文档内容
2025年贵州省贵阳市南明区中考第二次模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数中，最小的是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
2．2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联
合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间有剪窗花的习俗，人们用剪
窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，
其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
E．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．南南在画板上画出两条不平行的直线a，b（如图①），他发现，如果利用平移变换就
可以知道这两条直线所成的角的度数：将直线b向左平移与直线a交于一点（如图②），
则直线a，b所成的锐角的度数为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．若一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是（ ）
A．4 B．1 C．0 D．
6．多项式 因式分解正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．某校2025年迎新活动中，九年级（1）班5
名同学参加投壶游戏体验传统民俗，每人有10支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：6，
8，5，9，7（单位：支），某同学求得这组数据的平均数为7支，则这组数据的方差是（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学
者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，
长的蜡烛 在暗盒中所成的像 的长是 ，蜡烛 到小孔O的距离为 ，则
像 到小孔O的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2
个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究
“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试卷第2页，共3页试验次数 100 200 500 1000 2000 3000
“有2个人生肖相同”的次
24 53 126 259 522 780
数
“有2个人生肖相同”的频
0.24 0.265 0.252 0.259 0.261 0.26
率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.24 B．0.25 C．0.26 D．0.27
10．开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，
图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了 ，窗户底边 长是60，则这扇窗户底
边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是（ ）
A． B． C． D．
11．小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲
得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙
两人各有钱若干，若乙将他所有钱的 给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的 给乙，则
乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？
为解决这个问题，小妍设甲原有x钱，乙原有y钱，可以得到方程组（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，若关于x的一元二次方程
（m为实数）在 的范围内有解，则m的取值范围是（ ）
试卷第3页，共3页A． B． C． D．
二、填空题
13．化简 的结果是 ．
14．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O，过点O作 的垂线交
于点E，连接DE．已知 的周长是9cm，则平行四边形 的周长是
cm．
15．如图，已知直线 与直线 ( )交于点 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
16．如图，在矩形 中，点F为边 的中点，点E在边 上，连接 ，两线
段交于点G，过点G作 交 于点H，若 ， ， ，则
试卷第4页，共3页的长为 ．
三、解答题
17．（1）请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算：
① ② ③ ④ ⑤
（2）解分式方程： ．
18．如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数
y（度）与镜片的焦距x（米）是反比例函数关系，图象如图所示：
(1)写出这一函数表达式；
(2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所
配镜片的焦距调整到了0.25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？
19．某市中考改革后，将地理、生物两个科目纳入等级考试，等级分为A，B，C，D四个
等级．规定：这两科考试成绩均达到B等级及以上可以报考省级示范性高中；两科考试成
绩均达到C等级及以上可以报考一般普通高中．某校为了解本届八年级学生地理、生物的
成绩情况，组织了这两科目的模拟考试，并从八年级学生中随机抽取了12名学生的两科考
试成绩制作了如下的统计图．根据这些信息，解答下列问题：
试卷第5页，共3页(1)被抽取的12名学生中，某学生的生物模拟考试成绩为95分，则该生的地理模拟考试成
绩为________分；
(2)根据历届成绩分析，地理成绩达65分及以上能评定为B等级及以上，生物成绩达70分
及以上能评定为B等级及以上．该校本届八年级共有学生480人，请估计该校能报考省级
示范性高中的学生人数；
(3)小沐同学在本次模拟考试中两科成绩均高于95分，爸爸想奖励带她去看两场电影，但
是目前只有四部电影上映（依次记为a，b，c，d），于是爸爸将四张完全相同的卡片分别
写上a，b，c，d，背面朝上洗匀放好，要求小沐从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树
状图的方法，求小沐抽到的两张卡片恰好是a和c的概率．
20．如图，在四边形 中， ，点F，点E分别在边 上，连接
，若 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求 的面积．
21．每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进
一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学
书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元．
(1)求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？
(2)若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购
买心理学书籍a本，付款金额为w元，请求出w与a的表达式，并求当a为多少本时，w
试卷第6页，共3页有最小值，最小值是多少元？
22．某学习小组成员对无人机烟花（如图①）的绽放高度非常感兴趣，开展了“测量无人
机烟花绽放高度”的实践活动．如图②，已知一无人机烟花在A点绽放，测角仪在D处测
得无人机烟花绽放点A的仰角为 ，在F处测得无人机烟花绽放点A的仰角为 ．点
E，C在同一水平地面上，线段 均与地面垂直， ， ．
（参考数据： ， ， ．）
(1)过点A作 于点B，连接 交 于点G，若 ，则 ________m
（用含x的代数式表示）．
(2)在（1）的条件下，求无人机烟花绽放点A离地面的高度．
23．等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．
小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知 的半径长为2，点A，B，C，
D，E，F将 六等分，连接 ， ， ， ，发现 恰好过圆心O，过点C作
的垂线，交 的延长线于点G，连接 ．
(1) ________°；
(2)在（1）的结论下，求 的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
24．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交x轴于A，B两点，
试卷第7页，共3页交y轴于点 ，若点B的坐标为 ，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第
一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接 ，过点D作 轴于点E，交线段 于点F，当点D运动到什么位置时，
线段 有最大值？请求出点D的坐标和 的最大值；
(3)连接 ，若 关于y轴的对称图形是 ，是否存在点D，使得四边形
为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形 是正
方形， 是一个等边三角形，连接 ，则 ________°；
（2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点E在正方
形 内部，且 是一个等边三角形，此时发现点E恰好在AF上，提出问题：你能
证明 吗？
（3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：
在正方形 中，点E在正方形内部，且 是一个等边三角形，以 为边作等边三
角形 ，连接 ，直接写出 的值．
试卷第8页，共3页《2025 年贵州省贵阳市南明区中考第二次模拟考试数学试
卷》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D B D D A B C C C C
13. 14.18 15. 16.
选择题、填空题解法提示
12．C
抛物线 的对称轴为直线 ，
，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ；当 时， ，
关于 的一元二次方程 在 的范围内有解，
抛物线 与直线 在 的范围内有公共点，
．
故选：C．
16．
∵矩形 ，
答案第1页，共2页∴ ， ，
∵点F为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴
如图：过G作 垂直 于I，则
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
答案第2页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
如图：连接 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ①；
同理可得： ②；
①②联立可得： ， （已舍弃负值）．
故答案为： ．
解答题参考答案
17．（1）解：若选①，③，⑤，
则 ；
（2）
解：方程两边都乘以 ，得
，
，
解这个方程，得 ．
答案第3页，共2页经检验， 是原方程的根．
18．（1）解：设函数表达式为 ，
把 ， 代入上式，得 ，
故所求函数的表达式为 ．
（2）解：将 代入 （ ），得 ，
（度），
答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度．
19．（1）解：生物模拟考试成绩为95分的是4号同学，他的地理模拟考试成绩为80分；
故答案为：80；
（2）解：地理成绩未达65分及以上的是2、3、6号同学，
生物成绩未达70分及以上的是6、7、9号同学，
则不能能评定为B等级及以上的是2、3、6、7、9五位同学，
∴ （人）；
答：该校能报考省级示范性高中的学生人数约为280人；
（3）解：列表如下：
第二张第一张 a b c d
a （a，b） （a，c） （a，d）
b （b，a） （b，c） （b，d）
c （c，a） （c，b） （c，d）
d （d，a） （d，b） （d，c）
一共有12种等可能的结果，其中抽到两张卡片恰好是a和c的可能有2种，
∴P（两张卡片恰好是a和c） ．
20．（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
答案第4页，共2页∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
21．（1）解：设心理学书籍的单价是x元，科技类书籍的单价是y元，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元．
（2）解：由题意得， ，
即 （ ），
∵ ，
∴w随a的增大而增大，
∴当 本时，w有最小值，最小值 （元）．
22．（1）解：∵ ，线段 均与地面垂直，
∴ ，
∴ ，
答案第5页，共2页故答案为： ；
（2）由题意得， ， ， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
答：无人机烟花绽放点A离地面高度为 ．
23．（1）解：根据题意可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ， ，
∵ 被六等分，
∴ ，
∵ ，
∴ 是一个等边三角形，
答案第6页，共2页∴ ，
∵ 的半径长为2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ．
在 中， ．
（3）解：由（2）知， 是一个边长为2的等边三角形，
∴ 的高为 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
．
24．解：（1）将 ， 分别代入 ，
得
答案第7页，共2页解这个方程组，得
所以二次函数的表达式为 ．
（2）设 ，
由 ， ，可得直线 的表达式为 ，
则 ，
∴
当 时， ，
故点D的坐标为 时， 的最大值为4．
（3）存在，理由如下：
如图，连接 ，交 于点M，
设点 ，
若四边形 为菱形，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
答案第8页，共2页解得 ，
∵点D在第一象限，
故当点D的坐标是 时，四边形 为菱形．
25．解：（1）在正方形 中， ， ；
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）能证明 ，
证明：在正方形 中， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ；
（3）若点 在正方形 的外部，由（2）知： ，
过点 作 于点 ，如图，
，
则 ，
在正方形 中， ， ，
答案第9页，共2页在等边 中， ， ，
∴ ， ，
在 中，
， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得，
，
∴ ；
若点 在正方形 的内部，
同理得，
∴ ，
同理可得，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
答案第10页，共2页∴ ，
∴ ，
综上， 的值为 或1．
答案第11页，共2页
