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2019 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
【分析】直接由并集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础的计算题．
2．（5分）已知复数z＝2+i，则z• ＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【分析】直接由 求解．
【解答】解：∵z＝2+i，
∴z• ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．
3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝
【分析】判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．
【解答】解： 在（0，+∞）上单调递增， 和 在
（0，+∞）上都是减函数．
故选：A．
第1页 | 共15页【点评】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s的
值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k＝1，s＝1
s＝2
不满足条件k≥3，执行循环体，k＝2，s＝2
不满足条件k≥3，执行循环体，k＝3，s＝2
此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
出正确的结论，是基础题．
5．（5分）已知双曲线 ﹣y2＝1（a＞0）的离心率是 ，则a＝（ ）
A． B．4 C．2 D．
【分析】由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2＝c2联立求得a值．
【解答】解：由双曲线 ﹣y2＝1（a＞0），得b2＝1，
第2页 | 共15页又e＝ ，得 ，即 ，
解得 ，a＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题．
6．（5分）设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】“b＝0” “f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数” “b＝0”，由此能求出
结果． ⇒ ⇒
【解答】解：设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），
则“b＝0” “f（x）为偶函数”，
“f（x）为偶⇒函数” “b＝0”，
∴函数f（x）＝cosx+⇒bsinx（b为常数），
则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计
算能力，属于基础题．
7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足m ﹣m ＝ lg ，其中星等为m 的星的亮度为E （k＝1，2）．已知太阳的星等
2 1 k k
是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【分析】把已知熟记代入m ﹣m ＝ lg ，化简后利用对数的运算性质求解．
2 1
【解答】解：设太阳的星等是m ＝﹣26.7，天狼星的星等是m ＝﹣1.45，
1 2
第3页 | 共15页由题意可得： ，
∴ ，则 ．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
8．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，
大小为 ，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
β
A．4 +4cos B．4 +4sin C．2 +2cos D．2 +2sin
【分析β 】由题β 意可得∠AOBβ＝2∠βAPB＝2 ，要求阴β 影区β域的面积的最大β值，即β 为直线
QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面β积公式，计算可得所求最大值．
【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2 ，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥β AB，
即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cos ，
AB＝2•2sin ＝4sin ， β
β β
扇形AOB的面积为 •2 •4＝4 ，
β β
△ABQ的面积为 （2+2cos ）•4sin ＝4sin +4sin cos ＝4sin +2sin2 ，
β β β β β β β
S△AOQ +S△BOQ ＝4sin +2sin2 ﹣ •2•2sin2 ＝4sin ，
β β β β
即有阴影区域的面积的最大值为4 +4sin ．
故选：B． β β
第4页 | 共15页【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于
中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）已知向量 ＝（﹣4，3）， ＝（6，m），且 ⊥ ，则m＝ 8 ．
【分析】 ⊥ 则 ，代入 ， ，解方程即可．
【解答】解：由向量 ＝（﹣4，3）， ＝（6，m），且 ⊥ ，
得 ，
∴m＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．
10．（5分）若x，y满足 则y﹣x的最小值为 ﹣ 3 ，最大值为 1 ．
【分析】由约束条件作出可行域，令z＝y﹣x，作出直线y＝x，平移直线得答案．
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
A（2，﹣1），B（2，3），
第5页 | 共15页令z＝y﹣x，作出直线y＝x，由图可知，
平移直线y＝x，当直线z＝y﹣x过A时，z有最小值为﹣3，过B时，z有最大值1．
故答案为：﹣3，1．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方
程为 （ x ﹣ 1 ） 2 + y 2 ＝ 4 ．
【分析】由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．
【解答】解：如图，
抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），
∵所求圆的圆心F，且与准线x＝﹣1相切，∴圆的半径为2．
则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝4．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的
解题思想方法，是基础题．
12．（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网
格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 4 0 ．
第6页 | 共15页【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，
则该几何体的体积V＝ ．
故答案为：40．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
13．（5分）已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
l⊥m； m∥ ； l⊥ α．
①以其中的两②个论断α 作③为条件α，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若
l ⊥ ， l ⊥ m ，则 m ∥ ．
【分α析】由l，m是α平面 外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若 l⊥ ，
l⊥m，则m∥ ． α α
【解答】解：α由l，m是平面 外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得： α
若l⊥ ，l⊥m，则m∥ ．
α α
第7页 | 共15页故答案为：若l⊥ ，l⊥m，则m∥ ．
【点评】本题考查α满足条件的真命α题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西
瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四
种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网
上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 13 0 元；
①在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的
②最大值为 1 5 ．
【分析】 由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；
在促销①活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，结
②合恒成立思想，可得x的最大值．
【解答】解： 当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），
即有顾客需要①支付140﹣10＝130（元）；
在促销活动中，设订单总金额为m元，
②可得（m﹣x）×80%≥m×70%，
即有x≤ ，
由题意可得m≥120，
可得x≤ ＝15，
则x的最大值为15元．
故答案为：130，15
【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
【分析】（1）利用余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，代入已知条件即可得到关于b的
方程，解方程即可；
第8页 | 共15页（2）sin（B+C）＝sin（ ﹣A）＝sinA，根据正弦定理可求出sinA．
【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ．
∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB
＝ ，
∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；
（2）在△ABC中，∵cosB＝﹣ ，∴sinB＝ ，
由正弦定理有： ，
∴sinA＝ ＝ ，
∴sin（B+C）＝sin（ ﹣A）＝sinA＝ ．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题．
16．（13分）设{a }是等差数列，a ＝﹣10，且a +10，a +8，a +6成等比数列．
n 1 2 3 4
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）记{a }的前n项和为S ，求S 的最小值．
n n n
【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d＝2，由此能
求出{a }的通项公式．
n
（Ⅱ）由a ＝﹣10，d＝2，得S ＝﹣10n+ ＝n2﹣11n＝（n﹣ ）2﹣
1 n
，由此能求出S 的最小值．
n
【解答】解：（Ⅰ）∵{a }是等差数列，a ＝﹣10，且a +10，a +8，a +6成等比数列．
n 1 2 3 4
∴（a +8）2＝（a +10）（a +6），
3 2 4
∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d），
解得d＝2，
∴a ＝a +（n﹣1）d＝﹣10+2n﹣2＝2n﹣12．
n 1
（Ⅱ）由a ＝﹣10，d＝2，得：
1
S ＝﹣10n+ ＝n2﹣11n＝（n﹣ ）2﹣ ，
n
∴n＝5或n＝6时，S 取最小值﹣30．
n
第9页 | 共15页【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数
列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为
主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全
校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的
有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
不大于2000元 大于2000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元
的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随
机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本
仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式
都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方
式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人
数．
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的
有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元
包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于 2000元的概率．
（Ⅲ）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的
概率为 ，虽然概率较小，但发生的可能性为 ．不能认为样本仅使用B的学生中本
月支付金额大于2000元的人数有变化．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：
从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
第10页 | 共15页仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，
∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，
∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000× ＝400人．
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的
有1人，
从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，
该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，
∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p＝ ＝ ．
（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，
理由如下：
上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．
现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，
发现他本月的支付金额大于2000元的概率为 ，
虽然概率较小，但发生的可能性为 ．
故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．
【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能
力与计算能力，属于基础题．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为
CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
第11页 | 共15页【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）推导出 AB⊥AE，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAB，由此能证明平面 PAB⊥平面
PAE．
（Ⅲ）棱 PB 上是存在中点 F，取 AB 中点 G，连结 GF，CG，推导出 CG∥AE，
FG∥PA，从而平面CFG∥平面PAE，进而CF∥平面PAE．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，
∴BD⊥PA，BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，
E为CD的中点，∠ABC＝60°，
∴AB⊥AE，PA⊥AE，
∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，
∵AE 平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．
解：（⊂Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．
理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，
∴CG∥AE，FG∥PA，
∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，
∴平面CFG∥平面PAE，
∵CF 平面CFG，∴CF∥平面PAE．
⊂
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的眯是否存在的判断
与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算
能力，属于中档题．
第12页 | 共15页19．（14分）已知椭圆C： + ＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP
与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c＝1，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求椭圆方
程；
（Ⅱ）y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定
点的求法，计算可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： + ＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
可得b＝c＝1，a＝ ＝ ，
则椭圆方程为 +y2＝1；
（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
设P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
AP的方程为y＝ x+1，令y＝0，可得y＝ ，即M（ ，0）；
AQ的方程为y＝ x+1，令y＝0，可得y＝ ．即N（ ，0）．
（1﹣y ）（1﹣y ）＝1+y y ﹣（y +y ）＝1+（kx +t）（kx +t）﹣（kx +kx +2t）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝（1+t2﹣2t）+k2• +（kt﹣k）•（﹣ ）＝ ，
|OM|•|ON|＝2，即为| • |＝2，
即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，
第13页 | 共15页即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．
【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，
考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）＝ x3﹣x2+x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当x [﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）设F∈（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为
M（a）．当M（a）最小时，求a的值．∈
【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由f′（x）＝1求得切点，即可得点斜式方程；
（Ⅱ）把所证不等式转化为﹣6≤f（x）﹣x≤0，再令g（x）＝f（x）﹣x，利用导数研
究g（x）在[﹣2，4]的单调性和极值点即可得证；
（Ⅲ）先把F（x）化为|g（x）﹣a|，再利用（Ⅱ）的结论，引进函数h（t）＝|t﹣a|，结
合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴t＝a与﹣3的关系分析即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ ，
由f′（x）＝1得x（x﹣ ）＝0，
得 ．
又f（0）＝0，f（ ）＝ ，
∴y＝x和 ，
即y＝x和y＝x﹣ ；
（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，
只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，
令g（x）＝f（x）﹣x＝ ，x [﹣2，4]，
∈
则g′（x）＝ ＝ ，
可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0， ）为负，在[ ]为正，
第14页 | 共15页∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0， ]递减，在[ ]递增，
又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（ ）＝﹣ ＞﹣6，g（4）＝0，
∴﹣6≤g（x）≤0，
∴x﹣6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|
＝|f（x）﹣x﹣a|
＝|g（x）﹣a|
∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，
令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，
则问题转化为当t [﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，
∈
当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，
①此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；
当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，
②∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，
也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．
综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．
【点评】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大．
第15页 | 共15页
