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专题 7.3 求数列的通项公式
题型一 观察法
题型二 周期数列
题型三 累加法
题型四 累乘法
题型五 待定系数法
题型六 取倒数法、取对数法
题型七 已知 求通项公式
题型八 已知 或者 求通项公式
题型九 因式分解型求通项
题型一 观察法
例1．（2023春·高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列
各数：
(1) ；
(2) ；
(3)7，77，777，7777.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）各项分母分别为 ，第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，得到通项
公式.
（2）数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，得
到通项公式.
（3）数列的前4项可以变为 ， ， ， ，得到通
项公式.【详解】（1）各项分母分别为 ，第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，
则原数列可化为 ， ， ， ，
故它的一个通项公式为 ， .
（2）这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减
1，
所以它的一个通项公式为 ， .
（3）这个数列的前4项可以变为 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以它的一个通项公式为 ， .
例2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆
球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰
在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”
垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角
锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.
【答案】55
【分析】根据给定条件归纳总结出“三角形数”的通项公式即可求出第10层球的个数.
【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列 ，
， ， ， ， ，…，
由此得 ，即 ，
则 ，
∴堆垛第10层球的个数为55.
故答案为：55.练习1．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列1，0， ， 与数列 ， ，0，1是相同的数列
B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为
D．数列 ，…的一个通项公式为
【答案】D
【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】对于选项A，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不
是同一个数列，故A错误；
对于选项B，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；
对于选项C，当 时， ，故C错误；
对于选项D，因为 ，
…，所以数列的一个通项公式为 ，故D正确.
故选：D
练习2．（2023春·江西·高三校联考期中）已知数列 为1， ，9， ，25，
，…，则数列 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据观察法，即可求解.
【详解】由题意知，数列：1，4，9，16，25， 的通项公式为 ，
所以数列 ： 的通项公式为 .
故选：B.
练习3．（2023·广东·高三专题练习）已知无穷数列 满足 ， ， ，写出
满足条件的 的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据 ， ， ，利用不完全归纳法可得答案.
【详解】由 ， ， ，
猜想 .
故答案为： .（答案不唯一）练习4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在
沙滩上研究数学问题：把 叫做三角形数；把 叫做正方形数，则下列各
数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.
【详解】三角形数： ，可得其通项公式为 ；
正方形数： ，可得其通项公式为 ，
均无正整数解，且 ，
所以 ， ， 是正方形数不是三角形数，
又 ， 既是三角形数，又是正方形数.
故选：A.
练习5．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知数列 ， ， ， ， ，…，则该
数列的第100项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简数列 ，得出数列的第 项为 ，进而求得第
项的值，得到答案.
【详解】由数列 ，可化为数列 ，
可得数列的第 项为 ，所以第 项为 .
故选：C.
题型二 周期数列
例3．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列 满足 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数列的周期性即可求得 的值.【详解】因为 ，所以 .又因为 ，
所以 ，
所以 是周期为4的数列，故 .
故选：B
例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列 中，已知 ，
当 时， 是 的个位数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.
【详解】因为 ，当 时， 是 的个位数，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
可知数列 中，从第3项开始有 ，
即当 时， 的值以6为周期呈周期性变化，
又 ，
故 .
故选：C.
练习6．（2023·全国·模拟预测）已知首项为 的数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由递推关系可知数列 的周期为4，即可得到结果.
【详解】依题意， ，则 ；而 ，则
，故数列 的周期为4．又 ，则 .
故选：D．
练习7．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列 满足： ，
， ，记数列 的前n项和为 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据递推公式得到 为周期数列，最小正周期为8，且
，从而求出 .
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
， ， ，
， ，
， ，……，
故 为周期数列，最小正周期为8，且
，
所以
.
故答案为：
练习8．（2023·全国·高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数
列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 ，即 ， ，且 .则洛卡斯数列 的第
项除以 的余数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设数列 各项除以 所得余数所形成的数列为 ，从而可知数列 是以
为周期的周期数列，从而可解.
【详解】设数列 各项除以 所得余数所形成的数列为 ，
则数列 为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
由上可知，数列 是以 为周期的周期数列，即对任意的 ， ，因为 ，所以 .
故选：D.
练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则
_______.
【答案】2
【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.
【详解】第一步，求不动点，设 ，令 得： ，化简得：
，显然该方程无解，这种情况下 一般是周期不大的周期数列，
我们只需算出前几项，找出规律即可，
由题意， ，所以 ， ， ， ，
， ，
从而 是以6为周期的周期数列，
故 .
故答案为：2.
练习10．（2023·北京通州·统考三模）数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得 ，即可得到数列 的周期，从而得到结果.
【详解】因为 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ， ，
所以数列 的周期为 ，则 .
故选：C
题型三 累加法
例5．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，求通项公式．
【答案】
【解析】
由题意可得
，
所以 ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， .求 的通项
公式.
【答案】
【详解】 =
.
练习11．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知数列 满足： ， ，数列
是以4为公差的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求数列 的通项，再用累加法求数列 的通项公式；
（2）由数列 的通项，利用裂项相消法求前n项和为 .
【详解】（1）根据题意可得 ，
则
；又 符合上式，所以 ；
（2）∵ ，
∴ .
练习12．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，
15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行
都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个
三角形数是______.
【答案】66
【分析】根据题意，得到 ， ，进而利用累加法求得 ，由此得
解.
【详解】依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列 ，则 ， ，
所以 ，
上式相加得 ，
所以 ，
则第11个三角形数是 .
故答案为：66.
练习13．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列 满足 ，
，则数列 的通项公式为______．
【答案】
【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以 ，利用累加法，结合裂项求和法即可
求得结果.
【详解】 ，两边同除 得：
，所以 ，即 ，
化简得 ，∵ ，∴ ．
故答案为： .
练习14．（2023春·江苏南京·高三南京大学附属中学校考阶段练习）在数列 中，
， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 得 ，然后利用累加法求出
即可得证；
（2） ，利用分组求和法和错位相减法可得答案.
【详解】（1）由 得 ，
∴ ，
，
⋯⋯，
，
∴ ，
∴ ， ， ,
∴数列 是等比数列；
（2）由（1）可得 ，
∴ ，
令 ，①
∴ ，②
错位相减，②﹣①，得：，
∴ .
练习15．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列 的各项均
不为零，且满足 ， （ ， ），则 的通项公式
__________．
【答案】
【分析】变换得到 ，设 ，得到 ，利用累加法计算得到答案.
【详解】 ，则 ，
设 ， ，则 ，
，
而 也符合该式，故 ，故 .
故答案为：
题型四 累乘法
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的
通项公式为___________．
【答案】
【分析】根据累乘法求出当 时的通项公式，并验证 也满足，从而得到 的通
项公式.
【详解】因为数列 满足 ， ，则 ，
所以，当 时， ，
也满足 ，所以，对任意的 ， ．故答案为：
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)若 ，求 的通项公式．
(2)若 ，求 的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据累乘法即可求解；（2）根据累加法即可求解.
【详解】（1）由题意可得 ．
（2）由题可得 ．
练习16．（2022秋·重庆北碚·高三重庆市兼善中学校考阶段练习）已知数列 的前 项
和为 ， ．
(1)求 ， ；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）将 ， 分别代入 中即可求得 ， ；
（2）利用 得出数列的递推关系，再由累乘法求得通项公式 ，要注意
的验证．
【详解】（1）依题意有 ，得 ，
又 ，得 ；
（2）因为 ，所以当 时， ，
两式相减得 ，化简得 ，
所以 ，
又 满足上式，所以 ．练习17．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知向量 ， ，
，则 ______， ______．
【答案】
【分析】设 ， ，得到 ，利用累乘法求出
，结合 ，求出 ， ，裂项相消法求和得到答
案.
【详解】设 ， ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ，
∴ ，
，
以上 个式子相乘得： ， ，
又因为 ，所以 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，，
∴
．
故答案为： ， ．
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 中， ， ， ，
则 ______， ______．
【答案】 2
【分析】先根据已知递推关系式列方程组，求得 的值，然后将已知递推关系式化简、变
形，得到数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
进而得到 ，最后利用累乘法求得 ．
【详解】由 ，得 ，消去 ，
得 ，则 ．
由 ，得 ，
又 ，所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以当 时， ，
经检验当 时上式也成立，
所以 ．
故答案为： ； .
练习19．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列 满足：.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用累乘法计算；
（2）运用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意： ，
，
，
，将 代入上式也成立， ；
（2） ，
.
练习20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一：由已知等式变形可得 ，计算出 的值，再利用累乘法可求得数列 的通项公式；
解法二：由已知条件计算出 的值，推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公
比，即可求得数列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式；
（2）利用错位相减法求出 ，进而可证得结论成立.
【详解】（1）解：解法一：由题 ①， ，即 ②，由①②得
，
由 得 ，
所以当 时， ，
也满足 ，
所以数列 的通项公式为 ；
解法二：由题， ①， ，即 ②，由①②得 ，
由 ，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
所以数列的通项公式为 ．
（2）证明：由（1）知 ，
所以 ，
两式作差得 ，
所以 .
题型五 待定系数法
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an} 满足a = 1，an = 3an + 1.求{an}的通
1 +1项公式.
【答案】
【分析】此题的基本方法是由an = 3an + 1，构造新数列 是一个首项为 ，公比
+1
为3的等比数列，从而求得 .这种构造新数列的方法有时往往不能理解为何要这样
配凑，于是也就仅限于依葫芦画瓢而已，其实此类型问题可采用迭代法求解.
【详解】
.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是首项为 .
(1)求 通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，解得 ，得到 是首
项为 ，公比为 的等比数列，得到通项公式.
（2）确定 ，再利用分组求和结合等差等比数列求和公式计算得到答案.
【详解】（1） ，设 ，
即 ，即 ，解得 ，
，故 是首项为 ，公比为 的等比数列.
，故 .（2） ，则
.
练习21．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足 ， ，则数列
{an}的通项公式为___________.
【答案】 ．
【分析】已知式两边同除以 ，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵ ，所以 ，即 ，
∴ 是等差数列，而 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列
的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】依题意可得 ，即可得到 是 为首项， 为公比的等比数
列，从而求出数列的通项公式.
【详解】因为 ，
设 ，即 ，
根据对应项系数相等则 ，解得 ，故 ，
所以 是 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .故答案为：
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数
列 的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得 ，结合等比数列分析运
算；解法二：整理得 ，结合等比数列分析运算；解法三：整理得
，根据累加法结合等比数列求和分析运算.
【详解】解法一：设 ，整理得 ，可得 ，
即 ，且 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法二：(两边同除以 ) 两边同时除以 得： ，
整理得 ，且 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法三：(两边同除以 )两边同时除以 得： ，即 ，
当 时，则
，
故 ，
显然当 时， 符合上式，故 .
故答案为： .练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 且 ，
则数列 的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】根据题意,可得 ，令 ，则 ，再结合等比数列的
定义求解即可.
【详解】∵ ，等式两侧同除 ，可得 ，
令 ，则 ，
∴ ，又 ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ，
∴ ，即 .
故答案为： .
练习25．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足： ， （ ），
数列 满足： ．求数列 的通项公式．
【答案】 ．
【分析】利用辅助法，对于数列 的递推公式，两边同时除以 ，根据数列构造法，可
得答案.
【详解】∵ ，两边同时除以 得 ．
令 ，则 ．
两边同时加上 得 ．
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
∴ ，∴ ．
∴ ．又∵ ，∴ ，
题型六 取倒数法、取对数法
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求
的通项公式.
【答案】
【分析】两边取对数得 ，根据等比数列的通项公式求解，解方程即可
得解.
【详解】取以10为底的对数可得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ，即 .
例12．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）（多选）已知数列 满足
，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等比数列
B． 的通项公式为
C． 为递增数列
D． 的前n项和
【答案】ABD
【分析】根据已知证明 为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断
B；作差判断 的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为 ，所以 +3，所以 ，
又因为 ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即 ，故B正确；
因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 为递减数列，故C错误；
，
则 ，故D正确.
故选：ABD.
练习26．（2023春·高三课时练习）数列 中， ， ，则下列结论中正确的
是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．数列 为等比数列
C．数列 为等比数列
D．数列 为等差数列
【答案】C
【分析】求出数列 的前3项，利用等比数列定义判断A，B；给定等式两边取对数可得
，判断C，D作答.
【详解】数列 中， ， ，则 ， ，显然
不成等比数列，A，B都不正确；
依题意， ，由 两边取对数得： ，因此，数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，C正确，D不正确.
故选：C
练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且
(1)求数列 的通项公式
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 得 的递推关系，取对数得常数数列，从而得通项公
式 ；
（2）用错位相减法求和．
【详解】（1）由 得：当 时， ，
两式相除得： ，即 ，
两边取对数得： ，亦即 ，故数列 是常数列，
， ， ；
（2） ， ，
，
，
两式相减得 ，
．
练习28．（2022秋·湖南娄底·高三湖南省新化县第一中学校考期末）（多选）已知数列
满足 ， ，则下列结论中错误的有（ ）
A． 为等比数列 B． 的通项公式为C． 为递增数列 D． 的前 项和为
【答案】BC
【分析】取倒数后由构造法得 为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定
【详解】由题意得 ，则 ，而 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，得 ， 为递减数列，故A正确，B，C错误，
对于D， ， 的前 项和为 ，故D正确，
故选：BC
练习29．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）两边同时取到数，构造等比数列求解即可；
（2）放缩法证明不等式即可.
【详解】（1）因为 ， ，故 ，
所以 ，整理得 ．
又 ， ， ，
所以 为定值，
故数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，得 .
（2）因为 ，
所以 ．
练习30．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列 满足 ，
， ， ．
(1)当 时，求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出 ，计算得出 ，即可得出当 时，数列 的通项公
式；
（2）由（1）可求得 ，计算可得 ，利用错位相减法可求得数列 的前
项和.
【详解】（1）当 时， ，所以， ，即 ，
所以， ，所以， ，即 ，
因为 ，所以，当 时， .
（2）解：由（1）可知，当 时， ，则 ，即 ，
所以，数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以， .
故 ，设数列 的前 项和为 ，
所以， ，①则 ，②
① ②可得
，
因此， .
题型七 已知 求通项公式
例13．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，若 ，且
，则 __________.
【答案】
【分析】当 时，由 可得 ，两式
作差可得出 ，当 时，求出 的值，可得出 ，分析可知数列
为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得 的值.
【详解】当 时，由 可得 ，
两式相减得 ，即 ，
即 .
当 时， ，即 ，
所以， ，则 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
则 .
故答案为： .
例14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设 求数列 的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据前n项和与通项公式之间的关系可得 ，再结合等差数列定义
证明；
（2）结合（1）中的结果，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）当 时，则 ；
当 时，则 ；
显然当 时，也满足上式，
所以 .
当n≥2时，则 ，
所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可知， ，则 ，
可得
，
所以数列 前n项和为 .
练习31．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列 的前 项和为 ，数列 是首
项为1，公差为1的等差数列，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列求得 ，即 ，再根据 与 的关系采
用相减法即可求得数列 的通项公式；
（2）由题意得 ，利用等比数列求和公式即可得数列 的前 项和 .
【详解】（1） 是首项为1，公差为1的等差数列， .时， 也符合
（2）显然
于是
练习32．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 ；
(3)若 ，求数列 前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）类比题目中的和式再写出一个把 换成 的和式，然后与原来的和式作差
即可求出结果；
（2）利用（1）的结果求出 ，然后利用裂项相消法即可求和；
（3）利用（1）的结果求出 ，然后分组利用错位相减法即可求出 .
【详解】（1） ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，
得 ，即 ，
满足上式，数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得
，
；
（3）由（1）知 ，
数列 前 项和
，
令 ，
，
，
，
得
.
得
，
.
练习33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)证明： 是一个等差数列；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 ．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据 得到 ，
然后两式相减得到 ，最后验证 时是否成立，即可得到 ，进而即可
证明结论；
（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最
后相加即可．
【详解】（1）当 时，可得 ，
当 时，由 ，
则 ，
上述两式作差可得 ，
因为 满足 ，所以 的通项公式为 ，所以 ，
因为 （常数），
所以 是一个等差数列．
（2） ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 ．
练习34．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，
已知 ， 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；(2)设 ，数列 前 项和 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 ，从而利用等差数列通项公式求出 ，再利用
求出答案；
（2）裂项相消法求和，并证明.
【详解】（1）因为 ，则 ，
所以 ，可得 ，
当 时， ，
又因为 适合上式，因此 .
（2）由（1）可得： ，
故 .
练习35．（2023·山西吕梁·统考三模）已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据 与 的关系即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得 ，结合裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1） ①，
当 时， ，解得 .
当 时， ②，
①-②，得 ，所以 ，又 ，符合上式，故 .
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 ，
则
.
题型八 已知 或者 求通项公式
例15．（2023·四川凉山·三模）数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
______．
【答案】
【分析】由 ，可得当 时， ，两式相减可证得数列 是以1为
首项，公比为2的等比数列，即可求出 的通项公式.
【详解】由已知， ， ①，
当 时， ，
当 时， ②，
①－②得： ，整理得： ，即 ，
又 符合上式，所以数列 是以 为首项，公比为2的等比数列，
所以 .
故答案为： .
例16．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据 与 的关系，求得数列 的通项公式，即可求出 的通项公
式；
（2）由题知 ，进而根据裂项求和法求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，
所以 ，即 ，
则 ，
当 时， ，解得 ，则 ，
从而 是首项为2，公比为2的等比数列，
故 ，即 ；
（2）由（1）知 ，
所以 ．
练习36．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列 中， ，
，则 _____ .
【答案】
【分析】将 时的等式与条件中的等式做差整理可得 ，然后利用
计算即可.
【详解】 ①，
当 时， ②，
①-②得 ，整理得 ，
当 时， ，得 ，
.
故答案为： .练习37．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
（ 且 ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 及题意可得数列 为等差数列，从而求出 ，
从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法证明即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
∴ ，∴ ，
当 时， ，
当 时， ，满足上式，
∴数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）可知， ，则 ，
故
，因为 ，故 ，即得证
练习38．（2023·云南·校联考二模）正项数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求出 ， ；
(2)若 ，求数列 的前2023项和 ．
【答案】(1) ； ；(2) .
【分析】（1）将 代入递推公式即可求出答案；
（2）将 通项公式代入 ，将 展开并项求和即可得出答案.
【详解】（1）由 可得， ，
又因为 为正项数列 的前n项和，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，数列 为等差数列，
所以 ， ， ，所以 .
（2） ，
.
练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
，设 （ 表示不超过 的最大整数），则数列 的前2023
项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 和 的关系化简 ，可得 ，进而得到
数列 是以 为首项、4为公比的等比数列，进而得到 ，可得
，进而根据等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
两式相减得 ．
当 时， ，即 ，
代入 ，可得 ，即 ，所以 ，所以数列 是以 为首项、4为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：B．
练习40．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，已知 ，
，则 ______
【答案】
【分析】根据 与 的关系式，可推得 ，进而根据累乘法即可求出
.
【详解】由已知可得， .
当 时， ，
所以 ；
当 时，
有 ， ，
两式相减得， ，
所以 .
所以有 ，
，
，
，
，两边同时相乘可得，
，
整理可得， .
当 时， ，满足该式，
，满足该式，
故 .
故答案为： .
题型九 因式分解型求通项
例17．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列 的前n项和为 ，已知
，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据 得到 ，根据 和 得到
，即可得到数列 是公差为2的等差数列，然后求通项即可；
（2）利用裂项相消的方法求和即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ①，
所以 时， ②．
由 ，得 ，即 ．
因为 各项均为正数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，解得 ， ， ，
所以数列 是公差为2的等差数列，所以 ．
（2）由（1）得 ．
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
所以
例18．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）正项数列 的前 和为
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 证明 是等差数列，可求通项；
（2）由错位相减法求 的通项，再用分组求和求数列 的前 项和 .
【详解】（1）正项数列 ，当 时，由 ，解得 ，
由 ，所以 ，
所以 ，即 ，
，
数列 是正项数列，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的正项等差数列，所以 .
（2）由 ，
所以 ，
，
，
上面两式相减，得 ，
，即 ，
所以 ，
.
练习41．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 各项均为正数且满足
，数列 满足 ，且 ．求 的通项公
式.
【答案】 ，
【分析】由 化简可得到 的通项公式，将 左右两
边同除以 可得 是等差数列，即可得到 的通项公式.
【详解】由 可得 ，
，
因为 ，左右两边同除以 ，得 ，
所以数列 是公差为1的等差数列，
， ，
.练习42．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知
递增数列 满足 ．
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)Sn= .
【分析】（1）由题可得 ，然后根据等差数列的概念即得；
（2）利用错位相减法即得.
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，
若 ，则 ，又 ，
所以数列 为首项为7公差为4的等差数列；
若 ，由 ，得 ， （舍去）；
综上： ；
（2）由（1）知， ，所以数列 的前n项和，
作差可得：
，
所以 ，
故 的前n项和为Sn= .
练习43．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）在数列 中，
，且 递增，则 ___________．
【答案】
【分析】由题设中的递归关系可得 ，从而可求 ，故可求数列的通项，也
可以利用特值方程法求出数列的通项.
【详解】解法一 根据题意，有 ，于是 ，
考虑到 ，于是 ，
所以
进而 ．
解法二 根据题意，有 ，
，
两式相减，得 ，
因为数列 单调递增，所以 ， ，
两式相减，得 ．
解上式对应的特征方程 ,
得 ，因此 ．
将 代入上式，得
练习44．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足
.求 的通项公式；
【答案】
【分析】将所给等式因式分解后再用累乘法求解.
【详解】由 可得： ，
因为 为正项数列，所以 ，
所以 ，则 ，……， ，
将这 个式子相乘，则 ，
又因为 ，所以
练习45．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知正数数列 ， ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）因式分解 ，从而可推导得 ，
再利用累乘法计算数列 的通项公式；（2）根据裂项相消法计算数列 的前 项和 .
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
又 ，∴ ，即 ．
又 ，
且 ，∴
（2） ，∴ ， ，
又 ，
∴ .
