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专题 03 分式
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：分式的概念........................................................................................................................................2
考点二：分式的基本性质................................................................................................................................2
考点三：分式的运算........................................................................................................................................2
考点四：分式化简求值....................................................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：分式的相关概念................................................................................................................................3
题型一：分式的判断................................................................3
题型二：分式有无意义的条件求范围..................................................4
题型三：分式值范围的条件求范围....................................................7
题型四：约分与最简分式...........................................................11
题型五：最简公分母...............................................................13
考点二：分式的基本性质..............................................................................................................................13
题型一：利用分式的基本性质进行变形...............................................13
题型二：判断分式值的变化.........................................................14
题型三：分式符号法则将分式恒等变形...............................................16
考点三：分式的运算......................................................................................................................................18
题型一：分式的加减法.............................................................18
题型二：分式的乘除法.............................................................21
题型三：分式的混合运算...........................................................25
题型四：分式的化简求值...........................................................26
题型五：零指数幂.................................................................31
题型六：分式运算的八种技巧.......................................................32
题型七：分式运算的实际应用.......................................................42
题型八：分式中的规律探究.........................................................45
题型九：分式运算新定义问题.......................................................48专题 03 分式
模块一：基础知识
考点一：分式的概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分
子，B叫做分母.
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
3.分式有意义的条件：B≠0；
4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
考点二：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，
用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
考点三：分式的运算
1.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫
做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
2.分式的乘除
a c a⋅c
①乘法法则： ⋅ = 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
b d b⋅d
a c a d a⋅d
②除法法则： ÷ = ⋅ = 。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
b d b c b⋅c
③分式的乘方： 。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂： 。
3.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。①同分母分式的加减： ；
②异分母分式的加法： 。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
考点四：分式化简求值
（1）有括号时先算括号内的；
（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除法运算
（4）约分；
（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，
最终化为最简分式；
（6）带入相应的数或式子求代数式的值
模块二：题型分类
考点一：分式的相关概念
题型一：分式的判断
2 1 2 2 1 x+1
1.代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
5 π x2+4 3 x x+2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断
即可．
2 1 x+1
【详解】分母中含有字母的是 ， ， ，
x2+4 x x+2
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
a−b x+3 5+ y 1 n2+n 1 1
2.下列各式中： ， ， ， ， ， x+ 中，是分式的共有（ ）
2 x π m(x+ y) n 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
A
【提示】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，进而解
B
答即可．x+3 1 n2+n
【详解】 ， ， 是分式，共有3个，
x m(x+ y) n
故选：C．
【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母．
3.下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
1 x 4 1 1 x 4
C．在代数式 ，2x， ，985， +2b， + y中， ， ， +2b是分式
a π a 3 a π a
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
【答案】A
【提示】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判
断即可．
【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；
B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
1 x 4 1 1 4
C.在代数式 ，2x， ，985， +2b， + y中， ， +2b是分式，故选项错误；
a π a 3 a a
D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；
故选：A．
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识
点，熟悉相关性质是解题的关键．
题型二：分式有无意义的条件求范围
1
1.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
√x−2
A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2
【答案】B
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．
【详解】解：由题意可得x−2>0，
解得：x>2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
x−1 2x+1 2x−1 x+1
A． B． C． D．
2x+1 x+1 x−1 2x+1【答案】B
【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．
x−1
【详解】A、当x＝−1时，分母2x＋1＝−1≠0，所以分式 有意义；故本选项不符合题意；
2x+1
2x+1
B、当x＝−1时，分母x＋1＝0，所以分式 无意义；故本选项符合题意；
x+1
2x−1
C、当x＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式 有意义；故本选项不符合题意；
x−1
x+1
D、当x＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式 有意义；故本选项不符合题意；
2x+1
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义
分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
√x+5 ⇔ ⇔
3.若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
【答案】x≥−5且x≠0/x≠0且x≥−5
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
√x+5
【详解】∵式子 有意义，
x
∴x+5≥0且x≠0，
∴x≥−5且x≠0，
故答案为：x≥−5且x≠0．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条
件是解题的关键．
1
4.使式子 +√4−3x在实数范围内有意义的整数x有( )
√x+3
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
【答案】C
1
【详解】∵式子 +√4−3x在实数范围内有意义
√x+3
4
∴¿ 解得：−30且x≠1
C．x<1且x≠0 D．0−2且x≠1
【提示】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．
x+2
【详解】解：∵分式 的值大于零，
(x−1) 2
∴x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为x＞﹣2且x≠1．
【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是
解题的关键．
10.下列关于分式的判断，正确的是（ ）x+1 3
A．当x=2时， 的值为零 B．当x为任意实数时， 的值总为正数
x−2 x2+1
3 x−3
C．无论x为何值， 不可能得整数值 D．当x≠3时， 有意义
x+1 x
【答案】B
【提示】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式
值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论．
x+1
【详解】解：A、当x=2时， 无意义，故本选项不合题意；
x−2
3
B、当x为任意实数时， 的值总为正数，故本选项符合题意；
x2+1
3
C、当x=0或2时， 能得整数值，故本选项不合题意；
x+1
x−3
D、当x≠0时， 有意义，故本选项不合题意；
x
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式
值是0的条件是分子是0，分母不是0．
题型四：约分与最简分式
a2−5a
1.计算： =（ ）
a−5
A．a−5 B．a+5 C．5 D．a
【答案】D
【提示】分子分解因式，再约分得到结果．
a2−5a
【详解】解：
a−5
a(a−5)
=
a−5
=a，
故选：D．
【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
2.下列计算错误的是（ ）
1 a2−1
A．|−2|=2 B．a2 ⋅a−3= C． =a+1 D．(a2) 3 =a3
a a−1
【答案】D
【提示】根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可．【详解】解：A、|−2|=2，计算正确，不符合题意；
1
B、a2 ⋅a−3=a−1=
，计算正确，不符合题意；
a
a2−1 (a+1)(a−1)
C、 = =a+1，计算正确，不符合题意；
a−1 a−1
D、(a2) 3 =a6，计算错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，
熟知相关知识是解题的关键．
2x2+4x
3.如图，若x为正整数，则表示分式 的值落在（ ）
x2+3x+2
A．段①处 B．段②处 C．段③处 D．段④处
【答案】C
【提示】先化简分式，再确定分式值的范围即可．
2x2+4x 2x(x+2) 2x 2(x+1)−2 2
【详解】解： = = = =2− <2，
x2+3x+2 (x+2)(x+1) x+1 x+1 x+1
∵x为正整数，
∴x的最小值为1，
2 2
∴当x=1时， = =1，
x+1 1+1
2
∴1≤2− <2，
x+1
2x2+4x
∴分式 的值落在段③处，
x2+3x+2
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分式值的范围．
x2+2x+1
4.先化简，再求值： ，其中x=√2−1．
x+1
【答案】x+1；√2
【提示】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．x2+2x+1
【详解】解：
x+1
(x+1) 2
=
x+1
=x+1，
当x=√2−1时，
∴原式=√2−1+1=√2．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
5.下列分式属于最简分式的是（ ）
6xy x−y x2+ y2 x2−9 y2
A． B． C． D．
5x2 y−x x+ y x+3 y
【答案】C
【提示】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
6xy 6 y
=
【详解】A、 ，故此选项不符合题意；
5x2 5x
x−y −(y−x)
B、 = =−1，故此选项不符合题意；
y−x y−x
x2+ y2
C、 是最简分式，故此选项符合题意；
x+ y
x2−9 y2 (x+3 y)(x−3 y)
D、 = =x−3 y，故此选项不符合题意．
x+3 y x+3 y
故选：C．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．
题型五：最简公分母
3 a−b
1.要把分式 与 通分，分式的最简公分母是（ ）
2a2b ab2c
A．2a2b2c B．2a3b3 C．2a3b3c D．6a3b3c
【答案】A
【提示】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．
【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，
∵系数2与1的公倍数是2，a2与a的最高次幂是a2，b与b2的最高次幂是b2，对于只在一个单项式中出现
的字母c直接作公分母中的因式，
∴公分母为：2a2b2c ．
故选择：A．
【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．1 1 1 1
2.分式 , 的最简公分母是 ， + =
−a2+1 a2+a −a2+1 a2+a
1
【答案】 a(1+a)(1−a)
a(1+a)(1−a)
【提示】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
1 1 1 1
= =
【详解】解：∵ ，
−a2+1 (1−a)(1+a) a2+a a(1+a)
1 1 a 1 1−a
= = =
∴ ，
−a2+1 (1−a)(1+a) a(1−a)(1+a) a2+a a(1+a)(1−a)
1 1
∴ ， 的最简公分母为：a(1+a)(1−a)
−a2+1 a2+a
1 1 1 a+1−a 1
+ = = =
∴
−a2+1 a2+a a2+a a(1+a)(1−a) a(1+a)(1−a)
1
故答案为：a(1+a)(1−a)，
a(1+a)(1−a)
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
考点二：分式的基本性质
题型一：利用分式的基本性质进行变形
1.下列等式中正确的是（ ）
a a+a a a+1 a a−1 a a2
A． = B． = C． = D． =
b b+b b b+1 b b−1 b b2
【答案】A
【提示】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判
断即可解答．
a+a 2a a
【详解】解： = = ，故A正确；
b+b 2b b
a+1 a
与 不一定相等，故B错误；
b+1 b
a−1 a
与 不一定相等，故C错误；
b−1 b
a a2
当 <0时， >0，故D错误，
b b2
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．
2.下列分式从左到右变形错误的是（ ）c 1 3 3b 1 1 a2−4 a−2
A． = B． = C．− = D． =
5c 5 4a 4ab a−b b−a a2+4a+4 a+2
【答案】B
【提示】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
c 1
【详解】解：A、 = ，原式变形正确，不符合题意；
5c 5
3 3b
B、当b=0时， = 不成立，原式变形错误，符合题意；
4a 4ab
1 1
C、− = ，原式变形正确，不符合题意；
a−b b−a
a2−4 (a+2)(a−2) a−2
D、 = = ，原式变形正确，不符合题意；
a2+4a+4 (a+2) 2 a+2
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时
乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
题型二：判断分式值的变化
x+2y
1.如果把分式 中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（ ）
x
1
A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的
20
C．扩大到原来的2倍 D．不变
【答案】D
【提示】根据分式的性质，可得答案．
20x+40 y 20(x+2y) x+2y
【详解】把x和y都扩大20倍后，原式变为 = = ，
20x 20x x
即约分后仍为原式，分式的值不变．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
x2+ y2
2.如果将分式 中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的2倍 B．不变
1
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的 ．
4
【答案】A
【提示】x，y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
(2x) 2+(2y) 2 2x2+2y2
【详解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得： = ,
2x+2y x+ y
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与
原式比较，最终得出结论．
2a
3.如果要使分式 的值保持不变，那么分式应（ ）
a−3b
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
【答案】B
【提示】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．
2×2a 4a 2a
【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, = ≠ ，故该选项不正确，不符合题意；
2a−3×3b 2a−9b a−3b
2×3a 6a 2a
B. a，b同时扩大3倍， = = ，故该选项正确，符合题意；
3a−3×3b 3a−9b a−3b
2×2a 4a 2a
= ≠
C. a扩大2倍，b缩小3倍， 1 2a−b a−3b，故该选项不正确，不符合题意；
2a−3× b
3
1
2× a
2 a 2a
D. a缩小2倍，b缩小3倍 = ≠ ，故该选项不正确，不符合题意；
1 2a−b a−3b
2a−3× b
3
故选B
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
4.若m，n的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）．
m+3 3m m+3 3
A． B． C． D．
n 2n n+3 m−n
【答案】B
【提示】根据m，n扩大到3倍为：3m，3n；把3m，3n依次代入选项，进行判断，即可．
【详解】∵m，n的值均扩大到原来的3倍为3m，3n
3m+3 m+3
∴A、 ≠ ，不符合题意；
3n n
3×3m 3m
B、 = ，符合题意；
2×3n 2n3m+3 m+3
C、 ≠ ，不符合题意；
3n+3 n+3
3 1 3
D、 = ≠ ，不符合题意．
3m−3n m−n m−n
故选：B．
【点睛】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质．
题型三：分式符号法则将分式恒等变形
1.若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
1
a
a+2 a a−2 a a2 a 2 a
A． = B． = C． = D． =
b+2 b b−2 b b2 b 1 b
b
2
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，
a+2 a
∴ ≠ ，选项A错误；
b+2 b
a−2 a
≠ ，选项B错误；
b−2 b
a2 a
≠ ，选项C错误；
b2 b
1
a
2 a
= ，选项D正确；
1 b
b
2
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是明确分式基本性质．
|a| 1
2.若 = ，则a的取值范围是（ ）
a−a2 a−1
A．a>0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0
【答案】D
【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出a的取值范围．
|a| 1
=
【详解】解：∵ ，
a−a2 a−1
|a| −a 1
= =
∴ ，
a−a2 −a(a−1) a−1∴a<0，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出a的符号是解题关键．
3.若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
2+x 2y 2y3 2y2
A． B． C． D．
x−y x2 3x2 (x−y) 2
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式
的即是答案．
【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
2+3x 2+x
A、 ≠ ，错误；
3x−3 y x−y
6 y 2y
B、 ≠ ，错误；
9x2 x2
54 y3 2y3
C、 ≠ ，错误；
27x2 3x2
18 y2 2y2
D、 ＝ ，正确；
9(x−y) 2 (x−y) 2
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.
a2−2a+1
4.化简： ＝ ．
1−a2
1−a
【答案】
1+a
【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
(1−a) 2
【详解】解：原式=
(1+a)(1−a)
1−a
= ，
1+a
1−a
故答案为： ．
1+a
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
−2a+b
5.不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ＝ ．
−a−3b
2a−b
【答案】
a+3b
【提示】根据分式的基本性质即可求出答案．
−2a+b −(2a−b) 2a−b
【详解】解： = =
−a−3b −(a+3b) a+3b
2a−b
故答案为：
a+3b
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
n
6.若 =A(m≠n)，则A可以是（ ）
m
n−3 n+3 −n n2
A． B． C． D．
m−3 m+3 −m m2
【答案】C
【提示】用举反例结合分式的基本性质进行逐一判断即可．
1−3 1 n−3 n
【详解】A.如： ≠ ，∴ ≠ ，故此项错误；
2−3 2 m−3 m
1+3 1 n+3 n
B. 如： ≠ ，∴ ≠ ，故此项错误；
2+3 2 m+3 m
−n −n×(−1) n
C. = = ，故此项正确；
−m m×(−1) m
12 1 n2 n
D. 如： ≠ ，∴ ≠ ，故此项错误．
(−2) 2 2 m2 m
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握基本性质，会用举反例的方法进行判断是解题的关键．
−a
7.根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
a−b
a a a a
A． B． C． D．
a−b a+b −a−b b−a
【答案】D
【提示】根据分式的基本性质即可求出答案．−a a a
【详解】 =− = ，
a−b a−b b−a
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
考点三：分式的运算
题型一：分式的加减法
4
1.化简 +x−2的结果是（ ）
x+2
x2 x x2
A．1 B． C． D．
x2−4 x+2 x+2
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
4
【详解】解： +x−2
x+2
4+(x+2)(x−2)
=
x+2
x2
= ．
x+2
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
a+1 1
2.化简 − 结果正确的是（ ）
a a
1 1
A．1 B．a C． D．−
a a
【答案】A
【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
a+1 1 a+1−1
【详解】解： − = =1，故A正确．
a a a
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
1 2
3.计算 − 的结果等于（ ）
x−1 x2−1
1
A． B．x−1 C． D．
x+1
【答案】C【提示】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
1 2 x+1 2 x+1−2 x−1
【详解】解： − = − = = ；
x−1 x2−1 (x−1)(x+1) (x−1)(x+1) (x−1)(x+1) (x−1)(x+1)
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
a
4.已知b>a>0，则分式 与 的大小关系是（ ）
b
a a+1
A． B． C． > D．不能确定
b b+1
【答案】A
【提示】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
a a+1 a(b+1)−b(a+1) a−b
【详解】解： − = = ，
b b+1 b(b+1) b(b+1)
∵b>a>0，
a a+1 a−b
∴ − = <0，
b b+1 b(b+1)
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
2 2x
5.化简： − 的结果为 ．
1−x 1−x
【答案】2
【提示】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
2 2x 2−2x 2(1−x)
【详解】解： − = = =2；
1−x 1−x 1−x 1−x
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
6.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程
补充完整．
M 1
例 先化简，再求值： − ，其中
a+1 a2+a
a=100．a2 1
解：原式= −
a(a+1) a(a+1)
……
1 99
【答案】M=a，1− ， ，过程见解析
a 100
【提示】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入a=100计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，
M M⋅a a2
∴ = = ，
a+1 a(a+1) a(a+1)
∴M=a，
a2 1 a2−1 (a+1)(a−1) a−1 1
原式= − = = = =1− ，
a(a+1) a(a+1) a(a+1) a(a+1) a a
当a=100时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
1 1 4
7.已知a>0，b>0，证明： + ≥ ．
a b a+b
【答案】见解析
1 1 4
【提示】根据作差法比较大小，然后根据分式的加减进行计算得出 + − ≥0即可得证．
a b a+b
1 1 4 b(a+b)+a(a+b)−4ab (a−b) 2
【详解】证明：∵ + − = = ，
a b a+b ab(a+b) ab(a+b)
又a>0，b>0，
∴(a−b) 2≥0，ab>0，a+b>0．
(a−b) 2
∴ ≥0，
ab(a+b)
1 1 4
∴ + ≥ ．
a b a+b
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键．
A B 2x−6
8.已知 − = ，求A、B的值．
x−1 2−x (x−1)(x−2)
【答案】A的值为4，B的值为-2
【提示】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案．A B A(x−2) B(x−1)
【详解】 − = + ，
x−1 2−x (x−1)(x−2) (x−1)(x−2)
A(x−2)+B(x−1) 2x−6
∴ = ，
(x−1)(x−2) (x−1)(x−2)
∴A(x−2)+B(x−1)=2x−6，
即(A+B)x−(2A+B)=2x−6．
{ A+B=2
∴ ，
2A+B=6
{ A=4
解得：
B=−2
∴A的值为4，B的值为−2．
【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式
加减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
题型二：分式的乘除法
1.化简 的结果是（ ）
A．x y6 B．x y5 C．x2y5 D．x2y6
【答案】A
【提示】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
(
y3
)
2 y6
【详解】解：x3 =x3 ⋅ =x y6，
x x2
故选：A．
【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
2.下列计算正确的是（ ）
1 2a 2 ( b ) 3 b3
A．a3+a3=a6 B．a÷b⋅ =a C． − = 2 D． =
b a−1 a−1 a2 a5
【答案】C
【提示】根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项提示．
【详解】A．a3+a3=2a3，故不符合题意；
1 a
B．a÷b⋅ = ，故不符合题意；
b b2
2a 2
C． − = 2，故符合题意；
a−1 a−1( b ) 3 b3
=
D． ，故不符合题意；
a2 a6
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式
的运算法则是解题的关键．
( x+2 x−1 ) x−4
3.化简： − ÷ = ．
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
1 1
【答案】 /
x−2 −2+x
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
( x+2 x−1 ) x−4
【详解】解： − ÷
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
(x+2)(x−2)−x(x−1) x(x−2)
= ×
x(x−2) 2 x−4
x2−4−x2+x x(x−2)
= ×
x(x−2) 2 x−4
1
= ；
x−2
1
故答案为： ．
x−2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
x2−9 x
4.关于式子 ÷ ，下列说法正确（ ）
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当00，故该说法不正确，不符合题意．
x
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对
分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的
除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．
□ x
5.若 ÷ ，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
x+ y y2−x2
1
A．y－x B．y＋x C．2x D．
x
【答案】C
【提示】先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出□中的式子可能是，即可得出答案．
□ x
【详解】解： ÷
x+ y y2−x2
□ (x+ y)(y−x)
＝ ⋅
x+ y x
□(y−x)
= ，
x
∵运算结果为整式，
∴□中的式子是含量有x因式的式子，
∴□中的式子可能是2x，
故选：C．
【点睛】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键．x2−9 x
6.关于式子 ÷ ，下列说法正确（ ）
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当00，故该说法不正确，不符合题意．
x
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对
分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的
除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．
( 1 ) 2 9
7.计算 − m ⋅ 的结果是（ ）
3 m
A．m3 B．−m C． D．m
【答案】D
【提示】先计算乘方，再计算乘法，即可求解．
【详解】解： ( − 1 m ) 2 ⋅ 9 = 1 m2 ⋅ 9 =m
3 m 9 m
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．8.计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1−√3
1
(2)−
a+b
【提示】（1）先算零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；
（2）除法变乘法，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=1−2√3+√3
=1−√3；
a−b −1
（2）原式= ⋅
a+b a−b
1
=− ．
a+b
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，分式的除法运算．熟练掌握相关运算法则，熟记特
殊角的三角函数值，是解题的关键．
题型三：分式的混合运算
1 1 2
1.试卷上一个正确的式子（ + ）÷★＝ 被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的
a+b a−b a+b
代数式为( )
a a−b a
A． B． C． D．
a−b a a+b
【答案】A
【提示】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
( 1 1 ) 2
【详解】解： + ÷★=
a+b a−b a+b
a−b+a+b 2
÷ ★=
(a+b)(a−b) a+b
2a 2
★= ÷
(a+b)(a−b) a+b
a
= ，
a−b
故选A．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
2.计算： ．
2
【答案】
a−3
【提示】先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：
[ a−3 1 ] a−2 a−2 a−2 a−2 2(a+3) 2
= + ÷ = ÷ = ⋅ =
(a+3)(a−3) (a+3)(a−3) 2(a+3) (a+3)(a−3) 2(a+3) (a+3)(a−3) a−2 a−3
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
(4m+5
)
m+2
3.化简： +m−1 ÷ ．
m+1 m+1
【答案】
【提示】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得
到结果．
(4m+5
)
m+2 (4m+5 m2−1) m+1 (m+2) 2 m+1
【详解】解： +m−1 ÷ = + ⋅ = ⋅
m+1 m+1 m+1 m+1 m+2 m+1 m+2
=m+2．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
( x x ) x2−1
4.化简 + ⋅ ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
x+1 x−1 x
解：原式
[ x(x−1) x(x+1) ] x2−1
= + ⋅
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) x
……
解：原式
x x2−1 x x2−1
= ⋅ + ⋅
x+1 x x−1 x
……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【提示】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求
解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法
分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式
[ x(x−1) x(x+1) ] x2−1 x2−x+x2+x (x+1)(x−1) 2x2 (x+1)(x−1)
= + ⋅ = ⋅ = ⋅ =；2x
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) x (x+1)(x−1) x (x+1)(x−1) x
乙同学的解法：
x x2−1 x x2−1 x (x+1)(x−1) x (x+1)(x−1)
原式= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =2x．
x+1 x x−1 x x+1 x x−1 x
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
题型四：分式的化简求值
1.已知x2−x−1=0，计算 的值是（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【答案】A
【提示】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把x2=x+1代入原式即可求出答案．
【详解】解：
[ 2x x+1 ] x(x−1)
= − ÷
x(x+1) x(x+1) (x+1) 2
x−1 (x+1) 2
= ⋅
x(x+1) x(x−1)= ，
∵x2−x−1=0，
∴x2=x+1，
∴原式= =1，
故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
1 2 ab−a
2.已知 + =1，且a≠−b，则 的值为 ．
a b a+b
【答案】1
1 2 ab−a
【分析】根据 + =1可得b+2a=ab，即ab−a=b+a，然后将ab−a=b+a整体代入 计算即可．
a b a+b
1 2
【详解】解：∵ + =1
a b
b+2a
∴ =1，
ab
∴b+2a=ab，即ab−a=b+a．
ab−a a+b
∴ = =1．
a+b a+b
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到ab−a=b+a是解答本题的关键．
a2−6a+9 ( 5 ) a−1
3.先化简，再求值： ÷ a+2+ ，其中a是使不等式 ≤1成立的正整数．
a−2 2−a 2
a−3 1
【答案】 ；−
a+3 2
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据
计算即可．
a2−6a+9 ( 5 )
【详解】解： ÷ a+2+
a−2 2−a
(a−3) 2 [(2+a)(2−a) 5 ]
= ÷ +
a−2 2−a 2−a
(a−3) 2 4−a2+5
= ÷
a−2 2−a(a−3) 2 2−a
= ⋅
a−2 (3+a)(3−a)
a−3
= ，
a+3
a−1
解不等式 ≤1得：a≤3，
2
∵a为正整数，
∴a=1，2，3，
∵要使分式有意义a−2≠0，
∴a≠2，
5 5
∵当a=3时，a+2+ =3+2+ =0，
2−a 2−3
∴a≠3，
1−3 1
∴把a=1代入得：原式= =− ．
1+3 2
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混
合运算法则，准确计算．
x−y ( 1 1 ) x
4.已知 =2，求 + ÷ 的值．
y x−y x+ y (x−y) 2
【答案】1
x−y
【分析】由 =2可知x=3 y，然后对分式进行化简，进而问题可求解．
y
x−y
【详解】解：由 =2可知x=3 y，
y
( 1 1 ) x
∴ + ÷
x−y x+ y (x−y) 2
[ x+ y x−y ] x
= + ÷
(x−y)(x+ y) (x−y)(x+ y) (x−y) 2
2x (x−y) 2
= ×
(x+ y)(x−y) x
2(x−y)
=
x+ y2(3 y−y)
=
3 y+ y
=1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
( 2ab−b2 ) a−b
5.若3ab−3b2−2=0，则代数式 1− ÷ ，的值为 ．
a2 a2b
2
【答案】
3
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab−b2，再将3ab−3b2−2=0变形，即可得到答案．
( 2ab−b2 ) a−b
【详解】解： 1− ÷ ，
a2 a2b
(a2−2ab+b2
)
a2b
= × ，
a2 a−b
(a−b) 2 a2b
= × ，
a2 a−b
=ab−b2，
∵3ab−3b2−2=0，
∴3ab−3b2=2，
2
∴ab−b2=
，
3
2
故原式的值为 ，
3
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
6..先化简，再求值： ，其中x=√2−1．
1
【答案】− ，
x+1
【提示】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将x=√2−1代入计算即可解答．
( 1) x
【详解】解： = − ⋅
x x+11
=− ．
x+1
1 √2
当x=√2−1时，原式=− =− ．
√2−1+1 2
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
2x+4 y
7.已知x+2y−1=0，求代数式 的值．
x2+4xy+4 y2
【答案】2
【提示】先将分式进行化简，再将x+2y−1=0变形整体代入化简好的分式计算即可．
2(x+2y) 2
= =
【详解】解：原式 ，
(x+2y) 2 x+2y
由x+2y−1=0可得x+2y=1，
2
将x+2y=1代入原式可得，原式= =2．
1
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
8.先化简 ，再从不等式 中选择一个适当的整数，代入求值．
1
【答案】 ，选择a=0，式子的值为 （或选择a=2，式子的值为1）
a−1
【提示】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的a的值，
代入计算即可得．
【详解】解：原式
1 a+1 1
= ⋅ = ，
a+1 a−1 a−1
∵a+1≠0，a−1≠0，
∴a≠−1，a≠1，
∵−2a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
m+a a
【答案】(1) >
m+b b
(2)见解析
m+a
【分析】（1）先表示出入m(m>0)克糖后，糖水的浓度为： ，根据糖水变甜，浓度变大，得出
m+b
m+a a
> ；
m+b b
（2）理由作差法进行证明即可．m+a
【详解】（1）解：再往杯中加入m(m>0)克糖后，糖水的浓度为： ，
m+b
∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，
m+a a
∴ > ；
m+b b
m+a a
故答案为： > ．
m+b b
m+a a b(m+a) a(m+b)
（2）证明： − = −
m+b b b(m+b) b(m+b)
mb+ab−ma−ab
=
b(m+b)
mb−ma
=
b(m+b)
m(b−a)
= ，
b(m+b)
∵b>a>0，m>0，
∴m(b−a)>0，b(m+b)>0，
m(b−a)
∴ >0，
b(m+b)
m+a a
∴ > ．
m+b b
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确
计算．
2.福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为
1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为(a−1)米的正方形，两块
实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
【答案】“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析
【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可．
．
300
【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为
kg/m2
，“飘香2号”茉莉花单位面积
a2−12
300
kg/m2
产量为 ．
(a−1) 2300 300 300(a−1)−300(a+1) −600
∵ − = = <0，
a2−12 (a−1) 2 (a−1) 2(a+1) (a−1) 2(a+1)
∴“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
3.小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张
则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次
加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y
元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
2xy x+ y
【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为 元/升；小张两次加油的平均单价为 元/升
x+ y 2
(2)小王的加油方式更省钱，见详解；
【分析】（1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可；
（2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等
于0则费用一样；
【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为：
300+300 2xy
=
300 300 x+ y元/升；
+
x y
设小张油箱加满能加a升．
ax+ay x+ y
小张两次加油的平均单价为 = 元/升；
a+a 2
2xy x+ y 4xy−(x+ y) 2 −(x−y) 2
（2）解： − = = ，
x+ y 2 2(x+ y) 2(x+ y)
∵2(x+ y)>0，−(x−y) 2≤0，
−(x−y) 2 2xy x+ y
∴当x= y时， =0，即 = ，
2(x+ y) x+ y 2
两种加油方式的平均单价相同；
当x≠ y时，−(x−y) 2 2xy x+ y
即 <0，即 < ，
2(x+ y) x+ y 2
小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用；作差法比较两个实数的大小：对于任意两个实数a，b，若a－b
＞0则a＞b；若a－b=0则a=b；若a－b＜0则a＜b．
4.甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
1
（2）若甲从A地出发，先以 V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A
2
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为
100−ax
(100−ax)千米，乙距离终点为(100−bx)千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探
100−bx
索a，b应满足的条件．
【答案】（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b．
【分析】（1）根据“时间=路程÷速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；
100−ax
（3）设 =k，从而可得100−100k+(kb−a)x=0，再根据无关型问题求解即可得．
100−bx
100 100
【详解】（1）由题意得：t= ÷20+ ÷25，
2 2
=2.5+2，
=4.5（小时），
答：走完全程所用的时间为4.5小时；
100 100
2 2 100 25 125
（2）甲走完全程所用的时间为 + = + = ，
1 2V V V V
V
2
100
乙走完全程所用的时间为 ，
V
100 125
因为 < ，
V V
所以乙先到；100−ax
（3）设 =k，则100−ax=k(100−bx)，
100−bx
整理得：100−100k+(kb−a)x=0，
100−ax
∵分式 对一切有意义的x值都有相同的值，
100−bx
∴k的值与x的取值无关，
∴kb−a=0，即a=kb，
∴100−100k=0，
解得k=1，
∴a=b，
故a，b应满足的条件是a=b．
【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．
题型八：分式中的规律探究
1.观察以下等式：
1 0 1 0
第1个等式： + + × =1，
1 2 1 2
1 1 1 1
第2个等式： + + × =1，
2 3 2 3
1 2 1 2
第3个等式： + + × =1，
3 4 3 4
1 3 1 3
第4个等式： + + × =1，
4 5 4 5
1 4 1 4
第5个等式： + + × =1，
5 6 5 6
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
1 5 1 5 1 n−1 1 n−1
【答案】（1） + + × =1；（2） + + ⋅ =1，证明见解析．
6 7 6 7 n n+1 n n+1
【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证．
1 5 1 5
【详解】（1）观察可知第6个等式为： + + × =1，
6 7 6 7
1 5 1 5
故答案为： + + × =1；
6 7 6 71 n−1 1 n−1
（2）猜想： + + × =1，
n n+1 n n+1
1 n−1 1 n−1 n+1+n(n−1)+n−1 n(n+1)
证明：左边= + + × = = =1，
n n+1 n n+1 n(n+1) n(n+1)
右边=1，
∴左边=右边，
∴原等式成立，
1 n−1 1 n−1
∴第n个等式为： + + × =1，
n n+1 n n+1
1 n−1 1 n−1
故答案为 + + × =1．
n n+1 n n+1
【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键．
2 3 10 15 26
2.观察下列各式：a = ,a = ,a = ,a = ,a = ,⋯， 根据其中的规律可得a = （用含
1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 n
n的式子表示）．
n2+(−1) n+1
【答案】
2n+1
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子
依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的
分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
n2+(−1) n+1
【详解】解：由分析得a = ，
n 2n+1
n2+(−1) n+1
故答案为：a =
n 2n+1
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，
并进行推导得出答案．
1
x 2 2 3 3 (1) 2 1
3.对于正数x，规定f (x)= ，例如：f (2)= = ，f (3)= = ，f = = ，
1+x 1+2 3 1+3 4 2 1 3
1+
2
1
(1) 3 1
f = = …利用以上的规律计算：
3 1 4
1+
3( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) ．
f +f +f +⋯+f +f (1)+f (2)+⋯+f (2021)+f (2022)+f (2023)=
2023 2022 2021 2
4045
【答案】
2
1
x (1) x x
【分析】根据f (x)= ，得到f (x)+f = + =1，即可得到答案；
1+x x 1+x 1
1+
x
x
【详解】解：∵f (x)= ，
1+x
1
(1) x x 1 1
∴f (x)+f = + =1，f (1)= = ，
x 1+x 1 1+1 2
1+
x
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1)
∴f +f +f +⋯+f +f (1)+f (2)+⋯+f (2021)
2023 2022 2021 2
1 4045
+f (2022)+f (2023)= +2022= ，
2 2
4045
故答案为： ；
2
1
(1) x x
【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到f (x)+f = + =1．
x 1+x 1
1+
x
4.观察下列各式：
12+22+32 22+32+52
① =2， ② =2，
12+22+2 22+32+6
32+42+72 42+52+92
③ =2， ④ =2，
32+42+12 42+52+20
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.
62+72+132
【答案】(1) =2
62+72+42n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
(2) =2；证明见解析
n2+(n+1) 2+n(n+1)
【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是n2，
(n+1) 2，分子第三项是(2n+1) 2，分母第三项是n(n+1)，根据此规律写出第6个等式即可；
（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．
62+72+132
【详解】（1）解：第6个等式为 =2；
62+72+42
62+72+132
故答案为： =2．
62+72+42
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
（2）解：第n个等式为 =2，
n2+(n+1) 2+n(n+1)
n2+n2+2n+1+4n2+4n+1
左边=
n2+n2+2n+1+n2+n
6n2+6n+2
=
3n2+3n+1
2(3n2+3n+1)
=
3n2+3n+1
=2=右边．
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
故答案为： =2．
n2+(n+1) 2+n(n+1)
【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何
用一个统一的式子表示出分式的规律．
题型九：分式运算新定义问题
A
JX
1.规定一种新的运算“❑ ”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．
x→+∞ B
A A
❑ JX =0；当A的次数等于B的次数时，❑ JX 的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数
x→+∞ B x→+∞ BA 2 x2+2 1
大于B的次数时，❑ JX 不存在，例如：❑ JX =0，❑ JX = ，若
x→+∞ B x→+∞ x−1 x→+∞ 2x2+3x−1 2
A = ( 2− 3 ) ÷ 4x2−10x ，则❑ JX A 的值为 ．
B x−1 x2−1 x→+∞ B
1
【答案】
2
【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案．
A 3 4x2−10x
【详解】解：∵ =(2− )÷
B x−1 x2−1
2x−2−3 2x(2x−5)
=( )÷
x−1 (x+1)(x−1)
2x−5 (x+1)(x−1) x+1
=( )× =
x−1 2x(2x−5) 2x
x+1
= ，
2x
∵A的次数等于B的次数，
A 1
∴ JX = ，
B 2
x→+∞
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
|a b| a b | x −1|
2.对于代数式a，b，c，d规定一种运算： = − ，按照此规定， 化简的结果为
c d d c x+1 x+1
（ ）
x+1 x+1
A．x2 B． C． D．1
x x−1
【答案】D
【分析】根据题目规定的运算法则来进行计算，然后化简即可．
|a b| a b
【详解】解：∵ = − ,
c d d c
| x −1| x −1 x+1
∴ = − = =1,
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
故选：D．
【点睛】本题考查了新定义运算，充分理解题目规定的运算法则来进行计算是解此题的关键．3.定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
6+11x
【答案】(1)
3+2x
1
(2)ab=
2
(3)见解析
12+x
【分析】（1）根据新定义，用6− 即可求解；
3+2x
a 2b
（2）根据定义可得 + =1，根据分式的加减进行计算，即可求解；
a+4b2 a2+2b
（3）根据题意首先利用倒数关系，将x、y进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判
断．
12+x 18+12x−12−x 6+11x
【详解】（1）解：依题意，6− = = ，
3+2x 3+2x 3+2x
12+x 6+11x
∴分式 与 互为“六⊕分式”，
3+2x 3+2x
6+11x
故答案为： ；
3+2x
a 2b
（2）解：∵分式 与 互为“一⊕分式”
a+4b2 a2+2b
a 2b
∴
+ =1
a+4b2 a2+2b
a(a2+2b)+2b(a+4b2)
即 =1
(a+4b2)(a2+2b)
∴a3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3，
即4a2b2=2ab，
∵a，b为正数1
∴ab=
2
（3）∵正数x，y互为倒数，
∴xy=1
5
5x 5 y 5x x 5x3 5 5(x3+1)
∴
+ = + = + = =5
x+ y2 x2+ y x+ 1 x2+ 1 x3+1 x3+1 x3+1
x2 x
5x 5x
∴分式 与 互为“五⊕分式
x+ y2 x2+ y
【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
4.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分
x+1 x−1+2 x−1 2 2 2x−3 2x+2−5 2x+2 −5 −5
式”．如： = = + =1+ ， = = + =2+ ，
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
x+1 2x−3
则 和 都是“和谐分式”．
x−1 x+1
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；
x+1 2+x x+2 y2+1
① ② ③ ④
x 2 x+1 y2
a2−2a+3 a2−2a+3
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =
a−1 a−1
_____________+________________；
3x+6 x−1 x2−1
(3)应用：先化简 − ÷ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
x+1 x x2+2x
【答案】(1)①③④
2
(2)a−1，
a−1
(3)x=−3时，当该式的值为整数．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐个进行判断即可；
（2）将分子改写为a2−2a+1+2，根据完全平方公式和分式的运算法则，即可化为“和谐分式”；
（3）先根据分式混合运算法则，以及题目所给“和谐分式”，将原分式化简，再根据x和该分式的值为
整数，得出符合条件的x的值即可．x+1 x 1 1
【详解】（1）解：① = + =1+ ，故①是“和谐分式”，符合题意；
x x x x
2+x 2 x x x
② = + =1+ ，∵ 不是分式，∴②不是“和谐分式”，不符合题意；
2 2 2 2 2
x+2 x+1+1 x+1 1 1
③ = = + =1+ ，故③是“和谐分式”，符合题意；
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
y2+1 y2 1 1
④ = + =1+ ，故④是“和谐分式”，符合题意；
y2 y2 y2 y2
故答案为：①③④；
a2−2a+3 a2−2a+1+2 (a−1) 2+2 (a−1) 2 2 2
（2）解： = = = + =a−1+ ，
a−1 a−1 a−1 a−1 a−1 a−1
2
故答案为：a−1， ；
a−1
3x+6 x−1 x2−1
（3）解： − ÷
x+1 x x2+2x
3(x+1)+3 x−1 (x+1)(x−1)
= − ÷
x+1 x x(x+2)
3(x+1) 3 x−1 x(x+2)
= + − ×
x+1 x+1 x (x+1)(x−1)
3 x+2
=3+ −
x+1 x+1
1−x
=3+ ，
x+1
x+1−2
=3−
x+1
x+1 2
=3− +
x+1 x+1
2
=3−1+
x+1
2
=2+ ，
x+1
∵原式值为整数，x为整数，
∴x+1能被2整数，且x+1为整数，
∴x+1=1,−1,2,−2，解得：x=0,−2,1,−3，
∵x+1≠0,x−1≠0,x≠0,x+2≠0，
∴x≠−1,1,0,−2，
∴x=−3，
∴x=−3时，当该式的值为整数．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则
以及理解题目所给“和谐分式”的定义．
