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2025年陕西省西安市爱知中学二模中考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．用一平面去截下列几何体，其截面不可能是圆形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将直尺与含 角的直角三角板叠放在一起，若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，如图，线段 的两个端点坐标分别为 ， ，若正比例函数 （
）与线段 有交点，则 的值可能是（ ）
A． B．2 C．4 D．
试卷第1页，共3页6．如图所示，在 中， ， ， 平分 ，点 在边 上，且
，则图中等腰三角形的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，四边形 是 的内接四边形， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数 ，当 时， ，则 的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
二、填空题
9．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
10．如图，点O是正八边形 的中心，连接 ，若 ，则点O到 的
距离为 ．
试卷第2页，共3页11．如图，在菱形 中，点 是对角线 上一点，连接 ，若 ，且 ，
，则 的长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 在 轴上，且面积为8，点 在
边 上， ，若点 、 在同一个反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式
为 ．
13．如图，已知在 中， ， ， ， ，点 为射线
上的动点，则 的最大值为 ．
三、解答题
14．计算： ．
试卷第3页，共3页15．解不等式 ，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解．
16．解分式方程： ．
17．如图，点 在直线 外，点 到直线 的距离为4．请利用尺规作图法，作等腰 ，
使 、 在直线 上，且 （作一个满足条件的三角形即可，不写作法，保留作图
痕迹）．
18．如图，点 、 、 在同一条直线上， ， ， ．求证：
．
19．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与
最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．
20．据统计，全国5棵树龄在5000年以上的古树名木均在陕西省境内，分别为延安市的
“黄帝手植柏”（A）、“老君柏”（ ）、“保生柏”（ ），渭南市的“仓颉手植柏”
（ ）和商洛市的“洛南古柏”（ ）．小伟和小峰想在周末去参观这些古树名木，并各
自选择其中一棵制作宣传手抄报．他们制作了如图所示五等分的转盘；转动转盘，转盘停
止后，指针所指的树木作为制作手抄报的素材（当指针指在分界线上时重转）
试卷第4页，共3页(1)小伟转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的树木是“老君柏”（ ）的概
率为______．
(2)两人各转动转盘一次，请用列表法或画树状图法，求小伟和小峰选择的树木都位于延安
市的概率．
21．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为
此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平
地面 的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树 的顶端点M，随后
小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树 的底端点N在
同一直线上．已知 ，图中所
有点均在同一平面内，求树 的高．（光的反射角等于入射角）
22．2023年2月6日土耳其发生7.8级地震，牵动世界各国人民的心！为进一步宣传防震
减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知
识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩 （单位：分）整理成 ，
， ， 四个等级，绘制成如下频数分布表和扇形
试卷第5页，共3页统计图：
被抽取学生的测试成绩的频数表
等
成绩/分 频数/人 各组总分/分
级
10 650
1050
21 1785
5 455
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： __________， _____________；
(2)此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在____________等级，求此次被抽取学生的测试
成绩的平均数；
(3)如果90分以上（含90分）为优秀，请估计全校2000名学生中此次测试成绩优秀的学生
人数．
23．直播带货是目前盛行的销售方式．小静为了推销家乡的樱桃和甜瓜，在抖音上进行直
播带货．小静和她的团队每天在家乡收购两种水果共600箱．且当天全部售出．进货成本、
销售单价如表所示．设该团队每天收购樱桃x箱，每天获得的利润为y元．
进货成本（元/箱） 销售单价（元/箱）
樱
34 50
桃
甜
28 41
瓜
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该团队每天投入总成本不超过19200元，应怎样安排樱桃和甜瓜的进货量，才能使该
团队一天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
试卷第6页，共3页24．如图，在 中， ，点D在 边上，且 ， 是 的外接
圆， 是 的直径．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的直径为 ， ，求 的长．
25．新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，
是一个新能源超级充电站．如图2是该超级充电站的截面图， 是安装充电桩的墙面，充
电站棚顶可近似地看作抛物线的一部分，将两个端点分别记作A、B．以点O为原点，表示
地面的直线为x轴， 所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知
，点B为棚顶所在抛物线的最高点，其坐标为 ．
(1)求棚顶所在抛物线的解析式．
(2)点C是棚顶上干粉灭火器的安装点，且到地面距离为 ，当从点C喷射干粉时，对
空间的保护截面可近似地看作顶点为C的抛物线，当此抛物线刚好经过原点O时，能不能
覆盖着火点 ？请说明理由．
26．（1）如图1，正方形 的边长为8，点 为 的中点，点 为对角线 上的
一个动点，则 的最小值为_________．
（2）如图2，四边形 是某公园的示意图，已知， ， 米，
试卷第7页，共3页米， 米，根据实际情况，需要在 边的中点 处开一个大门，在
边 上建立一个直径（ ）为 米的半圆形休息区，圆心为 ，半圆与 的交点
是休息区的入口，半圆的中点 为休息区的出口，根据规划，需在公园内以 为边建
立一个儿童游乐场 ，满足 ，连接 、 ，请求出 的最小
值，并直接写出此时 的长．
试卷第8页，共3页《2025 年陕西省西安市爱知中学二模中考数学试卷 》参
考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D A B B A D
9. 10.3 11. 6 12. 13.
选择题、填空题解法提示
7．A
如图，连接 ， ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
答案第1页，共2页故选：A
13．
将线段 沿射线 翻折，得到线段 ，连接 ， ，
， ， ，
，
由轴对称性质可知， ，
，
，
，
当 三点共线时， 的最大值为 ，
，
的最大值为 ；
故答案为： ．
解答题参考答案
14．解：原式
．
15．解： ，
，
答案第2页，共2页，
，
，
将解集在数轴上表示如图：
∴原不等式的正整数解为 ，2，3，4，5
16．解： ，
，
，
，
，
经检验知： 是原分式方程的解．
17．解：如图所示，等腰 即为所求；
由作图得， ，
∴ 是等腰三角形
∴ 的面积 ．
18．证明：∵ ，
∴ ．
在 和 中
答案第3页，共2页，
∴ ．
∴ ．
19．解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为 ，
∴ ，
解得 （舍去）．
故最小数为8，最大数为18．
20．解：(1)
由题意可知∶
小伟转动转盘一次可出现5种等可能的情况，由于老君柏占其中1份，
所以，指针所指扇形中的是“老君柏”（ ）的概率为 ；
（2）由题意，列表如下图所示∶
小伟小峰 A B C D E
A
B
C
D
E
共有25种等可能的结果，其中小伟和小峰选择的树木都位于延安市,即结果为A、B、C的
组合包含9种结果，
答案第4页，共2页∴小伟和小峰选择的树木都位于延安市的概率为 ．
21．解：根据题意可知 ，
，
．
代入数据，得 ①， ②，
解得 ，
∴树 的高为 ．
22．解：（1）总人数： （人）
等级 所占百分比为：
（人）
∴ ，
（2）将成绩从小到大排列，可知总共有50个数据，则中位数为第25、26个数据的平均数；
∵ 等级有10人， 等级有14人，
∴中位数落在 等级；
平均分为： （分）
此次被抽取学生的测试成绩的平均数为78.8分
（3） （人）.
答：估计全校2000名学生中成绩优秀的学生人数有200人
23．解：（1）由题意，得：
；
（2）由题知： ，
解得：
∵ 中 ；
∴y随x的增大而增大．
答案第5页，共2页∴当 时，y最大，且 （元）
此时 （箱）
答：当购进樱桃400箱，甜瓜200箱的时候，总利润最大，最大利润为9000元．
24．（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∵ 为 的直径，
∴ ．
∴在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ 为 的直径
∴ 为 的切线．
（2）解：过点D作 于点F，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
答案第6页，共2页∴
∴ ．
在 中， ，
， 于点 ，
．
25．解：（1） 顶点
设棚顶所在抛物线解析式为 ，
把 代入解析式得， ，
解得 ，
棚顶所在抛物线解析式为 ．
（2）能覆盖着火点，理由如下：
把 代入 得：
解得 或
点
设顶点为 的抛物线为
把原点 代入得：
顶点为 且过点 的抛物线为
当 时，
答案第7页，共2页能覆盖着火点 ．
26．解：（1）
如图，取 的中点 ，连接 ；
∵四边形 为正方形， 分别为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
当M在线段 上时， 取得最小值，且最小值为线段 的长，
∵ 点为线段 的中点，
∴ ；
在 中，由勾股定理得 ；
（2）连接 、 ，则 ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ；
过 做 于 ，
∴ ；
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
在 中，由勾股定理可得： ，
，
∴ ．
将点E沿射线AD的方向平移20个单位后得到点 ，连接 ，
答案第8页，共2页则四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ ，且 ，
∴点G在平行于 的平行线 上运动．
作点 关于直线 的对称点 交直线 于点N，交 于点T，连接 ，易得：
．
∵对称，
∴ ，
∴当 、G、H三点共线时，
此时 的最小值即为 的最小值．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点H在以 为直径的半圆 上运动（四边形 内部）．
如图，连接 交 于点 ，交直线 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 三点共线，且 在圆心P点的同侧时， 取得最小值，最小值
即为此时 的长；
答案第9页，共2页过 作 ⊥直线 于K，
∵P是 的中点，
∴ ；
∵E为 的中点， ，
∴ ；
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
由对称得 ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理可得： ．
∴ ，
即 的最小值为 ；
如图，设 交 于点Q，则 ，
答案第10页，共2页∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
即 ；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ；
∴当 取最小值时， 的长为 ．
答案第11页，共2页
