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专题 18.6 整式的乘法与因式分解十八大必考点
【人教版】
【考点1 幂的基本运算】.......................................................................................................................................1
【考点2 幂的逆运算】...........................................................................................................................................3
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】...............................................................................................................5
【考点4 幂的混合运算】.......................................................................................................................................8
【考点5 利用幂的运算进行简便计算】.............................................................................................................10
【考点6 幂的运算中的新定义问题】.................................................................................................................12
【考点7 整式的乘法】.........................................................................................................................................16
【考点8 整式乘法的应用】.................................................................................................................................19
【考点9 利用乘法公式求值】.............................................................................................................................22
【考点10 乘法公式的几何背景】.........................................................................................................................26
【考点11 整式乘除的计算与化简】.....................................................................................................................32
【考点12 整式混合运算的应用】.........................................................................................................................34
【考点13 因式分解的概念】.................................................................................................................................40
【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】..............................................................................................41
【考点15 因式分解（十字相乘法）】.................................................................................................................44
【考点16 因式分解（分组分解法）】.................................................................................................................49
【考点17 利用因式分解求值】.............................................................................................................................51
【考点18 因式分解的应用】.................................................................................................................................53
【考点1 幂的基本运算】
【例1】（2024·湖南娄底·七年级期末）如果a2n-1an+5=a16，那么n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】利用同底数幂的乘方的法则对式子进行整理，即可得到关于n的方程，即可求解．
【详解】∵a2n-1an+5=a16，
∴a2n-1+n+5=a16，
即a3n+4=a16，
∴3n+4=16，
解得：n=4．故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则．
【变式1-1】（2024·广东·德庆县德庆中学七年级期末）解答下列问题：
（1）已知3m=5，3n=2，求33m+2n+1的值；
（2）若3x+4 y-3=0，求27x ⋅81y的值．
【答案】（1）1500；（2）27
【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；
（1）先由3x+4 y-3=0得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将
【详解】解：（1）∵3m=5，3n=2，
∴33m+2n+1=(3m) 3 ×(3n) 2 ×31=53×22×3=1500；
（2）∵3x+4 y-3=0，
∴3x+4 y=3，
∴27x ⋅81y=(33) x ⋅(34) y =33x×34y=33x+4y=33=27．
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．
【变式1-2】（2024·安徽合肥·七年级期末）已知3x=4,3y=6,3z=12，则x、y、z三者之间关系正确的是
（ ）
A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z
【答案】C
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】∵3x=4,3y=6,3z=12
∴3x×(3y
)
2=3x+2y=4×62=4×36=144
∵(3z
)
2=122=144
∴3x+2y=32z
∴x+2y=2z
故选：C．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方(am
)
n=amn，积的乘方(ab) n=anbn运算法则是解题的关键．
ab
【变式1-3】（2024·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期末）已知5a=2b=10，那么 的值为________.
a+b【答案】1
【分析】将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明ab=a+b即可.
【详解】∵5a=10，2b=10
∴（5a）b=10b ， （2b）a=10a；
即5ab=10b ， 2ab=10a
∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b
即a+b=ab
ab
∴ =1
a+b
故答案为1.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，积的乘方.
【考点2 幂的逆运算】
【例2】（2024·四川·渠县流江初级实验中学七年级期末）如果3a＝5，3b＝10，那么9a-b的值为(
)
1 1 1
A． B． C． D．不能确定
2 4 8
【答案】B
【分析】逆用幂的乘方及同底数幂的除法即可完成．
【详解】9a-b=(32 ) a-b=(3a-b ) 2= (3a ) 2 = ( 5 ) 2 = 1
3b 10 4
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的除法的逆用，用好这两个运算性质是关键．
【变式2-1】（2024·安徽·合肥新华实验中学七年级期末）如果2m=5，2n=3，求：
(1)2m+2n的值；
(2)8m的值．
【答案】(1)45
(2)125
【分析】（1）根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算将原始变形为2m×(2n
)
2，然后将2m=5、
2n=3代入求解即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则求解即可．（1）
解：∵2m=5，2n=3，
∴2m+2n=2m×22n=2m×(2n
)
2=5×32=45；
（2）
解：∵2m=5，2n=3，
∴8m=(23
)
m=(2m
)
3=53=125．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘
法的逆运算是解题关键．
【变式2-2】（2024·北京昌平·七年级期末）将幂的运算逆向思维可以得到am+n=am ⋅an，am-n=am÷an，
amn=(am
)
n，ambm=(ab) m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为
简，化难为易，使问题巧妙获解．
1
(1)52021×( ) 2021= ______ ；
5
(2)若3×9m×27m=311，求m的值；
【答案】(1)1
(2)2
【分析】（1）根据ambm=(ab) m，计算求解即可；
（2）根据3×9m×27m=3×(32) m ×(33) m =3×32m×33m=31+2m+3m=311，可得1+2m+3m=11，计算求解
即可．
(1)
解：由题意知，52021× (1) 2021 = ( 5× 1) 2021 =12021=1，
5 5
故答案为：1．
(2)
解：∵3×9m×27m=3×(32) m ×(33) m =3×32m×33m=31+2m+3m=311，
∴1+2m+3m=11，解得m=2，
∴m的值为2．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘法的逆运算，同底数幂的乘法．解题的关键在于对运算法则的熟练
掌握与灵活运用．
【变式2-3】（2024·四川省渠县中学七年级期末）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代
数式：
①求：22m+3n的值．
②求：22m-6n的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
a
【答案】（1）①ab；② ；（2）x=6．
b2
【分析】（1）①根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m，
8n化为底数为2的形式，然后代入求解；
（2）由题意将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
【详解】解：（1）∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
①22m+3n=22m·23n=ab；
a
②22m-6n=22m÷26n=22m÷(23n
)
2=
；
b2
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，即23x+5=223
∴3x+5=23，
解得：x=6．
【点睛】本题考查同底数幂的除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算和积的乘方的逆运算，熟练掌握相关的
运算法则是解答本题的关键．
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】
【例3】（2024·福建省罗源第二中学八年级期末）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小
（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】B【分析】根据幂的乘方的性质，得3555=243111，4444=256111，5333=125111，从而完成求解．
【详解】3555=(35) 111 =243111，4444=(44) 111 =256111，5333=(53) 111 =125111
∵256>243>125
∴256111>243111>125111
∴4444>3555>5333，即b＞a＞c
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
【变式3-1】（2024·江苏·江阴市华士实验中学七年级期末）阅读下列材料:
若a3=2,b5=3，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).
解:因为a15=(a3) 5 =25=32,b15=(b5) 3 =33=27,32>27，所以a15>b15，
所以a>b.
解答下列问题:
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)已知x5=2,y7=3，试比较x与y的大小．
【答案】＞ （1）C （2）x<y
【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；
（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．
【详解】∵a15=(a3 ) 5=25=32, b15=(b5 ) 3=33=27, 32>27， 所以a15>b15，
所以a b，故答案为 ;
(1)上述>求解过程中，逆>用了幕的乘方，故选C;
(2) ∵x35=(x5 ) 7=27=128, y35=(y7 ) 5=35=243, 243>128，
∴x15<y35，
∴x<y.
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．
【变式3-2】（2024·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期末）阅读探究题：．
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25>23，55>45
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，
解：2710=(33) 10 =330，∵30>25，∴330>325
[类比解答]比较254，1253的大小．
[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小．
【答案】【类比解答】254<1253；【拓展拔高】5333<3555<4444．
【分析】【类比解答】可以将底数都化为5，利用幂的乘方的逆运算法则变形后再进行比较；
【拓展拔高】观察三个式子的特点，可以利用幂的乘方逆运算法则将指数都变形为111，再进行比较．
【详解】【类比解答】解：254=(52
)
4=58，1253=(53
)
3=59，
∵8<9，
∴58<59，即254<1253；
【拓展拔高】解：∵3555=(35
)
111，4444=(44
)
111，5333=(53
)
111，
又∵35=243，44=256，53=125，
∴53<35<44，
∴5333<3555<4444．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．
【变式3-3】（2024·河北石家庄·七年级期末）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两
个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有
ab >cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较233与322的大小；
(3)比较312×510与310×512的大小．
【答案】(1)>，<
(2)233<322
(3)312×510<310×512
【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，”即可比较520和420的
大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac，即可比较961和
2741的大小；（2）据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac”，即可比较233与322的
大小；
（3）利用作商法，即可比较312×510和310×512的大小．
（1）
解：∵5>4，
∴520>420，
∵961=(32
)
61=3122，2741=(33
)
41=3123，122<123，
∴961<2741，
故答案为：>，<；
（2）
解：∵233=(23
)
11=811，322=(32
)
11=911，8<9，
∴233<322．
（3）
312×510 32 9
解：∵ = = <1，
310×512 52 25
∴312×510<310×512．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题
的关键．
【考点4 幂的混合运算】
【例4】（2024·福建漳州·七年级期末） 计算
(1) (m-n) 2 ⋅(n-m) 3 ⋅(n-m) 4
(2)
(b2n
)
3 (b3
)
4n÷(b5
)
n+1
(3)
(a2
)
3-a3 ⋅a3+(2a3
)
2
(4) (-4am+1 ) 3÷[2(2am ) 2 ⋅a]
【答案】（1）(n-m) 9；（2）b13n-5； （3）4a6；（4）-8am+2
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可；
（3）根据积的乘法、幂的乘方运算法则以及合并同类项法则解答即可；
（4）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：（1）(m-n) 2 ⋅(n-m) 3 ⋅(n-m) 4
=(n-m) 2+3+4
=(n-m) 9
（2）(b2n) 3 (b3) 4m ÷(b5) n+1
=b6n ⋅b12n÷b5n+5
=b6n+12n-5n-5
=b13n-5；
（3）(a2) 3 -a3 ⋅a3+(2a3) 2
=a6-a6+4a6
=4a6；
（4）(-4am+1) 3 ÷ [ 2(2am) 2 ⋅a ]
=-64a3m+3÷8a2m+1
=-8am+2
【点睛】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则以及合并
同类项法熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式4-1】（2024·陕西西安·七年级期末）计算：(2x3 ⋅x5) 2 +(-x) 2 ⋅(-x2) 3 ⋅(x2) 4 ．
【答案】3x16
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：原式=4x16+x2 ⋅(-x6)⋅x8=4x16-x16=3x16．
【点睛】本题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式4-2】（2024·重庆市第十一中学校七年级期末）计算：
(1)x⋅x2 ⋅x3+(x2
)
3-2(x3
)
2；(2)(-4am+1 ) 3+[2(2am ) 2 ⋅a]．
【答案】(1)0；
(2)-64a3m+3+8a2m+1．
【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；
(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．
（1）
解：原式=x6+x6-2x6
=2x6-2x6
=0；
（2）
解：原式=-64a3m+3+(2×4a2m ⋅a)
=-64a3m+3+8a2m+1．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相
应的计算法则是解题的关键．
【变式4-3】（2024·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期末）计算：（1）x2 ⋅x4+(x3) 2 -5x6
（2）(-2a) 6-(-3a3) 2 +[-(2a) 2] 3
【答案】（1）-3x6；（2）-9a6
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及整式的加减计算法则进行求解即可；
（2）根据积的乘方，以及整式的加减计算法则进行求解即可．
【详解】（1）原式=x6+x6-5x6
=-3x6；
（2）原式=64a6-9a6+(-4a2) 3
=64a6-9a6-64a6
=-9a6．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方以及整式的加减计算，解题的关键在于能
够熟练掌握相关计算法则．【考点5 利用幂的运算进行简便计算】
【例5】（2024·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期末）计算0.25100× ( - 1) 101 ×8101= _________．
2
【答案】-4
【分析】将式子转化为 (1) 100 × ( - 1) 100 ×8100× ( - 1) ×8，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可．
4 2 2
【详解】解：原式= (1) 100 × ( - 1) 100 ×8100× ( - 1) ×8= [1 × ( - 1) ×8 ] 100 × ( - 1) ×8=-4．
4 2 2 4 2 2
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
【变式5-1】（2024·湖南怀化·七年级期末）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020
【答案】C
【分析】根据积的乘方的逆运算法则计算即可．
1 2021 1 1 2021 1 1 1 1
【详解】原式=(- ) ×42021×(- )=(- ×4) ×(- )=(-1) 2021×(- )=-1×(- )=
4 4 4 4 4 4 4
故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2 5
【变式5-2】（2024·上海杨浦·七年级期末）用简便方法计算：-35×(- ) ×(-5) 6
3
【答案】500000
【分析】根据积的乘方即可求出答案．
2 5
【详解】原式=35×(
)
×56
3
2
=（3× ）5×56
3
=25×55×5
=（2×5）5×5
=5×105
=500000
【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
【变式5-3】（2024·福建·泉州市第九中学八年级期末）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，
指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回
答下列问题．(1)比较大小：520_________420 （填写>、<或=）．
(2)比较233与322的大小（写出比较的具体过程）．
(3)计算42021×0.252020-82021×0.1252020．
【答案】(1)>
(2)233<322
(3)－4
【分析】（1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb”比较大小即可；
（2）将233与322化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小；
（3）首先将42021和0.252020化为指数相同的幂，将82021和0.1252020也化为指数相同的幂，再根据积的乘方
逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案．
（1）
解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，
可知520>420．
故答案为：>；
（2）
∵233=(23
)
11=811，322=(32
)
11=911，
又∵811<911，
∴233<322；
（3）
原式=4×42020×0.252020-8×82020×0.1252020
=4×(4×0.25) 2020-8×(8×0.125) 2020
=4×12020-8×12020
=4-8
=-4．
【点睛】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是
熟练掌握相关的运算法则．
【考点6 幂的运算中的新定义问题】
【例6】（2024·山东省青岛第五十一中学七年级期末）阅读材料：
定义：如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=d(n)，例如：102=100，那么称2是100的劳格数，记为2=d(100)．
填空：根据劳格数的定义，在算式a=d(1000)中，______相当于定义中的n，所以d(1000)=______；
直接写出d(10-8)=______；
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且10a=p，10b=q，
根据劳格数的定义：d(p)=a，d(q)= ______，
∵10a ⋅10b=pq
∴10a+b=pq，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴d(pq)=______，即d(pq)=d(p)+d(q)，
请你把数学研究小组探究过程补全
(m)
拓展：根据上面的推理，你认为：d = ______．
n
【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；d(m)－d(n)．
【分析】根据新定义法则进行运算即可．
【详解】解：∵如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=d(n)，
∴103=1000，那么称3是1000的劳格数，记为3=d(1000)．
∴在算式a=d(1000)中，1000相当于定义中的n，所以d(1000)=3；d(10-8)=﹣8；
∵10b=q，
∴b=d(q)，
∵10a=p，10b=q，
∴10a ⋅10b=10a+b＝pq，
∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 10a+b相当于定义中的n，
∴d(pq)=d(10a+b)=a+b＝d(p)＋d(q)，
即d(pq)=d(p)+d(q)，
设10a=m，10b=n，
∴d(m)=a，d(n)=b，
m
∵10a-b=10a÷10b=
，
n
(m)
∴d = d(10a-b)＝a－b＝d(m)－d(n)，
n(m)
即d = d(m)－d(n)．
n
故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；d(m)－d(n)．
【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则．
【变式6-1】（2024·北京·清华附中八年级期末）定义一种新运算(a，b)，若ac=b，则(a，b)=c，例
(2，8)=3，(3，81)=4．若(3，5)+(3，7)=(3，x)，则x的值为______．
【答案】35
【分析】设3m=5，3n=7，根据新定义运算的法则可知(3，5)+(3，7)=m+n，即得出m+n=(3，x)，
从而再根据新定义运算的法则得出3m+n=x，最后根据同底数幂乘法的逆运算计算即可．
【详解】设3m=5，3n=7，则(3，5)+(3，7)=m+n．
∴m+n=(3，x)，
∴3m+n=x．
∵3m+n=3m×3n=5×7=35，
∴x=35．
故答案为：35．
【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关
键．
【变式6-2】（2024·江苏连云港·七年级期末）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021
的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①
则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②
②-①得，2S-S=S=22022-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；
1 1 1
（2）求1+ + +⋅⋅⋅++ = ______；
2 22 250
（3）求(-2)+(-2) 2+⋅⋅⋅+(-2) 100的和；（请写出计算过程）
（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）
1 2101-2 a-an+1 nan+1
【答案】（1）221−2；（2）2- ；（3） ；（4） +
250 3 (a-1) 2 a-1
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）设s＝1+ + +⋅⋅⋅+ ①， s＝ + +⋅⋅⋅+ + ②，②−①即可得结果；
2 22 250 2 2 22 250 251
（3）设s＝(-2)+(-2) 2+⋅⋅⋅+(-2) 100①，-2s＝(-2) 2+(-2) 3+⋅⋅⋅+(-2) 101②，②−①即可得结果；
（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，②−①得as-s=-a-
a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+nan+1，同理：求得-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+1，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
1 1 1
（2）设s＝1+ + +⋅⋅⋅+ ①，
2 22 250
1 1 1 1 1
s＝ + +⋅⋅⋅+ + ②，
2 2 22 250 251
1 1 1
②−①得， s−s＝- s＝ -1，
2 2 251
1
∴s＝2- ，
250
1
故答案为：2- ；
250
（3）设s＝(-2)+(-2) 2+⋅⋅⋅+(-2) 100①
-2s＝(-2) 2+(-2) 3+⋅⋅⋅+(-2) 101②
②−①得，-2s−s＝-3s＝(-2) 101 +2
2101-2
∴s＝ ；
3
（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，
as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，
②-①得：as-s=-a-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+nan+1，
设m=-a-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an③，am=-a2-a3-a4+⋅⋅⋅-an+1④，
④-③得：am-m=a-an+1，
a-an+1
∴m= ，
a-1
a-an+1
∴as-s= +nan+1，
a-1
a-an+1 nan+1
∴s= + ．
(a-1) 2 a-1
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
【变式6-3】（2024·山东德州·八年级期末）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an；如2×2×2
＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log 8（即log 8＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞
2 2
0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，
记为log 81（即log 81＝4）．
3 3
（1）计算下列各对数的值：log 4＝ ；log 16＝ ；log 64＝ ；
2 2 2
（2）你能得到log 4、log 16、log 64之间满足怎样的关系式： ；
2 2 2
（3）由（2）的结果，请你归纳出logaM、logaN、logaMN之间满足的关系式： ；
（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．
【答案】（1）2，4，6；（2）log 4+log 16=log 64；（3）logaM+logaN=loga（MN），（4）验证见解析．
2 2 2
【分析】（1）根据对数的定义即可求得值；
（2）根据（1）的结果即可得出三者间的关系；
（3）根据（2）的结果即可得出三者满足的关系式；
（4）根据对数的意义及同底数幂的乘法即可证明．
【详解】（1）∵22=4
∴log 4=2
2
∵24=16
∴log 16=4
2
∵26=64
∴log 64=6
2
故答案为：2，4，6
（2）由（1）知，log 4+log 16=log 64
2 2 2
故答案为：log 4+log 16=log 64
2 2 2（3）由（2）的结果知：logaM+logaN=logaMN
故答案为：logaM+logaN=logaMN
（4）设logaM=m，logaN=n
由对数的定义知，am=M，an=N
∵am·an=am+n=MN
∴m+n=log MN
a
∵logaM+logaN=m+n
∴logaM+logaN=logaMN
【点睛】本题是材料阅读题，考查了同底数幂的运算，乘方的计算等知识，关键是读懂材料中对数的含义．
【考点7 整式的乘法】
【例7】（2024·福建·大同中学八年级期末）计算(2x+3 y-4)(2x+ay+b)得到的多项式不含x、y的一次
项，其中a，b是常数，则a-b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-7 D．7
【答案】B
【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方
程组求解即可得到答案．
【详解】解：(2x+3 y-4)(2x+ay+b)
=4x2+2axy+2bx+6xy+3a y2+3by-8x-4ay-4b
=4x2+(2a+6)xy+(2b-8)x+(3b-4a)y+3a y2-4b
∵展开后多项式不含x、y的一次项，
∴¿，
∴¿，
∴a-b=-1，
故选B．
【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某
一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键．
【变式7-1】（2024·江西景德镇·七年级期末）小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结
果为x2+3x-18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“-a”，算的结果为x2-x-12．
(1)求出a、b的值；
(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，【答案】(1)a＝-3，b＝-4
(2)x2-7x+12
【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣
a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【详解】（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，
（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x-12，
所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，
解得：a＝-3，b＝-4；
（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此
题的关键．
【变式7-2】（2024·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项
和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b) n (n=1，2，3，4，⋯)的展开式
的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1 (a+b) 1=a+b
1 2 1 (a+b) 2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 (a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…… ……
2 2022
请依据上述规律，写出(x- ) 展开式中含x2020项的系数是（ ）
x
A．2022 B．-4044 C．-2020 D．4042
【答案】B
【分析】首先确定x2020是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．2 2022 2
【详解】解：由题意：，(x- ) =x2022-2022x2021 ⋅( )+…，
x x
=x2022-4044x2020+…，
2 2022
可知，(x- ) 展开式中第二项为含x2020项，
x
2 2022
∴(x- ) 展开式中含x2020项的系数是﹣4044．
x
故选B．
【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．
【变式7-3】（2024·全国·八年级专题练习）设a ,a ,a ,⋯a ,a 都是正数，
1 2 3 2021 2022
M=(a +a +…+a )(a +a +…+⋯a )，N=(a +a +a )(a +a +⋯a )，试比较M、N的大
1 2 2021 2 3 2022 1 2 2022 2 3 2021
小．
【答案】M＞N．
【分析】设a+a+…+a =m，代入M、N中化简后比较即可．
2 3 2021
【详解】解：设a+a+…+a =m，则
2 3 2021
M=（a+m）（m+a ）=am+m2+a m+aa ，
1 2022 1 2022 1 2022
N=（a+m+a ）m=am+m2+a m，
1 2022 1 2022
M-N=aa ，
1 2022
∵a，a，…，a 都是正数，
1 2 2022
∴aa ＞0，
1 2022
∴M-N＞0，
∴M＞N．
【点睛】本题考查了整式乘法的混合运算，规律型：数字的变化类，设a+a+…+a =m，利用多项式乘多
2 3 2021
项式的法则计算出M、N是解题的关键．
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】（2024·浙江宁波·七年级期末）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为
b、a的长方形纸片一张，其中a<b．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分
的面积满足S =8S ，则a，b满足的关系式为（ ）
1 2A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a
【答案】A
【分析】用含a，b的代数式表示出S，S，即可得出答案．
1 2
【详解】由题意可得：S=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S=(b-a)a=ab-a2，
1 2
∵S =8S ，
1 2
∴2ab=8(ab-a2)，
∴2ab=8ab-8a2
∴b=4b-4a
∴4a=3b，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，用含a，b的代数式表示出S1，S2是解题关键．
【变式8-1】（2024·山东泰安·期末）如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得
到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的面积可
表示为__________．
【答案】a2-4ab+3b2
【分析】根据图形表示出新长方形的长与宽，即可确定出面积．
【详解】解：根据题意得：新长方形的长为a−b，宽为a−3b，
则新长方形面积为(a-b)(a-3b)=a2-4ab+3b2．
故答案为：a2-4ab+3b2．【点睛】本题考查了列代数式及整式的加减，明确题意，列出相应的代数式是解本题的关键．
【变式8-2】（2024·安徽·宿城第一初级中学七年级期末）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形
（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）
(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
(2)若y=3x=30米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
【答案】(1)2x2+5xy
(2)34000元
【分析】（1）利用大长方形的面积减去两个小正方形的面积可得“T”型图形的面积，再根据整式的乘法
与加减法法则进行化简即可得；
（2）根据y=3x=30米可得x=10米，代入（1）中的结论可得“T”型图形的面积，再根据草坪每平方米
20元即可得．
【详解】（1）解：“T”型图形的面积=(2x+ y)(x+2y)-2y2
=2x2+4xy+xy+2y2-2y2
=2x2+5xy，
答：“T”型图形的面积为2x2+5xy．
（2）解：由y=3x=30米得：x=10米，
则“T”型图形的面积=2x2+5xy=2×102+5×10×30=1700（平方米），
所以草坪的造价为1700×20=34000（元），
答：草坪的造价为34000元．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及合并同类项的应用，根据图形正确列出代数式是解题关键．
【变式8-3】（2024·浙江·余姚市舜水中学七年级期末）如图，长为10，宽为x的大长方形被分割成7小块，
除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含y的代数式表示）
(2)分别用含x，y的代数式表示阴影部分A，B的面积．
(3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B
的面积之差．
【答案】(1)10-2y
(2)S =6 y2-2xy+10x-30 y，S =4 y2+2xy-20 y
阴影部分A 阴影部分B
5 25
(3)当y= 时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关；S -S =-
2 阴影部分A 阴影部分B 2
【分析】（1）由图形可直接填空；
（2）由长方形面积公式结合图形即可解答；
（3）计算出S -S =2y2-10 y-x(4 y-10)，即得出当4 y-10=0时，阴影部分A与阴影
阴影部分A 阴影部分B
部分B的面积之差与x的值无关，求出y的值，即得出阴影部分A与阴影部分B的面积之差．
（1）
由图可知每个小长方形较长一边长为10-2y．
故答案为：10-2y；
（2）
S =(10-2y)(x-3 y)=6 y2-2xy+10x-30 y，
阴影部分A
S =2y[x-(10-2y)]=4 y2+2xy-20 y．
阴影部分B
（3）
S -S =2y2-4xy+10x-10 y，
阴影部分A 阴影部分B∵2y2-4xy+10x-10 y=2y2-10 y-x(4 y-10)，
∴当4 y-10=0时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，
5
解得：y= ．
2
(5) 2 5 25
∴S -S =2× -10× =- ．
阴影部分A 阴影部分B 2 2 2
【点睛】本题主要考查列代数式，整式混合运算的应用．利用数形结合的思想是解题关键．
【考点9 利用乘法公式求值】
【例9】（2024·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）若x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k值为
_____．
【答案】7或﹣5
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k﹣1
＝±6．
【详解】解：∵（x±3）2＝x2±6x+9＝x2+（k﹣1）x+9，
∴k﹣1＝±6，
解得k＝7或﹣5．
故答案为：7或﹣5．
【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
【变式9-1】（2024·湖南株洲·七年级期末）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，则ab值是（ ）
A．﹣8 B．12 C．8 D．9
【答案】C
【分析】先求出（a-b）2，然后将a2+b2＝20代入即可求得ab．
【详解】解：∵（a-b）2=a2+b2-2ab=4，a2+b2＝20
∴20-2ab=4，解得：ab=8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式变形求值，灵活应用完全平方公式和整体代入思想成为解答本
题的关键．
【变式9-2】（2024·湖北武汉·八年级期末）如图，正方形的边长为m＋5，面积记为S，长方形的两边长
1
分别为m＋3，m＋9，面积记为S（其中m为正整数）．若某个图形的面积S介于S，S 之间（不包括
2 1 2
S，S），S的整数值有且只有15个，则m＝_______．
1 2【答案】7
【分析】先根据正方形和长方形的面积公式计算出S 和S，由此可得S﹣S＝2m+2，再根据S介于S，S
1 2 2 1 1 2
之间（不包括S，S），S的整数值有且只有15个可得2m+2＝16，由此即可求得答案．
1 2
【详解】解：∵S＝（m+5）2＝m2+10m+25，
1
S＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，
2
∴S﹣S＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+25）＝2m+2，
2 1
∵m为正整数，
∴S 与S 都是正整数，
2 1
∵某个图形的面积S介于S，S 之间（不包括S，S），S的整数值有且只有15个，
1 2 1 2
∴2m+2＝16，
解得：m＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则以及整式加减等相关知识，能够根据题意得到2m+2
＝16是解决本题的关键．
【变式9-3】（2024·江苏镇江·七年级期末）阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是
完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整
个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成(x+h) 2+k（h、k为常
数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，
还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为（ ）
A．4 B．8 C．±8 D．±16
(2)若多项式x2+4x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为________；(3)配方：x2-6x-10=(x-3) 2-______；x2+2x+4=______；
【知识运用】
(4)通过配方发现，代数式x2-4x+7有最小值，则最小值为______；
(5)利用配方法因式分解：a2+2a-3=a2+2a+______-4=(a+1) 2-4=______；
(6)已知m2+2mn+2n2-8n+16=0，则m=______、n=______；
(7)若M=(a+1)(a-3)，N=2(a-1)(a-2)，则M______N（用“<、>”号填空）．
【答案】(1)C
(2)4
(3)19，(x+1) 2+3
(4)3
(5)1，(a+3)(a-1)
(6)-4,4
(7)<
【分析】（1）直接利用完全平方公式求解即可；
（2）直接利用完全平方公式求解即可；
（3）利用配方法求解即可得；
（4）利用配方法求解即可得；
（5）先利用配方法计算，然后利用平方差公式因式分解；
（6）先利用配方法计算，然后利用平方的非负性求解即可；
（7）利用两个整式作差即可比较大小．
【详解】（1）解：x2+kx+16=x2+kx+42
∴k=±2×4=±8，
故选：C
（2）x2+4x+m=x2+2×2·x+22，
∴m=4，
故答案为：4；
（3）x2-6x-10=x2-6x+9-9-10=(x-3) 2-19，x2+2x+4=x2+2x+1+3=(x+1) 2+3，
故答案为：19；(x+1) 2+3；
（4）x2-4x+7=x2-4x+4-4+7=(x-2) 2+3，
∵(x-2) 2≥0，
∴(x-2) 2+3≥3，
故答案为：3；
（5）a2+2a-3
=a2+2a+1-4
=(a+1) 2-4
=(a+1+2)(a+1-2)
=(a+3)(a-1)
故答案为：1；(a+3)(a-1)
（6）m2+2mn+2n2-8n+16=0，
m2+2mn+n2+n2-8n+16=0，
(m+n) 2+(n-4) 2=0，
∴m+n=0且n-4=0，
解得：n=4，m=-4，
故答案为：-4；4；
（7）M-N
=(a+1)(a−3)-2(a−1)(a−2)
=a2-2a-3-2(a2-3a+2)
=a2-2a-3-2a2+6a-4
=-a2+4a-7
=-(a-2) 2-3<0
∴M<N，故答案为：<．
【点睛】题目主要考查完全平方公式的计算及配方法、多项式的大小比较、因式分解等，熟练掌握整式的
运算法则是解题关键．
【考点10 乘法公式的几何背景】
【例10】（2024·四川·金堂县淮口中学校七年级期末）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一
个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴
影部分（小正方形）的面积，可得到(x- y) 2、(x+ y) 2、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2
所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以
得到一个等式：__________．
利用上面所得的结论解答：
5
（1）已知xy，x+y=3，5xy= ，求x-y的值；
4
（2）已知|a+b-4|+(ab-2) 2=0，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．
【答案】（x- y）2＝（x+ y）2-4xy；（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（1）2；（2）40
【分析】根据正方形的面积两种计算方法，一种是边长的平方，一种是大正方形减去四个长方形的面积，
即可得到等式；
根据正方体的体积的两种算法得到等式，一种是棱长的立方，一种是小正方体和长方体的和计算；
（1）将条件代入等式计算即可；
（2）中先从条件中得到a+b＝4，ab＝2，然后将其代入等式计算即可．
【详解】解：如图1，方法一：已知边长直接求面积为（x- y）2，方法二：阴影部分面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积，
所以面积为(x+ y) 2-4xy，
∴等量关系式为：（x- y）2=（x+ y）2-4xy；
故答案为：（x- y）2=（x+ y）2-4xy．
如图2，方法一：已知棱长直接求体积为（a+b）3，
方法二：正方体的体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2，
∴等量关系式为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2．
故答案为：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2．
5
（1）将x+y＝3，xy= 代入（x- y）2=（x+ y）2-4xy，
4
得（x- y）2＝4，
∵x＞y，
∴x﹣y＝2．
（2）∵|a+b-4|+（ab-2）2＝0，
∴a+b＝4，ab＝2，
将其代入（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2 ，
即64＝a3+b3+6a+6b ，
∴a3+b3＝64﹣6（a+b）＝64﹣24＝40．
【点睛】本题主要利用图象探究式的等量关系，要结合图象分析，后面是等量关系的应用，先分析适用于
等量关系的条件然后代入计算即可．
【变式10-1】（2024·河南南阳·八年级期末）探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）；
(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形
式）；
(3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____．(4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
(5)若4x2-9 y2＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值．
【答案】(1)a2-b2
(2)（a+b）（a﹣b）
(3)a2-b2＝（a+b）（a﹣b）
(4)a2+2ab+b2-4c2
(5)2x﹣3y的值为5
【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；
（2）根据长方形面积公式解答即可；
（3）由（1）、（2）即可得到公式；
（4）根据平方差公式，得到(a+b) 2-(2c) 2，再计算即可；
（5）将4x2-9 y2=10，化为（2x+3y）（2x-3y）=0的形式，再由4x+6y＝4求出2x+3y=2，最后整体代入求
值即可．
（1）
S =S -S =a2-b2 ，
阴 大正方形 小正方形
故答案为：a2-b2；
（2）
拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），
∴S =S =(a+b)(a-b)，
阴 长方形
故答案为：(a+b)(a-b)；
（3）
由（1）、（2）可得，a2-b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2-b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）
原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]
＝(a+b) 2-(2c) 2，
＝a2+2ab+b2-4c2；
（5）4x2-9 y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝10，
∵4x+6y＝4，
∴2x+3y＝2，
∴2x﹣3y＝10÷2＝5，
故2x﹣3y的值为5．
【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，用不同方法表示同一个图象的面积是解决问题的关键．
【变式10-2】（2024·福建·明溪县教师进修学校七年级期末）阅读理解：
若x满足(210-x)(x-200)=-204，试求(210-x) 2+(x-200) 2的值，
解：设(210-x)=a，(x-200)=b，则ab=-204，且a＋b＝(210－x)＋(x－200)＝10，
∵(a+b) 2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b) 2-2ab=102-2×(-204)=508，即(210-x) 2+(x-200) 2的值为508．
解决问题
(1)若x满足(2022-x)(x-2010)=22，则(2022-x) 2+(x-2010) 2= ；
(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求(2022-x)(x-2002)的值；
(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x ，分别
以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，
则图中阴影部分的面积和为多少？
【答案】(1)100
(2)-810
(3)96【分析】（1）根据材料解法，设(2022-x)=a，(x-2010)=b，则ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(x－
2010)＝12，根据(a+b) 2=a2+2ab+b2，代值求解即可得到答案；
（2）根据材料解法，设(2022-x)=a，(x-2002)=b，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，根据
(a+b) 2=a2+2ab+b2，代值得到关于ab的方程，即可得到答案；
（3）由图及题中条件得到正方形CFGH 的边长为10-x，正方形CEMN的边长为6-x，由长方形CEPF
的面积为40平方单位得到(10-x)(6-x)=40，根据阅读材料及（1）（2）的解法即可求出阴影部分面积．
（1）
解：设(2022-x)=a，(x-2010)=b，则ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，
∵(a+b) 2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b) 2-2ab=122-2×22=100，即(2022-x) 2+(x-2010) 2的值为100；
（2）
解：设(2022-x)=a，(x-2002)=b，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，
∵(a+b) 2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b) 2-2ab=202-2ab=2020，解得ab=-810，即(2022-x)(x-2002)的值为-810；
（3）
解：由图及题中条件可知正方形CFGH 的边长为10-x，正方形CEMN的边长为6-x，则由长方形CEPF
的面积为40平方单位得到(10-x)(x-6)=-40，
∴阴影部分面积为(10-x) 2+(6-x) 2=(10-x) 2+(x-6) 2，
设(10-x)=a，(x-6)=b，则ab=-40，且a＋b＝(10－x)＋(x－6)＝4，
∵(a+b) 2=a2+2ab+b2，
∴(10-x) 2+(6-x) 2=(10-x) 2+(x-6) 2=a2+b2，
∵ a2+b2=(a+b) 2-2ab=42-2×(-40)=96，
∴阴影部分面积为96．【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的应用能力，读懂题意，掌握材料中的解法，结合图形进行完
全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．
【变式10-3】（2024·湖南·常德市第二中学七年级期末）（1）①如图1，已知正方形ABCD的边长为a，
正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差
的形式）；
②将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是______
（写成多项式相乘的形式）；
（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．
( 1)( 1 )( 1 )( 1 ) 1
（3）利用所得公式计算：2 1+ 1+ 1+ 1+ +
2 22 24 28 214
【答案】（1）①a2-b2；②(a+b)(a-b)；（2）(a+b)(a-b)=a2-b2；（3）4
【分析】（1）①根据图1确定出阴影部分面积即可；②根据图2确定出长方形面积即可；
（2）根据两图形面积相等得到乘法公式；
（3）利用得出的平方差公式计算即可得到结果．
【详解】解：（1）①∵正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b2，
∴阴影部分的面积是a2-b2．
②由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，
∴长方形AHDE的面积是(a+b)(a-b)，
故答案为：①a2-b2；②(a+b)(a-b)；
（2）由（1）可得到(a+b)(a-b)=a2-b2，故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2；
1 1 1 1 1 1
（3）原式= 4× (1+ )(1+ )(1+ )(1+ )+
2 2 22 24 28 214
1 1 1 1 1 1
=4×(1- )(1+ )(1+ )(1+ )(1+ )+
2 2 22 24 28 214
1 1
=4×(1- )+
，
216 214
1 1
=4- +
，
214 214
=4．
【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【考点11 整式乘除的计算与化简】
【例11】（2024·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随
后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
× ( - 1 xy ) =3x2y-x y2+ 1 xy
2 2 ，所捂多项式是________．
【答案】-6x+2y-1
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】由题意可得，所捂多项式是：(3x2y-x y2+ 1 xy)÷ ( - 1 xy )
2 2
=3x2y÷ ( - 1 xy ) -x y2÷ ( - 1 xy ) + 1 xy÷ ( - 1 xy )
2 2 2 2
=-6x+2y-1．
故答案为：-6x+2y-1．
【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
(3xyz) 3
【变式11-1】（2024·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期末）若定义 表示 ， 表
-3adcb
示 ，则运算 ÷ 的结果为（ ）
A．-72n B．72n C．mn D．-mn【答案】A
【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．
【详解】解：由题意可得：
(3mn⋅2) 3÷(-3m3n2)=216m3n3÷(-3m3n2)=-72n．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．
【变式11-2】（2024·山东淄博·期末）王老师给学生出了一道题：
1
求(2x+ y)(2x- y)+2(2x- y) 2+(2x y2-16x2y)÷(-2x)的值，其中x= ，y=-1．
2
同学们看了题目后发表不同的看法．
小明说：“条件y=-1是多余的．”
小亮说：“不给y=-1这个条件，就不能求出结果，所以不多余．”
(1)你认为他俩谁说的有道理？为什么？
(2)若本题的结果等于M，试求M的值．
【答案】(1)小明说的有道理，理由见解析；
(2)3
【分析】（1）对(2x+ y)(2x- y)+2(2x- y) 2+(2x y2-16x2y)÷(-2x)通过混合运算规则进行化简即可；
（2）由（1）可计算得的结果为3，即M的值为3．
（1）
解：小明说的有道理，理由如下：
(2x+ y)(2x- y)+2(2x- y) 2+(2x y2-16x2y)÷(-2x)
=(2x) 2- y2+2(4x2-4xy+ y2)+(- y2+8xy)
=4x2- y2+8x2-8xy+2y2- y2+8xy
=12x2，
∵化简得结果为12x2，12x2中不含字母y,
∴条件y=-1是多余的，小明说的有道理；
（2）当x=
1
时，12x2=12×
(1) 2
=3,
2 2
∴M=3,
即M的值为3．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，在化简求值时要特别注意去括号法则的运用.
【变式11-3】（2024·重庆市万州第二高级中学八年级期末）已知a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋
c能被多项式x2＋3x－4整除，
（1）求4a＋c的值；
（2）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的值．
【答案】（1）4a+c＝12；（2）a＝2；b＝﹣7；c＝4．
【分析】（1）根据整除的定义，得到x2+3x﹣4＝0，然后得到关于a、b、c的方程组，即可得到答案；
c c
（2）由于c≥a＞1，又a=3- ，可知1＜3- ＜3，解即可求出c的范围，但是a、c是大于1的正整数，
4 4
c
且a=3- ，可求出c，从而求出a、b．
4
【详解】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一个因式，
∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，
∴¿，
①×4+②得4a+c＝12③；
c
（2）∵c≥a＞1，又a=3- ，
4
c c
∴a＝3- ＜c，即1＜3- ＜c，
4 4
12
解得： ＜c＜8，
5
又∵a、c是大于1的正整数，
c
∴c＝3、4、5、6、7，但a=3- ，a也是正整数，
4
∴c＝4，
∴a＝2，
3
∴b＝﹣4﹣ c＝﹣7．
4
【点睛】本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思也就是说，B是A的一个因式，使这个因式B等于0的值，必是A的一个解．
【考点12 整式混合运算的应用】
【例12】（2024·北京·八年级期末）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品
原价为1元，现在有两种提价方案：
方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；
x%+ y%
方案2：第一次、二次提价均为 ．
2
其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．
【答案】方案2最终价格更高，理由见解析．
【分析】先表示出 “最方案1最终价格-方案2最终价格”代数式表示，再利用整式的混合运算，化简整
2
-[(100+x)-(100+ y)]
式，最后得 ，据此可判断正负，即得方案1和方案2最终价格的大小比．
40000
【详解】解：方案2最终价格更高．
理由如下：最方案1最终价格-方案2最终价格
(
x%+ y%
)
2
=(1+x%)(1+ y%)- 1+
2
( x )( y ) ( x+ y) 2
= 1+ 1+ - 1+
100 100 200
1 1
= (100+x)(100+ y)- (200+x+ y) 2
10000 40000
1 1 2
= (100+x)(100+ y)- [(100+x)+(100+ y)]
10000 40000
4(100+x)(100+ y)-(100+x) 2-2(100+x)(100+ y)-(100+ y) 2
=
40000
-(100+x) 2+2(100+x)(100+ y)-(100+ y) 2
=
40000
2
-[(100+x)-(100+ y)]
=
40000
-(x- y) 2
=
40000
∵x，y是不相等的正数-(x- y) 2
∴ <0
40000
所以，两种方案后方案2最终价格更高．
【点睛】题考查了列代数式、整式混合运算、乘法运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方
公式是解本题的关键．
【变式12-1】（2024·重庆·八年级期末）近年来，重庆成为了众多游客前来旅游的网红城市．某商场根据
游客的喜好，推出A、B两种土特产礼盒，A种礼盒内有3袋磁器口麻花，3包火锅底料；B种礼盒里有2
袋磁器口麻花，3包火锅底料，2袋合川桃片．两种礼盒每盒成本价分别为盒内所有土特产的成本价之和．
已知每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%．
今年10月1日卖出A、B两种礼盒共计80盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅
底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成本少了280元，则当日卖出礼盒的实
际总成本为 __元．
【答案】6920
【分析】根据A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%可得1袋磁器口麻花，1包火锅底料的成本价
是30元，设1袋磁器口麻花成本价是x元，则1包火锅底料的成本价是(30-x)元，每袋合川桃片的成本
30-x
价 元，设今年10月1日卖出A种礼盒m盒，则卖出B中礼盒(80-m)盒，由工作人员在核算当日卖
2
出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成
30-x
本少了280元，可得90m+(80-m)(120-2x)+280=90m+(80-m)[2(30-x)+3x+2× ]，化
2
简整理得：mx=80x+15m-1340，从而可求出当日卖出礼盒的实际总成本．
【详解】∵A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%，
∴A种礼盒每盒的成本价为108÷(1+20%)=90（元)，即3袋磁器口麻花，3包火锅底料成本价为90元，
∴1袋磁器口麻花，1包火锅底料的成本价是30元，
设1袋磁器口麻花成本价是x元，则1包火锅底料的成本价是(30-x)元，
∵每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，
30-x
∴每袋合川桃片的成本价 元，
2
30-x
∴每盒B种礼盒成本价是2x+3×(30-x)+2× =120-2x，
2
设今年10月1日卖出A种礼盒m盒，则卖出B中礼盒(80-m)盒，根据题意可得：30-x
90m+(80-m)(120-2x)+280=90m+(80-m)[2(30-x)+3x+2× ]，
2
化简整理得：mx=80x+15m-1340，
∴当日卖出礼盒的实际总成本为：
90m+(80-m)(120-2x)
=90m+9600-160x-120m+2mx
=90m+9600-160x-120m+2(80x+15m-1340)
=6920元
故答案为：6920．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，整式的运算、代数式的知识，解题的关键熟练掌握整式乘法的
性质，从而完成求解．
【变式12-2】（2024·重庆南开中学七年级期末）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田
里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组
种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试
1 3
验田面积的 种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的 ，且第二小组种植三种蔬菜
6 8
1
的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的 ，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为
3
__________．
4
【答案】 ##4:7
7
【分析】设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，根据三种蔬菜面积之比
及单位面积种植株数之比可得第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，种植番茄的
单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，设余下的面积为z，第二小组在余下的实验
1 1 3
田里种植辣椒面积的 z，可列方程 z+4m= (3m+2m+4m+z)，可得z=3m，设第二小组种植黄瓜
6 6 8
5
面积为a，第二小组种植番茄面积为 m-a，利用第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬
2
1 1
菜的总株数的 ，列方程6mn-an= ×15mn，解方程即可．
3 3
【详解】解：设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，∵单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2，
第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，
∴第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，
种植番茄的单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，
设余下的面积为z，
1
∴第二小组在余下的实验田里种植辣椒面积的 z，
6
1 3
∴ z+4m= (3m+2m+4m+z)
6 8
解得z=3m，
设第二小组种植黄瓜面积为a，
1 5
第二小组种植番茄面积为3m-a- ×3m= m-a，
6 2
5
黄瓜种植面积：3m+a，番茄种植面积：2m+ m-a，
2
1 9
辣椒种植面积：4m+ m= m，
2 2
第二小组种植三种蔬菜的总株数为：
5 1
a×n+( m-a)×2n+ m×2n
2 2
=an+5mn-2an+mn
=6mn-an
第一小组种植三种蔬菜的总株数为：
3mn+2m×2n+4m×2n=15mn
1
∴ 6mn-an= ×15mn
3
解得a=m，
黄瓜总株数：3mn+an=4mn，
番茄总株数：5mn-2an+4mn=7mn
4mn 4
=
7mn 7
4
最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为 ．
7
【点睛】本题主要考查了代数式表示数、代数式在生活中的的运用和一元一次方程的实际问题等知识，仔3
细阅读抓住辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的 ，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第
8
1
一小组种植三种蔬菜的总株数的 ，列出方程是做出本题的关键．
3
【变式12-3】（2024·重庆巴蜀中学七年级期末）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆
主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人民的喜爱；每到春季，
上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包
装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、
C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼
盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的
成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；
该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵
懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后
统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总
利润的比值为 ___．
【答案】7：15
【分析】设A、B、C三种花卉的成本价分别为x元、y元、z元，根据题意求得y=4z，x=z，得到“如沐春
风”礼盒的成本价为28z元，“惜懂少女”礼盒的成本价为14z元，“粉色回忆”礼盒的成本价为20z元，
以及得到“如沐春风”礼盒的售价为42z，“惜懂少女”礼盒的售价为21z，“粉色回忆”礼盒的售价为
30z，再根据题意约分即可求解．
【详解】解：设A、B、C三种花卉的成本价分别为x元、y元、z元，
则“如沐春风”礼盒的成本价为：(2x+4y+10z) 元，
“惜懂少女”礼盒的成本价为：(2x+2y+4z) 元，
“粉色回忆”礼盒的成本价为：(2x+3y+6z) 元，
∵每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，
∴y=4z，
∴“如沐春风”礼盒的成本价为：(2x+26z) 元，
“惜懂少女”礼盒的成本价为：(2x+12z) 元，
“粉色回忆”礼盒的成本价为：(2x+18z) 元，
又∵每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，∴2x+26z=2(2x+12z)，
∴x=z，
∴“如沐春风”礼盒的成本价为：28z元，
“惜懂少女”礼盒的成本价为：14z元，
“粉色回忆”礼盒的成本价为：20z元，
∵该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售，
∴“如沐春风”礼盒的售价为：28z•(1+50%)=42z(元)，
“惜懂少女”礼盒的售价为：14z•(1+50%)=21z(元)，
“粉色回忆”礼盒的售价为：20z•(1+50%)=30z(元)，
设“如沐春风”礼盒的销量为a，“粉色回忆”礼盒的销量为b，
∵“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒的销量相同，
∴“懵懂少女”礼盒的销量为a，
∵将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，“粉色回忆”礼盒打九折销售，
∴“如沐春风”礼盒的利润为：0.8×42z-28z=5.6z (元)，
“惜懂少女”礼盒的利润为：0.8×21z-14z=2.8z (元)，
“粉色回忆”礼盒的利润为：0.9×30z-20z=7z (元)，
∵三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，
∴28z•a+14z•a+20z•b=4(5.6z•a+2.8z•a+7z•b)，
整理得：8.4a=8b，
“粉色回忆”礼盒的总利润为：7z•b，
三种礼盒的总利润为：5.6z•a+2.8z•a+7z•b=8.4z•a+7z•b=15z•b，
∴该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为：7z•b：15z•b=7：15．
故答案为：7：15．
售价-成本
【点睛】本题考查了整式的混合运算，理解“利润率= ×100% ”是解题的关键．
成本
【考点13 因式分解的概念】
【例13】（2024·江苏徐州·七年级期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．ab+ac+d=a(a+b)+d B．a2-1=(a+1)(a-1)
C．(a+b)(a-b)=a2-b2 D．a2-4a+5=(a-2) 2+1
【答案】B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
【变式13-1】（2024·山东·海川中学八年级期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是
（ ）
1
A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a+ D．a2+2ab﹣b2
2
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：选项A、C、D都不能够用完全平方公式分解，
选项B能用完全平方公式分解，即1-2xy+x2y2=(1-xy) 2，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式13-2】（2024·云南省个旧市第二中学八年级期末）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．a3－3a2＋2a B．a2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2
【答案】D
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案即可．
【详解】解：A、a3-3a2+2a=a(a2-3a+2)=a(a-2)(a-1)，故此选项不符合题意；
B、a2-2ab＋b2-1=(a-b) 2-1=(a-b+1)(a-b-1)，故此选项不符合题意；
C、-a2+b2=(b+a)(b-a)，故此选项不符合题意；
D、原式不能分解，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确分解因式是解题关键．
【变式13-3】（2024·上海·七年级期末）下列各式中，正确分解因式的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x(x2+2y)②x2+2xy+4 y2=(x+2y) 2
③-2x2+8 y2=-(2x+4 y)(x-2y)
④a3-abc+a2b-a2c=a(a-c)(a+b)
⑤(m-n)(2x-5 y-7z)+(m-n)(3 y-10x+3z)=-(m-n)(8x+2y+4z)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，分解的结果要分解
到不能再分解为止，根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可．
【详解】①左边为三项，右边乘开为两项，故错误；
②右边(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左边，故错误；
③公因数2未提出来，故错误；
④a3﹣abc+a2b﹣a2c
=(a3+a2b)﹣(abc+a2c)
=a2(a+b)﹣ac(a+b)
=a(a﹣c)(a+b)
④正确；
⑤等式右边的(8x+2y+4z)未提取公因数2，故错误．
综上，只有④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握分解的基本方法及分解要求，是解答本题的关键．
【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例14】（2024·福建省泉州实验中学八年级期末）因式分解：
(1)4a2-16a+16；
(2)a2(x- y)+16(y-x)．
【答案】(1)4(a-2) 2；
(2)(x- y)(a+4)(a-4)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为a2(x- y)-16(x- y)，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可
（1）
解：4a2-16a+16
=4(a2-4a+4)
=4(a-2) 2；
（2）
解：a2(x- y)+16(y-x)
=a2(x- y)-16(x- y)
=(x- y)(a2-16)
=(x- y)(a+4)(a-4)；
【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此
方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。
1 3
【变式14-1】（2024·广东·佛山市顺德养正学校八年级期末）已知a+b= ,ab=- ，先因式分解，再求值：
2 8
a3b+2a2b2+ab3．
3
【答案】ab(a+b) 2；-
32
【分析】先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b) 2
1 3
当a+b= ，ab=- 时，
2 8
3 (1) 2 3 1 3
原式=- × =- × =- ．
8 2 8 4 32
【点睛】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是提出公共因式．
【变式14-2】（2024·甘肃·临泽县第三中学八年级期末）分解因式．
(1)a3b-2a2b2+ab3
(2)x2(x-4)+10x(x-4)+25(x-4)【答案】(1)ab(a-b) 2
(2)(x-4)(x+5) 2
【分析】（1）先提取公因式ab，再根据完全平方公式分解；
（2）先提取公因式(x-4)，再根据完全平方公式分解．
（1）
解：a3b-2a2b2+ab3
=ab(a2-2ab+b2)
=ab(a-b) 2
（2）
解：x2(x-4)+10x(x-4)+25(x-4)
=(x-4)(x2+10x+25)
=(x-4)(x+5) 2
【点睛】本题考查了用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，
然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【变式14-3】（2024·浙江·宁波大学青藤书院七年级期末）因式分解：
(1)mx2﹣m y2；
(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
【答案】(1)m（x+y）（x﹣y）
(2)（a﹣b）（2m+3n）
【分析】（1）直接提取公因式m,再利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（a-b），进而分解因式即可．
（1）
mx2﹣m y2
＝m（x2﹣y2）
＝m（x+y）（x﹣y）；（2）
2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
【考点15 因式分解（十字相乘法）】
【例15】（2024·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期末）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【答案】(1)(x-2)(x＋9)
(2)±2，±7
(3)x =2，x ＝4
1 2
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项−18＝−9×2，一次项系数7＝−2＋9，然后进行分解即
可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项-8=-4×2，-8=-2×4，-8=-1×8，-8=-8×1，然后
进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项8=(-2)×(-4)，一次项系数-6=-2+(-4)，然后进行分解计
算即可．
（1）
解：x2＋7x−18
＝x2＋（−2＋9）x＋（−2）×9
＝（x−2）（x＋9）故答案为：（x−2）（x＋9）．
（2）
解：∵-8＝-4×2，-8＝-2×4，-8＝-1×8，-8＝-8×1，
∴p＝-4+2＝-2，p＝-2+4＝2，p＝-1+8＝7，p＝-8+1＝-7，
∴若x2＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）
解：x2 −6x+8＝0，
（x−2）（x-4）＝0，
（x−2）＝0或（x-4）＝0，
∴x =2，x ＝4．
1 2
【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法，理解并掌握x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的
关键．
【变式15-1】（2024·上海闵行·七年级期末）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+(a+b)x+ab
可用十字相乘法方法得出x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)x2+5xy-6 y2=__________．
(2)x2-(4a+2)x+3a2+6a=__________．
(3)x2-b(5x-a-6b)-a2=__________．
(4)(2018x) 2-2017×2019x-1=__________．
【答案】(1)(x-y)(x+6y)
(2)(x-3a)(x-a-2)
(3)(x+a-3b)(x-a-2b)
(4)(20182x2+1)(x-1)
【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可；
（2）将3a2+6a改写成(-3a)[-(a+2)]，然后根据例题分解即可；
（3）先化简，将ab+6b2-a2改写(-3b+a)(-2b-a)，然后根据例题分解即可；
（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；
(1)解：原式=x2+(- y+6 y)x+(- y⋅6 y)
=(x-y)(x+6y)；
(2)
解：原式=x2+[-3a-(a+2)]x+(-3a)[-(a+2)]
=(x-3a)(x-a-2)；
(3)
解：原式=x2-5bx+ab+6b2-a2
=x2-5bx+(3b-a)(2b+a)
=x2+[(-3b+a)+(-2b-a)]x+(-3b+a)(-2b-a)
=(x+a-3b)(x-a-2b)；
(4)
解：原式=(2018x) 2-(2018-1)(2018+1)x-1
=20182x2-(20182-1)x-1
=20182x2+(1-20182)x-1
=(20182x+1)(x-1) ．
【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式x2+(a+b)x+ab可用十字相乘法方法得出
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是解答本题的关键．
【变式15-2】（2024·浙江杭州·七年级期末）分解因式：(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+13=________．
【答案】(x2-x-19)(x2-x-7)
【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式=(x2-x-6)(x2-x-20)+13
=(x2-x) 2 -26(x2-x)+133
=(x2-x-19)(x2-x-7)，故答案为：(x2-x-19)(x2-x-7)．
【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
【变式15-3】（2024·贵州铜仁·七年级期末）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式呢？我们已经知道：
(a x+c )(a x+c )=a a x2+a c x+a c x+c c =a a x2+(a c +a c )x+c c ．反过来，就得到：
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
a a x2+(a c +a c )x+c c =(a x+c )(a x+c )．我们发现，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的二次项
1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2
的系数a分解成a a ，常数项c分解成c c ，并且把a ，a ，c ，c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘
1 2 1 2 1 2 1 2
再相加，就得到a c +a c ，如果a c +a c 的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c
1 2 2 1 1 2 2 1
就可以分解为(a x+c )(a x+c )，其中a ，c 位于图的上一行，a ，c 位于下一行．像这种借助画十字交
1 1 2 2 1 1 2 2
叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，
把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×(-3)；然后把1，1，2，-3按图2所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解
为(x+2)(x-3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
x2+x-6=__________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
①
2x2+5x-7=__________；
②
6x2-7xy+2y2=__________．
(3)【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+c y2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如
图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果
mq+np=b，pk+pj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原
式=(mx+py+ j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：① 分解因式3x2+5xy-2y2+x+9 y-4=__________；
② 若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18 y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
【答案】(1)(x+3)(x-2)
(2) (2x+7)(x-1) (2x- y)(3x-2y)
(3)(3x- y+4)(x+2y-1)
②43或-78
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的
积，即-6=3×（-2)，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成2=1×2，常数项写成-7=-1×7，满足1×7+(-1)×2=5，写出分解结果即
可．
②把x2项系数6写成6=2×3，把y2项系数2写成2=-2×（-1），满足-2×2+(-1)×3=-7，写出分
解结果即可．
（3）①把x2项系数3写成3=1×3，把y2项系数-2写成-2=2×（-1），常数项-4写成
-4=（-1）×4满足条件，写出分解结果即可．
②把x2项系数1写成1=1×1，把y2项系数-18写成-18=-2×9，常数项-24写成-24=3×(-8)或
-24=（-3）×8满足条件，写出分解结果，计算即可．
（1）
首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即
-6=3×（-2)，所以x2+x-6= (x+3)(x-2)．
故答案为：(x+3)(x-2)．
（2）
①把二次项系数2写成2=1×2，-7=-1×7，满足1×7+(-1)×2=5，所以2x2+5x-7=
(2x+7)(x-1)．
故答案为：(2x+7)(x-1)．
②把x2项系数6写成6=2×3，把y2项系数2写成2=-1×（-2），满足-2×2+(-1)×3=-7，
所以6x2-7xy+2y2= (2x- y)(3x-2y)．故答案为：(2x- y)(3x-2y)．
（3）
①把x2项系数3写成3=1×3，把y2项系数-2写成-2=2×（-1），常数项-4写成-4=（-1）×4满足
条件，
所以3x2+5xy-2y2+x+9 y-4= (3x- y+4)(x+2y-1)．
故答案为：(3x- y+4)(x+2y-1)．
②把x2项系数1写成1=1×1，把y2项系数-18写成-18=-2×9，常数项-24写成-24=3×(-8)或
-24=（-8）×3满足条件，
所以m=3×9+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
【考点16 因式分解（分组分解法）】
【例16】（2024·上海市娄山中学九年级期末）分解因式：x2- y2+4 y-4=__________．
【答案】(x+ y-2)(x- y+2)##（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分组成x2-(y2-4 y+4)，再利用完全平方公式化为x2-(y-2) 2，最后利用平方差公式解答．
【详解】解：x2- y2+4 y-4
=x2-(y2-4 y+4)
=x2-(y-2) 2
=(x+ y-2)(x- y+2)
故答案为：(x+ y-2)(x- y+2)．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相
关知识是解题的关键．
【变式16-1】（2024·上海·七年级期末）因式分解：9-4x2+4xy- y2
【答案】(3-2x+ y)(3+2x- y)
【分析】先把后三项作为一组，运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解．【详解】解：9-4x2+4xy- y2=9-(4x2-4xy+ y2)=9-(2x- y) 2=(3-2x+ y)(3+2x- y)．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于常考题型，正确分组、掌握解答的方法是解题关键．
【变式16-2】（2024·湖南常德·七年级期末）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．
【答案】（x﹣y）（3x+2y﹣1）
【分析】先对代数式进行分解，然后十字相乘进行因式分解，再提取公因式即可．
【详解】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）
＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
【变式16-3】（2024·福建省福州延安中学八年级期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公
式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝
（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a-7b，求整式M的最小值．
【答案】（1）①（b-2）(a-2）；②21或16；（2）M的最小值是-10．
【分析】（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解；
②先将ab﹣2a﹣2b﹣4＝0变形为ab﹣2a﹣2b+4-8=0，即(b-2)(a-2)=8，然后再解决本题．
（2）先将ab﹣a﹣b﹣1＝0变形为ab=a+b+1，再代入M，然后进行变形，得到M=（a﹣3）2+（b-2）2﹣
10，最后，探究M的最小值．
【详解】解：（1）①原式=(ab-2a)-(2b-4)=a(b-2)-2(b-2)=(b-2)(a-2)
②解：ab﹣2a﹣2b﹣4＝0
则ab﹣2a﹣2b+4-8=0，由①可知：(b-2)(a-2)=8
∵a，b（a＞b）都是正整数
∴a-2>b-2，且a-2、b-2都是整数，
¿
易得¿或¿（其他两种不符合a，b为正整数，舍去）
故：2a+b=21或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得ab=a+b+1带入M
M=a2+3a+3b+3+b2-9a-7b=a2+3(a+b+1)+b2-9a-7b
=（a﹣3）2+（b-2）2﹣10，
∵(a-3) 2≥0,(b-2) 2≥0，
∴M≥-10，
∴M的最小值是﹣10．
【点睛】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题
的关键．
【考点17 利用因式分解求值】
【例17】（2024·湖南永州·七年级期末）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的
方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2)．当
x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3-x y2分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于x的多项式(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数
2
字密码182016，求m，n的值．
【答案】(1)283917或者281739
(2)m的值为3，n的值为2
【分析】（1）先分解因式得到x3-x y2 =x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，再根据题意得x+ y=39，
x- y=17，据此求解即可；
（2）先求出20=x+2，16=x-2，再由所得的数字密码得到
(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，从而得到关于m、n的二元一次方程组，解
2
方程组即可得到答案；
（1）
解：x3-x y2
=x(x2- y2)
=x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，
∵x=28，y=11，∴x+ y=39，x- y=17，
∴此时可以得到数字密码是283917或281739，
故答案为：283917或281739；
（2）
解：∵x=18，
∴20=x+2，16=x-2，
∴(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，
2
∴¿ ，
解得¿，
∴m的值为3，n的值为2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解二元一次方程组，
正确理解题意是解题的关键．
【变式17-1】（2024·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）已知mn=1，m-n=2，则m2n-mn2的值
是（ ）
A．-1 B．3 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】先因式分解，再代值求解即可．
【详解】m2n-mn2
=mn(m-n)
把mn=1,m-n=2代入
m2n-mn2=2
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是会因式分解．
【变式17-2】（2024·浙江·七年级期末）已知a-b=3，b-c=-4，则代数式a2-ac-b(a-c)的值是
________．
【答案】-3
【分析】先根据a-b=3，b-c=-4，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【详解】∵a-b=3，b-c=-4，
∴a-c=-1，
∴a2-ac-b(a-c)=a(a-c)-b(a-c)
=(a-c)(a-b)
=-1×3
=-3，
故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的
关键.
【变式17-3】（2024·河南周口·八年级期末）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多
项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全
平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【详解】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac
=
2
(a-b) 2+(a-c) 2+(b-c) 2
=
2
(-1) 2+(-2) 2+(-1) 2
=
2
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
【考点18 因式分解的应用】
【例18】（2024·湖南永州·七年级期末）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的
方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2)．当
x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3-x y2分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于x的多项式(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数
2
字密码182016，求m，n的值．【答案】(1)283917或者281739
(2)m的值为3，n的值为2
【分析】（1）先分解因式得到x3-x y2 =x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，再根据题意得x+ y=39，
x- y=17，据此求解即可；
（2）先求出20=x+2，16=x-2，再由所得的数字密码得到
(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，从而得到关于m、n的二元一次方程组，解
2
方程组即可得到答案；
（1）
解：x3-x y2
=x(x2- y2)
=x(x+ y)(x- y)或=x(x- y)(x+ y)，
∵x=28，y=11，
∴x+ y=39，x- y=17，
∴此时可以得到数字密码是283917或281739，
故答案为：283917或281739；
（2）
解：∵x=18，
∴20=x+2，16=x-2，
∴(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x=x(x+2)(x-2)=x(x2-4)=x3-4x，
2
∴¿ ，
解得¿，
∴m的值为3，n的值为2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解二元一次方程组，
正确理解题意是解题的关键．
【变式18-1】（2024·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期末）先阅读下列材料，然后解决后面的问题．
材料：一个三位数abc（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数abc为“协和k
数”，同时规定c= （k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等
a
于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8．
(1)判断132，123，321这三个数中， 是“协和数”．
(2)对于“协和数”abc，求证：“协和数”abc能被11整除．
(3)已知有两个十位数相同的“协和数”a bb ，a bb （a ＞a ），且k -k =1，若y=k +k ，用含b的
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
式子表示y．
【答案】(1)132
(2)见解析
1
(3)y= b2-1
2
【分析】（1）根据“协和数”的定义进行判断即可；
（2）根据“协和数”的定义得出a+c=b，由abc=11（9a＋b）,即可得到结论；
（3）由k -k =1，代入可得k -k =(a -a )(b-a -a )=1，得到a －a ＝1， b－a －a ＝1，进一步求
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1+(b-1) 2
得a2+a2= ，代入y=k +k 即可得到结论．
1 2 2 1 2
（1）
解：∵1＋2＝3，
∴132是“协和数”，
∵1+3≠2，
∴123不是“协和数”，
∵3+1≠2，
∴321不是“协和数”，
故答案为：132；
（2）
∵abc是“协和数”，
∴a+c=b，
∵abc=100a＋10b＋c＝99a＋10b＋a＋c＝99a＋11b＝11（9a＋b）,
∵a是整数，b是整数，
∴9a＋b是整数，∴“协和数”abc能被11整除；
（3）
∵k -k =1，
1 2
∴k -k =a ·b -a ·b =a (b-a )-a (b-a )=(a -a )(b-a -a )=1，a 、a 、b均为整数，a ＞a ，
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴a －a ＝1， b－a －a ＝1，
1 2 1 2
∴a ＋a =b﹣1，
1 2
∴(a -a ) 2=a2-2a a +a2=1①，(a +a ) 2=a2+2a a +a2=(b-1) 2 ②，
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
1+(b-1) 2
①+②得：a2+a2= ，
1 2 2
∴y=k +k
1 2
=a b +a b
1 1 2 2
=a (b-a )+a (b-a )
1 1 2 2
=a b-a2+a b-a2
1 1 2 2
=b(a +a )-(a2+a2)
1 2 1 2
1+(b-1) 2
=b(b-1)-
2
1
= b2-1．
2
【点睛】此题考查了因式分解的应用、完全平方公式、新定义“协和数”，解题的关键是找出abc＝11
（9a＋b）,a －a ＝1，a ＋a =b﹣1．
1 2 1 2
【变式18-2】（2024·广东·广州六中八年级期末）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那
么称这个数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记A(m)=ab．例如：29=22+52，29就
是一个“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A(45)的值；若不是，请说明理由；
k-9
(2)若k是一个不超过50的“平方和数”，且A(k)= ，求k的值；
2
(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是
“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．
【答案】(1)45是“平方和数”， A(45)=18(2)k的值为：17或29或45
(3)证明见解析
【分析】（1）把45写成两个正整数的平方和，再根据A(m)=ab求出A(45)即可；
k-9
（2）设k=a2+b2，则A(k)=ab，根据A(k)= ，得a、b的方程，求得a与b得关系式，进而由a、
2
b、k满足的条件求得k的值便可；
（3）根据题意设m=a2+b2，n=c2+d2，即可表达出mn的式子，根据完全平方公式对mn的式子进行变
换即可证明．
【详解】（1）45是“平方和数”，
∵45=32+62，
∴A(45)=3×6=18；
（2）设k=a2+b2，则A(k)=ab，
k-9
∵A(k)= ，
2
a2+b2-9
∴ab=
2
2ab=a2+b2-9
a2-2ab+b2=9
(a-b) 2=9
∴a-b=±3，即a=b+3或b=a+3，
∵a、b为正整数且k是一个不超过50的“平方和数”，
∴当a=1，b=4或a=4，b=1时，k=17，
当a=2，b=5或a=5，b=2时，k=29，
当a=3，b=6或a=6，b=3时，k=45，
当a=4，b=7或a=7，b=4时，k=65（不合题意，舍去），
综上所述，k的值为：17或29或45；
（3）设m=a2+b2，n=c2+d2，
∴mn=(a2+b2)(c2+d2)
=(ac) 2+(ad) 2+(bc) 2+(bd) 2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2+a2d2-2abcd
=(ac+bd) 2+(ad-bc) 2
∵(ac+bd)，(ad-bc)均为整数，
∴mn也是“广义平方和数”．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式和新定义运算，解决本题的关键是根据新定义列出相关的式
子．
【变式18-3】（2024·福建省永春第一中学八年级期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图
1．
(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算：(a+2b)(a+b)= ；
(2)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方
形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(3)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量
关系为 ；
(4)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定
不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S ，S ，若
1 2
S -S =3b2 ，则a与b有什么关系？请说明理由．
1 2
【答案】(1)a2+3ab+2b2
(2)4，a+2b
(3)(a+b) 2-4ab=(a-b) 2
(4)a=4b，理由见解析
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则解题；（2）利用完全平方公式解题；
（3）由图可知D型卡片的面积为(a-b)，是一个边长为(a+b)的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，
即(a+b) 2-4ab，据此得到等量关系；
（4）根据图形列等量关系S =(a-b)(x-a+b)=ax-bx-a2+2ab-b2，
1
S =3b(x-2a+b)=3bx-6ab+3b2 ，再结合S -S =3b2 计算解题即可．
2 1 2
【详解】（1）解： (a+2b)(a+b)=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
故答案为：a2+3ab+2b2；
（2）取1张A型卡片，4张C型卡片，面积之和为：a2+4ab，
由完全平方公式的几何背景可知，一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，即
a2+4ab+4b2=(a+2b) 2，故应取4张B型卡片能拼成一个新的正方形，此正方形的边长为：a+2b，
故答案为：4，a+2b；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，由图可知，D型卡片是一个边长为(a-b)的正方形，也
可以是一个边长为(a+b)的正方形，减去4张C型卡片的面积，即(a+b) 2-4ab， 即得到等量关系：
(a+b) 2-4ab=(a-b) 2，
故答案为：(a+b) 2-4ab=(a-b) 2；
（4）设MN的长度为x，
S =(a-b)(x-a+b)=ax-bx-a2+2ab-b2
1
S =3b(x-a)=3bx-3ab
2
∵S -S =3b2
1 2
∴ (ax-bx-a2+2ab-b2)-(3bx-3ab)=3b2
∴(a-4b)x-a2+5ab-b2=3b2
∴a-4b=0,-a2+5ab-b2=3b2∴a=4b,a2-5ab+4b2=0
(a-b)(a-4b)=0
∴a=4b或a=b（舍去）
∴a=4b．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，完全平方公式与图形面积，多项式乘法的应用，因式分解的
应用，数形结合是解题的关键．
