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第十二章 全等三角形压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．如图，在四边形 中， .不能判定 的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD是公用边这个
条件.
【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，依据SAS可得△ABD≌△CDB，
故A选项正确；
B.若添加AD=BC,根据AB∥CD，则∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B选项错误；
C.若添加 ，则四边形ABCD是平行四边形，能判定△ABD≌△CDB，故C选项正确；
D.若添加∠A=∠C，根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D
选项正确；
故选B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，
取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角
对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另
一组角，或找这个角的另一组对应邻边.
2．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则 ∠CAB＝（ ）
A．30° B．60° C．80 ° D．50°
【答案】B
【详解】试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，
∴DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∴∠DAE=∠DBE，
∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB+∠DBE=90°，
∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°，
∴3∠DBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°．
故选B．
3．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为
6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
A．50 B．44 C．38 D．32
【答案】D
【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，
推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的
面积=S EFHD-S EFA-S ABC-S DHC和面积公式代入求出即可．
梯形
【详解】∵AE⊥A△B，EF⊥△AF，B△M⊥AM，
∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积= = =56，
∴阴影部分的面积=S EFHD-S EFA-S ABC-S DHC= =32．
梯形
△ △ △
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关
键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
4．如图，在 中， 和 的平分线 相交于点O， 交 干E，
交 于F，过点O作 于D，下列三个结论：① ；②当
时， ；③若 ，则 ．其中正确的是
（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解 和 的关系，即可判定①；
根据 得 ，根据角平分线和三角形内角和定理得 ，
在 上取一点H，使 ，利用SAS证明 可得 ，
利用ASA可证明 得 ，进而可判定②；作 于H，
于M，根据题意得 ，根据 ，利用三角形面积即可判
断③即可解答．
【详解】解：∵ 和 的平分线 ， 相交于点O，
∴ ， ，
∴
==
= ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， 分别是 和 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，在 上取一点H，使 ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故②正确；
如图所示，作 于H， 于M，
∵ 和 的平分线相交于点O，
∴点O在 的平分线上，
∴ ，
∵ ，
∴
=
= ，
故③正确；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质
等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
5．如图， ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结
论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S =2 S ；④AB=3CD,其中正确的有（ ）
△ ACE CDB
△ △
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】①作高线EH，先根据角平分线定理得：CE=EH，再证明△ACE≌△AHE(AAS)可得：
AH=AC，根据线段的和可得结论；
②先证明点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°；
③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌△BCG，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知
道：△BDC和△CDG的面积相等，由此可得： ；
④根据③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，从而得结论．
【详解】①过点E作EH⊥AB于H，如图1，
∵∠ABC=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
∵AE平分∠CAB，
∴EH=CE，
∴CE=BH，
在 ACE和 AHE中，
△ △
∵ ，
∴△ACE≌△AHE(AAS)，
∴AH=AC，
∴AB−AC=AB−AH=BH=CE，
故①正确；
②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，∴∠ADC=∠ABC=45°，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135°
故②正确；
③如图2，延长BD、AC交于点G，
∵AD平分∠BAG，AD⊥BG，
∴BD=DG，
∴CD是Rt BCG的斜边的中线，
∴CD=BD，△ ，
∴∠DBC=∠DCB=22.5°，
∴∠CBG=∠CAE=22.5°，
∵AC=BC，∠ACE=∠BCG，
∴△ACE≌△BCG，
∴ ，
故③正确；
④∵AB=AG=AC+CG，
∵BG=2CD>AC，CD>CG，
∴AB≠3CD，
故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅
助线的做法证明三角形全等是解题的关键.
6．如图， 中， ， 于 ， 平分 ， 于 ，与
相交于点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ，下列结论：①
；② ；③ 是等腰三角形；④ ．正确的有
( )个．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形， ，可判断①②③正，作GM⊥BD于M，只要明 即可判断④错误.
【详解】∵ 平分 ，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB，
∴∠A=∠ACB，
∴△BAC是等腰三角形
∵
∴
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°
∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°
∴∠A＝∠DFB
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°-45°＝45°＝∠DBC
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中，
∴△BDF≌△CDA(AAS)
∴BF＝AC，
∴ 故①正确，
∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC
∴∠A＝∠BCA＝67.5°,
故②正确；
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠EBC＝22.5°，
∵∠BDF＝∠BHG＝90°
∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°
∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°
∴DG＝DF，故③正确，
作GM⊥AB于M，如图所示：∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC
∴GH＝GM＜ DG
∴
∵
∴ ，
故④错误；
故答案为B.
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角
形的性质和判定，正确添加辅助线是解题的关键,难度很大.
7．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下
面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的
是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA，
由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确，符合题意；
根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误，不符合题意；
已知BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
再由∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，可得
∠DCE=∠DAE，所以AE=EC；
再由△ABD≌△EBC，可得AD=EC，
所以AD=AE=EC，即③正确，符合题意；由△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，
所以∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，④正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，
本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
8．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点
P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长
线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣
AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示
出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP= ∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可
得解；
②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应
边相等得到AB=BF，AP=PF；
③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据
全等三角形对应边相等可得DF=AH；
④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等
边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直
角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误.
【详解】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴∠ABP= ∠ABC，
∠CAP= （90°+∠ABC）=45°+ ∠ABC，
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，
=180°-（45°+ ∠ABC+90°-∠ABC）- ∠ABC，=180°-45°- ∠ABC-90°+∠ABC- ∠ABC，
=45°，故本小题正确；
②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），
∴∠APB=∠FPB=45°，
∵∵PB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴AB=BF，AP=PF；故②正确；
③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP与△FDP中，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF=AH，
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD-AH=AB，故③小题正确；
④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，
∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG，
∵∠PAF=45°，AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG=AG，GH=GF，∴DG=GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选:C.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定
与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关
系与边的关系.
9．如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，
过 作 ， 为垂足．下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】易证 ，可得 ， 可得①②正确，再根据
角平分线的性质可求得 ，即③正确，根据③可求得④正确．
【详解】解： 为 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，①正确；
，
，
，
，
，
，②正确，
，，
，
，
，
，③正确；
过 作 ，交 的延长线于点 ，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，
本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键．
10．在△ABC中，BAC 90°，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE＝45°，将
△ADC 绕点 A 顺时针旋转90° 得到△AFB， 连接 EF．下列结论：①BE⊥BF；②△ABC
的面积等于四边形 AFBD 的面积；③当 BE CD 时，线段 DE 的长度最短．其中正确
的个数（ ）A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得∠ABF=∠ACB=45°，可求∠FBE=90°，可得BE⊥BF，故①正确；
由旋转的性质可得 ADC≌△ABF，由面积的和差关系可得 ABC的面积等于四边形AFBD
的面积，故②正确；由“SAS”可证 FAE≌△DAE，可得DE=EF，由勾股定理可得
△ △
BE2+DC2=DE2，即可求解．
△
【详解】∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵将 ADC绕点A顺时针旋转90°得到 AFB，
∴∠A
△
BF=∠ACB=45°，
△
∴∠FBE=∠ABF+∠ABC=90°，
∴BE⊥BF，故①正确；
∵将 ADC绕点A顺时针旋转90°得到 AFB，
∴△A
△
DC≌△ABF，
△
∴S ADC=S AFB，
∴S△ADB+S△ADC=S ADB+S ABF，
∴△△ABC的△面积等于△四边形△AFBD的面积，故②正确；
∵△AFB≌△ADC，
∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，
即∠FAE=∠DAE=45°，
在 FAE和 DAE中
△ △
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴DE=EF，
在Rt FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，
△∴BE2+DC2=DE2，
∵（BE-DC）2≥0，
∴BE2+DC2≥2BE•DC，
∴BE=DC时，BE2+DC2有最小值，
∴当BE=CD时，线段DE的长度最短，故③正确，
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
旋转的性质，勾股定理等知识，证明 FAE≌△DAE是解题的关键．
评卷人 得分 △
二、填空题
11．在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BD，DC的长度比为3：2，且BC＝
20cm，则点D到AB的距离是 cm．
△
【答案】8
【分析】根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知DE＝CD，根
据角平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝10cm即可得出结论．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD．
∵BD：DC＝3：2，且BC＝10cm，
∴CD＝20× ＝8（cm）．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是
解答此题的关键．
12．如图， 中， ， ， ，在 上截取 ，使
，过点 作 的垂线，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，
，则 .【答案】
【分析】过点D作DM⊥BD，与BF延长线交于点M，先证明△BHE≌△BGD得到
∠EHB=∠DGB，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD，即MD=MG，在△△BDM中利
用勾股定理算出MG的长度，得到BM，再证明△ABC≌△MBD，从而得出BM=AB即可.
【详解】解：∵AC∥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，
又∵BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
即∠8+∠2=90°，
∵BE=BD，
∴∠8=∠1，
在△BHE和△BGD中，
，
∴△BHE≌△BGD（ASA），
∴∠EHB=∠DGB
∴∠5=∠6，∠6=∠7，
∵MD⊥BD
∴∠BDM=90°，
∴BC∥MD，
∴∠5=∠MDG，
∴∠7=∠MDG
∴MG=MD，
∵BC=7，BG=4，
设MG=x，在△BDM中，
BD2+MD2=BM2，
即 ，解得x= ，
在△ABC和△MBD中
,
∴△ABC≌△MBD（ASA）
AB=BM=BG+MG=4+ = .
故答案为： .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角
形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等.
13．如图，已知OP平分∠AOB，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．CP＝ ，
PD＝6．如果点M是OP的中点，则DM的长是 ．
【答案】5．
【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理
得出 ，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP，得出∠OPC=∠BOP，证出
，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出 ，再由直角三角
形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴∠AOP＝∠BOP，PC＝PD＝6，∠PDO＝∠PEO＝90°，
∴ ，
∵CP∥OA，
∴∠OPC＝∠AOP，
∴∠OPC＝∠BOP，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt OPD中，点M是OP的中点，
△
∴ ；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形
斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线
性质，证明CO=CP是解题的关键．
14．如图,C为线段AE上一动点(不与A． E重合),在AE同侧分别作等边 ABC和等边
CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论：
△
①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°，一定成立的有 （填序号）
△
【答案】①②③⑤
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．
③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ，③正确；
②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正
确．
④没有条件证出BO=OE，得出④错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中， ，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴CP=CQ，结论③正确；
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠AEO，
∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴结论⑤正确．没有条件证出BO=OE，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故答案是：①②③⑤．
【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的
性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的
关键．
15．如图，AC=BC，∠ACD=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂足为
E，则下列结论：①AD=BF；②BF=AF；③AB=BF；④AC+CD=AB；⑤AD=2BE．其中正确的
结论有 ．【答案】①、④、⑤
【分析】利用ASA证明△ADC≌△BFC判断①正确；由AF>AD，推出BF AF判断②错误；利
用角平分线的性质及垂直的定义证明△AEB≌△AEF，得到AB=AF，BE=FE，即可判断③错误；
根据△ADC≌△BFC推出CF=CD，由AF=CF+AC判断④正确；由AD=BF，BF=2BE，判断⑤正确.
【详解】∵BF⊥AE，
∴∠AEF=∠BCF=∠ACD=90°,
∴∠F+∠FAE=90°，∠F+∠FBC=90°，
∴∠FAE=∠FBC，
又∵AC=BC，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD=BF，故①正确；
∵AF>AD，
∴BF AF，故②错误；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△AEB≌△AEF，
∴AB=AF，BE=FE，
∵BF AF，
∴BF AB，故③错误；
∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，
∵AF=CF+AC，
∴AB=CD+AC，故④正确；
∵AD=BF，BF=2BE，
∴AD=2BE，故⑤正确；
故答案为：①、④、⑤.
【点睛】此题考查角平分线的性质，垂直的定义，三角形全等的判定及性质，熟练掌握三
角形全等的判定定理并运用解决问题是解题的关键.
16．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分
线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；
②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是 ．（填写序号）【答案】①③④
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质
解答即可．
【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC= ∠ABC=25°，∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；
∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；
∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠DAC=55°，④正确．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离
相等是解题的关键．
17．在 中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则 能够唯一确定的是 （填序号）.
【答案】①③④
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，
错误；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定
的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B分别为x轴和y轴上一点，且 ，过
点B作 于点E，延长 至点D，使得 ，连接 ，若点C在第一
象限，点C的坐标为 ，连接 ， 与 交于点F，则点D的坐标为
．
【答案】
【分析】如图，先证明 再根据 证明 ，即得
，接着再证明 ，即可得出
，从而求得结果．
【详解】解：过点D作 轴于点K，过点C作 于点L， 与x轴相交于点
H，
如图所示：
，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
在 和 中，，
，
又 ，
，
即 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
点C的坐标为 ，即 ，
，
；
故答案为： ．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与
性质，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形．
评卷人 得分
三、解答题
19．已知，在 中， ，点 为边 的中点， 分别交 ，
于点 ， ．（1）如图1，①若 ，请直接写出 ______；
②连接 ，若 ，求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 ，试探究线段 和 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①45°；②见解析；（2） ，理由见解析
【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得 和三角形的外角等于不相邻的两个内
角和的性质结合题干已知即可解题．
②延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌ （SAS），再
利用全等的性质，可知 ，即可知道 ，所以 ，根据题
干又可得到 ，所以 ，从而得出结论．
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌ （SAS），
再利用全等的性质，可知 ， ，根据题干即可证明
≌ （HL），即得出结论．
【详解】（1）①∵ ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为 ．
②如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（2） ．
如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ．
∴ ≌ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和
性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．
20．问题背景：
(1)如图1，在四边形 中， ， ， ， ， 分别
是 ， 上的点，且 ，探究图中线段 、 、 之间的数量关系，嘉琪
同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明
，再证明 ，可得出结论，他的结论应是_________．
(2)探索延伸：①如图2，若在四边形 中， ， ， 、 分别
是 ， 上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
②如图2，若五边形 的面积为30， ， ，直接写出 点到 的距离．
【答案】(1)
(2)①成立，理由见解析②3【分析】（1）由题意可直接得出 ；
（2）①延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，即可得出结论；②利用①中的结论，再用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）解：
∴ ，
∵ ，
∴
即
（2）解：①结论仍然成立
延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．② 点到 的距离即 的高
由①可得 ，
，
则 ，
解得 ，
即 点到 的距离为3
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，构造全等三角形是解题的关键．
21．如图， ， ，点D在AC边上， ，AE和BD相交于点O．
（1）求证： ．
（2）如果 ， ，E点到AC边的距离为3，求 的面积．
【答案】（1）答案见详解 （2）9
【分析】（1）根据ASA来证明三角形全等即可；
（2）欲求△EDC的面积需先求出DC长，由（1）中可知 AC=BD=15，根据 求
出DC，进而求出△EDC的面积．
【详解】解：（1）在△AOD和△BOE中， ，∠AOD=∠BOE, ∴∠ ∠
∵ ∴∠ ∠ 2= BED
∴∠ ∠ ∠1= BE∠D 即∠ ∠
在△ 和△
1+ BEA= BED+ BEA AEC= BED
AEC BED
∴ (ASA)（2）由 得AC
=BD=15,
∴DC=15× =6
过E作EF⊥DC于F，∴EF=3
∴
【点睛】本题考查了利用ASA来证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质来求解，解
题关键是证得三角形全等，利用全等三角形性质对应边相等求得三角形的底边长是目的．
22．（1）阅读理解：
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．解决此问题
可以用如下方法：延长 到点 使 ，再连接 ，这样就把 ， ， 集
中在 中，利用三角形三边的关系可判断线段 的取值范围是 ；则中线 的
取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在 中， 是 边的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交
于点 ，连接 ，此时： 与 的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作
，边 ， 分别交 ， 于 ， 两点，连接 ，此时： 、 与
的数量关系
【答案】（1） ；（2） ，见解析；（3）
【分析】（1）延长 到点 使 ，再连接 ，证明 ，可
得 ，再由三角形三角关系可得 ， ；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，连
接 ，可知 是等腰三角形，则 ，在 中， ，即
；
（3）延长 至 使 ，连接 ，证明 ，可推导出 ，
再证明 ，则 ，能推导出 ．
【详解】解：（1）延长 到点 使 ，再连接 ，， ， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
，
连接 ，
， ，
是等腰三角形，
，
在 中， ，即 ；
（3）延长 至 使 ，连接 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
， ，
，，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中
线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
23．如图①，在Rt ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8 cm，AB=10 cm. 现有一动点P，从A
点出发，沿着三角形的边AC-CB-BA运动，回到A点停止，速度为1 cm/s，设运动时间为t
△
s.
（1）当t=_______时， ABC的周长被线段AP平分为相等的两部分.
（2）当t=_______时， APC的面积等于 ABC面积的一半.
△
（3）还有一个 DEF，∠
△
E=90°，如图②所
△
示，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在 ABC的边
上，若另外有一个动点Q，与P 同时从A点出发，沿着边AB-BC-CA运动，回到点A停止.
△ △
在两点运动过程中某一时刻，恰好 APQ与 DEF全等，则点Q的运动速度 cm/s.
△ △
【答案】（1）12 （2）11 （3） ．
【分析】(1)根据 ABC的周长,结合点P的运动路线即可求出;
(2) 根据 ABC的面积,结合点P的运动路线即可求出;
△
(3)分情况讨论, ①当点P在AC上,点Q在AB上时,又分两种情况; ②当点P在AB上,点Q在
△
AC上时,又分两种情况.
【详解】（1）∵ ABC的周长=AC+BC+AB=8+6+10=24,
∴ ABC的周长被平分为相等的两部分时,
△
点P运动的路程为12,
△
又∵速度为1 cm/s,
∴运动时间t=12÷1=12S.
故答案为:12.
（2）∵∠C=90°，BC=6cm,AC=8 cm，∴ ABC的面积=6×8÷2=24,
当 APC的面积等于 ABC面积的一半时,
△
APC的面积为12,
△ △
此时点P在BC上,
△
∴8×(t-8) ÷2=12
解得t=11
故答案为11.
（3）设点Q的运动速度为x cm/s.
①当点P在AC上,点Q在AB上, APQ≌ DEF时,
AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,
△ △
∴4÷1=5÷x
解得x= ,
②当点P在AC上,点Q在AB上, APQ≌ DFE时,
AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,
△ △
∴5÷1=4÷x,
解得x= ,
③当点P在AB上,点Q在AC上, AQP≌ DEF时,
AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,
△ △
∴(24-5) ÷1=(24-4) ÷x
解得x= ,
④当点P在AB上,点Q在AC上, APQ≌ DEF时,
AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,
△ △
∴(24-4) ÷1=(24-5) ÷x
解得x= .
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的面积问题，能够熟练运用
其性质求解一些简单的计算问题．
24．【阅读】如图1，等边△ABC中，P是AC边上一点，Q是CB延长线上一点，若AP＝
BQ．则过P作PF∥BC交AB于F，可证△APF是等边三角形，再证△PDF≌QDB可得D是FB
的中点．请写出证明过程．
【运用】如图2，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动
（与A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发
生改变，请说明理由．
【答案】“阅读”详见解析；“运用”（1）AP＝2；（2）运动过程中线段ED的长始终为
3．
【阅读】：由△ABC是等边三角形和PF∥BC可得PF＝BQ，进而证△PFD≌△QBD得DF＝DB．
【运用】：（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知
∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= QC，即6-x=
（6+x），求出x的值即可；
（2）作QG⊥AB，交直线AB于点G，连接QE，PG，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可
知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQG，再由AE=BG，PE=QG且
PE∥QG，可知四边形PEQG是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BG=AB，DE= AB，由等
边△ABC的边长为6，可得出DE=3．
【详解】解：【阅读】证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP＝∠APF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴AP＝PF，
∵AP＝BQ，
∴PF＝BQ，∵PF∥BQ，
∴∠FPD＝∠DQB，∠PFD＝∠QBD，
在△PFD与△QBD中，
，
∴△PFD≌△QBD；
∴DF＝DB．
【运用】：解：（1）如图2中，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝ QC，即6﹣x＝ （6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（2）作QG⊥AB，交直线AB于点G，连接QE，PG，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠PGQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠GBQ＝60°，
在△APE和△BQG中，
∵∠AEP＝∠BGQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQG，
，
∴△APE≌△BQG（AAS），
∴AE＝BG，PE＝QG且PE∥QG，
∴四边形PEQG是平行四边形，
∴DE＝ EG，
∵EB+AE＝BE+BG＝AB，
∴DE＝ AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
故运动过程中线段ED的长始终为3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定
与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB的中点，点D是OB上的一点（点D不
与点O，B重合）．过点A，点B作直线CD的垂线，垂足分别为点E和点F．
（1）如图1，求证：EF＝AE﹣BF；
（2）如图2，连接OE，OF，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理
由．
【答案】（1）证明见解析（2）OE＝OF，OE⊥OF
【分析】（1）根据AAS只要证明△ACE≌△CBF即可；
（2）结论：OE＝OF，OE⊥OF．由△AOE≌△BOG（AAS），推出AE＝BG，OE＝OG，推出FG
＝BG﹣BF＝AE﹣BF＝EF，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；
【详解】（1）证明：如图1中，∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠F＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AC＝CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF．
（2）解：结论：OE＝OF，OE⊥OF．
理由：如图2中，延长EO交BF的延长线于点G．
∵AE⊥CD，BG⊥CD，
∴AE∥BG，
∴∠EAO＝∠GBO，
∵OA＝OB，∠AOE＝∠BOG，
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴AE＝BG，OE＝OG，
∴FG＝BG﹣BF＝AE﹣BF＝EF，
∴OF⊥EG，∠EFO＝∠GFO＝45°，
∴∠OEF＝∠EF0＝45°，
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
