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2019年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z• ＝（ ）
A． B． C．3 D．5
2．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（5分）已知直线l的参数方程为 （t为参数），则点（1，0）到直线l的距
离是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，则（ ）
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（ ）
A．﹣7 B．1 C．5 D．7
6．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足m ﹣m ＝ lg ，其中星等为m 的星的亮度为E （k＝1，2）．已知太阳的星等是
2 1 k k
﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
第1页 | 共6页A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
7．（5分）设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |＞| |”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一
（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）函数f（x）＝sin22x的最小正周期是 ．
10．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若a ＝﹣3，S ＝﹣10，则a ＝
n n 2 5 5
，S 的最小值为 ．
n
11．（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格
纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ．
第2页 | 共6页12．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
．
13．（5分）设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝
；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
14．（5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜
、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水
果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付
成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的
最大值为 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．
第3页 | 共6页16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝A
D＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ＝ ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且 ＝ ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为
主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校
学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使
用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（0，1000] （1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率
；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付
金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，
随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本
第4页 | 共6页仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
18．（14分）已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直
线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定
点．
19．（13分）已知函数f（x）＝ x3﹣x2+x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M
（a）．当M（a）最小时，求a的值．
第5页 | 共6页20．（13分）已知数列{a }，从中选取第i 项、第i 项、…、第i 项（i ＜i ＜…＜i ），若
n 1 2 m 1 2 m
a ＜a ＜…＜a ，则称新数列a ，a ，…，a 为{a }的长度为m的递增子列．
n
规定：数列{a }的任意一项都是{a }的长度为1的递增子列．
n n
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{a }的长度为p的递增子列的末项的最小值为a ，长度为q的递增子列
n
的末项的最小值为a ．若p＜q，求证：a ＜a ；
（Ⅲ）设无穷数列{a }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a }的长度为s的递
n n
增子列末项的最小值为2s﹣1，且长度为s末项为2s﹣1的递增子列恰有2s﹣1个（s＝1，2
，…），求数列{a }的通项公式．
n
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