第一章整式的乘除章末检测卷（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_05习题试卷_2单元试卷_单元测试（第4套）

第一章 整式的乘除 章末检测卷（北师大版） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自 己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．（2021·山东济宁学院附属中学）下列运算正确的是（ ） A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2 【答案】A 【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即 可． 【详解】解：A、（a3）4=a12，故原题计算正确；B、a3•a4=a7，故原题计算错误； C、a2+a2=2a2，故原题计算错误；D、（ab）2=a2b2，故原题计算错误；故选：A． 【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则． 2．（2021·河南嵩县·）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB=210MB， 1MB=210KB，1KB=210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ） A． KB B． KB C． KB D． B 【答案】B 【分析】根据同底数幂的运算计算即可； 【详解】由题可得：1GB ；故答案选B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法应用，准确计算是解题的关键． 3．（2021·江苏镇江市·八年级月考）若 ，则 等于（ ） A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020 【答案】C 【分析】将 变形为 ， ，代入 即可求解． 【详解】解：∵ ，∴ ， ， ∴=2018．故选：C 【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是 解题关键． 4．（2020·江苏无锡市·八年级期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ ”．如记 =1+2+3+…+（n﹣1）+n， =（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知 ，则m的值是（ ） A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20 【答案】B 【分析】利用题中的新定义计算即可得到m的值． 【详解】根据题意得 ， ∵ ∴n=5,即 = x2＋x−6＋x2＋x−12＋x2＋x−20= = 则m＝−38．故选：B． 【点睛】此题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2021·重庆一中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【详解】 ∴ ∴a>b>c故选A【点睛】本题考查了有理数的大小比较，幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则． 6．（2021·天津南开·八年级期末）已知 ，那么 的值为（ ）． A．5 B．1 C．10 D．2 【答案】B 【分析】由题意易得 ，进而可得 ，然后问题可求解． 【详解】解：∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ；故答案为B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键． 7．（2021·湖北武汉·八年级期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图 1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖 的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S，图2中阴影部分的面积为S．当AD比AB大3时，S 1 2 2 ﹣S 的值为（ ） 1 A．3a B．3b C．3a﹣b D．3b﹣a 【答案】B 【分析】利用割补法表示出 和 ，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ∵AD比AB大3，∴ ，∴ ．故选：B．【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积以及整式 的运算法则． 8．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部期中）已知 ，则 （ ） A．1 B．－1 C．2 D．0 【答案】B 【分析】将 代入 ，计算即可得到结果． 【解析】将 代入 得： ， ∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值，应用特殊值代入求解是解题的关键． 9．（2021·郑州枫杨外国语学校八年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2 的值为（ ） A．136 B．86 C．36 D．50 【答案】B 【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案． 【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6， ∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 10．（2020·重庆月考）已知实数m，n，p，q满足 ， ，则 （ ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 【答案】A 【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变 形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【解析】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变 形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．（2021·湖南常德·七年级期末）若方程4x2+（m+1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的 值为__． 【答案】-5或3 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵4x2+（m+1）x+1可以写成一个完全平方式， ∴4x2+（m+1）x+1＝（2x±1）2＝4x2±4x+1， ∴m+1＝±4，解得：m＝-5或3，故答案为：-5或3． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 12．（2021·浙江）若 ， ，且 ，则 ________． 【答案】±2 【分析】把27看成33，64看成43， 看成 ，然后根据积的乘方（ab）n=anbn的逆用进行化简， 底数都是12，根据指数相等求出m；把底数统一化成2，根据同底数幂的乘法法则可以求得n=3，然后把 m，n的值代入得（x3）6=86，偶数次方相等，所以底数相等或互为相反数，从而求得x的值． 【详解】解：∵27m×64m= ，∴33m•43m= ，∴（3×4）3m=123，∴123m=123，∴3m=3，∴m=1； ∵128×512×64=2n+19，∴27×29×26=2n+19，∴27+9+6=2n+19，∴222=2n+19，∴n+19=22，∴n=3； 把m=1，n=3代入（3n-m）6=（x3）6得：（x3）6=86，∴x3=±8，∴x=±2．故答案为：±2．【点睛】本题主要考查了幂的运算，考查学生的计算能力，解题时注意偶数次方相等，那么底数相等或互 为相反数，不要漏解． M 21 22 1  24 1  28 1  216 1  1 13．（2021·福建初二月考）若 ，则数M 的末位数字是 _______． 【答案】6 M (21)21 22 1  24 1  28 1  216 1  1 【分析】将原式转化成 ，再结合平方差公式解题即 可． M 21 22 1  24 1  28 1  216 1  1 【解析】 (21)21 22 1  24 1  28 1  216 1  1(22 1)  22 1  24 1  28 1  216 1  1 (24 1)  24 1  28 1  216 1  1(28 1)  28 1  216 1  1 (216 1)  216 1  1 (232 1)1 232 232的个位数是6  M 21 22 1  24 1  28 1  216 1  1  的个位数是6．故答案为：6． 【点睛】本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．（2021·广东东莞市·湖景中学八年级月考）已知 ，则 ______． 【答案】3 【分析】根据完全平方公式求得 的值，然后再来求 的值． 【详解】解： ，又 ， ．故答案为： ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟记公式的几个变形公式． 15．（2021·绵阳市初三模拟）已知： ，且 则 ． 【答案】14【解析】因为 ，所以 ，所 以 ，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又 ， 所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以 2+4+8=14． 16．（2021·浙江东阳·八年级期末）将16y2+1再加上一个整式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式 为______． 【答案】8y，-8y，64y4 【分析】因为a2±2ab+b2=（a±b）2，由16y2+1=（4y）2+1，①当a2=（4y）2，b2=1，则a=4y，b=1，即可得 出±2ab的值，即可得出答案；②当2ab=16y2，b2=1，即可得出a的值，即可得出a2的值即可得出答案． 【详解】解：∵16y2+1=（4y）2+1，∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2， ∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2，故答案为：8y，-8y，64y4． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式进行求解是解决本题的关键． 17．（2021·浙江）我们知道，若 （ 且 ），则 ．设 ．现给出 三者之间的三个关系式：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是 __________． 【答案】②③④ 【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出m、n、p的关系为n=1+m，m=n-1，p=n+1，再分别判断各项． 【详解】解：∵5m=3，∴5n=15=5×3=5×5m=51+m，∴n=1+m，m=n-1， ∵5p=75=52×3=52+m，∴p=2+m，∴p=n+1， n2-mp=（1+m）2-m（2+m）=1+m2+2m-2m-m2=1，故①错误，④正确； m+p=n-1+n+1=2n，故②正确；m+2p=n-1+2（n+1）=3n+1，故③正确，故答案为：②③④． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式. 18．（2021·河南郑州·）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正 方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各 个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为【答案】8 【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，由图1可得，（a+b）2-4ab=35，即a2+b2=2ab+35①， 由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，即a2+b2=51②， 由①②得，2ab+35=51，所以ab=8，即长方形的面积为8，故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到 答案是常用的方法． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 19．（2021·陕西·七年级期末）计算：（1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）多项式除以单项式的法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可； （2）把 看作是整体字母，再利用多项式除以单项式的法则进行除法运算，再利用完全平方公式进行 整式的乘法运算即可. 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是多项式除以单项式，完全平方公式的应用，掌握“多项式除以单项式的法则及整体 法的运用”是解本题的关键.20．（2021·江苏南京钟英中学）若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．利用上面结论解 决下面的问题：（1）如果 ，求x的值；（2）如果 ，求x的值； （3）若 ， ，用含x的代数式表示y． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；（2）利用积的乘方逆运算解答； （3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为 ， ，即可得到x与y的关系 式，由此得到答案． 【详解】解：（1）∵ ，∴ ， ∴ ，解得 ； （2）∵ ，∴ ， ， ， ； （3）∵ ， ，∴ ， ， ∴ ，∴ ． 【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则， 熟记法则及其逆运算是解题的关键． 21．（2021·四川成都实外）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式， (ab)2 a2 2abb2 例如图1可以得到 ，请解答下列问题： （1）图2所表示的数学等式为_____________________；abc12,a2 b2 c2 60 abacbc （2）利用（1）得到的结论，解决问题: 若 ，求 的值； B,C,D AE,EG （3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起， 三点在同一直线上，连接 ,若 ab15, ab35 两正方形的边长满足 求阴影部分面积． (abc)2 a2 b2 c2 2ab2bc2ac S 95 【答案】（1） ；（2） 42 ；（3） 阴影 【分析】（1）根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩 形的面积，另一种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的 乘法公式，进行变形得出答案即可；（3）利用S =正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形 阴影 EGF的面积-三角形AED的面积求解． 【解析】（1）由图可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c） 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； 1 1 （2）由（1）可得：ab+bc+ac＝ [(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]= [122−60]=42； 2 2 1 1 （3）S ＝a2+b2− (a−b)a− b2 阴影 2 2 1 1 1 1 1 1 =a2+b2− a2+ ab− b2= (a2+b2+ab)= [(a+b)2−ab]= [152−35]=95． 2 2 2 2 2 2 【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示 同一图形的面积． 22．（2021·镇江市外国语学校七年级月考）一般地，n个相同的因数a相乘aaa；记为an；如 22223 8 ，此时；3叫做以2为底8的对数，记为 log z 8 （即 log z 83 ）．一般地，若 an b （ a0 且 a1 b0 log b log bn 34 81 a a ， ），则n叫做以a为底b的对数，记为 （即 ）．如 ，则4叫做以3为底 log 81 log 814 log 4 log 16 81的对数，记为 3 （即 3 ）．（1）计算下列各对数的值： 2 ______； 2 _______； log 64 2 _______；log 4 log 16 log 64 （2）你能得到 2 、 2 、 2 之间满足怎样的关系式：_______； log M log N log MN （3）由（2）的结果，请你归纳出 a 、 a 、 a 之间满足的关系式：_________， （4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论． 【答案】（1）2，4，6；（2）log 4+log 16=log 64；（3）log M+log N=log （MN）；（4）见解析 2 2 2 a a a 【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：根据4×16=64，可判断 log 4+log 16=log 64； 2 2 2 （3）由特殊到一般，得出结论：log M+log N=log （MN）； a a a （4）首先可设log M=b，log N=b，再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论． a 1 a 2 【详解】解：（1）∵22=4，∴log 4=2，∵24=16，∴log 16=4，∵26=64，∴log 64=6； 2 2 2 （2）∵4×16=64，∴log 4+log 16=log 64； 2 2 2 （3）由题意可得：log M+log N=log （MN）； a a a （4）证明：设log M=x，log N=y，则ax=M，ay=N， a a ∴MN=ax•ay=ax+y，∴x+y=log （MN）即log M+log N=log （MN）． a a a a 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查 学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推 测出对数应有的性质． 23．（2021·青岛经济技术开发区第四中学七年级月考）观察：已知x1． 1x1x1x2 1x 1xx2 1x3 1x 1xx2x3 1x4 … 1x 1xx2 xn   （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： 12 1222232425  ① ；②2222324  2n  ； x1 x99x98x97 x2x1    （3）拓广：① ； ②判断220102200922008 2221的值的个位数是几？并说明你的理由． 1xn1 63 2n12 x1001 【答案】（1） ；（2）① ；② ；（3）① ；② 个位上数字是7，理由见解析． 【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可；（2）① 令x2,n5，代入上面规律计算即可； 12n1 （2）② 将式子变形为：2222324  2n  1，计算即可； 12 1x x99x98x97 x2x1  （3）① 提取1，将原式变形为：  ，按照规律计算即可； 220102200922008 2221 21 2,22 4,23 8,24 16,25 32,26=64 （3）② 由  ， …结果是以2、4、 8、6，20114=502...3，22011的个位数字为8，进一步得到结果． 1x 1xx2 xn 1xn1  【详解】解：（1） 12 1222232425 （2）① =126 = 63 12n1 ② = 1= 2222324 2n 1+2222324 2n1 12 2n12   x1 x99x98x97 x2x1  1x x99x98x97 x2x1    1x100 （3）①  =  = =x1001 122011 ② = = 220102200922008 2221 12 220111  21 2,22 4,23 8,24 16,25 32,26=64 ∵ …结果是以2、4、8、6循环 ∴20114=502...3 ∴22011的个位数字为8，∴220111的个位数字为7 【点睛】本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键． 24．（2021·江苏丹阳·八年级期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变 换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以 把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式例如：当 时，求 的值． 为解答这题，若直接把 代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本 题进行解答． 方法一：将条件变形，因 ，得 ．再把所求的代数式变形为关于 的表达式，可得原式 ． 方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由 ，可得 ，即 ， ． 原式 ． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）当 时，求 的值；（2）当 时，求 的值． 【答案】（1）0；（2）1 【分析】（1）根据题意，利用题目中的方法，把 化为 ，然后进行计算，即可得到答 案； （2）根据题意，把 化为 ，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵ ，∴ ∴ ； （2）∵ ，∴ ∴ ； 【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进 行化简． 25．（2021·海口市第十四中学八年级月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式， 如图1可以解释完全平方公式： ．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）： 方法1： _________________；方法2∶ _________________． （2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式? （3）①已知 ， ，请利用（2）中的等式，求 的值． ②已知 ， ，请利用（2）中的等式，求 的值． 【答案】（1） ， ；（2） ；（3）① ；②1 【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可解答； （2）根据（1）求得的结果，利用两种方法求得的阴影面积相等即可解答； （3）①根据 即可得到 ，由此求解即可； ②根据 可得 ，由此求解即可． 【详解】解：（ ）方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和，∴阴影部分面积= ； 方法2：阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积 ∴阴影部分面积= ．故答案为： ， ； （ ）∵（1）中两种方法求得的阴影部分面积相等，∴ ； （ ）①∵ ， ， ， ∴ ，∴ ； ② ， ， ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积与大正方形的面积-小正方形的面积相 等列式计算是解题的关键． 26．（2021·浙江东阳·七年级期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值， 探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为 ；当x＝2时，x2+2x+5的值为 ，可见，代数式的值因x的 取值不同而变化． 探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+l+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+的最 小值为 ，这时相应的x＝ ． 根据上述探究，请解答：（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值． （2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？ 若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由． 8 【答案】探究一：8，13；探究二：4，-1；（1）当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；（2） 3 【分析】探究一：把x=1和x=2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案； 探究二：先将代数式x2+2x+5运用完全平方公式变形后得：（x+1）2+4，可得结论； （1）将代数式-x2-8x+17运用完全平方公式变形后可得结论； （2）存在A=B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值． 【详解】解：探究一：当x=1时，x2+2x+5=12+2+5=8；若x=2，x2+2x+5=22+2×2+5=13；故答案为：8，13； 探究二：x2+2x+5=（x2+2x+1）+4=（x+1）2+4， ∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x=-1．故答案为：4，-1； （1）∵-x2-8x+17=-（x+4）2+33，∴当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33； （2）∵A=-x2-8x+17，B=9y2+12y+37， 当A=B时，则B-A=0，∴（9y2+12y+37）-（-x2-8x+17）=0， 9y2+12y+4+x2+8x+16=0，（3y+2）2+（x+4）2=0，∴3y+2=0，x+4=0， 2 2 8   ∴x=-4，y= ，∴x•y=-4×（ ）= ． 3 3 3 【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行 解答．