文档内容
【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（长沙专
用）
第四模拟
（本卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)2023的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断．
【详解】解：2023的相反数是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2．(本题3分)窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，
窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结
构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、即不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
3．(本题3分)我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”，一双没有洗过的手，带有各种
细菌约 万个，将数据 用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数．确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值
与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是
负数，确定 与 的值是解题的关键．
4．(本题3分)如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都变现在左视图中．
【详解】解：从左视图看，易得到一个长方形，长方形中有一条横行的虚线，
故选：D．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考
题型．
5．(本题3分)下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，二次根式的加法，同底数幂相除，二次根式的乘法，逐项判断
即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 和 不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，二次根式的加法，同底数幂相除，二次根式的乘法，
熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．(本题3分)下列四个命题中，假命题是（ ）A．有三个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．顺次连接等腰梯形各边中点，得到一个矩形
【答案】D
【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定等知识逐项判断即可．
【详解】解：A．有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故A选项不符合题意；
B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是真命题，故B选项不符合题意；
C．四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，故C选项不符合题意；
D．顺次连接等腰梯形各边中点，得到一个菱形，
如图所示，根据三角形中位线定理， , ,
是等腰梯形，
,
，
是菱形，
D选项是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，涉及的知识包括三角形中位线定理、矩形、正方形
以及菱形的判定等知识，掌握矩形、菱形的判定的相关知识是解答本题的关键．
7．(本题3分)若一元二次方程 的两个根分别为 ，则 的值等于（
）
A． B．4 C． D．12
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的两
个关系式 是解题的关键．8．(本题3分)如图，A，B，C，D为 上的点，且直线 与 夹角为 ．若 ，
， 的长分别为 ， 和 ，则 的半径是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】延长 ，与直线 交于E，连接 ，设弧长为 所对的圆周角为 ，根据题
意得出 ， ，利用三角形内角和定理求得 ，即可求得弧长为
所对的圆心角为 ，代入弧长公式即可求得 的半径．
【详解】解：延长 ，与直线 交于E，连接 ，
， ， 的长分别为 ， 和 ，
的长为 ， 的长为 ，
设弧长为 所对的圆周角为 ，则 ， ，
， ，
，
，
弧长为 所对的圆心角为 ，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，三角形内角和定理，求得弧长为 所对的圆心角是解题
的关键．
9．(本题3分)如图，周长为8的菱形 中， ，点Q为 边中点，点P为
对角线上一动点，沿 的路径行进，设 长度为x， ， 的长度之和为y，在点P的运动过程中y与x的函数图象如图2所示，设函数图象最低点的坐标为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由A、C关于 对称，推出 ，推出 ，推出当A、P、
Q共线时， 的值最小，再分别求出 的最小值， 的长即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，交 于 ，连接 ，
∵在菱形 中， ，点Q是 边的中点，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵A、C关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴当A、P、Q共线时， 的值最小，即 的长．
∵ ， ，
∴ ， ，
∵菱形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数的应用，解答本题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．(本题3分)如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点 ，与
y轴的交点B在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中含所有正确结
论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤
【答案】D
【分析】根据图象开口方向，对称轴，与y轴的交点即可得到a、b、c的符号，判断①对
错；根据函数图象的对称轴得到x轴的另一个交点为 ，进而得到 时， ，即
可判断②对错；根据交点坐标得到 ，进而得到 ，再利用对称轴得到
，从而求得 ，即可判断③对错；根据图象与y轴的交点，得到
，进而得到 ，；根据交点坐标得到 ，进而得到 ，
即可判断⑤对错．
【详解】解： 二次函数 的图象开口向上，
，
对称轴为直线 ，在y轴右侧，
、 异号，
图象与y轴的交点在y轴负半轴，
，
，①正确；
函数的图象与x轴交于点 ，对称轴为直线 ，
函数的图象与x轴的另一个交点为 ，由图象可知， 时， ，
，②错误；
函数的图象与x轴交于点 ，
，
，
对称轴为直线 ，
，
，
，
，
，③正确；
函数的图象与y轴的交点B在 和 之间（不包括这两点），
，
，
，
，④正确；
函数的图象与x轴交于点 ，
，
，
，⑤正确，
正确结论有①③④⑤，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函
数的性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质解题关键．
二、填空题(共18分)
11．(本题3分)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】 ##
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可．
【详解】解：由式子 在实数范围内有意义可得 ，
解得： ，
故答案为： ．【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义被开方数非负是解题关键．
12．(本题3分)因式分解： ___________．
【答案】
【分析】先将前三项利用完全平方公式进行因式分解，再整体利用完全平方公式因式分解
即可．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．(本题3分)已知关于x的方程 的解为正数，则k的取值范围为______．
【答案】 且
【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得
到结论．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵关于x的方程 的解为正数，
∴ ，
∴ 且 .
故答案为： 且 .
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程的解、解一元一次不等式组，解分式方程是解答
的关键，注意不能产生增根所以要使 ．
14．(本题3分)如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 ，
重合），则 的度数为______【答案】 ##36度
【分析】连接 ， ，求出 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵多边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形和圆，圆周角定理等知识．解题的关键是掌握中心角和圆周角
定理．
15．(本题3分)如图， 为直角三角形， ，点A为斜边 的中点，反比
例函数 图象经过A、C（点C在第一象限），点D在反比例函数
上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交 的图象于点B，过点C作x轴的垂线交
的图象于点E，连结 ， ，已知 的面积为16，若A，B两点关于原点成中心
对称，则 的值为___________， ___________．【答案】 8
【分析】设 ， ， 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，过点 作
于点 ，可得 ，求得 ，再证得 ，可得 ，求
得 ，再利用三角函数定义即可求得答案．
【详解】解：设 ， ， 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，过点 作
于点 ，如图，
， 两点关于原点中心对称，
，
轴，且点 在反比例函数 上，
，点 是 的中点，
点 的坐标为 ，
点 在反比例函数 图象上，
，
①，
， ，
，
，即 ，
②，
联立①②，得 ，
解得： ，
， ， ，
， ， ， ， ， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
；故答案为：8， ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，
解直角三角形等，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质建立方程求解．
16．(本题3分)“曲柄摇杆机构”是一种运动零件．图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它
由四条固定长度的线段组成，其中 是静止不动的机架， 是绕 做圆周运动的曲柄，
是绕 上下摆动的摇杆， 是连结 和 两个运动的连杆， ， ， ， 始终
在同一平面内．已知 ．当D运动到图2位置时，记 ， 的交点为 ，现
测得 ， ， ，则 ______；图2之后．D绕A继续运动，
当C再次回到图2位置时（如图3），则此时“曲柄摇杆”所用成的四边形 的面积
为______．
【答案】
【分析】延长 交 的延长线于 ，作 交 于 ，先解 ，求得
和 ，推出 是等腰三角形，设 ，在 中列出方程，求得 ，
再根据 列出比例式，求得 ；在 上截取 ，连接 （即还原
图2的 的位置），根据勾股定理求得 的长，进而求得 及 的面积，进
而求得四边形 的面积．
【详解】解：如图1，
延长 交 的延长线于 ，作 交 于 ，
， ，
， ，
，
，，
，
， ，
， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
，
，
，
如图2，
是 在图2的位置，
在 和 中，
，
，
， ， ，
，
，
，，
，
，
故答案是： ， ．
【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助
线，构造相似三角形及转化图形的面积．
三、解答题(共72分)
17．(本题6分)计算：
【答案】
【分析】本题依次按照幂的运算，余弦三角函数，负指数幂，非零数的零次幂运算求解即
可．
【详解】原式= ．
【点睛】本题考查幂运算以及三角函数的综合运算，其中负指数次幂需要取倒数转化为正
指数次幂运算，任何非零数的零次幂均为1．
18．(本题6分)先化简，再求值： ，其中 是方程 的解．
【答案】 ；
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，再根据 ，得出 ，然
后整体代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
，，
当 时， ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，准确计
算，注意整体代入思想．
19．(本题6分)如图，点 在线段 上， ， ， ， 平分
．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，可以得到 ，然后根据 即可证明 ；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可求得 的长， ，再根据三角
形的面积公式即可求得 的面积．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）由（1）得 ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∵ ， ，
∴ ，∴
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，找到证明
的条件是正确解答本题的关键．
20．(本题8分)为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地 ，培
育绿植销售，空地南北边界 ，西边界 ，经测量得到如下数据，点 在点
的北偏东 方向，在点 的北偏东 方向， 米，求空地南北边界 和
的长（结果保留整数，参考数据： ， ）．
【答案】 的长和 的长分别约为 米和 米．
【分析】根据题意作辅助线得到矩形 ，在直角三角形中利用正切得到 和 的长
度，再根据线段的和差关系即可得到 的长度．
【详解】解：过 作于 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ 米， ，
∴ （米），
∵ ，
∴在 中， ，
∵四边形 为矩形，
∴ 米，
∵ ，
∴ （米），
∴ （米），
答： 的长和 的长分别约为 米和 米．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．
21．(本题8分)某校举行初三年级全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字 个．
随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．
组别 正确字数x 人数
根据以上信息完成下列问题：
(1)本次调查的学生总数为______人；
(2)统计表中的 ______， ______；
(3)扇形统计图中“ 组”所对应的圆心角的度数是______；
(4)已知该校初三年级共有 名学生，如果听写正确的汉字的个数少于 个定为不合格，
请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数为______人．
【答案】(1)
(2) ，
(3)(4)估计该校本次听写比赛不合格的学生人数为 人
【分析】（1）根据 组人数以及百分比求出总人数，
（2）根据 、 的百分比求出人数即可；
（2）根据圆心角 ×百分比即可；
（3）利用样本估计总体，用 乘以不合格的人数的占比即可求解．
【详解】（1）解：总人数为 ，
故答案为： ．
（2） ，
故答案为： ， ．
（3）
所以扇形统计图中“ 组“所对应的圆心角的度数是 ．
故答案为：90°．
（4） （人），
答：估计该校本次听写比赛不合格的学生人数为 人．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本
题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．
22．(本题9分)为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，
某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌
足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促
销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买
A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几
种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
【答案】(1)50元，80元
(2)3种，方案1
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A
种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品
牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买 个A种品牌的足球，根据“此次学校购
买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出
共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买 个A种品牌的足球，
根据题意得： ，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为
（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为
（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为
（元）．
∵ ，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的
足球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
23．(本题9分)如图， 是 的直径， ，点F、C是 上两点，连接 、 、
，弦 平分 ， ，过点C作 交 的延长线于点D，垂足
为D．(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）由角平分线的性质及圆周角定理可证 即 ，结合
可证明结论；
（2）连接 、 ，由（1）易证 是菱形，结合菱形的性质可求得 与 ,
最后由“ 角所对的直角边等于斜边的一半”可求解．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
∵C在圆上，
∴ 是 的切线；
（2）连接 、 ，
由（1）可知，
， ， ，
是 的直径， ，
∴ ，
，
是平行四边形，
，是菱形，
， ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，切线的证明，菱
形的判定和性质，以及 角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是由圆周角定理
得到角相等从而证明直线平行，以及菱形的证明．
24．(本题10分)如图1，拋物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴
交于点C．
(1)求该拋物线的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y
轴上，当 时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或 或 ；
(3) 或【分析】（1）将点代入，利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线解析式确定点 ，设点 ，分三种情况：当 为对角线时，
另一条对角线为 ；当 为对角线时，另一条对角线为 ；当 为对角线时，另一
条对角线为 ；利用平行四边形的性质求解即可；
（3）根据题意确定点 ，设 ，过点A作 于点H，过点H作
轴，过点A作 于点T，过点D作 于点K，分两种情况分析：当点
M在 上方时，当点M在 下方时，分别利用全等三角形的判定和性质及一次函数解
析式的确定求解即可．
【详解】（1）解：将点 ， 代入抛物线解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）存在，理由如下：
∵ ，
当 时， ，
∴点 ，
设点 ，
当 为对角线时，另一条对角线为 ，
∴ ，
解得： ，
∴此时点 ；
当 为对角线时，另一条对角线为 ，∴ 解得： ，
∴此时点 ；
当 为对角线时，另一条对角线为 ，
∴ ，解得： ，
∴此时点 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ；
（3） ，
当 时， ，
∴ ，
设 ，过点A作 于点H，过点H作 轴，过点A作 于点T，
过点D作 于点K，
当点M在 上方时，如图所示：
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
令 得 ，
∴ ；
当点M在 下方时，如图所示：
同理可得 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
此时点M与点H重合，即点 ，
综上可得：M的坐标为 或 ．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，利用待定系数法确定函数解析式，平行四边
形的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理
解题意，综合运用这些知识点，作出辅助线是解题关键．25．(本题10分)如图 ，已知 的角平分线 经过圆心 交 于点 、 ， 是
的切线， 为切点．
(1)求证： 也是 的切线；
(2)如图 ，在（1）的前提下，设切线 与 的切点为 ，连接 交 于点 ；连
接 交 于点 ，连接 ， ；记 为 ．
①若 ， ，求线段 的长；
②小华探究图 之后发现： （ 为正整数），请你猜想 的数值？并证
明你的结论．
【答案】(1)详见解析
(2)①4；②4
【分析】（1）过点 作 ，垂足为 ，连接 ，根据切线的性质可得出 是
的半径且 ，由 平分 利用角平分线的性质可得出 ，进而可
证出 也是 的切线．
（2）①由 、 都是 的切线可得出 ，利用等腰三角形的三线合一可得出
、 ，由三角形中位线的性质可得出 ，设 的半径为 ，则
， ，在 中，利用勾股定理可求出 的值，将其代入
中即可求出 的长度；②利用相似三角形的性质可得出 ，结合
可证出 ，即 ．
【详解】（1）证明：在图1中，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．是 的切线， 为切点，
∵ 是 的半径，且 ，
∴ 平分
∵
∴ 也是 的切线；
∴（2）① 、 都是 的切线
∵
∴
、 ，
∵
∴ 为 的中位线，
∵
∴
设 的半径为 ，则
∵
∴
在 中， ,即
解得： （负根舍去）
∴
②猜想 ．
证明： 、
∵ ，
∴
，即
∴
又
∵∴
∴
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、
三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的三
线合一找出 ；（2）①在 中，利用勾股定理求出圆的半径；②利用相似三
角形的性质证出 ．
