文档内容
重难点突破 12 双切线问题的探究
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：定值问题................................................................................................................................2
题型二：斜率问题................................................................................................................................3
题型三：交点弦过定点问题................................................................................................................4
题型四：交点弦定值问题....................................................................................................................6
题型五：交点弦最值问题....................................................................................................................7
题型六：交点弦范围问题....................................................................................................................8
题型七：“筷子夹汤圆”问题..........................................................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................12双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点 设出切线方程 ．
②和曲线方程联立，求出判别式 ．
③整理出关于双切线斜率 的同构方程．
④写出关于 的韦达定理，并解题．
题型一：定值问题
【典例1-1】已知直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点． 是线段 的中点，点
在直线 上，且 垂直于 轴．
(1)求证： 的中点在 上；
(2)设点 在抛物线 ： 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点．若 ，且
位于 轴两侧，求证： ．
【典例1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆 的一条准线 的方程为 ，点
分别为椭圆 的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求 的标准方程；
(2)过 上任一点作 的两条切线，切点分别为 ，当四边形 的面积最大时，求 的正切值．【变式1-1】（2024·云南·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，上､下顶点与其中一
个焦点围成的三角形面积为 ，过点 作椭圆 的两条切线，切点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 所在直线的方程；
(3)过点 作直线 交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，求 的值.
题型二：斜率问题
【典例2-1】如图，点 为抛物线 外任意一点，过点 作抛物线两条切线分别切于
两点， 的中点为 ，直线 交抛物线于点 ．
(1)证明： （ 为直线 在轴上的截距），且直线 方程为 ；
(2)设点 处的切线 ，求证 ．
【典例2-2】已知P是抛物线 的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线 ，切点
分别为 ．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值．【变式2-1】（2024·高三·浙江·期中）已知双曲线 ： （ ， ）过点 ，且离心率
为2， ， 为双曲线 的上、下焦点，双曲线 在点 处的切线 与圆 ： （
）交于A，B两点.
(1)求 的面积；
(2)点 为圆 上一动点，过 能作双曲线 的两条切线，设切点分别为 ， ，记直线 和 的斜
率分别为 ， ，求证： 为定值.
【变式2-2】在平面直角坐标系 中，点 到点 与到直线 的距离之比为 ，记点
的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若点 是圆 上的一点（不在坐标轴上），过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，记
直线 的斜率分别为 ，且 ，求直线 的方程.
题型三：交点弦过定点问题
【典例3-1】在平面直角坐标系中，动点 到 的距离等于到直线 的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点 作（1）中 的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O
为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求 的最小值.【典例3-2】（2024·湖南·三模）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交
于A，B两点， .
(1)求E的方程；
(2)直线 ，过l上一点P作E的两条切线 ，切点分别为M，N.求证：直线 过定点，并求
出该定点坐标.
【变式3-1】已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ．
(1)求 的值；
(2)过点 作 的两条切线，切点分别为 ， ，证明：直线 过定点；
(3)直线 过 的焦点 ，与 交于 ， 两点， 在 ， 两点处的切线相交于点 ，设 ，当
时，求 面积的最小值．
【变式3-2】已知椭圆E： 的长轴为双曲线 的实轴，且离心率为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆 在其上一点 处的切线方程为 .过直线 上任意一点
P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点.
①证明：直线 过定点；
②求 面积的最大值.题型四：交点弦定值问题
【典例4-1】（2024·河北·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆的短
轴的一个顶点．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设圆 ： ，过圆 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ．设两切线的
斜率均存在，分别为 ， ，问： 是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值．
【典例4-2】（2024·江苏·一模）已知椭圆C： 的右焦点为 ，右顶点为A，直线
l： 与x轴交于点M，且 ，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得， ？若存在，求 ；若不存在，请说明理
②由.⊙
【变式4-1】已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．【变式4-2】如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线 上任意一点，过M引抛物线的切
线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与 轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点 ，
，记 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.
题型五：交点弦最值问题
【典例5-1】已知点F为抛物线 的焦点，点 在抛物线E上，且到原点的距离为
.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P
点.
(1)证明：点P在一条定直线上；
(2)求 的面积最小值．
【典例5-2】已知抛物线 ，动圆 ， 为抛物线 上一动点，过点
作圆 的两条切线，切点分别为 .
(1)若 求 的最小值；
(2)若过圆心 作抛物线 的两条切线，切点分别为 .（Ⅰ）求证：直线 过定点；
（Ⅱ）若线段 的中点为 ，连 交抛物线 于点 ，记 的面积为 ，求 的表达式及其
最小值.
【变式5-1】（2024·山东临沂·一模）动圆 与圆 和圆 都内切，记动
圆圆心 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点
处的切线方程为： ，试运用该性质解决以下
问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ，切点分别为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）点 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于点 ，设 的面积分别为 ，求
的最大值.
题型六：交点弦范围问题
【典例6-1】设抛物线 的焦点为F,Q为 上一点．已知点 的纵坐标为 ，且点 到
焦点 的距离是 ．点 为圆 上的点，过点 作拋物线 的两条切线 ，切点分别为
，记两切线 的斜率分别为 ．
(1)求抛物线 的方程；(2)若点 的坐标为 ，求 值；
(3)设直线 与 轴分别交于点 ，求 的取值范围．
【典例6-2】如图，设抛物线 的焦点为F，点P是半椭圆 上的一点，过点P作抛
物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴于点M、N．
（1）证明： ；
（2）求 的取值范围．
【变式6-1】已知椭圆 ： 的左焦点 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过圆 ： 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ，直线 分别与圆
相交于异于点 的 两点.
（i）当直线 的斜率都存在时，记直线 的斜率分别为 .求证： ；
（ii）求 的取值范围.【变式6-2】（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上运动，
为过点 的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线的焦点为 ，记焦点 的
轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求四边形
面积的取值范围．
题型七：“筷子夹汤圆”问题
【典例7-1】（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过直线 上任一点 作该直线的
垂线 ， ，线段 的中垂线与直线 交于点 ．
(1)当 在直线 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
(2)过 向圆 引两条切线，与轨迹 的另一个交点分别
①判断：直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
②求 周长的最小值．
【典例7-2】（2024·河南·三模）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，上､下顶点分别为 ，
记四边形 的内切圆为 ，过 上一点 引圆 的两条切线（切线斜率均存在且不为0），分别交
于点 （异于 ）.
(1)求直线 与 的斜率之积的值；
(2)记 为坐标原点，试判断 三点是否共线，并说明理由.【变式7-1】在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长，点 在抛物线 上，圆 （其中 ）.
(1)若 为圆 上的动点，求线段 长度的最小值；
(2)设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于点 .证明：
直线 经过定点.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为
，上、下顶点分别为 ，四边形 的内切圆 的半径为 ，过椭圆 上一点T引圆 的
两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆 于点P，Q．
(1)求椭圆 的方程；
(2)试探究直线 与 的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
【变式7-3】已知A，B为抛物线C：y2=2px(p>0)上的两点，△OAB是边长为 的等边三角形，其中
O为坐标原点．
(1)求C的方程．
(2)过C的焦点F作圆M： 的两条切线 ， ．
（i）证明： ， 的斜率之积为定值．
（ii）若 ， 与C分别交于点D，E和H，G，求 的最小值．1．已知点 ， 分别为椭圆 ： （ ）的左、右顶点，点 ，直线 交 于点
， ，且 是等腰直角三角形．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过圆 上一点 （不在坐标轴上）作椭圆 的两条切线 ．记 、 、 的斜率分别为 、
、 ，求证： ．
2．（2024·全国·二模）如图，过点 的动直线 交抛物线 于 两点.
(1)若 ，求 的方程；
(2)当直线 变动时，若 不过坐标原点 ，过点 分别作（1）中 的切线，且两条切线相交于点 ，
问：是否存在唯一的直线 ，使得 ？并说明理由.
3．已知抛物线 ： ，焦点为 ，过 作 轴的垂线 ，点 在 轴下方，过点 作抛物线 的两
条切线 ， ， ， 分别交 轴于 ， 两点， ， 分别交 于 ， 两点．
(1)若 ， 与抛物线 相切于 ， 两点，求点 的坐标；
(2)证明： 的外接圆过定点；
(3)求 面积 的最小值．4．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶点为 是椭圆 在第一象限上的
点，满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上的一点 ，作椭圆 的两条切线 ，切点分别为 ，证明： .
5．已知圆 ，直线 ．
(1)若直线l与圆O相切，求m的值；
(2)当 时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，
求弦 所在直线的方程．
6．（2024·湖南·一模）已知双曲线 的渐近线方程为 ， 的半焦距为 ，且
．
(1)求 的标准方程．
(2)若 为 上的一点，且 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线 （斜率都存在），
与 交于另一点 与 交于另一点 ，证明：
（ⅰ） 的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点 ，使得 关于点 对称．
7．左、右焦点分别为 的椭圆 经过点 ， 为椭圆上一点， 的重心为 ，内心为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 为切点，问直线 是否过定
点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
8．（2024·高三·西藏林芝·期末）已知椭圆 ，直线 经过椭圆的
左顶点和上顶点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 上是否存在一点 ，过点 作椭圆 的两条切线分别切于点 与点 ，点 在以 为直径的圆
上，若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆 过点 ， 和 ，且圆 与 轴交于点 ，点 是
抛物线 的焦点.
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)过点 作直线 与抛物线交于不同的两点 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的切线，两条切线交于点
，试判断直线 与圆 的另一个交点 是否为定点，如果是，求出 点的坐标；如果不是，说明理由．
10．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点 与两个焦点 构成的三角形
的最大面积为1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 为直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 （切点分别为 ），
试证明动直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标．11．已知椭圆 的离心率为 ，依次连接四个顶点得到的图形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点.
12．已知椭圆 经过点 ，椭圆的左、右顶点分别为 、 ，点 在椭圆
上（异于 、 ），且 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点 为直线 上的动点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ， ，证明直线 经过定点
，并求出定点 的坐标．
13．已知抛物线 的焦点与椭圆 的上顶点重合，点 是直线 上任意
一点，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ．
(1)求抛物线 的方程．
(2)证明直线 过定点，并且求出定点坐标．
14．已知抛物线C： ，直线l： 交 于 ， 两点，当 ， 时，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)分别过点 ， 作抛物线 的切线，两条切线交于点 ，且 ， 分别交 轴于 ， 两点，证明：
的外接圆过定点．15．已知椭圆 的左顶点和右焦点分别为 ，右准线为直线 ，圆
．
(1)若点A在圆 上，且椭圆 的离心率为 ，求椭圆 的方程；
(2)若直线 上存在点 ，使 为等腰三角形，求椭圆 的离心率的取值范围；
(3)若点 在（1）中的椭圆 上，且过点 可作圆 的两条切线，切点分别为 ，求弦长 的取值
范围．
16．已知⊙C： （C为圆心）内部一点 与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ
于M，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若点M的轨迹为曲线X，设 为圆 上任意一点，过 作曲线X的两条切线，切点分别为 ，
判断 是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.
17．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知抛物线 上任意一点 满足 的最小值为 （
为焦点）.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线经过 点且与物线交于 两点，求证： ；
(3)过 作一条倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，过 分别作抛物线的切线.两条切线交于 点，
过 任意作一条直线交抛物线于 ，交直线 于点 ，则 满足什么关系？并证明.18．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
在椭圆 上仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .
求 的取值范围.
19．已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线 对称，与x轴相切，被直线 截得的弦长为
．若点P在直线 上运动，过点P作圆C的两条切线 ，切点分别为A，B点．
(1)求四边形 面积的最小值：
(2)求直线 过定点的坐标．
