文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考I 卷专用）
黄金卷08·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D C A A A C B B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ACD AD BD BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．4
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
答案：(1) ，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2) ， 万元．
【详解】（1）由题表， ，
因为 ， ， ，
所以 ．
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．（2） ， ，
所以 ．当 时， ．
预测该专营店在 时的利润为 万元．
18．（12分）
【详解】（1）由题设 ，又 ，
所以 是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知： ，则 ，显然 时 成立，
当 有 ，此时 ，
综上， ，得证.
19．（12分）
答案：(1) (2)
【详解】（1）因为点 为 的中点，所以 ，
两边平方可得 ，
故 .
（2）由题意及 ，知 ， ， 两两互相垂直，所以以 为坐标原点，
， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 ，可得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 ，可得 .
设 与 的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，
则 ，
由图观察可得该二面角的平面角为锐角，
故 ， ，所以 ，
即二面角 的平面角的正切值为 .
20．（12分）
答案：(1) (2)
【详解】选①：由 ，
得 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
所以 .
选②：由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
选③：由 得
则
即 ，
且 ，可知 ，则 ，
解得 ，即 ，
，故 .
（2）由 ，得 ，即 .
由余弦定理得 ，所以 .
解得 （舍去）或 ，所以 .
21．（12分）
答案：(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可得，双曲线 的一条渐近线方程为 ， ，
则点 到 的一条渐近线的距离 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）证明：由（1）可得 ， ，
依题意，直线 的斜率一定存在，
所以设直线 ， ， .
因为动直线 与 在第一象限内交于B，C两点，且E的一条渐近线斜率为1，所以 .
联立 整理得 ，
则 ，
根据韦达定理得， ， .
由斜率定义得， ， .
因为 ，所以 ，
化简得， ，即 ，
变形得， ，①
将 代入①整理可得，
，②
将 ， 代入②得，
，
化简得， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 ，此时直线 过点 ，不符合题意；
当 时，直线 ，此时直线 过点 .
综上，动直线 过定点 .
【点睛】关键点点睛：本题第（2）小问中，解题关键在于利用斜率与倾斜角的关系及两角和差的正切公
式，将题中条件 转化成 与 的关系，进而利用韦达定理化简求解.
22．（12分）答案：(1)2；
(2) 证明见解析.
【详解】（1）依题意，设切点 ，求导得 ，
则 ，解得 ，又 ， ，则 ，
所以实数a的值为2.
（2）依题意， 的定义域为 ，
求导得 ，则 有两个不等的正根 ，且是 的变号零
点，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由函数 有两个零点，得 ，解得 ，
此时 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上递增，在 上递减，
则 ，即 ， ，
因此当 时，函数 必有两个零点 ，且是变号零点，由 ，得 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
于是 ，解得 ， ，
因此要证 ，只需证 ，即 ，只证 ，
令 ， ，求导得 ，因此函数 在 上单调递增， ，
所以 .
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
