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2021年军队文职人员招聘考试理工学类-数学1试卷（解析）
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1 本题主要考查函数的极限的相关知识。
。
故正确答案为D。
2 本题主要考查函数的极限的相关知识。
。
故正确答案为B。
3 本题主要考查导数的应用的相关知识。
求解变化率其实是去求方向导数，因为方向导数本质上研究的是函数在某点处沿某特定方向上的变化
率问题，有 ； ； ，所以 在该点 的梯度
为 。 减少最快的方向为 方向余弦为 ，所以
。
故正确答案为B。
4 本题主要考查二元函数的全微分的相关知识。
由题意，记该函数为 ，则有 ，所以 ， ，由全微分的充
要条件 ，所以 ，即 ，
故正确答案为D。
5 本题主要考查二阶齐次线性微分方程求解的相关知识。
写出特征方程为 ，特征根为 ，则通解为 ，
故正确答案为B。
6 本题主要考查行列式计算的相关知识。
，
故正确答案为C。
7 本题主要考查向量组线性相关性的相关知识。
为基础解系，所以 为一个解，有 ，即
， 线性相关，
故正确答案为B。8 本题主要考查向量组线性相关性的相关知识。根据线性无关的定义，D项四个向量线性无关，D项正
确。
方法一：根据定义：
A项： ，则这四个向量线性相关；与题干不符，排除。
B项： ，则这四个向量线性相关；与题干不符，排
除。
C项： ，则这四个向量线性相关；与题干不符，排除。
D项： ，则这四个向量线性无关；D项正确。
方法二：
A项： ，因为 ，
则这四个向量线性相关；与题干不符，排除。
B项： ，因为
，则这四个向量线性相关；与题干不符，排除。
C项： ，因为
，则这四个向量线性相关；与题干不符，排除。
D项： ，因为
，则这四个向量线性无关；与题干相符，D项正确。
故正确答案为D。
9 本题主要考查正态分布对称性求概率的相关知识。
，即 ，
故正确答案为D。
10 本题主要考查随机变量的数字特征的相关知识。， ， ； ， ， ，
，
故正确答案为D。
11 本题主要考查数列的极限的相关知识。由极限定义，对 ， 时，当 时，不等式|
|
成立。D项与 等价，D项正确。
A项：如对数列{ }， ，对任意的 设 ，存在 ，当 时，
，但极限不存在。与题干不符，排除。
B项：如对数列 ， ， ，对任意的 设 ，存在 ，当
且 为偶数时，无穷多项满足| | 成立,但极限不存在。与题干不符，排除。
C项：由极限定义， ， ， ，当 时，不等式| | 成立，符合
极限定义。与题干不符，排除。
故正确答案为D。
12 本题主要考查等价无穷小的相关知识。当 时， ， ，即有
， 。故正确答案为C。
13 本题主要考查导数的相关知识。
。即 在 处可导，且 ，故正确答案为D。
14
本题主要考查导数的运算的相关知识。 ，所以 ，故
，令 ， ，故正确答案为D。
15 本题主要考查罗尔中值定理的相关知识。 在区间 上可导， ，故
有 ，因为 ，解得 ，故正确答案为A。
16
本题主要考查渐近线的相关知识。 ，
，曲线 的斜渐近线方程
是 。
故正确答案为A。
17
本题主要考查凑微分的相关知识。 。故正确答案为
D。
18
本题主要考查函数间断点的相关知识。设 ， 。
， ，必有间断点 ，C项函数必有间断点，C项正确。
A项： ，无间断点。与题干不符，排除。
B项： ，无间断点。与题干不符，排除。D项： ， ，
， 在 处连续，即在R上连续，无间断点。与题干不符，排除。
故正确答案为C。
19
本题主要考查定积分的相关知识。被积函数 为奇函数，则
； ，因为被积函数
在 上恒大于0，则 ；
， ，所以有 。故正确答案为C。
20 本题主要考查定积分的应用的相关知识。如图：曲线 与两直线 的交点为 ，所
以面积 。故正确答案为B。
21 本题主要考查柱面的相关知识。
母线平行于 轴，准线在 平面上，且为曲线在 平面的投影；由 消去 为
。
故正确答案为C。
22 本题主要考查空间平面与直线的相关知识。
平面过 ，则平面过 上点 。平面法向量为
，则该平面方程为
，即 。
故正确答案为A。
23 本题主要考查函数的连续和可导的相关知识。， , ; 在点
连续； 不存在， 在点 处不可导。
故正确答案为D。
24 本题主要考查微分的相关知识。
两边同时取对数 ，两边同时对 求导得 ,故
， ， 。
故正确答案为A。
25 本题主要考查全微分的相关知识。
由题意 ， 。求二阶偏导数 ， ， ，在 处
， ，故 为 的一个驻点，又因为 ，故 为 的
一个极小值点。
故正确答案为B。
26 本题主要考查偏导数的相关知识。
, , 。
故正确答案为D。
27 本题主要考查全微分的相关知识。
两边同时对x求偏导数 ，得 ，把 代入
得， ，则 ；两边同时对 求偏导数
，得 ， ；即 。
故正确答案为C。
28 本题主要考查切平面的相关知识。
令 , , , ,所以切平面的法向量
，切平面方程是 ,整理为
。
故正确答案为D。
29 本题主要考查曲线积分的相关知识。
由于积分曲线是封闭的，且两个被积函数在C所围成的区域具有一阶连续偏导数，因此可以用格林公
式，令 , ； ， ， 。
故正确答案为A。
30 本题主要考查傅里叶级数的相关知识。由 周期为2，所以 在 处与 处收敛于同一个
点，由于 在区间 只有一个间断点 ，只有有限个间断点，故满足狄利克雷充分条件，则
有 在 处收敛于 。故正确答案为B。
31本题主要考查一阶非齐次线性微分方程的相关知识。
。故正确答案为A。
32 本题主要考查一阶非齐次线性微分方程解的性质的相关知识。 ， 为非齐次线性微分方程
两个不同的解。所以 为对应齐次的解，则非齐次的通解为
。故正确答案为C。
33 本题主要考查二重积分的相关知识。如图为积分区域：即有
。故正确答案为C。
34 本题主要考查余子式的相关知识。D的最后一列元素的余子式之和是
。故正确
答案为A。
35
本题主要考查伴随矩阵的相关知识。令 ， ， ；
。即有 。故正确答案为
B。
36 本题主要考查线性相关性的相关知识。
三个不同的平面 仅交于一点，即方程组
有唯一解；所以令 ， ，
；所以有 ； ， ， 线性无关， ，
， ， 线性相关；即 可以由 ， ， 线性表出，记 ；即
， ， ， ， 线性相关；由题意选择充要条件为D。
故正确答案为D。
37 本题主要考查线性相关性的相关知识。向量 可由向量组 线性表示，即存在唯一一组常
数 ，使得 成立；C项满足定义，C项正确。
A项：考虑向量 是为零向量；若为零向量， 不为零向量，且线性无关； 全为
0；与题干不符，排除。
B项：考虑向量 不是为零向量； 不可能全为0，不合理，与题干不符，排除。
D项： 相关性不确定
故正确答案为C。
38本题主要考查线性方程组的相关知识。 有无穷多解， ，即
， ，当 时
， ， ，故方程组无解；当 时，
， ，故正确答
案为B。
39 本题主要考查相似对角化的相关知识。
， ，
，只要属于特征值1有两个线性无关的特征向量即可相似对角化，即矩阵 的秩为1，
，求得 。故正确答案为A。
40 本题主要考查二次型的标准化和规范化的相关知识。设A的特征值为 ，即有 ，求得 ，
， 等于特征值之积，由 知 。所以正惯性指数为1，规范型为 。
故正确答案为C。
41 本题主要考查二次型的标准化和规范化的相关知识。正惯性指数可以去看对应矩阵特征值的正负个
数，设A的特征值为 ，则 的特征值为 与 正负保持一致，C项满足，C项正确。
A项：设A的特征值为 ， 的特征值为 与 正负个数不一定一致，与题干不符，排除。
B项：设A的特征值为 ， 的特征值为 与 正负个数不一定一致，与题干不符，排除。
D项：设A的特征值为 ， 的特征值为 与 正负个数不一定一致，与题干不符，排除。
故正确答案为C。
42 本题主要考查随机事件的概率及排列组合的相关知识。分类讨论：（1）若从甲袋中取出2个白球概率
为 ,此时取到白球概率为1，即在甲中取到2白的情况下取到白球的概率为 ；（2）若从甲袋
中取出1个白球一个黑球概率为 ，此时取到白球的概率为 ；即在甲中取到1白1黑的情况下
取到白球的概率为 ；（2）若从甲袋中取出2个黑球概率为 ，此时取到白球的概率
为 ；即在甲中取到2黑的情况下取到白球的概率为 ；综上概率为 。
故正确答案C。
43本题主要考查分布函数的相关知识。函数称为分布函数要满足 , ；
，B项满足题意，B项正确。
A项： ，与题干不符，排除。
C项： ，与题干不符，排除。
D项： ，无法进行计算，与题干不符，排除。
故正确答案为B。
44 本题主要考查分布随机事件的概率的相关知识。第 个零件是不合格品的概率为
，是合格品的概率为 。
。
故正确答案为A。
45
本题主要考查概率密度函数的相关知识。由
，得 ；则 。
故正确答案为C。
46 本题主要考查随机事件的概率的相关知识。方程 有实根，即 ，
或 ,即概率为 。
故正确答案为C。
47 本题主要考查正态分布的相关知识。因为 ， ，即 ，
，所以 ，所以与 无关，与
有关。
故正确答案为A。
48 本题主要考查分布函数的相关知识。
。
故正确答案为A。
49 服从二项分布， , ， ，化为标准正
态分布为 。
故正确答案为B。
50 特征方程 ，特征根为 ，则 的通解为 。
故正确答案为A。
51 本题主要考查二重积分的相关知识。由 ，整理得积分区域为 的右半部分；
故 。
故正确答案为D。
52设 ，由于被积函数 关于 是偶函数，而 与 关于 面
对称，故 ，又由于被积函数 关于 也是偶函数，且 与 关于 面对
称，故 。
故正确答案为C。
53
幂级数 ，故幂级数 ，在
内的和函数 。
故正确答案为D。
54 本题主要考查幂级数的相关知识。
由题意，设 的收敛半径为 ，收敛区间为 ，在点 收敛，在点
处绝对收敛。
故正确答案为A。
55 本题主要考查矩阵的运算的相关知识。
由题意，
。
故正确答案为B。
56 本题主要考查矩阵的运算的相关知识。
由题意： ，则 ， ，
时，矩阵等价为 ， ，当 时， 的秩最多
为1，不满足； ，故正确答案为C。
57 基于过渡矩阵的定义可知， ， ，则 到 的过渡矩阵 ，对A求
逆矩阵，可得 ， ，故 。
故正确答案为A。
58
可得 为1，3两列为1的线性无关的特征向量 ， 的第2列为 的属
于-1的特征向量 ，所以 。
故正确答案为D。
59， ，
,所以
故
正确答案为A。
60 对于选项A，由 ，故A选项错误；对于选
项B， ， ，很容易判断它的单增性，故选项B正确；对于选项
C，由于 ，故选项C错误；对于选项D，若取：
， ，则： ，此时
，这不能作为某一随机函数的概率密度，故选项D错误，综
上，故正确答案为B。
61 由 ，所以 ， ， 与 的相关系数
，显然 ， ，易知
，先求出 的分布， 和 的可能取值为0，1，2，且由题意可知
，所以 的可能取值应为0，1， ，
，所以 ，
，故正确答案为A。
62 ， 分别为样本均值和样本方差，故 ， ，由此可得
，又因为 ，所以 ，可得
，即 。
故正确答案为D。
63 由于 为 的矩估计量，似然函数
，取对数可得 ，对数
似然方程 ，解得 的极大似然估计量为 。
