第二十四章圆（压轴题专练）（学生版）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十三章 旋转（压轴题专练） 一、填空题 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A是 上一定点，点B是 上一动点、连接 、 、 ，分别将线段 、 绕点A顺时针旋转 到 、 ，连接 、 、 、 ，下列结论： ①点 在 上；② ；③ ；④当 时， 与 相切．正确的 有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2023春·重庆开州·八年级统考期末）如图，以直角三角形 的斜边 为边在三角形 的同侧 作正方形 ，正方形的对角线 ， 相交于点 ，连接 ，如果 ， ，则正方形 的面积为（ ） A．20 B．22 C．24 D．26 3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图， 的半径是5，点A是圆周上一定点，点B 在 上运动，且 ， ，垂足为点C，连接 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D． 4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形 中， ，点 为边 上一个动点，连接 ，点 为 上一点，且 ，在 上截取点 使 ，交 于点 ，连接 ，则 的 最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，在平面直角坐标系中， ， ，点C在x轴正半轴上，点 D在y轴正半轴上，且 ，以 为直径的第一象限作半圆，交线段 于点E、F，则线段 的最大 值为（ ） A． B． C． D． 6．（2023·湖北武汉·统考二模）如图， 内切于正方形 ，边 、 分别与 切于点 、 ，点 、 分别在线段 、 上，且 与 相切．若 的面积为6，则 的半径为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由 24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合 拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正 二十四边形顶点 ，正八边形顶点 与圆心O共线，正二十四边形顶点 ， 与正八边形顶点 ， 共线，则 的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点 ， ，…， 逆时针同速旋转．圆心O绕 旋转后的对应点为 ，以此类推，当 落在 上时，若 米，则 的值为 米．8．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别 作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．动点M 在线段 上，动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的 坐标为9．（2023·上海·统考中考真题）在 中 ，点D在边 上，点E在 延长线 上，且 ，如果 过点A， 过点D，若 与 有公共点，那么 半径r的取值范围是 ． 10．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图， 为 的直径，且 ，点C在半圆上， ，垂足为点O，P是 上任意一点，过P点作 于点E，M是 的内心，连接 ，当点P在弧 上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长 ． 11．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形 中， ， ．动点E在 边上，以点E 为圆心，以 为半径作弧，点G是弧上一动点． （1）如图①，若点E与点A重合，且点F在 上，当 与弧相切于点G时，则 的值是 ； （2）如图②，若 连结 ， ，分别取 、 的中点P、Q，连接 ，M为 的中点，则 CM的最小值为 ．12．（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）如图，矩形 ，E为 中 点， F为直线 上动点，点B、G关于 对称，连接 ，点P为平面上的动点， ， 则 的最小值是 ． 三、解答题 13．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究 问题情境：如图，已知 为 的直径，点C为 上异于A，B的一点，过点C作 的切线 ，过 点A作 于点D，连接 ． (1)探究发现：证明：无论点C在何处，将 沿 折叠，点D一定落在直径 上； (2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若 是等腰三角形且对称轴经过点D，此时， 与 存在数量关系，请写出结论并证明； (3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当 为正三角形时， 与 存在的数量关 系是： ______ ． 14．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形 中， ，求证：A、 B、C、D四点共圆．小吉同学的作法如下：连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形 中， ，点 是边 的中点，点 是边 上的一个动点， 连结 ， ，作 于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形 对角线 上时，线段 的长度为 ； （2）如图③，过点P分别作 于点 ， 于点 ，连结 ，则 的最小值为 ． 15．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）如图1，等圆 与 相交于C，M两点， 经过 的 圆心 ，直线 交 于点A，交 于点B，连接 ． (1)求证： 为 的切线； 为 的切线； (2)连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由； (3)如图2，当点H为线段 上的点，点E为 延长线上的点，直线 交 于点D，直线 交 于点F．若 ，探求 是否为定值； (4)如图3，当H为 延长线上的点，E为线段 上的点，其它条件不变，则（3）中的结论是否仍然成 立？请说明理由． 要求帮小明完成探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在 中，C是劣弧 的中点，直线 于 点E，则 ．请证明此结论； (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2， ， 组成 的一条 折弦．C是劣弧 的中点，直线 于点E，则 ．可以通过延长 、 相交于点 F，再连接 证明结论成立．请写出证明过程； (3)如图3， ， 组成 的一条折弦．C是优弧 的中点，直线 于点E，则 ， 与 之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明． 17．（2023·河北廊坊·校考三模）在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 边以 的速度向点 移动（点 可以与点 重合），同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移 动（点 可以与点 重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为 秒． (1)如图1，几秒后， 的长度等于 ? (2)如图1，几秒后， 的面积等于四边形 面积的 ? (3)若以 为圆心， 为半径作 ．如图2，若 与四边形 的边有三个公共点，则 的取值范围 为_____．（直接写出结果，不需说明理由） 18．（2023·广东深圳·校考二模）【定义】在平面内的三个点 ， ， ，满足 ．若 ， 则将点 称为 ， 的三倍直角点：若 ，则将点 称为 ， 的三倍锐角点．(1)如图1，已知 中， ， ，若点 是 ， 的三倍直角点，则 的长度为 ___________；若点 是点 ， 的三倍锐角点，则 的长度为___________； (2)如图2，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，点 是直线 上的一点，点 的坐标 为( ， )，点 的坐标为( ， )，以 为圆心 长为半径作 ，点 在 上． ①若点 是 ， 的三倍锐角点，求点 的坐标 ②若点 是 ， 的三倍直角点，直接写出点 的坐标． 19．（2023·河北张家口·统考三模）如图，在 中， ，延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ．以点 为圆心，分别以 为半径作大小两个半圆，连接 ． (1)求证： ； (2)设小半圆与 相交于点 ． ①当 取得最大值时，求其最大值以及 的长； ②当 恰好与小半圆相切时，直接写出弧 的长． 20．（2023·河北唐山·统考二模）如图，菱形 中， ， ．点P为射线 上一动点， 在射线 上取一点E，连接 ，使 ．作 的外接圆，设圆心为O．(1)当圆心O在 上时， ______； (2)当点E在边 上时， ①判断 与 的位置关系，并证明： ②当 为何值时， 有最大值？并求出最大值； (3)如图，连接 ，若 ，直接写出 值；将优弧 沿PE翻折交射线 于点Q，直接写出弧 的长． 21．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 内接于 ，连接 ， ． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，点 在 上，连接 ，点 是 上一点，连接 ，若 ，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，连接 ，若 ， ， ， 求 的长． 22．（2023·陕西宝鸡·统考一模）问题提出：（1）如图1所示，已知A为 上一点，P为 外一点，若 ， 的半径为2，则 的最小值为 _________； 问题探究： （2）如图2所示，P为等边三角形 内一点，若 ，求 的最小值； 问题解决： （3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B 两座城市 ．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形 公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的 效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的 距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值． 23．（2023·云南昆明·统考二模）矩形 中， ，点O是边BC上的一个动点（不与点B 重合），连接 ，将 沿 折叠，得到 ，再以O为圆心， 长为半径作半圆，交射线 于G，连接 并处长交射线 于F，连接 ，设 ． (1)求证： 是半圆O的切线； (2)当点E落在 上时，求x的值； (3)当半圆O与 的边有两个交点时，求x的取值范围． 24．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）定义：如图1， 是 的直径，若弦 ，则称 弦 为 的纬线．CD O AC BD (1)如图1，弦 是 的纬线，求证： ； CD EF O CD∥EF CD6 EF 8 (2)弦 和弦 都是半径为5的 的纬线， ， ， ，求这两条纬线之间的距离； MN PQ AB OM ON OP OQ PM QN O (3)如图2，弦 和弦 是直径 两侧的纬线，连接 、 、 、 、 、 ， 的半径为 r ，记四边形 MPQN ， OMN ， △OPQ 的面积依次为 S ， S 1， S 2，若同时满足下列两个条件时，求 S 的最 大值（用含r的式子表示）． 1 ①S S  S ；②其中的一条纬线长不超过半径 ． 1 2 2 r 25．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形ABCD中，边长为2.点E是线段BC上 的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF ，AEF 90，其中EF交CD于点P， AF 交CD于点Q，连接CF． 1 (1)如图 ，①若BE 时，求线段 的长； 1 2 CF ②当点E在线段BC上运动时，求证：QEF FEC． 2 B BG AE EQ G D DH CF H HG (2)如图 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 所在的直线于点 ，求 的最小值． xOy O BC 26．（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系 中， 的半径为2．对于直线l和线段 ，给出如BC O B'C' B' C' 下定义：若将线段 关于直线l对称，可以得到 的弦 ( ， 分别是B，C的对应点)，则称线段 BC是以直线l为轴的O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线l为轴的O的“关联线段”． B C B C B C (1)如图2，点 1， 1， 2， 2， 3， 3的横、纵坐标都是整数． BC BC BC l yx4 O ① 在线段 1 1， 2 2， 3 3中，以直线 1： 为轴的 的“关联线段”是 ； BC BC BC l yxb O ② 在线段 1 1， 2 2， 3 3中，存在以直线 2： 为轴的 的“关联线段”，求b的值； (2)已知直线 l 3： y 3xmm>0 交x轴于点A．在ABC 中， AB6 ， BC 2 ，若线段 BC 是以直线 l 3 为轴的O的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的AC的长． xOy 27．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系 中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点 a,b ab,ab 变换为点 ，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图 形． 3,0 (1)①点 的变换点的坐标为______； ②直线yx1的变换图形上任意一点的横坐标为______； y2x1 (2)求直线 的变换图形与y轴公共点的坐标； O ykx2kk 0 (3)已知⊙O的半径为1，若 的变换图形与直线 有公共点，直接写出k的取值范围．xOy Pm,n ymxn 28．（2023·江苏盐城·校考三模）在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们称直线 为点 P3,2 y3x2 P的友好直线．例如，点 的友好直线为 ． 4  A ,4 (1)已知点 3 ， ①则点A的友好直线为______； ②若O与点A的友好直线相切，求O的半径； C0,1 D x M CD (2)已知点 ，点 是 轴上任意一点（原点除外），点 为直线 上的动点． 1,0 D O M ①当点 坐标是 时，求点 到点 的友好直线的距离的最大值； Q1,0 Q D M Q E、F ②以 为圆心，3为半径作 ．在点 运动过程中，当点 的友好直线与 交于 两点时， EF的最小值为4，请直接写出点D的坐标． 29．（2023春·江西赣州·八年级瑞金第一中学校联考期末）如图1，在矩形ABCD中，AD12，AB8， 点E在射线AB上运动，将△AED沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F． (1)【初步探究】当点G落在BC边上时，求BG的长； (2)【深入探究】在点E的运动过程中，BG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请 说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，点P为BG的中点，连接AP，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值． 30．（2023·山东临沂·统考一模）如图1，在ABC中，A60，AB AC 3，点D，E分别在边AB， 0360 AC 上，且 AD AE1 ，连接 DE ．现将VADE 绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 ，如图 2，连接CE，BD，CD．(1)当0180时，求证：CEBD； (2)如图3，当60时，延长CE交BD于点F，求BFC的度数； (3)在旋转过程中，探究BCE的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角α的度数和面积最小值， 若不存在，请说明理由． 31．（2023·全国·九年级专题练习）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容． 先观察下图，直线l ∥l，点A，B在直线l 上，点C ，C ，C ，C 在直线l 上．△ABC，△ABC， 1 2 2 1 2 3 4 1 1 2 △ABC，△ABC 这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。 3 4 【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的O中，BD＝CD，ACO＝2BDO，cosBOC＝x，用含x的代数式 S 表示 ABC；【拓展提高】如图3，AB是O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD AB于点P，点F是O上 的点，且满足 CF＝CB ，连接BF交 CD 于点E，若 BF＝8EP ， S CEF 10 2 ，求 O 的半径． 32．（2023·河南开封·一模）刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠． 如图，将矩形纸片ABCD折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为EF，在AD边 P CP PCD △PCQ D Q 上找一点 ，沿 将 折叠，得到 ，点 的对应点为点 ． Q EF CD1 BQ (1)问题提出：若点 落在 上， ，连接 ． △CQB ① 是______三角形；△CQB AD ②若 是等边三角形，则 的长为______． AD 2 △CQB (2)深入探究：在（1）的条件下，当 时，判断 的形状并证明； AB5 AD6 Q ABFE ( ) AQ (3)拓展延伸：若 ， ，其他条件不变，当点 落在矩形 内部 包括边 时，连接 ， 直接写出AQ的取值范围． 33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）AB为O的直径，C为圆上一点，CD AB， 垂足为D，点E为圆上一点，连接AC，BC，且EC  AC． (1)如图，求证：ACE2BCD； (2)如图，连接AE，求证：AE2CD； (3)如图，在（2）的条件下，连接CO并延长CO交AE于点F ，连接DF交CE于点G，若DG1， CD2 5 FG ，求 的长．ABCD AQ 34．（2023·江苏·模拟预测）【问题思考】如图1，点E是正方形 内的一点，过点E的直线 ，以 DE DEFG GC GC AQ AE GC 为边向右侧作正方形 ，连接 ，直线 与直线 交于点P，则线段 与 之间的关系为 ______． 【问题类比】 如图2，当点E是正方形ABCD外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论； 若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 如图3，点E是边长为6的正方形ABCD所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到 边AD的最大距离为______（直接写出结果）． 35．（2023·陕西铜川·统考三模）（1）如图1，A的半径为1，AB2.5，点P为A上任意一点，则 BP的最小值为 ； ABCD AB AE,BE EF  AB △BEF （2）如图2，已知矩形 ，点E为 上方一点，连接 ，作 于点F，点P是 的 内心，求BPE的度数； AP,CP AB6 BC 4 BEBA CP （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若矩形的边长 ， ， ，求此时 的 最小值．36．（2023·全国·九年级专题练习）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出 结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将BCE沿BE翻折，点C的对应点F恰好 落在边AD上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该 圆上； ABCD O ABC ADC ABBC 5 2 CD6 (2)如图2，四边形 是 的内接四边形， ， ， ，求四边形 ABCD的面积． (3)【问题解决】如图3，四边形ABCD是某公园的一块空地，现计划在空地中修建AC与BD两条小路， （小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中△ ADP与BCP空地中种植草 坪，ABP与△CDP空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知 ABCD，BD150m，AC 100m，BACBDC 180，且点C到BD的距离是40m，求种植牡丹花的 地块△CDP的面积比种植郁金香的地块ABP的面积多多少m2？ 37．（2023·广西柳州·校考一模）如图1，在Rt△ABC中，ABC 90，以线段BC为直径作O交AC于 点D，E为AB中点，连接ED，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．(1)求证：直线ED是O的切线； (2)判断CDF的形状，并说明理由； OF O BP AC AQ AB6 PQ (3)如图2，连接 交 于点P，连接 交 于点Q，若D为 中点， ，求 的长． 38．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，ABCD是正方形，BC是O的直径，点E是O上的一 动点（点E不与点B，C重合），连接DE，BE，CE． (1)若EBC 60，求ECB的度数； (2)若DE为O的切线，连接DO，DO交CE于点F，求证：DF CE； (3)若AB2，过点A作DE的垂线交射线CE于点M，求AM 的最小值． 39．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，O的半径为4cm，Y ABCD的顶点A，B，C在O 上，AC BC． (1)求证：DC是O的切线； (2)若AD也与O相切，求证：四边形ABCD是菱形； (3)如图2，AD与O相交于点E，连接于CE，当B75时，求Y ABCD的对角线AC的长及阴影部分图形的面积． 40．（2023·河北邢台·统考一模）在等边三角形ABC中，ADBC于点D，半圆O的直径EF开始在边 090 BC EF 4 60 上，且点E与点C重合， ．将半圆O绕点C顺时针旋转 ，当 时，半圆O 与AD相切于点P．如图1所示． (1)求AC的长度； (2)如图2．当AC，BC分别与半圆O交于点M，N时，连接MN，OM ，ON． ①求MON 的度数； ②求MN的长度； 90 BC E  F ABC (3)当 时，将半圆O沿边 向左平移，设平移距离为x．当 与 的边一共有两个交点时，直 接写出x的取值范围． 41．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知等边ABC内接于O点P为弧AB上的一个动点，连结 PA、PB、PC． (1)如图1，当线段PC经过点O时，写出线段PA，PB，PC满足的等量关系，并说明理由． (2)如图2，点P为弧AB的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的 等量关系，并证明你的结论． (3)如图3，在ABC中，AB=6，AC 11，BAC的外角平分线交ABC的外接圆于点P，PE AC于E，求AE的长． 42．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知O为ABC的外接圆，ABBC． (1)如图1，连接OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D． ①求证：BO平分ABC； ACB,DAC   ②设 ，请用含 的代数式表示 ； ABC 90 F O B,F AC △ABF AB (2)如图2，若 ， 为 上的一点，且点 位于 两侧，作 关于 对称的图形 ABG，连接GC，试猜想AG,CG,BG三者之间的数量关系并给予证明． O ABC ABBC ABC60 43．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知： 是 的外接圆，且 ， ， D为O上一动点． AB DBA (1)如图1，若点D是 的中点， 等于多少？ (2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E． AB CDDEAE ①如图2，若点D在 上，求证： ． AC CDDEAE ABD ②若点D在 上，当它从点A向点C运动且满足 时，求 的最大值．44．（2023·江苏·九年级假期作业）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在 Rt△ABC中，C 90，当AB长度不变时．则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）． 【探索发现】 小明继续探究，在Rt△ABC中，C 90，AB长度不变．作A与B的角平分线交于点F，小明计算 后发现AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算AFB的度数，并简要说明小明 猜想的圆的特征． 【拓展应用】 在【探索发现】的条件下，若AB2 3，求出△AFB面积的最大值． 【灵活运用】 ABC AB2 3 BC AC BDCE AD、BE 在等边 中， ，点D、点E分别在 和 边上，且 ，连接 交于点F，试 求出△AFB周长的最大值． 45．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图O半径为r，锐角ABC内接于O，连AO并延长交BC 于D，过点D作DEAC于E． (1)如图1，求证：DABCDE； CDOA,AB6 DE (2)如图1，若 ，求 的长； DAC 2DAB BD5,DC 6 (3)如图2，当 时， ，求r的值； (4)如图3，若AE ABBD1，直接写出ADDE的值（用含r的代数式表示）