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2022—2023 学年九年级上学期第四单元（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的格线一一判断即可．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一
定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；
故选：B．
2．（4分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．8 C．5 D．3
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设 O的半径为R，
∵⊙AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴ O的半径为5，
故⊙选：C．
3．（4分）如图，已知 AB是 O的直径，C、D两点在 O上，∠ACD＝35°，则∠BOD 的度数是
（ ） ⊙ ⊙
A．105° B．110° C．115° D．120°
【分析】首先利用圆周角与圆心角的关系求出∠AOD，然后利用邻补角的性质即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠ACD与∠AOD都对着 ，
∴∠AOD＝∠ACD，
而∠ACD＝35°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
⌒ ⌒
4．（4分）如图，点A、B、C、D、E都是 O上的点，AC＝AE，∠D＝130°，则∠B的度数为（ ）
⊙A．130° B．128° C．115° D．116°
【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据等腰三角形的性质求出∠AEC，再
根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是 O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，⊙
∵∠D＝130°，
∴∠CAE＝180°﹣130°＝50°，
∵ ＝ ，
∴∠ACE＝∠AEC＝ ×（180°﹣50°）＝65°，
∵点A、B、C、E都是 O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，⊙
∴∠B＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
5．（4分）如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是
（ ） ⊙
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【分析】先根据切线长定理求出AP，进而求出BP，再根据切线长定理解答即可．
【解答】解：∵AP、AC是 O的切线，
⊙∴AP＝AC＝3，
∵AB＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，
∵BP、BD是 O的切线，
∴BD＝BP＝1⊙，
故选：D．
6．（4分）如图， O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是 O上任意一点（P与A，
B，C，D不重合⊙），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN⊙的中点，在点P运动的过
程中，OQ的长度为（ ）
A．先变小后变大 B．变小
C．不能确定 D．不变
【分析】连接OP，OQ，根据矩形的判定得出四边形PMON是矩形，根据矩形的性质得出MN＝OP，
根据直角三角形斜边上的中线性质得出OQ＝ MN＝ OP即可得出答案．
【解答】解：连接OP，OQ，
∵AB⊥CD，PM⊥OA，PN⊥OD，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP，
∵∠MON＝90°，Q为MN中点，∴OQ＝ MN＝ OP，
∵OP是半径为定值，
∴OQ的长不变．
故选：D．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若
BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是（ ） ⊙
A．60 B．13 C．13 D．30
【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出
答案．
【解答】解：∵ O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊙⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10，
∴AB＝AF+BF＝13，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
故（x+3）2+（x+10）2＝132，
解得：x ＝2，x ＝﹣15（舍去），
1 2
∴BC＝5，AC＝12，
∴S△ABC ＝ ×5×12＝30，
故选：D．
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C
为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的
面积为（ ）A． ﹣1 B． ﹣3 C． ﹣2 D．4﹣
【分π析】连接BD，根据在π同圆或等圆中，相等的π圆心角所对的弧，所对的π弦分别相等，利用面积割补
法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
【解答】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，
∴ ＝ ，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影 ＝S扇形CBD ﹣S△CBD ＝ ﹣ ＝ ﹣2．
π
故选：C．
9．（4分）长为60cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点C、D，已知AC＝CD＝DB，当固
定点为D的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，则点B移动的路径长为（ ）
A．40 cm B．10 cm C．20 cm D．30 cm
【分析】根据弧长公式进行计π算便可． π π
【解答】解：点B移动的路径长为： （cm），故选：C．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上， D经过A，
B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ） ⊙
A．（ ，1） B．（﹣ ，1） C．（﹣1， ） D．（﹣2，2 ）
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为 D的直径，则D
⊙
点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝ ，所以A（
，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为 D的直径，
∴D点为⊙AB的中点，
在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，
∴OB＝ AB＝2，
∴OA＝ OB＝
∴A（ ，0），B（0，2），
∴D点坐标为（ ，1）．
故选：B．
11．（4分）如图，将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，
圆柱的底面半径是（ ）A． B． C．1cm D．2 cm
【分析】易得扇形的弧长，除以2 也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求
得圆锥的高，利用相似可求得圆柱π的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时
自变量的取值即可．
【解答】解：扇形的弧长＝4 cm，
∴圆锥的底面半径＝4 ÷2 ＝π2（cm），
π π
∴圆锥的高为 ＝2 （cm）．
设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．
由题意得 ＝ ，
解得：R＝2 ﹣ r，
∴圆柱的侧面积＝2 ×r×（2 ﹣ r）＝﹣2 r2+4 r（cm2），
π π π
∴当r＝ ＝1cm时，圆柱的侧面积有最大值．
故选：C．
12．（4分）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为 O上的动点，
连接AP，取AP中点Q⊙，连接CQ，则线段⊙CQ的最大值为（ ） ⊙A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的 K，连接
CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题； ⊙
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的 K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值⊙最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝ OC＝1，CH＝ ，
在Rt△CKH中，CK＝ ＝ ，
∴CQ的最大值为1+ ，
故选：D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应
的位置上）
13．（4分）在半径为r的圆中，长度为 的弦所对的圆周角的度数是 ．
【分析】先利用垂径定理得出 AD＝ AB＝ r，再解直角三角形可得∠AOD＝45°，再得∠AOB＝
90°，根据原圆周角定理求出圆周角即可．
【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，则由垂径定理知，点D是AB的中点，
∴AD＝ AB＝ r，
∴sin∠AOD＝ ＝ ＝ ，
∴∠AOD＝45°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝90°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝45°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACB+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝135°，
故答案为：45°或135°．
14．（4分）如图，在 O中，弦AB＝9，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交 O于点
D，则CD的最大值为⊙ ． ⊙
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OC最短，CD的值最
大，再根据垂径定理求出CB（或CA）即可．
【解答】解：连接OD，∵OD为 O的半径，OC⊥CD，
⊙
∴CD＝ ，
∵OD为半径是定值，
∴要使CD最大，OC必须最小，
∵C是弦AB上一点，
∴当OC⊥AB时，OC最短（垂线段最短），
即此时D与B（或A）重合，
即CD的最大值是 AB＝ 9＝ ，
故答案为： ．
15．（4分）如图，已知 O的半径是4，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD
的度数为36°，动点P⊙在AB上，则PC+PD的最小值为 ．
【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为
所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D．
【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点F，连接CF，与AB交于点P，连接DP．
∴DP＝FP，
∴FP+PC＝DP+CP，
∴CF的值就是PC+PD的最小值．
延长CO，与圆O交于点E，连接FE．
∵弧AC的度数为96°，
∴弧BC的度数为84°，
∵弧BD的度数为36°，
∴弧BF的度数为36°，
∴弧CF的度数为：84°+36°＝120°，
∴∠CEF＝60°，
又∵CE是直径，∴∠CFE＝90°，
∵ O的半径为4，
∴⊙CE＝8，
在Rt△CEF中，CF＝sin60°•CE＝ ×8＝4 ，
即CP+DP的最小值为4 ．
故答案是：4 ．
16．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，
P 是△ABC 的外接圆．点 D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC＝90°，则点 D 的坐标是
⊙．
【分析】分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函
数的对称性可找出抛物线的对称轴；设点 D的坐标为（1，n），当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求
出n值，进而可得出结论．
【解答】解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴点B的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（3，0）．
当x＝0时，y＝﹣（0+1）×（0﹣3）＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵抛物线与x轴交于点B（﹣1，0）、A（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设点D的坐标为（1，n），
∵∠BDC＝90°，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴[（﹣1﹣1）2+（0﹣n）2]+[（0﹣1）2+（3﹣n）2]＝10，
整理，得：n2﹣3n+2＝0．
解得：n ＝1，n ＝2．
1 2
∴点D的坐标是（1，1）或（1，2），
故答案为：（1，1）或（1，2）．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解
答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）如图，AB是 O的直径，CD是弦．
（1）若∠BCD＝32°，⊙求∠ABD的度数．
（2）若∠BCD＝30°， O的半径r＝4，求BD的长．
⊙
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝32°，
然后利用互余求∠ABD的度数．
（2）根据圆周角定理和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∵∠BAD＝∠BCD＝32°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣32°＝58°；
（2）∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90⊙°，
∵∠BAD＝∠BCD＝30°，r＝4，
∴BD＝ AB＝4．
18．（8分）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，
CD∥AB，AB＝10米，OE⊥CD于点E，此时测得OE：CD＝3：8．
（1）求CD的长；
（2）如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚
被灌满？【分析】（1）设OE＝3x米，则DE＝4x米，由勾股定理求得DE的长，即可得出结论；
（2）延长OE交圆O于点F，求得EF的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直径AB＝10米，
∴OD＝OB＝ AB＝5（米），
∵OE⊥CD，
∴DE＝ CD，
∵OE：CD＝3：8，
∴OE：DE＝3：4，
设OE＝3x米，则DE＝4x米，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝1（负值已舍去），
∴DE＝4米，
∴CD＝2DE＝8（米）；
（2）由（1）得：OE＝3米，
如图，延长OE交圆O于点F，
∴EF＝OF﹣OE＝5﹣3＝2（米），
∴2÷0.4＝5小时），
答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满．
19．（10分）如图，AB是 O的直径，点C是AB上一点，AC＞BC，AC的垂直平分线交 O于点E，交
AC于点D，过点A作 O⊙的切线交CE的延长线于点F． ⊙
（1）求证：EA＝EF；⊙
（2）若OD＝1，OC＝2，求AF的长．
【分析】（1）由切线的性质得出∠CAF＝90°，则∠CAE+∠EAF＝90°，
∠ACF+∠F＝90°，由垂直平分线的性质得出EA＝CE，证出∠F＝∠EAF，则可得出结论；
（2）连接OE，由勾股定理求出DE的长，由三角形中位线定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AF是 O的切线，AB是 O的直径，
∴AF⊥AB， ⊙ ⊙
∴∠CAF＝90°，∴∠CAE+∠EAF＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∵ED垂直平分AC，
∴EA＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠F＝∠EAF，
∴EA＝EF；
（2）解：连接OE，
∵OD＝1，OC＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵ED垂直平分AC，
∴AD＝DC，
∴OA＝OE＝OD+AD＝1+3＝4，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
∵AE＝EF，AE＝CE，
∴EF＝CE，
又∵AD＝CD，
∴DE为△ACF的中位线，
∴DE＝ ，
∴AF＝2DE＝2 ．
⌒
20．（10分）如图，正方形ABCD内接于 O，P为BC上的一点，连接DP，CP．
⊙
（1）求∠CPD的度数；
⌒
（2）当点P为BC的中点时，CP是 O的内接正n边形的一边，求n的值．
⊙【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于 O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的⊙度数，进而得出答案．
【解答】解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于 O，
∴∠DOC＝90°． ⊙
∴ ；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于 O，
∴∠COB＝90°， ⊙
∵点P为BC的中点，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴n＝360÷45＝8．
21．（12分）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴 ；
⌒
（2）在扇形AOB的内部， O 与OA，OB都相切，且与AB只有一个交点C，此时我们称 O 为扇形
1 1
AOB的内切圆，试求 O 的⊙面积S ． ⊙
1 1
⊙
【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设 O 与OA相切于点E，连接O O，O E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行
1 1 1
⊙计算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝ ＝ ，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB ＝ ，
∴阴影部分的面积S阴 ＝ ﹣ ．
（2）设 O 与OA相切于点E，连接O O，O E，
1 1 1
∵相切两⊙圆的连心线必过切点，
∴O、O 、C三点共线，
1
∴∠EOO ＝ ∠AOB＝30°，∠OEO ＝90°，
1 1
在Rt△OO E中，
1
∵∠EOO ＝30°，
1
∴OO ＝2O E，
1 1
∴O E＝1，
1
∴ O 的半径O E＝1．
1 1
∴⊙S
1
＝ r2＝ ．
22．（12π分）如π图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线
l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩
形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
【分析】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设BC与 O交于点M，
⊙
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝ EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴ ＝ ＝ ，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为 ；
（2）连接GO，HO，∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t ＝8，t ＝9，
1 2
即t的值为8或9．
23．（12分）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，2），点P是△AOB外接圆上
一点，且∠AOP＝45°，OP与AB交于C点．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求OC及AC的长；
（3）求OP的长及点P的坐标．【分析】（1）根据A（2 ，0），B（0，2），可得OA＝2 ，OB＝2，进而可以解决问题；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，可得OC＝ OD，AC＝2CD＝2OD，然后根据AO＝OD+AD＝（
+1）OD＝2 ，求出OD的长，进而可以解决问题；
（3）作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，根据圆周角定理由∠AOB＝90°，得到AB为△AOB外接圆的直
径，则∠BPA＝90°，再利用勾股定理计算出AB＝4，根据圆周角定理由∠AOP＝45°得到∠PBA＝45°，
则可判断△PAB和△POH都为等腰直角三角形，所以PA＝ AB＝2 ，PH＝OH，设OH＝t，则PH
＝t，AH＝2 ﹣t，在Rt△PHA中，根据勾股定理得到OP的长和P点坐标．
【解答】解：（1）∵A（2 ，0），B（0，2），
∴OA＝2 ，OB＝2，
∴∠BAO＝30°；
（2）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠AOP＝45°，∴∠OCD＝45°，
∴DC＝DO，
∴OC＝ OD，
由（1）知：∠BAO＝30°，
∴AC＝2CD＝2OD，AD＝ CD＝ OD，
∵AO＝OD+AD＝（ +1）OD＝2 ，
∴OD＝3﹣ ，
∴OC＝ （3﹣ ）＝3 ﹣ ，AC＝2（3﹣ ）＝6﹣2 ；
∴OC及AC的长分别为3 ﹣ ，6﹣2 ；
（3）作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，如图，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，
∴∠BPA＝90°，
∵A（2 ，0），B（0，2），
∴OA＝2 ，OB＝2，
∴AB＝ ＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴∠PBA＝45°，
∴△PAB和△POH都为等腰直角三角形，∴PA＝ AB＝2 ，PH＝OH，
设OH＝t，则PH＝t，AH＝2 ﹣t，
在Rt△PHA中，
∵PH2+AH2＝PA2，
∴t2+（2 ﹣t）2＝（2 ）2，
整理得t2﹣2 t+2＝0，解得t ＝ +1，t ＝ ﹣1（舍去），
1 2
∴OH＝PH＝ +1，
∴OP＝ OH＝ + ；
∴P点坐标为（ +1， +1）．
24．（14分）如图1，抛物线y＝ +bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，
顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，
点Q为PD的中点．
①判断点C、D与 G的位置关系，并说明原因；
②当点P沿半圆从⊙点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）①求出G点坐标，圆G的半径为2，再判断点与圆的位置即可；
②连接DG并延长与圆交于点N，连接NP，由题意得到Q点在以M（1，﹣1）为圆心，半径为1的圆
上，连接AM与圆的交点即为线段AQ最小时Q点的位置，则AQ＝AM﹣1＝ ﹣1，即为线段AQ的最
小值．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ +bx+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ ﹣x﹣ ；
（2）①令x＝0，则y＝﹣ ，
∴C（0，﹣ ），
∵y＝ ﹣x﹣ ＝ （x﹣1）2﹣2，
∴D（1，﹣2），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴G（1，0），AB＝4，
∵CG＝ ，DG＝2，
∴C点在圆G的内部，D点在圆上；
②连接DG并延长与圆交于点N，连接NP，
∴∠NPD＝90°，
∵G是DN的中点，Q是DP的中点，
∴GQ∥NP，
∴∠GQD＝90°，
∴Q点在以M（1，﹣1）为圆心，半径为1的圆上，
∴AQ的最小值为AM﹣1，∵AQ＝ ﹣1，
∴线段AQ的最小值为 ﹣1．
