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高三数学参考答案!提示及评分细则
!!#!因为"$&#%"#"!’($$&#%"#"&’(所以"#$$"("$$$$!故选#!
&!#!)这四个点中有三点在同一直线上*(一定能推出)这四点在同一个平面内*(充分性成立+)四个点在同一平面内*不
能推出有三点在同一直线上(必要性不成立(所以前者是后者的充分不必要条件!故选#!
! ! !
’!(!由#&)%&&&$%(得渐近线方程为&$* #(又双曲线#&)%&&&$!#!%%$的两条渐近线互相垂直(所以) +
% % %
$)!(解得%$*!!故选(!
! ! 23.#!)&"$ )23.&" 槡."1./0"$#23.")./0"$
,!-!因为./0"$ 123."(即./0")23."$ (所以 $ $) $
& & ./0 # "1
,
!$ 槡
&
& #./0"123."$ ./0"123."
槡&
)槡.")./0"$$ !故选-!
&
’ ’
4!5!设’$(1)/#(()&!$(则’’$())/(’)! $槡#()!$&1)&( $ $!!所以#()!$&1)&(!!
’’ ’’
法一,因为#()!$&)%(所以)&(!(即)!()(!!
&($!( &($!(
当)$*!时(()!$%(即($!(有两组满足条件
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&($!(&($&(&($%(
当)$%时(()!$%或()!$*!(所以 但($%()$%时’’$%(不符合题意(
)$%()$%()$%!
故选5!
法二,如图(可转化为研究圆面#()!$&1)&(!内#包括边界$的整点个数!圆面包括的整点分别
为#%(%$(#!(%$(#&(%$(#!(!$(#!()!$(而#%(%$不适合’’%%(则符合题意的整点共有,个!故
选5!
"!(!因为*#%$$)!%%(所以%不是*##$的零点!当#%%时(方程#./0&!#)!$%的解
!
的个数为函数+##$$./0&!#与,##$$ 的图象在-)’(’.上交点的个数(在同一坐标
#
!
系中作出+##$$./0&!#与,##$$ 在#%(’.上的图象#注意到当%"#(!时(,##$单
#
#4$ , #4$
调递减(,##$)!(+##$(!(,#!$$!(+#!$$%(, $ "+ $!$(如图所示(由
, 4 ,
!
图可知在区间#%(’.上(两函数图象有,个交点(而+##$$./0&!#与,##$$ 均为奇
#
函数(故在-)’(’.上两图象交点个数为6(即*##$$#./0&!#)!在区间-)’(’.上的零点个数为6!故选(!
7!-!函数&$,&)#的图象与曲线&$,#关于直线#$!对称(将&$,&)#的图象向下平移,个单位长度得到&$,&)#),
的图象(将&$,&)#),的图象向左平移!个单位长度得到&$,&)##1!$),$,!)#),的图象(即*##$$,!)#),(故
* # ) !$ $,!1! &),$,!故选-!
&
++* ++* ++* ++* ++*
6!5!设$-的中点为.(则"$1"-$&".(所以"/$".(所以外心/与中点.重合(
故,"$-是以"为直角顶点的直角三角形!
++* ++*
++* ++* ++* $- #$" $++* ++*
法一,$"在$-上的投影向量为#$"23.$$++* $ ++* 23.$$-$23.&$"$-
$- $-
8++* 8 8 ,
$ $-(所以23.&$$ (又23.-"/-$23.&$$&23.&$)!$&+ )!$ !故选5!
!% !% !% 4
++* ++* 8++* ++* ++* 8++* !++* &++* ++* ! ++*
法二,因为$"在$-上的投影向量为 $-(所以."在$-上的投影向量为 $-) $-$ $-(而 ." $ $- (
!% !% & 4 &
&++*
$-
4 ,
则23.-"/-$23.-".-$ $ !故选5!
! ++* 4
$-
&
# !$ &! # !$
8!(5!因为函数*##$$./0##1 ##.%$的最小正周期为!(所以 $!(则#$&(所以*##$$./0 !
’ # ’
#! $ #& !$ # !$ # &! !$
对于#(法一,* )# $./0 !) $./0#!)&#$$./0&#(*#1 $./0 1 $./0#!$
’ ’ ’ ’ ’ ’
!高三开学考"数学参考答案!第!!!!!页#共"页$% 新高考
书书书#! $ # !$
$)./0&#(* )# %*#1 (则#错误+
’ ’
#! $ # !$ ! ! # !$ #!$
法二,* )# $*#1 意味着*##$的图象关于直线#$ 对称(将#$ 代入*##$$./0 (得*
’ ’ ’ ’ ’ ’
#! $
$%(*##$的图象关于点 (% 对称(则#错误+
’
# !$ # ! !$ # !$
对于((&$23.&#) $23. ) $./0 (则(正确+
" ’ & ’
# !$ # ! !$ # &!$ # ! $ # !$ # &!$
对于5(*#1 $./0 1 $./0 (* ) )# $./0 )!) $)./0 $
" ’ ’ ’ & ’ ’
# !$
)*#1 (则5正确+
"
! ! ! ,! ! ! ! ! 槡’ - !.
对于-(%(#(
&
(
’
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时(
&
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*## ! $$./0&# ! 1 ’ $ !% +当 & " ’ ( ’ (即 !& "#( & 时() & (*##$"!(/# && !& ( & (使得*## & $$
# !$ 8 - !. 8
./0&#
&
1
’
$
!%
!所以在 %(
&
上(*##$$
!%
有两解(则-错误!故选(5!
!%!#(-!由题意($0"(所以"1$$"("$$$(所以0#"1$$$0#"$(0#"$$$0#$$(则#(-错误+0#$1"$$
0#"$$ 0#$$ 0#"$$ 0#$$
$ (则(错误+0#"1$$$ $ $!(则5正确!故选#(-!
0#"$ 0#"$ 0#$$ 0#$$
9% 911!
!!!#5-!对于#(因为9%.%911!)19%(所以#11!$9%.%911!(即 . (则#正确+
% 11!
9# ##)!$9# 9% 911!
对于((令*##$$ ##.!$(则*2##$$ .%(所以*##$在#!(1:$上单调递增+由 . (得*#%$
# #& % 11!
#!$%)! #!$1
.*#11!$(所以%.11!(即%)!.1(所以 " (则(错误+
& &
槡& 槡&
对于5(因为%.11!(所以&%),1&)1.&1)’1&)1)&槡&1)’"&)1$&槡&)’$ (所以&%),1&)1. (则5正确+
& &
对于-(因为%11.11!11$&11!.’(所以;3<’ #%11$.!(则-正确!故选#5-!
- ! !.
!&!#(-!根据题意(!)#&)%且!),&&)%(即#&-)!(!.(&& ) ( (显然当#&"%时(不满足-的方程+当#&
& &
)%时(两边平方化简(得#&1,&&$!(曲线-表示椭圆#&1,&&$!在第一象限和第三象限内的部分及坐标轴上的点(
如下图所示,
用)#()&分别代替#(&(-的方程不变(所以曲线-关于原点对称!故#正确+
! ! !
设0##(&$(则1/01&$#&1&&$#!),&&$1&&$!)’&&!由%(&&( (得 (!)’&&(!(所以 (1/01(!!故(
, , &
正确+
对于5(曲线-与坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示#"("($($ 是曲线与坐标轴交点$(
! & ! &
!
以/"
!
(/$
!
为邻边作矩形/"
!
.$
!
(则阴影部分的面积3"&3矩形/"!.$! $&+!+
&
$!(故5错误+
! !
对于-(易知直线&$) #1槡&在曲线-上方(且没有公共点!设&$) #1)(与#&1,&&$!联立消去&(得&#&)
& &
! 槡& 槡&
,)#1,)&)!$%(若直线&$) #1)与椭圆-相切(则$$!")&)6#,)&)!$$%(解得)$* +当)$ 时(切点在
& & &
!高三开学考"数学参考答案!第!!!!&页#共"页$% 新高考槡&
! 槡& ! & 槡!%
第一象限(所以直线&$)
&
#1
&
与直线&$)
&
#1槡&间的距离即为 0. 的最小值(即 0.
=/0
$
槡4
$
4
(所
&
槡!%
以10.1) (故-正确!故选#(-!
4
!’!&!由题意(得圆-的圆心-#’(!$(半径4$’(直线5过定点0#!(&$(点0在圆-内!所以当0-25时("$ 取得最小
!)& !
值(此时0-的斜率6$ $) (故5的斜率为&!
’)! &
!,!7#或6或8或!%$!去掉%后的七个数从小到大排列为"(7(7(6(6(8(!%(下四分位数就是第二个数7(且第&个数和
第’个数都是7+而八个数的下四分位数是从小到大排列后(第二个数和第三个数的平均值(所以只要%)7(全部八个
数从小到大排列后第&个数和第’个数就都还是7(下四分位数就不会变!所以整数%的值可以是7(或6(或8(或!%!
!4!&6#和#),! # 槡 ’ #1 槡 ! # $6 展开式的通项为7 41! $54 6 #槡 ’ #$6)4 # 槡 ! # $4 $54 6 "# !" " )44#%(4(6$(由 !" " )44 &!(得4$&或
6(7 $5&"#$&6#(7 $56"#),$#),(故有理项是&6#和#),!
&1! 6 61! 6
++* ++* ++*
!"!&7!!法一,设正方体的棱长为((取空间的一个基底&"$("-("8’(设!是平面"的一个方向向上的单位法向量!由空
++* ++* ++* ++* ++* ++*
间向量基本定理(存在唯一的有序实数组##(&(’$(使得!$#"$1&"-1’"8!由题意("$("-("8在!方向上的投
++* ++* ++* ++* ++* 槡&
影向量的长度分别为槡&(槡’(&!于是(!""$$槡&(即##"$1&"-1’"8$""$$槡&(即#(&$槡&(即#$ !同理(
(&
槡’ & ! ++* ++* ++* ! !
&$ (’$ !从而!$ #槡&"$1槡’"-1&"8$!由1!1$!(得 槡&(&1’(&1,(&$!(即 "’($!(解得($’(所
(& (& (& (& (&
以正方体的外接球半径为
’槡’
(外接球的表面积为,!
#’槡’$&
$&7!!
& &
法二,如图(连结$-(-8($8(过"向上作平面"的垂线段"9(接下来以"9为一
条体对角线(同时将顶点"处的三条棱放在正方体的棱"$("-("8上作一个长方
体("$2("-2("82是长方体的三条棱#图略$(则"$2&1"-2&1"82&$"9&(则
"$2& "-2& "82&
23.&-$"9 1 23.& --"9 1 23.& -8"9 $ 1 1 $
"9& "9& "9&
"$2&1"-2&1"82&
"9&
$!!作$$ !2"于$
!
(-- !2"于-
!
(88 !2"于8
!
+连结"$
!
(
"-
!
("8
!
(令-$"$
!
$%(--"-
!
$&(-8"8
!
$’ (由23.&-$"9123.&--"91
23.&-8"9$!(可得./0&%1./0&’1./0&&$!(设正方体的棱长为((因为$$
!
$槡&(--
!
$槡’(88
!
$&((所以
#槡
(
&$&
1
#槡’$&
1
#&$&
$!(解得(&$8(故该正方体外接球半径为
槡’(
$
’槡’
(外接球的表面积为,!+
#’槡’$&
$&7!!
( ( & & &
!7!#!$证明,因为( $&(1&11!(
11! 1
( ( ( (
等式两边同除以&11!(得 11!$ 11!(即 11!) 1$!(………………………………………………………………’分
&11! &1 &11! &1
所以数列 &( 1 ’ 是首项为 % (公差为!的等差数列!……………………………………………………………………4分
&1 &
#&$解,由#!$得 ( 1$ % 1#1)!$(因此($%"&1)!1#1)!$"&1! ………………………………………………"分
&1 & 1
由( 11!.(
1
对1&"3恒成立(得%"&111"&11!.%"&1)!1#1)!$"&1对1&"3均成立!
因为&1)!.%(不等式两边同除以&1)!(得&%1,1.%1&1)&(
即%.)&1)&对1&"3恒成立(………………………………………………………………………………………6分
当1$!时()&1)&取最大值),(所以%.),(
所以实数%的取值范围为#),(1:$! ………………………………………………………………………………!%分
!6!#!$证明,在,"$:中(由余弦定理(得$:&$":&1"$&)&":+"$+23."(即!$":&1’)’":(解得":$!或&!
………………………………………………………………………………………………………………………………!分
++* ++*
当":$!时(由"8$’":(得8:$&("8$’!
槡’
在,"$8中(由余弦定理(得$8&$"8&1"$&)&"8+"$+23."$81’)&+’+槡’+ $’(
&
所以$8$槡’!
! &! !
此时$8$"$(-$8"$-$"8$ (-"$8$ . !……………………………………………………………’分
" ’ &
!高三开学考"数学参考答案!第!!!!’页#共"页$% 新高考++* ++*
当":$&时(由"8$’":(得8:$,("8$"!
槡’
在,"$8中(由余弦定理(得$8&$"8&1"$&)&"8+"$+23."$’"1’)&+"+槡’+ $&!(
&
"$&1$8&)"8& ’1&!)’"
所以23.-"$8$ $ "%(
&+"$+$8 &+槡’+槡&!
!
又-"$8&#%(!$(所以-"$8. !……………………………………………………………………………………4分
&
!
综上(-"$8. !………………………………………………………………………………………………………"分
&
#&$解,因为$8$槡’":(结合#!$得$8$槡’(":$!!…………………………………………………………………7分
设--$8$"(则--$&"(
-8 $8
在,$-8中(由正弦定理(得 $ (
./0" ./0&"
! 槡’
即 $ 4./0&"$槡’./0"(………………………………………………………………………………………6分
./0" ./0&"
所以&./0"23."$槡’./0"(
! 槡’ !
由%"&"1""!(可得%""" (所以23."$ (得"$ (
’ & "
! !
则--$ (--8$$ (所以四边形"$-8的面积
’ &
! ! ! 4槡’
3$3
,"$8
13
,$-8
$
&
+槡’+’+./0
"
1
&
+槡’+!$
,
!………………………………………………………!&分
!8!#!$解,几何体/"$-8/ 是三棱台(证明如下,…………………………………………………………………………!分
!
由条件知8/ !5"/(又"/6平面"/$(8/ !7平面"/$(
所以8/ !5平面"/$(同理(-/ !5平面"/$!
因为8/ !#-/
!
$/
!
(所以平面8-/ !5平面"/$!……………………………………………………………………’分
另一方面(延长"8(// 交于点.(如图(
!
!
因为8/ !5"/且8/
!
$
’
"/(
所以 / ! . $ / ! . $ 8/ !$ ! (解得/.$ ! //!
/.1// /. "/ ’ ! & !
! ! !
!
同理(延长$-(// 交于点.2(也可得/.2$ //(
! ! & !
故点.和点.2重合(即"8($-(// 延长后交于同一点.(
!
从而几何体/"$-8/ 是三棱台!…………………………………………………………"分
!
#&$解,因为/"2//
!
(/$2//
!
!
所以-"/$是直二面角" //
!
$的一个平面角(
从而/"2/$!……………………………………………………………………………………………………………7分
以/为原点(/"(/$(//
!
所在直线分别为#轴(&轴(’轴建立如图所示的空间直角坐标系(
则/#%(%(%$("#’(%(%$($#%(’(%$(-#%(!(槡’$(/
!
#%(%(槡’$!
………………………………………………………………………………………6分
++* ++* ++* ++*
所以"-$#)’(!(槡’$($/
!
$#%()’(槡’$("-"$/
!
$)’1槡’+槡’$%(
++* ++*
所以$/ !2"-(又因为$/
!
"/-$)’1槡’+槡’$%(所以$/ !2/-!
而"-(/-6平面"/-("-#/-$-(
++*
所以$/ !2平面/"-($/
!
是平面/"-的一个法向量!………………………8分
设!$##(&(’$是平面/
!
"-的一个法向量(
++*
++* &!""-$%( &)’#1&1槡’’$%(
由/ ! -$#%(!(%$及 ++* 得
!"/
!
-$%( &$%(
取’$槡’(得!$#!(%(槡’$! ……………………………………………………………………………………………!!分
设二面角/ "- /
!
的大小为%(由图可知(%为锐角(
++*
所以23.%$ 23./!($ ++ / * ! 0$ ! !"$ $ ++ / / * ! $ 槡 , ’ (
!
槡’
即二面角/ "- / 的余弦值是 !…………………………………………………………………………………!&分
! ,
!高三开学考"数学参考答案!第!!!!,页#共"页$% 新高考91$ &%+!&%% $!&(
! &%%%
&%!解,#!$设抽取的&%人中(男1女生人数分别为1
!
(1
&
(则8
&%+6%%
:1
&
$
&%%%
$6(
所以#$!&)4)&$4(&$6)!)%$7!
列联表如下,
男生 女生 总计
不填报 4 7 !&
填报 7 ! 6
总计 !& 6 &%
………………………………………………………………………………………………………………………………’分
零假设为
9,)是否填报考古专业*与性别无关联!………………………………………………………………………………,分
%
根据列联表中的数据(经计算得到
&%+#4+!)7+7$&
(&$
!&+6+6+!&
;,!&%!.’!6,!$#
%!%4
!………………………………………………………………………4分
根据小概率值"$%!%4的独立性检验(我们推断9
%
不成立(即认为)是否填报考古专业*与性别有关联(此推断犯错误
的概率不大于%!%4!………………………………………………………………………………………………………"分
#&$;的可能取值为%(!(&(’(……………………………………………………………………………………………7分
0#;$%$$ 5’ 4 15! 4 5! 4 5! &$ "% +
5’ &&%
!&
0#;$!$$ 5! 4 5& & 15& 4 5! & 15& 4 5! & 15& 4 5! 4$ 84 +
5’ &&%
!&
0#;$&$$ 5! 4 5& & 15! 4 5& 4$ 44 +
5’ &&%
!&
0#;$’$$ 5’ 4$ !% !…………………………………………………………………………………………………!!分
5’ &&%
!&
"% 84 44 !% ,7
所以:#;$$%+ 1!+ 1&+ 1’+ $ !……………………………………………………………!&分
&&% &&% &&% &&% ,,
&!!解,#!$当($!时(*##$$9&#)#!$9#(
则*#%$$9%)9%$%(切点为#%(%$!………………………………………………………………………………………!分
*2##$$9##&9#)&#)’$(*2#%$$9%#&9%)’$$)!(切线斜率为)!(…………………………………………………&分
所以所求切线方程为&)%$)##)%$(即#1&$%! …………………………………………………………………’分
#&$法一,*2##$$9##&(9#)&#)’$(
令+##$$&(9#)&#)’(
因为("%(所以+##$在#上单调递减+…………………………………………………………………………………,分
又当#"%时(9#"!(&(9#.&((
#&()’$
所以+ .&()#&()’$)’$%(
&
又+#%$$&()’"%(
#&()’ $
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’ ’
所以9#%$ % .%(($ % (
&( &9#%
’
因为("%(所以&#
%
1’"%(# %")
&
(由题意# %.)&!………………………………………………………………6分
故当#&#)&(#
%
$时(+##$.%(*2##$.%(*##$单调递增+
# ’$
当#& #
%
()
&
时(+##$"%(*2##$"%(*##$单调递减(
# ’$
*##$在# % 处取得极大值(# %& )&() & ! …………………………………………………………………………8分
’ # ’$ )&#)!
令%##$$ (#& )&() (则%2##$$ .%(
&9# & &9#
# ’$
所以%##$在 )&() 上单调递增(…………………………………………………………………………………!!分
&
)! )9& # ’$
而%#)&$$ $ (% ) $%(
&9)& & &
!高三开学考"数学参考答案!第!!!!4页#共"页$% 新高考9&
所以) "("%(
&
# 9& $
故实数(的取值范围为 ) (% !……………………………………………………………………………………!&分
&
法二,由题意(*2##$$9##&(9#)&#)’$在#)&(1:$上有零点(
即函数,##$$&(9#)&#)’在#)&(1:$上有零点(
即方程&($9)##’$在#)&(1:$上有实根!………………………………………………………………………,分
令+##$$9)##’$(则+2##$$9)##)&#)!$!
! !
考虑到#.)&(则+2##$.%<)&"#") ++2##$"%<#.) (
& &
# !$ # ! $
所以+##$在 )&() 上单调递增(在 ) (1: 上单调递减(
& &
所以#$) !
&
是+##$的最大值点(即+##$
=>?
$+ # ) !
&
$ $&9 ! &!……………………………………………………"分
# ’$
又+ ) $%(+#)&$$)9&(当#*1:(+##$$9)##’$*%(…………………………………………………7分
&
函数&$+##$##.)&$的图象见右图!
9&
由题意(+#)&$$)9&"&("%(即) "("%!…………………………………………8分
&
9& # ’$
当) & "("%时(设# %& )&() & (使+## % $$&(!
当)&"#"#
%
时(+##$$9)##’$"&((
即&(9#)&#)’.%(*2##$.%(*##$单调递增+
’
当# %"#")
&
时(+##$$9)##’$.&((&(9#)&#)’"%(*2##$"%(*##$单调递减!
# ’$
所以# %& )&() & 0#)&(1:$(且# % 是*##$的极值点!
# 9& $
故所求实数(的取值范围是 ) (% !………………………………………………………………………………!&分
&
&&!#!$解,设0##(&$(
由题意(得槡##)!$&1&&$ # 1!(……………………………………………………………………………………!分
两边平方并整理(得&&$&# 1&#!
故所求-的方程为&&$&# 1&#!……………………………………………………………………………………’分
&,#(#)%(
#&$证明,-的方程为&&$&# 1&#$ ……………………………………………………………………,分
%(#"%!
当直线5的斜率不存在时(点"($关于#轴对称(存在-上的点0##
%
(%$## %(%$(使6
/0
$%(6
0"
16
0$
$%(显然直线
0"(/0(0$的斜率成等差数列+…………………………………………………………………………………………4分
当直线5的斜率存在且不为%时(可设直线5的方程为#$%&1!#%%%$(
&&&$,#(
联立 消去#(得&&),%&),$%($$!"%&1!".%!
#$%&1!(
设"##
!
(&! $($##
&
(&& $(则&! 1&& $,%(&!&& $),!…………………………………………………………………"分
若存在点0##
%
(&% $满足条件(则&6
/0
$6
0"
16
0$
(
即&"
&%$ &% )&!1 &% )&&(……………………………………………………………………………………………7分
# #)# #)#
% % ! % &
因为点0("($均在抛物线&&$,#上(所以#
%
$ &
,
& %(#
!
$ &
,
& !(#
&
$ &
,
& &!
所以
6
$
,#&% )&! $
1
,#&% )&& $
$
,
1
,
$
6&% 1,#&! 1&& $
(
&% && % )&& ! && % )&& & &% 1&! &% 1&& && % 1#&! 1&& $&% 1&!&&
将&! 1&& $,%(&!&& $),代入得
&
6
%
$
&& %
6&
1
%
,
1
%&
!"
%
%
),
(整理得%&% )&$%(…………………………………………………………………………………8分
&
因为%%%(所以&% $
%
(………………………………………………………………………………………………!%分
!
代入&&$,#(得#
%
$
%&
!
#! &$
此时(存在-上的点0 ( (使得直线0"(/0(0$的斜率成等差数列!………………………………………!!分
%& %
综上(存在-上的点0使得直线0"(/0(0$的斜率成等差数列!…………………………………………………!&分
!高三开学考"数学参考答案!第!!!!"页#共"页$% 新高考
