文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷05·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 30 . 2 ． 3. ＝ 1 ． 4. （ x ﹣ 2 ） 2 （答案不唯一）
5. 9 6. 1 7. 8.
9. ① 10. ． 11. 2 12.（ ]
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13 14 15 16
A D A B
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）【解答】（1）证明： ＝ ，
∴b
n+1
＝a
2n+1
＝a
2n
+1＝a
2n﹣1+1
+1＝2a
2n﹣1
+1＝2b
n
+1，
∴b +1＝2（b +1），
n+1 n
又∵b +1＝a +1＝2≠0，
1 1
∴数列{b +1}是首项为2，公比为2的等比数列．
n
（2）解：由（1）知 ，∴ ，∴ ，
∴S ＝1×2+2×22+3×23+……+n×2n﹣（1+2+3+……+n）
n
令T ＝1×2+2×22+3×23+……+n×2n ①，
n
∴2T ＝1×22+2×23+3×24+……+n×2n+1 ②，
n
①﹣②得：﹣T ＝2+22+23+……+2n﹣n×2n+1＝ ﹣n×2n+1＝（1﹣n）2n+1﹣2，
n
∴T ＝（n﹣1）2n+1+2，
n
又∵1+2+3+……+n＝ ，∴S ＝（n﹣1）2n+1﹣ +2．
n
18．（14分）【解答】（1）证明：取AD中点O，连结OP，连结OC交BD于点F，连结EF．
在△PAD中，因为PA＝PD，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，PO 面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
因为AB 平面ABCD，所以PO⊥AB． ⊂
⊂
因为△ODF∽△CBF，所以 ，又CE＝2PE，
所以 ，所以EF∥PO，
所以EF⊥AD，EF⊥AB．
因为AB，AD 面ABCD，AB∩AD＝A，
所以EF⊥平面⊂ABCD，因为EF 面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD． ⊂
（2）解：以O为坐标原点，OA，OP为x，z轴，过O平行于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（1，0，0），D（﹣1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），
设P（0，0，h），
因 为 ， ，
，
设平面PBD的法向量 ＝（x，y，z），
则 ， ，
令x＝h，则y＝﹣h，z＝﹣1，
所以 ＝（h，﹣h，﹣1）．
设直线DE与平面PBD所成角为 ， ，
θ所 以 ＝
，
当且仅当h＝1时等号成立，因为y＝sin 在 上也是单调增函数，所以当h＝1时，直线DE与
平面PBD所成角最大， θ
此时 ．
综上，直线DE与平面PBD所成角最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为 ．
19．（14分）【解答】解：（1）|F F |＝2 ，
1 2
则c＝ ，
，2a＝|AF |﹣|AF |＝ ，解得a＝1，
1 2
b2＝c2﹣a2＝2，
故双曲线E的方程为 ；
（2）证明：设H（x，y），M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
则 ， ，即 ①， ，
设 ＝ ，
λ
则 （ ≠1），即 ，
λ
故 ， ④，
将①②代入④，则 ⑤，
将③代入⑤，则2[（1﹣ 2）2x﹣（1﹣ 2）]＝（1﹣ 2）y，即4x﹣2＝y，
故点H恒在定直线4x﹣y﹣λ2＝0． λ λ
20．（18分）【解答】（1）设重污染区AQI的平均值为x，
则80×3+116×6+3x＝120×12，解得x＝168，
即重污染区AQI的平均值为168．
（2）①由题意知，AQI在[144，150）内的天数为1，
由频率分布直方图可知，AQI在[48，144）内的天数为 ×24×30
＝17，
故2018年9月份的30天中AQI小于150的天数为1+17＝18，
又 ，
则小孟星期日去踢球的概率为 ．
②由题意知，X服从参数为N＝30，M＝12，n＝3的超几何分布，
X的所有可能取值为0，1，2，3，＝
，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望 ．
21．（18分）【解答】（1）解：当a＝﹣2时，可得 ，
可得 ，所以f′（2）＝2且f（2）＝4﹣2ln2，
所以切线方程为y﹣（4﹣2ln2）＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣2ln2＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣2ln2＝0．
（2）解：由函数 ，可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又由 ，令f′（x）＝0，解得x ＝a，x ＝1，
1 1
当a＜0时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） ↓ 极小值 ↑
所以函数的极小值为 ，也是函数f（x）的最小值，
所以当a＜0时，函数f（x）的最小值为 ；
（3）解：当a＝0时， ，令f（x）＝0，解得x ＝2，x ＝0（舍去）所以函数y＝f（x）
1 2
在（0，+∞）上有一个零点；
当0＜a＜1时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）上单调递减，
此时函数f（x）的极大值为 ，
所以函数y＝f（x）在（0，1）上没有零点；
又由 且函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
且当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以函数f（x）在（1，+∞）上只有一个零点，
综上可得，当0≤a＜1时，f（x）在（0，+∞）上有一个零点．
