+3﹣x＝6，得x＝﹣2
当P在B的右侧，PA+PB＝x﹣（﹣1）+x﹣3＝6，得x＝4
故点P对应的数为﹣2或4；
（3）解：设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：
2a＝4+a，
解得a＝4．
则6a＝24．
答：点P所经过的总路程是24个单位长度．
【点评】本题考查了绝对值、路程问题、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程
解决问题，属于中考常考题型．
49．（2022秋•荣昌区期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，
且a、b满足|a+2|+（b+3a）2＝0
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数；
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点
B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相
反的方向运动，设运动的时间为t（秒），
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得 A、B两点之间
的距离；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离＝甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜
t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度﹣乙球运动的路程即为乙球到原
点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程﹣OB的长度即为乙
球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，
解方程即可．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b+3a）2＝0，
a+2＝0，b+3a＝0，
∴a＝﹣2，b＝6；
∴AB的距离＝|b﹣a|＝8；
（2）设数轴上点C表示的数为c．
∵AC＝2BC，
∴|c﹣a|＝2|c﹣b|，即|c+2|＝2|c﹣6|．
∵AC＝2BC＞BC，
∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有﹣2≤c≤6，
得c+2＝2（6﹣c），解得c＝ ；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，
得c+2＝2（c﹣6），解得c＝14．
故当AC＝2BC时，c＝ 或c＝14；
（3）①∵甲球运动的路程为：1•t＝t，OA＝2，
∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB＝6，乙球运动的路程为：2•t＝2t，
∴乙球到原点的距离为：6﹣2t；
（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：2t﹣6；
②当0＜t≤3时，得t+2＝6﹣2t，
解得t＝ ；
当t＞3时，得t+2＝2t﹣6，
解得t＝8．
故当t＝ 秒或t＝8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
【点评】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思
想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
50．（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20．
（1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数．
（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位
长度/秒的速度向右运动．
①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．
②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可；
（2）①画出图形，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，分别表示出AM和BM的长度，建立方程
求得答案即可；
②利用（2）中的AM和BM的长度，分两种情况：M在AB之间，A在BM之间，结合3MA＝2MB建立
方程求得答案即可．
【解答】解：（1）P点表示的数是 ＝8；
（2）①如图，
设t秒后点M到点A、点B的距离相等，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，
则2t+4＝20﹣6t，
解得t＝2，
M表示2×4＝8．
A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24．
②如图①，
AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，
∵3MA＝2MB，
∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），
∴t＝ ，
∴点M表示 ×4＝ ；
如图②，
AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝2t+4t﹣20＝6t﹣20，
∵3MA＝2MB，
∴3（2t+4）＝2（6t﹣20），
∴t＝ ，
∴点M表示 ×4＝ ．
【点评】此题考查数轴，一元一次方程的实际运用，利用图形，得出数量关系是解决问题的关键．
