高三数学答案_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考_2023河北省“五个一”名校联盟高三上学期期末联考数学

河北省“五个一”名校联盟 2023 届高三年级联考（2022.12） 数学试卷 命题单位：石家庄市第一中学 （满分：150分，测试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A  x 1 2x  2,xR  ，集合 B   x 1log x 2,xR  ，则集合 2 AB （ ）  1        A. x 0 x1 B. x x1 C.x  x1 D. x x4  2  答案：C. 2.已知(3i)z 4i，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ） 13 1 13 1 A. B. C. i D. i 10 10 10 10 答案：B. 3.已知 p:x 3或 y 7，q:xy 21，则 p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B. x2 y2 4.已知双曲线C:  1(a 0,b 0)，左、右焦点分别为F、F ，O为坐标原点， a2 b2 1 2 P为右支上一点,且 OP = a2 b2 ,O到直线PF 的距离为b，则双曲线C的离心率为 2 （ ） A. 2 B. 5 C. 6 D.2 2 答案：B. 高三年级五校联考数学试卷 第1页 （共11页）x3 2 4y3 1 5.已知x0,y 0，且xy 1，则  的最小值为（ ） x y A. 22 2 B. 4 C. 4 2 D.42 2 答案：D. 6.设异面直线a,b所成的角为50，经过空间一定点O有且只有四条直线与直线a,b所成 的角均为，则可以是下列选项中的（ ）   5  A. B. C. D. 6 3 12 2 答案：C. 12 7 4 7.设a  ，bln ，csin ，那么以下正确的是（ ） 13 4 3 A.a bc B. ca b C.a cb D.cba 答案：B. 1 8.已知点列P 在△ABC内部，△ABP 的面积与△ACP 的面积比为 ，在数列 a 中， n n n 3 n    a 1，若存在数列使得对nN*，AP 3a AB(4a 3)AC 都成立， 1 n n n n n n1 n 那么a （ ） 4 A. 15 B.31 C.63 D.127 答案：D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9.下列说法错误的是（ ） 7 A.甲乙丙丁四个人排队，事件A：甲不在排头，事件B：乙不在排尾，那么P(B A) ； 9 B.若随机变量服从二项分布B(100,0.6)，则P(0) 0.6100； C.若随机变量服从正态分布N(100,64)，则E100,D8； D.E(4X 1)4E(X)1，D(4X 1)16D(X)1. 答案：BCD 高三年级五校联考数学试卷 第2页 （共11页） 10.已知函数 f(x)2sin(2x)1(0) ，其一个对称中心为点( ,1)，那么以下 6 正确的是（ ）  A.函数 f(x)的图像向右平移 个单位后，关于y轴对称； 12  B.函数 f(x) 的最小正周期为 ； 2   7  C.不等式 f(x)0的解集是x k  xk ,kZ ；  4 12     36 D.当x  ,0 时， f(x) x0恒成立.    12   答案：ACD. 11.已知x,y,z均为正数，a  x2 xy y2 ，b y2 yzz2 ，c x2 xzz2 ， 则三元数组(a,b,c)可以是以下（ ） A.(1,2,3) B.(3,4,9) C.(5,6,10) D.(7,8,13) 答案：CD. 12.已知等腰三角形ABC，AC BC 3，AB 3 3，D为边AB上一点，且AD  3， 2 沿CD把△ADC向上折起，A到达点P位置，使得二面角PCDB 的大小为 ，在 3 几何体PBCD中，若其外接球半径为R，其外接球表面积为S，那么以下正确的是（ ） 3 10 A.CD  3 B.PB  C.R 3 D.S 39 2 答案：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分. 1 13.在(x )9的展开式中，常数项是第 项. x2 高三年级五校联考数学试卷 第3页 （共11页）答案：4. 14.已知函数 f(x)lg(ax26x5) 的值域为R，那么a的取值范围是 .  9 答案： 0,    5 x2 y2 15.已知椭圆  1上有不同的三点A,B,C ，那么△ABC面积最大值是 . 10 5 15 6 答案： . 4 16.对x(0,)，都有 f(x) x3(e2m)x2 xexe(lnx1)0 恒成立，那么 m的取值范围是 . e 答案：(, 1] 2 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列 a ，其前n项和S n2 6n1， n n （1）求数列 a 的通项公式； n （2）若b 2n，求数列 a b 的前n项和T . n n n n 解析：（1）由题意可知，S n2 6n1， n S (n1)26(n1)1(n2) ................................................................................2分 n1 两式作差，可得a 2n7(n2)，当n1时，a S 4， n 1 1 2n7 (n2) 所以a  ..............................................................................................4分 n 4 (n1) （2）由题意可知，a b (2n7)2n (n2) ，ab 8 (n1) n n 1 1 高三年级五校联考数学试卷 第4页 （共11页）那么T 8a b a b ......a b ，......................................................................6分 n 2 2 3 3 n n 可知： T 2(5)2(3)22(1)23......(2n7)2n，两边乘以2，可得： n 2(T 2)(5)22(3)23(1)24......(2n7)2n1，......................8分 n 两式作差可得： 所以(T 2)102n28(2n7)2n1， n 即：T (2n9)2n120....................................................................................10分 n 18. 已 知 在 如 图 所 示 的 三 棱 锥 ABCD 中 ，  BD 4,BA2 3,BC 2 2 ，BADBCD ， 2 面BAD 面BCD， （1）求棱AC 的长度； （2）求直线CD与平面ABC所成角的正弦值. 解析：由题意，取 BD中点设为O，在面 BAD 内做Oz  BD，以O为坐标原点， OC,OD,Oz分别为x,y,z轴正方向，如图所示建立空间 直角坐标系，...........................................1分 （1）在直角三角形ABD内，过A做AE  BD于E，可 求AD 2，那么 ABAD AD2 AE   3，DE  1，...................2分 BD BD 所以OE 1， 那么A(0,1, 3)，C(2,0,0)，所以 AC 2 2 .....................................................................4分 高三年级五校联考数学试卷 第5页 （共11页）（2）由题意，B(0,2,0)，D(0,2,0)，   那么BA(0,3, 3)，BC (2,2,0)，...........................................................................6分  设平面ABC的法向量为m(x,y,z)，那么：    BAm0 3y 3z 0   ，整理可得 ， BCm0 2x2y 0  令y=1，那么m(1,1, 3)，......................................................................................8分  而CD (2,2,0)，...........................................................................................................9分   直线CD与平面ABC所成角的正弦即为CD与m所成角的余弦，     CDm (2,2,0)(1,1, 3) 10 所以cosCD,m     CD  m 2 2 5 5 10 所以直线CD与平面ABC所成角的正弦为 .........................................................12分 5 19.在三角形ABC中，若sin2 Asin2 Bsin2C 2 3sin AsinBsinC ， （1）求角A的大小； （2）如图所示，若DB 2，DC 4，求DA长度的最大值. 解析：由题意可知，由正弦定理可得：a2 b2 c2  2 3bcsinA， 再由余弦定理可得：b2 c2 2bccosAb2 c2  2 3bcsinA ， .......................................................................................................2分 即：b2 c2  3bcsinAbccosA，整理可得： b c    3sin AcosA 2sin(A ) ，...........................................3分 c b 6 高三年级五校联考数学试卷 第6页 （共11页）b c 可知左边   2，当且仅当bc时， c b   右边 3sin AcosA2sin(A )2，当且仅当A ， 6 3 左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，  所以，A .............................................................................................................5分 3 （2）由（1）可知：bc,所以三角形ABC是正三角形. 设BDC ，BCD ，那么由余弦定理可得： BC2 416224cos2016cos，即： BC  2016cos，同样CA 2016cos，...........................................7分 在三角形BDC中，由正弦定理可得： 2016cos 2  ，整理得： sin sin sin sin ，.............................................................................................9分 54cos 2cos 因为BDCD，所以为锐角，那么cos ，........................10分 54cos  1 3 2cos 3sin 那么cos( ) cos sin ，所以 3 2 2 2 54cos  DA2 162016cos8(2cos 3sin)2016sin( )36 ， 6 2 当且仅当 时取得等号，所以DA最大值为6............................................12分 3 20. 甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜4局者获得这次比赛的胜利，比赛结束， 假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局 比赛均为甲获胜， （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望. 解析：用 A 表示事件：第i局甲获胜（i 3,4,5,6,7），用B 表示事件：第i局乙获胜 i i 高三年级五校联考数学试卷 第7页 （共11页）（i 3,4,5,6,7）， .............................................................1分 （1）记A表示事件：甲获得这次比赛的胜利，记B表示事件：乙获得这次比赛的胜利， 那么P(A)1P(B)1P(B B B B )P(A B B B B )P(B A B B B ) 3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 1 1 1 13 P(B B A B B )P(B B B A B )1( )4 C1( )4 .......................4分 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 2 2 4 2 16 （2）表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由题意可取2，3，4，5， 1 1 那么P(2)P(A A )( )2  ， 3 4 2 4 1 1 1 P(3)P(B A A )P(A B A ) C1( )2 ， .......................7分 3 4 5 3 4 5 2 2 2 4 1 1 1 1 P(4)P(B B B B )P(AB B A )P(B A B A )P(B B A A ) C (2 ) 3( ) 4 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 2 3 2 2 4 1 P(5)1P(2)P(3)P(4) .......................................................10分 4 1 1 1 1 7 所以E2 3 4 5  . ....................................................12分 4 4 4 4 2 21.已知函数 f(x)ex，g(x)x2. （1）若 f(x)ax1恒成立，求a. （2）若直线l与函数 f(x)的图像切于A(x ,y )，与函数g(x)的图像切于B(x ,y )，求 1 1 2 2 1 证：x x  . 1 2 4 解：（1）设函数h(x)ex ax10，发现h(0)0，所以h(x)ex ax1h(0)恒成立， 那么x0是函数h(x)的最小值点，也就是极小值点，所以h'(0)0， 求导：h'(x)ex a，把x0代入得：a1.....................................................................2分 证明：当a1时，h(x)ex x1，求导：h'(x)ex 1， 当x0时，h'(x)0，h(x)单调递减；当x0，h'(x)0，h(x)单调递增. 所以h(x)h(0)0. 高三年级五校联考数学试卷 第8页 （共11页）所以a1..................................................................................................................................4分 （2）由题意可知： f'(x)ex，g'(x)2x， ex 1 (x2) 那么：ex 1 2x  2 ..........................................................................................6分 2 x x 1 2 2x (x2) 解之可得：2x  2 2 ，即x 2x 2， 2 x x 2 1 1 2 所以x 满足ex 1 2(2x 2)，即ex 1 2(2x 2)ex 1 4x 40..............................8分 1 1 1 1 3 1 3 令m(x)ex 4x4，可知m(x)单调递增，且m( ) e 20，m( )e4 10， 2 4 1 3 所以  x  ，..........................................................................................................10分 1 2 4 1 而x 2x 2 ， 2 1 2 1 所以x x  ，命题得证.........................................................................................12分 1 2 4 x2 y2 22.已知椭圆C:  1(a b0)，左、右焦点分别为F(1,0)、F (1,0)，左、右 a2 b2 1 2  顶点分别为A、B，若T 为椭圆上一点，FTF 的最大值为 ，点P在直线x4上， 1 2 3 直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB与椭圆C 的另一个交点为 N ，其中 M、N 不与左右顶点重合. （1）求椭圆C的标准方程； （2）从点A向直线MN 做垂线，垂足为Q，证明：存在点D，使得 DQ 为定值. 解 ：（ 1 ） 由 题 意 可 得 ： c1 ， 设 PF r ， PF r ， 那 么 1 1 2 2 r2 r2 4c2 (r r )2 2rr4c2 cosFTF  1 1  1 2 1 1 2 2rr 2rr 1 2 1 2 4b2 2rr 4b2  1  1，....................................................................................................1分 2rr 2rr 1 2 1 2 高三年级五校联考数学试卷 第9页 （共11页）r r  2 可知rr   1 2  a2，当且仅当r r 取得等号， 1 2  2  1 2 4b2 2b2 2b2 所以上式 1 1，即cosFTF 的最小值为 1， 2a2 a2 1 2 a2   1 2b2 又FTF 的最大值为 ，所以cos   1，...........................................2分 1 2 3 3 2 a2 3 x2 y2 所以b2  a2，又c1，所以解得a 2,b 3 ，所以椭圆C的标准方程为  1. 4 4 3 ...........................................................................................................................................4分 （2）由题意可知，直线MN 斜率为0时，显然不成立； 设直线MN :x myt ，点M(x ,y ),N(x ,y )，联立直线MN 与椭圆C： 1 1 2 2 xmyt  x2 y2 ，整理可得：(3m2 4)y2 6mty3t2 120，   1  4 3 6mt 3t2 12 y  y  ,y y  ，...........................................5分 1 2 3m2 4 1 2 3m2 4 y y 由上，设直线MA: y  1 (x2)，直线NB:y  2 (x2)， x 2 x 2 1 2 y y 两直线联立可知交点为P，解之： 1 (42) 2 (42)， x 2 x 2 1 2 y (x 2) 1 y y (x 2) 1 所以： 1 2  ，即： 1 2 2  ..........................................7分 y (x 2) 3 y 2(x 2) 3 2 1 2 1 x2 3 4 y y 1 而 y2 3(1 2 ) (x 2)(x 2)，代入上式， 1 2  ， 2 4 4 2 2 3 (x 2)(x 2) 3 1 2 高三年级五校联考数学试卷 第10页 （共11页）4 y y 1 即： 1 2  ，..........................................................9分 3 (my t2)(my t2) 3 1 2 然后韦达定理代入可得: 4 3t2 12 1   ，解之可得：t 1或2（舍）...........................................11分 3 4(t2)2 3 可知直线MN 过定点E(1,0)，又由条件：AQ  EQ，所以Q在以AE为直径的圆上，圆 1 3 心即为D( ,0)， DQ 为定值 .....................................................................12分 2 2 高三年级五校联考数学试卷 第11页 （共11页）