文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|x2﹣ax+b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，则ab＝ 3 0 ．
【分析】先求出A＝{3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}；
若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，
则B＝{2，3}；
∴ ；
∴a＝5，b＝6；
∴ab＝30，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，属于基础题．
2．已知（1+2i）z＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】用复数的除法运算求出z，求模长．
【解答】解：由（1+2i）z＝3﹣4i得 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．长轴长为4且一个焦点为F（1，0）的椭圆的标准方程是 ＝ 1 ．
【分析】根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解．
【解答】解：∵椭圆的长轴长为4，
∴2a＝4，即a＝2，
∵焦点为F（1，0），
∴c＝1，且焦点在x轴上，∴b2＝a2﹣c2＝3，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
4．请写出一个函数f（x）＝ （ x ﹣ 2 ） 2 （答案不唯一） 使之同时具有如下性质：
（1）函数f（x+2）为偶函数；
（2）f（x）的值域为[0，+∞）．
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求函数函数f（x+2）为偶函数，则函数f（x）关于直线x＝2对称，
而f（x）的值域为[0，+∞），f（x）可以为二次函数，
如f（x）＝（x﹣2）2，
故答案为：（x﹣2）2（答案不唯一）．
【点评】本题考查偶函数的定义，涉及函数的值域，属于基础题．
5．已知lg（x+2y）＝lgx+lgy，则2x+y的最小值为 9 ．
【分析】由题意得x＞0，y＞0且 + ＝1，化简2x+y＝（2x+y）（ + ）＝5+ + ，从而求得．
【解答】解：∵lg（x+2y）＝lgx+lgy，
∴x＞0，y＞0，且x+2y＝xy，
故 + ＝1，
故2x+y＝（2x+y）（ + ）＝5+ +
≥5+2×2＝9，
（当且仅当 ＝ ，即x＝y＝3时，等号成立）
故答案为：9．
【点评】本题考查了对数运算性质及基本不等式的应用，属于基础题．
6．已知{a }是公比为q（q＞0））的等比数列，且a 、a 、a 成等差数列，则q＝ 1 ．
n 2 4 6
【分析】由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式，即可得出答案．
【解答】解：因为{a }是公比为q的等比数列，且a 、a 、a 成等差数列，
n 2 4 6所以2a ＝a +a ，
4 2 6
即2 ＝ ，
所以q4﹣2q2+1＝0，
则q2＝1，解得q＝±1，
又q＞0，则q＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列的性质及等比数列通项公式的应用，考查转化思想和方程思想，考查运算能
力，属于基础题．
7．已知向量 和向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为： ．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量 ， ，
则 在 上的投影向量的坐标为 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
8．如图，正方体ABCD﹣A B C D 中，E为AB的中点，F为正方形BCC B 的中心，则直线EF与侧面
1 1 1 1 1 1
BB C C所成角的正切值是 ．
1 1
【分析】由直线与平面所成角的作法可得∠EFB为直线EF与侧面BB C C所成的角，然后求解即可．
1 1
【解答】解：连接BC ，
1
∵EB⊥平面BB C C，
1 1
则∠EFB为直线EF与侧面BB C C所成的角，
1 1
设|AB|＝2，则|BE|＝1， ，
则 ＝ ，
则直线EF与侧面BB C C所成角的正切值是 ．
1 1
故答案为： ．
【点评】本题考查了直线与平面所成角的作法，重点考查了直线与平面所成角的求法，属基础题．
9．某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温z（单位：）之间有如表数据：
x/℃ ﹣2 ﹣1 0 1 2
y/百元 5 4 2 2 1
甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得
到3个线性回归方程：① ＝﹣x+2.8：② ＝﹣x+3；③ J＝﹣1.2x+2.6．其中正确的序号是 ① ．
【分析】计算数据中心（ ， ），根据回归方程过点（ ， ）进行判断．
【解答】解： ＝ ＝0， ＝ ＝2.8，
故线性回归方程过点（0，2.8），
显然只有方程①符合条件，
故答案为：①．
【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题．
10．随机变量 服从正态分布N（1，σ2），随机变量 服从标准正态分布N（0，1），若P（ ＜1）＝P
ξ η η
（ ＜4）＝a，则P（1＜ ＜1+σ）＝ ．（用字母a表示）
ξ ξ【分析】根据随机变量 服从标准正态分布N（0，1），得到P（ ＜ ＜ +σ）＝a﹣ 为定值，再结合
随机变量 服从正态分布ηN（1，σ2），计算P（1＜ ＜1+σ）即可．μ η μ
【解答】解ξ ：随机变量 服从标准正态分布N（0，1ξ），
η
根据对称性可知，P（ ＜0）＝ ，
η
因为P（ ＜1）＝a，所以P（0＜ ＜1）＝a﹣ ，即P（ ＜ ＜ +σ）＝a﹣ ，
随机变量η 服从正态分布N（1，ση2）， μ η μ
ξ
根据对称性可知，P（ ＜1）＝ ，
ξ
P（ ＜4）＝a，则P（1＜ ＜4）＝a﹣ ，即P（1＜ ＜1+σ）＝a﹣ ．
ξ ξ η
故答案为： ．
【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题．
11．已知tan ， 是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3＝0的两个实根，且 ，则k＝ 2 ，
α
sin •cos ＝ ．
α α
【分析】先由根与系数的关系，三角函数值在各象限的符号确定出 k＝2，从而tan + ＝3，再由
α
同角三角函数基本关系式化简整理即可得出sin •cos ＝ ．
α α
【解答】解：根据根与系数的关系得，tan • ＝k2﹣3＝1，∴k＝±2．
α
而3 ＜ ＜ ，∴tan ＞0， ＞0，sin ＜0，cos ＜0．
π α α α α
则tan + ＝k＞0，∴k＝2，
α
根据同角三角函数基本关系式，可得 + ＝2，
∴ ＝2，∴sin •cos ＝ ．
α α
故答案为：2； ．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系应用，同角三角函数基本关系式，三角函数值在各象限
的符号，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝btanA，且B为钝角，则B﹣A＝
；sinA+sinC的取值范围是 （ ] ．
【分析】直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换和二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝btanA，且B为钝角，
故 ，
故sinB＝cosA，
整理得 ；
由于C＝ ﹣（A+B）＝ ＝ ，
π
所以 ，
故sinA+sinC＝sinA+sin（ ）＝sinA+cos2A＝ ，
由于 ，
所以 ，
故 ，
故sinA+sinC的取值范围为（ ]．
故答案为： ；（ ]．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．若直线l的方向向量为 ＝（1，0，2），平面 的法向量为 ＝（﹣2，0，﹣4），则直线l与平面
α α
的关系为（ ）
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．l在 内
【分析】推导出直线l的方向向量和平面 的法向量平行，由此能求出直线α l与平面 的位置关系为垂
直． α α
【解答】解：直线l的方向向量为 ＝（1，0，2），
平面 的法向量为 ＝（﹣2，0，﹣4），
α
∵ ＝﹣2 ，∴ ∥ ，
∴直线l与平面 的位置关系为垂直．
故选：A． α
【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
识，考查运算求解能力，是基础题．
14．如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为
H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH＝2OD，若风景区的修建费
为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（ ）
A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元
【分析】设∠AOC＝ ， ，利用 表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景
区的修建最多需要多少α 费用． α
【解答】解：设∠AOC＝ ， ，则OH＝2cos km，OD＝cos km，
α α α所以矩形ODEH的面积 ，
又 ，
所以风景区面积 ，
当 时，S有最大值 km2，故最多需要 万元的修建费．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．点（2，4）关于直线x﹣2y+1＝0对称的点的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（3，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】设对称点为（s，t），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程即可
得到所求对称点的坐标．
【解答】解：设对称点为（s，t），
∴ ①，（对称点与该点的连线垂直于对称轴）
对称点与该点所成线段的中点为（ ， ）在直线x﹣2y+1＝0上，
∴ ﹣2× +1＝0②，
联立①②解出对称点为（4，0）．
故选：A．
【点评】本题考查点关于直线的对称点问题，考查中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣
1，考查运算能力，属于中档题．
16．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在（﹣∞，1）上为减函数
B．在（2，4）上为增函数
C．在x＝3处取极大值D．f（x）的图象在点x＝1处的切线的斜率为0
【分析】利用用导函数判断函数的单调性和极值点，进而判断 A，B，C的正误；结合图象可知导函数
在x＝1处的符号即可判断D的正误．
【解答】解：由图可知，当x （﹣∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；
当x （0，2）时，f'（x）＜0∈，f（x）是减函数；
当x∈（2，4）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；
故A∈错误，B正确；
由上分析可得：f（x）在x＝4处取得极大值，故C错误；
由图可知：f'（1）＜0，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．已知数列{a }满足 ．
n
（1）设b
n
＝a
2n﹣1
，证明：数列{b
n
+1}为等比数列；
（2）求数列{nb }的前n项和S ．
n n
【分析】（1）先化简 ，再推导出 等于一个常数，即可证得结
论．
（2）结合第（1）问，先求出b ，再结合 的特点．采用错位相减法和分组求和法进行求
n
解．
【解答】（1）证明： ＝ ，
∴b
n+1
＝a
2n+1
＝a
2n
+1＝a
2n﹣1+1
+1＝2a
2n﹣1
+1＝2b
n
+1，
∴b +1＝2（b +1），
n+1 n
又∵b +1＝a +1＝2≠0，
1 1
∴数列{b +1}是首项为2，公比为2的等比数列．
n
（2）解：由（1）知 ，∴ ，∴ ，∴S ＝1×2+2×22+3×23+……+n×2n﹣（1+2+3+……+n）
n
令T ＝1×2+2×22+3×23+……+n×2n ①，
n
∴2T ＝1×22+2×23+3×24+……+n×2n+1 ②，
n
①﹣②得：﹣T ＝2+22+23+……+2n﹣n×2n+1＝ ﹣n×2n+1＝（1﹣n）2n+1﹣2，
n
∴T ＝（n﹣1）2n+1+2，
n
又∵1+2+3+……+n＝ ，
∴S ＝（n﹣1）2n+1﹣ +2．
n
【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了等比数列的定义，以及错位相减法和分组求和法求数列
的前n项和，综合性较强，属于中档题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，底面ABCD是边长为2的正方形，
点E在棱PC上，CE＝2PE．
（1）证明：平面BDE⊥平面ABCD；
（2）当直线DE与平面PBD所成角最大时，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【分析】（1）取AD中点O，连结OP，连结OC交BD于点F，连结EF，根据已知中的两平面垂直证
明PO⊥平面ABCD，根据三角形的相似关系证明EF∥PO，从而EF⊥平面ABCD，利用面面垂直的判
定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法和向量的夹角公式计算出几何体的高，代入锥体的体积公式计
算即可．
【解答】（1）证明：取AD中点O，连结OP，连结OC交BD于点F，连结EF．
在△PAD中，因为PA＝PD，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，PO 面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
因为AB 平面ABCD，所以PO⊥AB． ⊂
⊂因为△ODF∽△CBF，所以 ，又CE＝2PE，
所以 ，所以EF∥PO，
所以EF⊥AD，EF⊥AB．
因为AB，AD 面ABCD，AB∩AD＝A，
所以EF⊥平面⊂ABCD，因为EF 面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD． ⊂
（2）解：以O为坐标原点，OA，OP为x，z轴，过O平行于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（1，0，0），D（﹣1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），
设P（0，0，h），
因 为 ， ，
，
设平面PBD的法向量 ＝（x，y，z），
则 ， ，
令x＝h，则y＝﹣h，z＝﹣1，
所以 ＝（h，﹣h，﹣1）．
设直线DE与平面PBD所成角为 ， ，
θ所 以 ＝
，
当且仅当h＝1时等号成立，因为y＝sin 在 上也是单调增函数，所以当h＝1时，直线DE与
平面PBD所成角最大， θ
此时 ．
综上，直线DE与平面PBD所成角最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为 ．
【点评】本题考查了面面垂直的性质和判定定理，考查了线面角的计算和锥体体积问题，属于中档题．
19．已知双曲线E： 的左、右焦点分别为F ，F ，|F F |＝2 且双曲线E经
1 2 1 2
过点 ．
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，
N的点H，满足 ，求证：点H恒在一条定直线上．
【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的定义，以及双曲线的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，结合M，N为双曲线的点，以及向量的坐标运算，即可求解．【解答】解：（1）|F F |＝2 ，
1 2
则c＝ ，
，
2a＝|AF |﹣|AF |＝ ，解得a＝1，
1 2
b2＝c2﹣a2＝2，
故双曲线E的方程为 ；
（2）证明：设H（x，y），M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
则 ， ，即 ①， ，
设 ＝ ，
λ
则 （ ≠1），即 ，
λ
故 ， ④，
将①②代入④，则 ⑤，
将③代入⑤，则2[（1﹣ 2）2x﹣（1﹣ 2）]＝（1﹣ 2）y，即4x﹣2＝y，
故点H恒在定直线4x﹣y﹣λ2＝0． λ λ
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
20．某市设有12个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分
别设有3，6，3个监测站点，以这12个站点测得的AQI的平均值为依据，播报该市的空气质量．
（1）若某日播报的 AQI为120，已知轻度污染区 AQI的平均值为80，中度污染区 AQI的平均值为
116，求重度污染区AQI的平均值；
（2）如图是2018年9月的30天中，AQI的概率分布直方图，其中分段区间分别为[48，72），[72，
96），[96，120），…，[216，240），9月份仅有1天的AQI在[144，150）内．
①该市市民小孟总是星期日查看官方公布的本市的AQI，如果AQI小于150，小孟就去体育馆踢球，以统计数据中的频率为概率，求小孟星期日去踢球的概率；
②“双创”活动中，验收小组把该市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽
取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于150的天数为X，求X的分布列及数学期望．
【分析】（1）设重污染区AQI的平均值为x，根据条件列出方程，求解x即可；
（2）①根据频率分布直方图求得AQI在[144，150），[48，144）内的天数，根据古典概型概率公式进
行计算即可；
②列出随机变量X的所有取值，求出相对应的概率可得分布列，进一步计算可得期望．
【解答】（1）设重污染区AQI的平均值为x，
则80×3+116×6+3x＝120×12，解得x＝168，
即重污染区AQI的平均值为168．
（2）①由题意知，AQI在[144，150）内的天数为1，
由频率分布直方图可知，AQI在[48，144）内的天数为 ×24×30
＝17，
故2018年9月份的30天中AQI小于150的天数为1+17＝18，
又 ，
则小孟星期日去踢球的概率为 ．
②由题意知，X服从参数为N＝30，M＝12，n＝3的超几何分布，
X的所有可能取值为0，1，2，3，＝
，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望 ．
【点评】本题考查了频率分布直方图，平均值的计算，古典概型以及离散型随机变量的均值等问题，属
于中档题．
21．已知函数 ．（其中a为常数）．
（1）若a＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a＜0时，求函数y＝f（x）的最小值；
（3）当0≤a＜1时，试讨论函数y＝f（x）的零点个数，并说明理由．
【分析】（1）当a＝﹣2时，求得 ，得到f′（2）＝2且f（2）＝4﹣2ln2，进而求得
切线方程；
（2）求得 ，利用导数求得函数f（x）的单调性和极值，即可求解；
（3）当a＝0时，求得y＝f（x）在（0，+∞）上有一个零点；当0＜a＜1时，利用导数求得函数f
（x）的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．
【解答】（1）解：当a＝﹣2时，可得 ，
可得 ，所以f′（2）＝2且f（2）＝4﹣2ln2，
所以切线方程为y﹣（4﹣2ln2）＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣2ln2＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣2ln2＝0．
（2）解：由函数 ，可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），又由 ，令f′（x）＝0，解得x ＝a，x ＝1，
1 1
当a＜0时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） ↓ 极小值 ↑
所以函数的极小值为 ，也是函数f（x）的最小值，
所以当a＜0时，函数f（x）的最小值为 ；
（3）解：当a＝0时， ，令f（x）＝0，解得x ＝2，x ＝0（舍去）所以函数y＝f（x）
1 2
在（0，+∞）上有一个零点；
当0＜a＜1时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：
x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）上单调递减，
此时函数f（x）的极大值为 ，
所以函数y＝f（x）在（0，1）上没有零点；
又由 且函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
且当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以函数f（x）在（1，+∞）上只有一个零点，
综上可得，当0≤a＜1时，f（x）在（0，+∞）上有一个零点．
【点评】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．
