文档内容
专题 18.6 整式的乘法与因式分解十八大必考点
【人教版】
【考点1 幂的基本运算】.......................................................................................................................................1
【考点2 幂的逆运算】...........................................................................................................................................3
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】...............................................................................................................5
【考点4 幂的混合运算】.......................................................................................................................................8
【考点5 利用幂的运算进行简便计算】.............................................................................................................10
【考点6 幂的运算中的新定义问题】.................................................................................................................12
【考点7 整式的乘法】.........................................................................................................................................16
【考点8 整式乘法的应用】.................................................................................................................................19
【考点9 利用乘法公式求值】.............................................................................................................................22
【考点10 乘法公式的几何背景】.........................................................................................................................26
【考点11 整式乘除的计算与化简】.....................................................................................................................32
【考点12 整式混合运算的应用】.........................................................................................................................34
【考点13 因式分解的概念】.................................................................................................................................40
【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】..............................................................................................41
【考点15 因式分解（十字相乘法）】.................................................................................................................44
【考点16 因式分解（分组分解法）】.................................................................................................................49
【考点17 利用因式分解求值】.............................................................................................................................51
【考点18 因式分解的应用】.................................................................................................................................53
【考点1 幂的基本运算】
【例1】（2024·湖南娄底·七年级期末）如果a2n-1an+5=a16，那么n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】利用同底数幂的乘方的法则对式子进行整理，即可得到关于n的方程，即可求解．
【详解】∵a2n-1an+5=a16，
∴a2n-1+n+5=a16，
即a3n+4=a16，
∴3n+4=16，
解得：n=4．故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则．
【变式1-1】（2024·广东·德庆县德庆中学七年级期末）解答下列问题：
（1）已知3m=5，3n=2，求33m+2n+1的值；
（2）若3x+4 y-3=0，求27x ⋅81y的值．
【答案】（1）1500；（2）27
【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；
（1）先由3x+4 y-3=0得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将
【详解】解：（1）∵3m=5，3n=2，
∴33m+2n+1=(3m) 3 ×(3n) 2 ×31=53×22×3=1500；
（2）∵3x+4 y-3=0，
∴3x+4 y=3，
∴27x ⋅81y=(33) x ⋅(34) y =33x×34y=33x+4y=33=27．
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．
【变式1-2】（2024·安徽合肥·七年级期末）已知3x=4,3y=6,3z=12，则x、y、z三者之间关系正确的是
（ ）
A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z
【答案】C
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】∵3x=4,3y=6,3z=12
∴3x×(3y
)
2=3x+2y=4×62=4×36=144
∵(3z
)
2=122=144
∴3x+2y=32z
∴x+2y=2z
故选：C．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方(am
)
n=amn，积的乘方(ab) n=anbn运算法则是解题的关键．
ab
【变式1-3】（2024·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期末）已知5a=2b=10，那么 的值为________.
a+b【答案】1
【分析】将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明ab=a+b即可.
【详解】∵5a=10，2b=10
∴（5a）b=10b ， （2b）a=10a；
即5ab=10b ， 2ab=10a
∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b
即a+b=ab
ab
∴ =1
a+b
故答案为1.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，积的乘方.
【考点2 幂的逆运算】
【例2】（2024·四川·渠县流江初级实验中学七年级期末）如果3a＝5，3b＝10，那么9a-b的值为(
)
1 1 1
A． B． C． D．不能确定
2 4 8
【答案】B
【分析】逆用幂的乘方及同底数幂的除法即可完成．
【详解】9a-b=(32 ) a-b=(3a-b ) 2= (3a ) 2 = ( 5 ) 2 = 1
3b 10 4
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的除法的逆用，用好这两个运算性质是关键．
【变式2-1】（2024·安徽·合肥新华实验中学七年级期末）如果2m=5，2n=3，求：
(1)2m+2n的值；
(2)8m的值．
【答案】(1)45
(2)125
【分析】（1）根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算将原始变形为2m×(2n
)
2，然后将2m=5、
2n=3代入求解即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则求解即可．（1）
解：∵2m=5，2n=3，
∴2m+2n=2m×22n=2m×(2n
)
2=5×32=45；
（2）
解：∵2m=5，2n=3，
∴8m=(23
)
m=(2m
)
3=53=125．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘
法的逆运算是解题关键．
【变式2-2】（2024·北京昌平·七年级期末）将幂的运算逆向思维可以得到am+n=am ⋅an，am-n=am÷an，
amn=(am
)
n，ambm=(ab) m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为
简，化难为易，使问题巧妙获解．
1
(1)52021×( ) 2021= ______ ；
5
(2)若3×9m×27m=311，求m的值；
【答案】(1)1
(2)2
【分析】（1）根据ambm=(ab) m，计算求解即可；
（2）根据3×9m×27m=3×(32) m ×(33) m =3×32m×33m=31+2m+3m=311，可得1+2m+3m=11，计算求解
即可．
(1)
解：由题意知，52021× (1) 2021 = ( 5× 1) 2021 =12021=1，
5 5
故答案为：1．
(2)
解：∵3×9m×27m=3×(32) m ×(33) m =3×32m×33m=31+2m+3m=311，
∴1+2m+3m=11，解得m=2，
∴m的值为2．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘法的逆运算，同底数幂的乘法．解题的关键在于对运算法则的熟练
掌握与灵活运用．
【变式2-3】（2024·四川省渠县中学七年级期末）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代
数式：
①求：22m+3n的值．
②求：22m-6n的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
a
【答案】（1）①ab；② ；（2）x=6．
b2
【分析】（1）①根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m，
8n化为底数为2的形式，然后代入求解；
（2）由题意将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
【详解】解：（1）∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
①22m+3n=22m·23n=ab；
a
②22m-6n=22m÷26n=22m÷(23n
)
2=
；
b2
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，即23x+5=223
∴3x+5=23，
解得：x=6．
【点睛】本题考查同底数幂的除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算和积的乘方的逆运算，熟练掌握相关的
运算法则是解答本题的关键．
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】
【例3】（2024·福建省罗源第二中学八年级期末）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小
（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】B【分析】根据幂的乘方的性质，得3555=243111，4444=256111，5333=125111，从而完成求解．
【详解】3555=(35) 111 =243111，4444=(44) 111 =256111，5333=(53) 111 =125111
∵256>243>125
∴256111>243111>125111
∴4444>3555>5333，即b＞a＞c
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
【变式3-1】（2024·江苏·江阴市华士实验中学七年级期末）阅读下列材料:
若a3=2,b5=3，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).
解:因为a15=(a3) 5 =25=32,b15=(b5) 3 =33=27,32>27，所以a15>b15，
所以a>b.
解答下列问题:
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)已知x5=2,y7=3，试比较x与y的大小．
【答案】＞ （1）C （2）x27， 所以a15>b15，
所以a b，故答案为 ;
(1)上述>求解过程中，逆>用了幕的乘方，故选C;
(2) ∵x35=(x5 ) 7=27=128, y35=(y7 ) 5=35=243, 243>128，
∴x1523，55>45
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，
解：2710=(33) 10 =330，∵30>25，∴330>325
[类比解答]比较254，1253的大小．
[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小．
【答案】【类比解答】254<1253；【拓展拔高】5333<3555<4444．
【分析】【类比解答】可以将底数都化为5，利用幂的乘方的逆运算法则变形后再进行比较；
【拓展拔高】观察三个式子的特点，可以利用幂的乘方逆运算法则将指数都变形为111，再进行比较．
【详解】【类比解答】解：254=(52
)
4=58，1253=(53
)
3=59，
∵8<9，
∴58<59，即254<1253；
【拓展拔高】解：∵3555=(35
)
111，4444=(44
)
111，5333=(53
)
111，
又∵35=243，44=256，53=125，
∴53<35<44，
∴5333<3555<4444．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．
【变式3-3】（2024·河北石家庄·七年级期末）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两
个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有
ab >cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较233与322的大小；
(3)比较312×510与310×512的大小．
【答案】(1)>，<
(2)233<322
(3)312×510<310×512
【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，”即可比较520和420的
大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac，即可比较961和
2741的大小；（2）据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac”，即可比较233与322的
大小；
（3）利用作商法，即可比较312×510和310×512的大小．
（1）
解：∵5>4，
∴520>420，
∵961=(32
)
61=3122，2741=(33
)
41=3123，122<123，
∴961<2741，
故答案为：>，<；
（2）
解：∵233=(23
)
11=811，322=(32
)
11=911，8<9，
∴233<322．
（3）
312×510 32 9
解：∵ = = <1，
310×512 52 25
∴312×510<310×512．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题
的关键．
【考点4 幂的混合运算】
【例4】（2024·福建漳州·七年级期末） 计算
(1) (m-n) 2 ⋅(n-m) 3 ⋅(n-m) 4
(2)
(b2n
)
3 (b3
)
4n÷(b5
)
n+1
(3)
(a2
)
3-a3 ⋅a3+(2a3
)
2
(4) (-4am+1 ) 3÷[2(2am ) 2 ⋅a]
【答案】（1）(n-m) 9；（2）b13n-5； （3）4a6；（4）-8am+2
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可；
（3）根据积的乘法、幂的乘方运算法则以及合并同类项法则解答即可；
（4）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：（1）(m-n) 2 ⋅(n-m) 3 ⋅(n-m) 4
=(n-m) 2+3+4
=(n-m) 9
（2）(b2n) 3 (b3) 4m ÷(b5) n+1
=b6n ⋅b12n÷b5n+5
=b6n+12n-5n-5
=b13n-5；
（3）(a2) 3 -a3 ⋅a3+(2a3) 2
=a6-a6+4a6
=4a6；
（4）(-4am+1) 3 ÷ [ 2(2am) 2 ⋅a ]
=-64a3m+3÷8a2m+1
=-8am+2
【点睛】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则以及合并
同类项法熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式4-1】（2024·陕西西安·七年级期末）计算：(2x3 ⋅x5) 2 +(-x) 2 ⋅(-x2) 3 ⋅(x2) 4 ．
【答案】3x16
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：原式=4x16+x2 ⋅(-x6)⋅x8=4x16-x16=3x16．
【点睛】本题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式4-2】（2024·重庆市第十一中学校七年级期末）计算：
(1)x⋅x2 ⋅x3+(x2
)
3-2(x3
)
2；(2)(-4am+1 ) 3+[2(2am ) 2 ⋅a]．
【答案】(1)0；
(2)-64a3m+3+8a2m+1．
【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；
(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．
（1）
解：原式=x6+x6-2x6
=2x6-2x6
=0；
（2）
解：原式=-64a3m+3+(2×4a2m ⋅a)
=-64a3m+3+8a2m+1．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相
应的计算法则是解题的关键．
【变式4-3】（2024·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期末）计算：（1）x2 ⋅x4+(x3) 2 -5x6
（2）(-2a) 6-(-3a3) 2 +[-(2a) 2] 3
【答案】（1）-3x6；（2）-9a6
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及整式的加减计算法则进行求解即可；
（2）根据积的乘方，以及整式的加减计算法则进行求解即可．
【详解】（1）原式=x6+x6-5x6
=-3x6；
（2）原式=64a6-9a6+(-4a2) 3
=64a6-9a6-64a6
=-9a6．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方以及整式的加减计算，解题的关键在于能
够熟练掌握相关计算法则．【考点5 利用幂的运算进行简便计算】
【例5】（2024·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期末）计算0.25100× ( - 1) 101 ×8101= _________．
2
【答案】-4
【分析】将式子转化为 (1) 100 × ( - 1) 100 ×8100× ( - 1) ×8，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可．
4 2 2
【详解】解：原式= (1) 100 × ( - 1) 100 ×8100× ( - 1) ×8= [1 × ( - 1) ×8 ] 100 × ( - 1) ×8=-4．
4 2 2 4 2 2
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
【变式5-1】（2024·湖南怀化·七年级期末）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020
【答案】C
【分析】根据积的乘方的逆运算法则计算即可．
1 2021 1 1 2021 1 1 1 1
【详解】原式=(- ) ×42021×(- )=(- ×4) ×(- )=(-1) 2021×(- )=-1×(- )=
4 4 4 4 4 4 4
故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2 5
【变式5-2】（2024·上海杨浦·七年级期末）用简便方法计算：-35×(- ) ×(-5) 6
3
【答案】500000
【分析】根据积的乘方即可求出答案．
2 5
【详解】原式=35×(
)
×56
3
2
=（3× ）5×56
3
=25×55×5
=（2×5）5×5
=5×105
=500000
【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
【变式5-3】（2024·福建·泉州市第九中学八年级期末）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，
指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回
答下列问题．(1)比较大小：520_________420 （填写>、<或=）．
(2)比较233与322的大小（写出比较的具体过程）．
(3)计算42021×0.252020-82021×0.1252020．
【答案】(1)>
(2)233<322
(3)－4
【分析】（1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb”比较大小即可；
（2）将233与322化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小；
（3）首先将42021和0.252020化为指数相同的幂，将82021和0.1252020也化为指数相同的幂，再根据积的乘方
逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案．
（1）
解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，
可知520>420．
故答案为：>；
（2）
∵233=(23
)
11=811，322=(32
)
11=911，
又∵811<911，
∴233<322；
（3）
原式=4×42020×0.252020-8×82020×0.1252020
=4×(4×0.25) 2020-8×(8×0.125) 2020
=4×12020-8×12020
=4-8
=-4．
【点睛】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是
熟练掌握相关的运算法则．
【考点6 幂的运算中的新定义问题】
【例6】（2024·山东省青岛第五十一中学七年级期末）阅读材料：
定义：如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=d(n)，例如：102=100，那么称2是100的劳格数，记为2=d(100)．
填空：根据劳格数的定义，在算式a=d(1000)中，______相当于定义中的n，所以d(1000)=______；
直接写出d(10-8)=______；
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且10a=p，10b=q，
根据劳格数的定义：d(p)=a，d(q)= ______，
∵10a ⋅10b=pq
∴10a+b=pq，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴d(pq)=______，即d(pq)=d(p)+d(q)，
请你把数学研究小组探究过程补全
(m)
拓展：根据上面的推理，你认为：d = ______．
n
【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；d(m)－d(n)．
【分析】根据新定义法则进行运算即可．
【详解】解：∵如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=d(n)，
∴103=1000，那么称3是1000的劳格数，记为3=d(1000)．
∴在算式a=d(1000)中，1000相当于定义中的n，所以d(1000)=3；d(10-8)=﹣8；
∵10b=q，
∴b=d(q)，
∵10a=p，10b=q，
∴10a ⋅10b=10a+b＝pq，
∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 10a+b相当于定义中的n，
∴d(pq)=d(10a+b)=a+b＝d(p)＋d(q)，
即d(pq)=d(p)+d(q)，
设10a=m，10b=n，
∴d(m)=a，d(n)=b，
m
∵10a-b=10a÷10b=
，
n
(m)
∴d = d(10a-b)＝a－b＝d(m)－d(n)，
n(m)
即d = d(m)－d(n)．
n
故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；d(m)－d(n)．
【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则．
【变式6-1】（2024·北京·清华附中八年级期末）定义一种新运算(a，b)，若ac=b，则(a，b)=c，例
(2，8)=3，(3，81)=4．若(3，5)+(3，7)=(3，x)，则x的值为______．
【答案】35
【分析】设3m=5，3n=7，根据新定义运算的法则可知(3，5)+(3，7)=m+n，即得出m+n=(3，x)，
从而再根据新定义运算的法则得出3m+n=x，最后根据同底数幂乘法的逆运算计算即可．
【详解】设3m=5，3n=7，则(3，5)+(3，7)=m+n．
∴m+n=(3，x)，
∴3m+n=x．
∵3m+n=3m×3n=5×7=35，
∴x=35．
故答案为：35．
【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关
键．
【变式6-2】（2024·江苏连云港·七年级期末）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021
的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①
则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②
②-①得，2S-S=S=22022-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；
1 1 1
（2）求1+ + +⋅⋅⋅++ = ______；
2 22 250
（3）求(-2)+(-2) 2+⋅⋅⋅+(-2) 100的和；（请写出计算过程）
（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）
1 2101-2 a-an+1 nan+1
【答案】（1）221−2；（2）2- ；（3） ；（4） +
250 3 (a-1) 2 a-1
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）设s＝1+ + +⋅⋅⋅+ ①， s＝ + +⋅⋅⋅+ + ②，②−①即可得结果；
2 22 250 2 2 22 250 251
（3）设s＝(-2)+(-2) 2+⋅⋅⋅+(-2) 100①，-2s＝(-2) 2+(-2) 3+⋅⋅⋅+(-2) 101②，②−①即可得结果；
（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，②−①得as-s=-a-
a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+nan+1，同理：求得-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+1，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
1 1 1
（2）设s＝1+ + +⋅⋅⋅+ ①，
2 22 250
1 1 1 1 1
s＝ + +⋅⋅⋅+ + ②，
2 2 22 250 251
1 1 1
②−①得， s−s＝- s＝ -1，
2 2 251
1
∴s＝2- ，
250
1
故答案为：2- ；
250
（3）设s＝(-2)+(-2) 2+⋅⋅⋅+(-2) 100①
-2s＝(-2) 2+(-2) 3+⋅⋅⋅+(-2) 101②
②−①得，-2s−s＝-3s＝(-2) 101 +2
2101-2
∴s＝ ；
3
（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，
as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，
②-①得：as-s=-a-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+nan+1，
设m=-a-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an③，am=-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+1④，
④-③得：am-m=a-an+1，
a-an+1
∴m= ，
a-1
a-an+1
∴as-s= +nan+1，
a-1
a-an+1 nan+1
∴s= + ．
(a-1) 2 a-1
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
【变式6-3】（2024·山东德州·八年级期末）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an；如2×2×2
＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log 8（即log 8＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞
2 2
0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，
记为log 81（即log 81＝4）．
3 3
（1）计算下列各对数的值：log 4＝ ；log 16＝ ；log 64＝ ；
2 2 2
（2）你能得到log 4、log 16、log 64之间满足怎样的关系式： ；
2 2 2
（3）由（2）的结果，请你归纳出logaM、logaN、logaMN之间满足的关系式： ；
（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．
【答案】（1）2，4，6；（2）log 4+log 16=log 64；（3）logaM+logaN=loga（MN），（4）验证见解析．
2 2 2
【分析】（1）根据对数的定义即可求得值；
（2）根据（1）的结果即可得出三者间的关系；
（3）根据（2）的结果即可得出三者满足的关系式；
（4）根据对数的意义及同底数幂的乘法即可证明．
【详解】（1）∵22=4
∴log 4=2
2
∵24=16
∴log 16=4
2
∵26=64
∴log 64=6
2
故答案为：2，4，6
（2）由（1）知，log 4+log 16=log 64
2 2 2
故答案为：log 4+log 16=log 64
2 2 2（3）由（2）的结果知：logaM+logaN=logaMN
故答案为：logaM+logaN=logaMN
（4）设logaM=m，logaN=n
由对数的定义知，am=M，an=N
∵am·an=am+n=MN
∴m+n=log MN
a
∵logaM+logaN=m+n
∴logaM+logaN=logaMN
【点睛】本题是材料阅读题，考查了同底数幂的运算，乘方的计算等知识，关键是读懂材料中对数的含义．
【考点7 整式的乘法】
【例7】（2024·福建·大同中学八年级期末）计算(2x+3 y-4)(2x+ay+b)得到的多项式不含x、y的一次
项，其中a，b是常数，则a-b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-7 D．7
【答案】B
【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方
程组求解即可得到答案．
【详解】解：(2x+3 y-4)(2x+ay+b)
=4x2+2axy+2bx+6xy+3a y2+3by-8x-4ay-4b
=4x2+(2a+6)xy+(2b-8)x+(3b-4a)y+3a y2-4b
∵展开后多项式不含x、y的一次项，
∴¿，
∴¿，
∴a-b=-1，
故选B．
【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某
一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键．
【变式7-1】（2024·江西景德镇·七年级期末）小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结
果为x2+3x-18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“-a”，算的结果为x2-x-12．
(1)求出a、b的值；
(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，【答案】(1)a＝-3，b＝-4
(2)x2-7x+12
【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣
a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【详解】（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，
（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x-12，
所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，
解得：a＝-3，b＝-4；
（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此
题的关键．
【变式7-2】（2024·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项
和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b) n (n=1，2，3，4，⋯)的展开式
的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1 (a+b) 1=a+b
1 2 1 (a+b) 2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 (a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…… ……
2 2022
请依据上述规律，写出(x- ) 展开式中含x2020项的系数是（ ）
x
A．2022 B．-4044 C．-2020 D．4042
【答案】B
【分析】首先确定x2020是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．2 2022 2
【详解】解：由题意：，(x- ) =x2022-2022x2021 ⋅( )+…，
x x
=x2022-4044x2020+…，
2 2022
可知，(x- ) 展开式中第二项为含x2020项，
x
2 2022
∴(x- ) 展开式中含x2020项的系数是﹣4044．
x
故选B．
【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．
【变式7-3】（2024·全国·八年级专题练习）设a ,a ,a ,⋯a ,a 都是正数，
1 2 3 2021 2022
M=(a +a +…+a )(a +a +…+⋯a )，N=(a +a +a )(a +a +⋯a )，试比较M、N的大
1 2 2021 2 3 2022 1 2 2022 2 3 2021
小．
【答案】M＞N．
【分析】设a+a+…+a =m，代入M、N中化简后比较即可．
2 3 2021
【详解】解：设a+a+…+a =m，则
2 3 2021
M=（a+m）（m+a ）=am+m2+a m+aa ，
1 2022 1 2022 1 2022
N=（a+m+a ）m=am+m2+a m，
1 2022 1 2022
M-N=aa ，
1 2022
∵a，a，…，a 都是正数，
1 2 2022
∴aa ＞0，
1 2022
∴M-N＞0，
∴M＞N．
【点睛】本题考查了整式乘法的混合运算，规律型：数字的变化类，设a+a+…+a =m，利用多项式乘多
2 3 2021
项式的法则计算出M、N是解题的关键．
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】（2024·浙江宁波·七年级期末）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为
b、a的长方形纸片一张，其中a”号填空）．
【答案】(1)C
(2)4
(3)19，(x+1) 2+3
(4)3
(5)1，(a+3)(a-1)
(6)-4,4
(7)<
【分析】（1）直接利用完全平方公式求解即可；
（2）直接利用完全平方公式求解即可；
（3）利用配方法求解即可得；
（4）利用配方法求解即可得；
（5）先利用配方法计算，然后利用平方差公式因式分解；
（6）先利用配方法计算，然后利用平方的非负性求解即可；
（7）利用两个整式作差即可比较大小．
【详解】（1）解：x2+kx+16=x2+kx+42
∴k=±2×4=±8，
故选：C
（2）x2+4x+m=x2+2×2·x+22，
∴m=4，
故答案为：4；
（3）x2-6x-10=x2-6x+9-9-10=(x-3) 2-19，x2+2x+4=x2+2x+1+3=(x+1) 2+3，
故答案为：19；(x+1) 2+3；
（4）x2-4x+7=x2-4x+4-4+7=(x-2) 2+3，
∵(x-2) 2≥0，
∴(x-2) 2+3≥3，
故答案为：3；
（5）a2+2a-3
=a2+2a+1-4
=(a+1) 2-4
=(a+1+2)(a+1-2)
=(a+3)(a-1)
故答案为：1；(a+3)(a-1)
（6）m2+2mn+2n2-8n+16=0，
m2+2mn+n2+n2-8n+16=0，
(m+n) 2+(n-4) 2=0，
∴m+n=0且n-4=0，
解得：n=4，m=-4，
故答案为：-4；4；
（7）M-N
=(a+1)(a−3)-2(a−1)(a−2)
=a2-2a-3-2(a2-3a+2)
=a2-2a-3-2a2+6a-4
=-a2+4a-7
=-(a-2) 2-3<0
∴Mb-2，且a-2、b-2都是整数，
¿
易得¿或¿（其他两种不符合a，b为正整数，舍去）
故：2a+b=21或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得ab=a+b+1带入M
M=a2+3a+3b+3+b2-9a-7b=a2+3(a+b+1)+b2-9a-7b
=（a﹣3）2+（b-2）2﹣10，
∵(a-3) 2≥0,(b-2) 2≥0，
∴M≥-10，
∴M的最小值是﹣10．
【点睛】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题
的关键．
【考点17 利用因式分解求值】
【例17】（2024·湖南永州·七年级期末）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的
方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2)．当
x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3-x y2分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于x的多项式(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数
2
字密码182016，求m，n的值．
【答案】(1)283917或者281739
(2)m的值为3，n的值为2
【分析】（1）先分解因式得到x3-x y2 =x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，再根据题意得x+ y=39，
x- y=17，据此求解即可；
（2）先求出20=x+2，16=x-2，再由所得的数字密码得到
(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，从而得到关于m、n的二元一次方程组，解
2
方程组即可得到答案；
（1）
解：x3-x y2
=x(x2- y2)
=x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，
∵x=28，y=11，∴x+ y=39，x- y=17，
∴此时可以得到数字密码是283917或281739，
故答案为：283917或281739；
（2）
解：∵x=18，
∴20=x+2，16=x-2，
∴(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，
2
∴¿ ，
解得¿，
∴m的值为3，n的值为2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解二元一次方程组，
正确理解题意是解题的关键．
【变式17-1】（2024·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）已知mn=1，m-n=2，则m2n-mn2的值
是（ ）
A．-1 B．3 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】先因式分解，再代值求解即可．
【详解】m2n-mn2
=mn(m-n)
把mn=1,m-n=2代入
m2n-mn2=2
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是会因式分解．
【变式17-2】（2024·浙江·七年级期末）已知a-b=3，b-c=-4，则代数式a2-ac-b(a-c)的值是
________．
【答案】-3
【分析】先根据a-b=3，b-c=-4，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【详解】∵a-b=3，b-c=-4，
∴a-c=-1，
∴a2-ac-b(a-c)=a(a-c)-b(a-c)
=(a-c)(a-b)
=-1×3
=-3，
故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的
关键.
【变式17-3】（2024·河南周口·八年级期末）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多
项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全
平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【详解】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac
=
2
(a-b) 2+(a-c) 2+(b-c) 2
=
2
(-1) 2+(-2) 2+(-1) 2
=
2
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
【考点18 因式分解的应用】
【例18】（2024·湖南永州·七年级期末）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的
方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2)．当
x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3-x y2分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于x的多项式(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数
2
字密码182016，求m，n的值．【答案】(1)283917或者281739
(2)m的值为3，n的值为2
【分析】（1）先分解因式得到x3-x y2 =x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，再根据题意得x+ y=39，
x- y=17，据此求解即可；
（2）先求出20=x+2，16=x-2，再由所得的数字密码得到
(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，从而得到关于m、n的二元一次方程组，解
2
方程组即可得到答案；
（1）
解：x3-x y2
=x(x2- y2)
=x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，
∵x=28，y=11，
∴x+ y=39，x- y=17，
∴此时可以得到数字密码是283917或281739，
故答案为：283917或281739；
（2）
解：∵x=18，
∴20=x+2，16=x-2，
∴(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，
2
∴¿ ，
解得¿，
∴m的值为3，n的值为2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解二元一次方程组，
正确理解题意是解题的关键．
【变式18-1】（2024·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期末）先阅读下列材料，然后解决后面的问题．
材料：一个三位数abc（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数abc为“协和k
数”，同时规定c= （k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等
a
于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8．
(1)判断132，123，321这三个数中， 是“协和数”．
(2)对于“协和数”abc，求证：“协和数”abc能被11整除．
(3)已知有两个十位数相同的“协和数”a bb ，a bb （a ＞a ），且k -k =1，若y=k +k ，用含b的
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
式子表示y．
【答案】(1)132
(2)见解析
1
(3)y= b2-1
2
【分析】（1）根据“协和数”的定义进行判断即可；
（2）根据“协和数”的定义得出a+c=b，由abc=11（9a＋b）,即可得到结论；
（3）由k -k =1，代入可得k -k =(a -a )(b-a -a )=1，得到a －a ＝1， b－a －a ＝1，进一步求
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1+(b-1) 2
得a2+a2= ，代入y=k +k 即可得到结论．
1 2 2 1 2
（1）
解：∵1＋2＝3，
∴132是“协和数”，
∵1+3≠2，
∴123不是“协和数”，
∵3+1≠2，
∴321不是“协和数”，
故答案为：132；
（2）
∵abc是“协和数”，
∴a+c=b，
∵abc=100a＋10b＋c＝99a＋10b＋a＋c＝99a＋11b＝11（9a＋b）,
∵a是整数，b是整数，
∴9a＋b是整数，∴“协和数”abc能被11整除；
（3）
∵k -k =1，
1 2
∴k -k =a ·b -a ·b =a (b-a )-a (b-a )=(a -a )(b-a -a )=1，a 、a 、b均为整数，a ＞a ，
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴a －a ＝1， b－a －a ＝1，
1 2 1 2
∴a ＋a =b﹣1，
1 2
∴(a -a ) 2=a2-2a a +a2=1①，(a +a ) 2=a2+2a a +a2=(b-1) 2 ②，
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
1+(b-1) 2
①+②得：a2+a2= ，
1 2 2
∴y=k +k
1 2
=a b +a b
1 1 2 2
=a (b-a )+a (b-a )
1 1 2 2
=a b-a2+a b-a2
1 1 2 2
=b(a +a )-(a2+a2)
1 2 1 2
1+(b-1) 2
=b(b-1)-
2
1
= b2-1．
2
【点睛】此题考查了因式分解的应用、完全平方公式、新定义“协和数”，解题的关键是找出abc＝11
（9a＋b）,a －a ＝1，a ＋a =b﹣1．
1 2 1 2
【变式18-2】（2024·广东·广州六中八年级期末）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那
么称这个数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记A(m)=ab．例如：29=22+52，29就
是一个“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A(45)的值；若不是，请说明理由；
k-9
(2)若k是一个不超过50的“平方和数”，且A(k)= ，求k的值；
2
(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是
“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．
【答案】(1)45是“平方和数”， A(45)=18(2)k的值为：17或29或45
(3)证明见解析
【分析】（1）把45写成两个正整数的平方和，再根据A(m)=ab求出A(45)即可；
k-9
（2）设k=a2+b2，则A(k)=ab，根据A(k)= ，得a、b的方程，求得a与b得关系式，进而由a、
2
b、k满足的条件求得k的值便可；
（3）根据题意设m=a2+b2，n=c2+d2，即可表达出mn的式子，根据完全平方公式对mn的式子进行变
换即可证明．
【详解】（1）45是“平方和数”，
∵45=32+62，
∴A(45)=3×6=18；
（2）设k=a2+b2，则A(k)=ab，
k-9
∵A(k)= ，
2
a2+b2-9
∴ab=
2
2ab=a2+b2-9
a2-2ab+b2=9
(a-b) 2=9
∴a-b=±3，即a=b+3或b=a+3，
∵a、b为正整数且k是一个不超过50的“平方和数”，
∴当a=1，b=4或a=4，b=1时，k=17，
当a=2，b=5或a=5，b=2时，k=29，
当a=3，b=6或a=6，b=3时，k=45，
当a=4，b=7或a=7，b=4时，k=65（不合题意，舍去），
综上所述，k的值为：17或29或45；
（3）设m=a2+b2，n=c2+d2，
∴mn=(a2+b2)(c2+d2)
=(ac) 2+(ad) 2+(bc) 2+(bd) 2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2+a2d2-2abcd
=(ac+bd) 2+(ad-bc) 2
∵(ac+bd)，(ad-bc)均为整数，
∴mn也是“广义平方和数”．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式和新定义运算，解决本题的关键是根据新定义列出相关的式
子．
【变式18-3】（2024·福建省永春第一中学八年级期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图
1．
(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算：(a+2b)(a+b)= ；
(2)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方
形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(3)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量
关系为 ；
(4)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定
不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S ，S ，若
1 2
S -S =3b2 ，则a与b有什么关系？请说明理由．
1 2
【答案】(1)a2+3ab+2b2
(2)4，a+2b
(3)(a+b) 2-4ab=(a-b) 2
(4)a=4b，理由见解析
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则解题；（2）利用完全平方公式解题；
（3）由图可知D型卡片的面积为(a-b)，是一个边长为(a+b)的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，
即(a+b) 2-4ab，据此得到等量关系；
（4）根据图形列等量关系S =(a-b)(x-a+b)=ax-bx-a2+2ab-b2，
1
S =3b(x-2a+b)=3bx-6ab+3b2 ，再结合S -S =3b2 计算解题即可．
2 1 2
【详解】（1）解： (a+2b)(a+b)=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
故答案为：a2+3ab+2b2；
（2）取1张A型卡片，4张C型卡片，面积之和为：a2+4ab，
由完全平方公式的几何背景可知，一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，即
a2+4ab+4b2=(a+2b) 2，故应取4张B型卡片能拼成一个新的正方形，此正方形的边长为：a+2b，
故答案为：4，a+2b；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，由图可知，D型卡片是一个边长为(a-b)的正方形，也
可以是一个边长为(a+b)的正方形，减去4张C型卡片的面积，即(a+b) 2-4ab， 即得到等量关系：
(a+b) 2-4ab=(a-b) 2，
故答案为：(a+b) 2-4ab=(a-b) 2；
（4）设MN的长度为x，
S =(a-b)(x-a+b)=ax-bx-a2+2ab-b2
1
S =3b(x-a)=3bx-3ab
2
∵S -S =3b2
1 2
∴ (ax-bx-a2+2ab-b2)-(3bx-3ab)=3b2
∴(a-4b)x-a2+5ab-b2=3b2
∴a-4b=0,-a2+5ab-b2=3b2∴a=4b,a2-5ab+4b2=0
(a-b)(a-4b)=0
∴a=4b或a=b（舍去）
∴a=4b．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，完全平方公式与图形面积，多项式乘法的应用，因式分解的
应用，数形结合是解题的关键．
