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陕西师大附中渭北中学高 2023 届高三第一学期期初检测
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的
发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记
遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下
两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十
位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组
一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为
质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间中的两个不同的平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．如图，角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，
则 （ ）A． B． C． D．
6．下列四个函数：① ；② ；③ ；④ ，其中定义域与值域相同的函数的个数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面
之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何
体的体积相等．根据祖暅原理，对于3D打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处
的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D打
印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S，随高度h的变化而变化，变化的关系式为
，则该零件的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则（ ）
A．图像关于直线 对称 B．图像关于点 对称
C．最小正周期为 D．在 上单调递增
9．设 ，随机变量 的分布列是（ ）
0 1P a b
则当a在 内增大时，（ ）
A． 增大， 增大 B． 增大， 减小
C． 减小， 增大 D． 减小， 减小
10．已知定义在R上的偶函数 满足 ，且 在区间 上递减若 ，
， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的部分图象如图所示，为了得到
的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
12．已知椭圆和双曲线有相同的焦点 ，它们的离心率分别为 ，P是它们的一个公共点，且．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量 满足 ，且 ，则 _________．
14．在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若 的面积为 ，则
__________．
15．已知关于x的不等式 的解集为 ，则 的取值范围为
____________．
16．设函数 ’
①若 ，则 的最小值为_____________；
②若 恰有2个零点，则实数a的取值范围是______________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23为选考题．考生根据要求作答．
17．在 C中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求角B的大小；
（2）若点D为 的中点，且 ，求 的值．
18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2021年
起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直
方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄
段被访者签约率如图2所示．（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；
（2）据统计，该城市被访者的签约率约为 ．为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到 以上，
应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．
19．如图，在三棱锥 中，底面 是边长2的等边三角形， ，点F在线段 上，
且 ，D为 的中点，E为的 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的平面角的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．已知抛物线 ，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，
．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设点 在C上，过Q作两条互相垂直的直线 ，分别交C于A，B两点（异于Q点）．
证明：直线 恒过定点．21．已知函数 ．
（1）若 在 单调递增，求a的值；
（2）当 时，设函数 的最小值为 ，求函数 的值域．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选
试题的题号进行涂写．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，曲线M的参数方程为 （ 为参数， ），直线 的参
数方程为 （t为参数， ），直线 垂足为O．以O为坐标原点，x轴非负半轴为
极轴建立极坐标系．
（1）分别求出曲线M与直线 的极坐标方程；
（2）设直线 分别与曲线M交于A、C与B、D，顺次连接A、B、C、D四个点构成四边形 ，求
．
23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围．
陕西师大附中渭北中学高 2023 届高三第一学期期初检测
数学（理科）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A B A C C B D A B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． 14． 15． 16．① ；② ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答第22、23为选考题考生根据要求作答）
17．【本题满分12分】
解：（1）∵ ．
∴由正弦定理可得， ．
∴ ．
又∵ ，即 ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
②∵在 中，由余弦定理可得 ．
在 中，由余弦定理可得 ．
∴ ，即 ．
∴在 中，由正弦定理可得 ．
18．【本题满分12分】
解：（1）由图1知，该城市年龄在50-60岁，60-70岁，70-80岁，80岁以上的居民人数分别为：
万， 万， 万，
万．
由图2知，该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数：
万．
（2）由图1，图2可得：年龄在10-20岁的人数为： 万
年龄在20-30岁的人数为： 万
所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为 ．
年龄在30-50岁的人数为： 万，签约率为 ，
年龄在50岁以上的人数为： 万，签约率超过 ，上升空间不大．
由以上数据可知这个城市在3050岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率为
，非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到 以上，应着重提高30-50这个年龄段
的签约率．
19．【本题满分12分】
解：（1）取 的中点M，连接 ，因为E为 的中点，D为 的中点，所以 ，
，又 ，所以 ，
因为 面 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，
又 面 ，
所以面 面 ，
因为 面 ，所以 平面 ；
（2）连接 ，因为底面 是边长2的等边三角形， ，所以 ， ，所以 为二面角 的平面角，即 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
设面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，所以
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
20．【本题满分12分】
解：（1）由 ，可得 ，
代入 ．解得 或 （舍）．从而 ．（2）由题意可得 ，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
设 ，由 ，得 ，从而 ，
且 ．又 ，
，
∵ ，∴ ，
故 ，
整理得 ．即 ，
从而 或 ，即 或 ．
若 ，则 ，过定点 ，与Q点重合，不符合：
若 ，则 ，过定点 ．
综上，直线 过异于Q点的定点 ．
21．【本题满分12分】
解：（1） ．
因为 在 单调递增，所以 ，即
（ⅰ）当 时， ，则需 ，故 ，即 ；
（ⅱ）当 时， ，则 ；
（ⅲ）当 时， ，则需 ，故 ，即 ．
综上述， ．
（2） ， ， ．
因为 ，所以 ，所以 在 单调递增又因为 ．所以存在 ，使 ，
且当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 调递增．
故 最小值为 ．
由 ，得 ，因此 ．
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，又因为 ，且 ，
所以 ，即 取遍 的每一个值，
令 ，
函数 在 单调递增．又 ，所以 ，
故函数 的值域为 ．
【选做题】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题
卡中对所选试题的题号进行涂写．
22．【本题满分10分】
解：（1）由M的参数方程，可得 ，则 ，即 ，
∴曲线M的极坐标方程为： ．
由题设知： 的方程为为 ，故 的极坐标方程为 ，又 ，∴ 为 且 ．
（2）由题设知： ，
若 ，
联立 与 ，可得 ，
联立 与 ，可得 ，
∴ ．
∴ ．
23．【本题满分10分】
解：（1）当 时， ．
当 时， ，解得 ，此时 ；
当 时， ，解得 ，此时 ；
当 时， ，解得 ，此时 ．
因此，当 时，不等式 的解集为 ；
（2）当 时， 可化为 ，
所以， 或 ，
即存在 ，使得 或 ．
，因为 ，所以 ，则 ，，因为 ，所以 ，所以 ，
因此，实数a的取值范围为 ．下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君
