文档文本内容
绝密★考试结束前
2023 年新高考数学预测试卷
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，
则 ，又由 得 .
所以 ，而 .从而 .故选：D.
2．已知 是虚数单位，复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法法则计算．【详解】 ．故选：C．
3．在等差数列{an}中，7a＋5a＝0，且a<a，则使数列前n项和Sn取得最小值的n等于
5 9 5 9
( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
∵ ，且a<a，
5 9
∴d>0，且 ，
∴ ，∵ ，∴当n＝6时，Sn取到最小值．选B．
4．已知a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，则c可用a与b表示为 ( )
A．a+b B．2a+3b C．3a-2b D．2a-3b
【答案】C
【分析】根据平面向量的坐标运算分别计算选项，验证是否等于 .
【详解】因为a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，
所以a+b=(0，3)≠c，
2a+3b=2(1，1)+3(-1，2)=(-1，8)≠c，
3a-2b=3(1，1)-2(-1，2)=(5，-1)=c，2a-3b=2(1，1)-3(-1，2)=(5，-4)≠c.
故选C.
5．六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C【详解】甲在左边第一位，有 ；
甲在左边第二位，有 ；
甲在左边第三位，有 ；
甲在左边第四位，有
甲在左边第五位，有 ；
不同的站法有 种，选C.
6．已知 都是锐角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C 所以 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，
，
故选：C.7．已知函数 是奇函数， ，且 与 图象的交点为 ，
，……， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，则 ，
即 ，故函数 的图象关于 对称，又∵ 关于
对称，∴两个函数图象的交点都关于 对称，设关于 对称的两个点的纵坐标
分别为 ， ，则 ，即 ．故选：C
8． ， ， ， ，a，b，c，d间的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B 【详解】令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ，
所以 ，则 ，即 ，故 ；
因为 ，
所以其展开通项公式为 ，
故 ， ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 ，故 ，即 ；
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
易知 ，所以 ，则 ，即 ；
综上： .故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每道题目至少有一个正确选项啊，漏
选或者是少选得2分，不选或者是选错不得分）
9．工厂生产某零件，其尺寸 服从正态分布 （单位：cm）.其中k由零件的
材料决定，且 .当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格；零件尺寸
大于9.9cm且小于10.1cm时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变
量 时， ， ，
，则下列说法中正确的有（ ）.
A． 越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小
B． 越大，预计生产出普通零件的概率越大
C．若 ，则生产200个零件约有9个零件不合格
D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为 ， ， ，则当 时，
每生产1000个零件预计盈利
【答案】AC 【详解】依题意，得 ，则 ， ，
对于A，当 变大时， 变大，则零件尺寸 的正态分布曲线越扁平，
所以预计生产出的优质品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比例越小，故A
正确；对于B，由选项A可知，预计生产出普通零件的概率越小，故B错误；
对于C，当 时， ，
则 ，而
，
所以预计生产出的不合格零件的概率为 ，
故生产200个零件约有不合格零件的个数为 ，故C正确；
对于D，当 时， ，
则 ， ，
，
所以预计生产出优质零件的概率为 ，不合格零件的概率为 ，普通零件的概率为
，故每生产1000个零件预计盈利 ，故D
错误.故选：AC.
10．已知椭圆C： ， 上有三点 、 、 ， 、 分别为其左、右
焦点.则下列说法中正确的有（ ）.
A．若线段 、 、 的长度构成等差数列，则点 、 、 的横坐标一定构成等差
数列.
B．若直线 与直线 斜率之积为 ，则直线 过坐标原点.
C．若 的重心在 轴上，则
D． 面积的最大值为
【答案】ABC
【详解】结论1：若 为椭圆 上的的动点， 为其左焦点，则
.证明：
，
因为 ，故 ，故 .
结论2：若 ，则 .
证明：因为 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
同理 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
由结论2可得 ，当且仅当 时等号成立.
对于A、C，设 ，则由结论1可得： ，因为 ，故 ，
整理得到： ，故A正确.因为 的重心在 轴上，故 ，
故 ，故C正确.
对于B，设 关于原点的对称点为 ，则 ，
故 （ ，否则 ，这与题设矛盾），
故 ，
但 所以 ，
所以 ，而 ，故 ，
因 均在椭圆上，故 重合即直线 过坐标原点，故B正确.
我们先证明一个命题
命题：设 为椭圆 上的点，直线 与椭圆交于不同的两点 ，则
面积的最大值为 .
证明：当直线 的斜率不存在时，设直线 ， ，
则 的面积 ，
若 ，则 ，
因为 ，，故 ，即 ，
当且仅当 ， 时等号成立，故此时 .
同理可证：当 时， .
过当直线 的斜率存在，可设 ，
由 可得 ，故 ，故 ，
而 ，
又 到 的距离为 ，故 的面积为：
对于给定的 ，先考虑 的最大值，
设 ，则
，其中 ，
若 ，则 的最大值为 ，
此时
设 ，则 ，故
，
由结论2可得：
，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 ，
故 ，
若 ，则 的最大值为 ，同理可得 ，
综上， 面积的最大值为 .
对于D，考虑 为椭圆上的点，直线 为直线 ，
由前述命题可得： 面积的最大值为 ，故D错误.
故选：ABC.11．已知函数 ，其中 、 .则下列说法中正确的有
（ ）.
A． 的最小值为
B． 的最大值为
C．方程 在 上有三个解
D． 在 上单调递减
【答案】BC
【分析】根据题意，可得 ，由
，求解出 的取值范围，根据对应范围内的函数解析式， 即可求出
的最值，进而判断A、B选项；令 ，分 和 两种情况
解方程，即可判断C选项；取 ，求出此时函数 的单调区间，即
可判断函数在 上的单调性，从而判断在 上的单调性，进而判断D选项.
【详解】 ，
即 ，其中 ，
， .
由 ，即 ， ，
所以当 时， ，即 ， ，
所以当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ；
当 时， ，
即 ， ，
所以当 ，即 时， ，
由于 ，所以 无最小值.
综上所述， 的最小值为 ，最大值为 ，故A错误，B正确；
由 ，所以当 时， ，
即 ，
即 或 ， ，
所以 或 ， .
当 时， ，
即 ，
即 或 ， ，
所以 ， ，
综上所述，方程 在 上有三个解，故C正确；
取 时， ，
令 ，即 ；令 ，即 ；
由于 ，所以当 时，函数 在 上单调递增，在
上单调递减，即函数 在 上有增有减，则 在 上有增
有减，故D错误.
故选：BC.
12．直线 、 为曲线 与 的两条公切线. 从左往右依次交 与 于A点、B
点； 从左往右依次交 与 于C点、D点，且A点位于C点左侧，D点位于B点左侧.
设坐标原点为O， 与 交于点P.则下列说法中正确的有（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】CD 【详解】由题意，画出大致图像如图，
设 与 ， 为直线 ， 为直线 ，
且 和 是一对反函数，图像关于直线 对称，
则点 关于直线 对称，点 关于直线 对称，点 在直线 上，
设 的切点为 ， 的切点为 ，
由 ， ，得 的切线方程为 ，
的切线方程为 ，当两函数的切线方程重合时，即为公切线，
则 ，将 代入下式得 ，将 和 的图像在同一坐标系中画出如图，
设方程 的其中一个解为 ，则 ，由 ，可得
，
又因 ，则方程 的另一个解为 ，
因此 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为
.
因为 与 关于直线 对称，所以 ，选项 错误；
由点 在直线 上可得 ，
设点 坐标为 ，则 ，解得 ，
设 ， ，
设 ， ，
则 在 上单调递减，
由 ， ，
可得 在 上的函数值为先正后负，
即 在 上的值为先正后负，
则 在 上的单调性为先增后减，又 ， ，且，则 ，即 ，
所以 ，选项B错误；分别连接 ， ，如图，
由 ， ，
得 ，选
项C正确；分别连接 ， ，如图，
得 第三象限夹角，即 ，选项D正确. 故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出曲线 过点 的一条切线方程__________．
【答案】 或 （写出其中的一个答案即可）
解：因为点 在曲线 上，所以曲线 在点 处的切线方程符合题
意．因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
因为当 或 时， ；当 时， ，
所以函数 在 处取得极大值 ，又极大值恰好等于点 的纵坐标，所以直线 也符合题意．故答案为： 或 （写出其中的一个答案即可）
14．已知椭圆 ，直线 交 于 两点，点 ，则
的周长为__________．
【答案】 【详解】解：由题知 ，
所以椭圆 的焦点坐标为
所以，由 得 ，
所以， 为等边三角形，且
因为，当 时，解方程 得 ，
所以，直线 过点 ，且倾斜角为 ，即 ，
所以，直线 为 为等边三角形中角 的角平分线，
所以，直线 为边 的中垂线，
所以 ，
因为
所以， 的周长为
，
故答案为：
15．若对于任意的x， ．不等式 恒成立，则b的取值范围为______．【答案】
由 ，得 ，设 ，则
,
令 ，得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
的最小值为 ，即 ，所以 ，所以 ，
即 ，令 ，则 ，令 ，
得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，则当 时， 取最大
值为 ，所以b的取值范围为 .故答案为： .
16．底边和腰长之比为 的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三
角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为
______.
【答案】
【详解】如图，设四面体 为“黄金四面体”，
且 ，
得 ，又因四个面都为“黄金三角形”，则 .
注意到四面体 对棱相等，则将其补形为如图所示长方体 ，则该
长方体外接球与该四面体外接球重合.
设 ，则长方体外接球半径 为长方体体对角线长度的一半，有
，又注意到： ，
得 ，又 ，得 .
注意到 ，，
则 .
又在 中， ，取 中点为E，
则 ，故 ，又由前面分析可知四面体 的四个面全
等，则四面体 的表面积 .
设四面体 的内切球半径为 ，则 ，
得 .
注意到 ，则 ，
又 ，得 ，又 ，
则 .则“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之
比为：
，
代入 ，得比值为： .故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（10分）．已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 与 ；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 .所以 .
（2）由（1）可得 ，
则 ，
，
两式相减得 ，
所以 .
18（12分）．在① ，② ，③ ，
．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知 中，内角 所对的边分别为 ，且________．
(1)求 的值;
(2)若 ，求 的周长与面积．
【答案】(1) (2)周长为11，面积为
【详解】（1）若选①:由正弦定理得 ，故 ，而在 中， ，
故 ，又 ，所以 ，则 ，
则 ，故 ．
若选②:由 ，化简得 ，代入 中，整
理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，故 ．
若选③:因为 ，
所以 ，即 ，则 ．
因为 ，所以 ，
则 ，故 ．
（2）因为 ，且 ，
所以 ．由（1）得 ，则
，由正弦定理得
，则 ．故 的周长为 ，
的面积为 ．
19（12分）．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中
国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活
和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时
也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程
度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜
欢”的概率为0．35．
(1)现从100名观众中根据喜爱程度用层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜
爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有
关系．
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜
欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．
非常喜
附： ，
喜欢 合计
欢
，
A 30 15
0．05 0．010 0．001 B x y
3． 合计
6．635 10．828
841
【答案】(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.
(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.(3)分布列见解析，期望为2.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
所以应从A地抽取 （人），从B地抽取 （人）．
（2）完成表格如下： 非常喜
喜欢 合计
欢
零假设为 ：观众的喜爱程度与所在地区无关.
A 30 15 45
， B 35 20 55
所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区 合计 65 35 100
有关系．
（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为 ，
从A地区随机抽取3人，则 ，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ， ，
， ．
X 0 1 2 3所以X的分布列为
P
方法1： ．
方法2： .
20 （12分）．在三棱锥ABCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且 ， ，
，BC⊥AC．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)若E为△ABC的重心， ，求平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）证明：因为 ， ， ，所以 ，
所以AD⊥BD， 又因为平面ABD⊥平面BCD，
平面 平面BCD=BD，因为 平面ABD，
所以AD⊥平面BCD，因为 平面BCD，
所以AD⊥BC，又因为BC⊥AC， ，
所以BC⊥平面ACD．
（2）解：因为BC⊥平面ACD， 平面ACD，所以BC⊥CD，
因为 ， ，所以 ， ，
以D为坐标原点，直线DB，DA分别为x，z轴，在平面BCD内过点D与BD垂直的直
线为y轴建立空间直角坐标系，所以 ， ， ， ，所以 ，所以
， ，
平面ABD的一个法向量为 ，
设平面CDE的一个法向量为 ，所以 ，
取 ， ，则 ，所以 ，
设平面CDE与平面ABD所成的锐二面角为θ，
所以 ，所以 ，
即平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值为 ．
21（12分）．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，斜率为 的
直线l与双曲线C交于 两点，点 在双曲线C上，且 .
(1)求 的面积；
(2)若 （O为坐标原点），点 ，记直线 的斜率分别为 ，问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2) 为定值 .·
【详解】（1）依题意可知， ，
则 ，
，
又 ，所以 ，解得 （ 舍去），
又 ，所以 ，则 ，
所以 的面积 .
（2）由（1）可 ，解得 ，所以双曲线C的方程为 ，
设 ，则 ，则 ， ，
设直线l的方程为 ，与双曲线C的方程联立，消去y得： ，
由 ，得 ，
由一元二次方程根与系数的关系得 ，
所以 ，
，
则 ，故 为定值
22（12分）．已知函数 .（注： …是自然对数的底
数）
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在 ，对与任意的 ，使得 恒成立，求 的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）（1）当 时， ，
故 ，
故在点 处的切线方程为 ；
（2）解：由题意知 有且只有一个根且 有正有负，
构建 ，则 .
①当 时， 当 时恒成立， 在 上单调递增，因为 ，
所以 有一个零点，即为 的一个极值点；
②当 时， 在 上恒成立，即 无极值点；
③当 时，当 ；当 ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
故 ，
若 ，则 ，即 .
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
令 ，则 ，故 ，
故 在 上为增函数.
故 ，
故 ，
故当 时， 有两个零点，此时 有两个极值点，
当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；
综上所述： .
（3）解：由题意知，对于任意的 ，使得 恒成立，
则当 取最大值时， 取到最小值.
当 时，因为 ，故当 时， 的最小值为 ；
当 时，当 时， ，
所以 无最小值，即 无最小值；
当 时，由（2）得 只有一个零点 ，即 且 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
此时 ，因为 ，所以 ，
代入得 ，
令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，此时 ，
所以 的最小值为 .
