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19.2特殊的平行四边形课时练
课时一矩形
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角互补 D.对角线平分
2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（ ）
A.26 B.13 C.8.5 D.6.5
3.矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB=5 则△ABO的周长为等于
.
A D
4. 如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，
使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6， E
则AF等于 （ ）
B F C
A. B. C. D.８ E
第A 4 题 D
图
5. 如图所示，矩形 的对角线 和 相交于点 ， O
过点 的直线分别交 和 于点E、F， ，
B C
F
则图中阴影部分的面积为 ．
6.已知矩形的周长为40 ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长
第5题图
的差为8 ，则较大的边长为 .
7. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F。
求证BE=CF。
第7题图
8. 如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，
求证：□ABCD为矩形
第8题图
9.已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S =S +S 理由：
△PBC △PAC △PCD
过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．
图l
∵ S +S =BC·PF+AD·PE=BC（PF+PE）=BC·EF=S
△PBC △PAD 矩形ABCD
又∵ S +S +S =S
△PAC △PCD △PAD 矩形ABCD∴ S +S = S +S +S ．
△PBC △PAD △PAC △PCD △PAD
∴ S =S +S ．
△PBC △PAC △PCD
请你参考上述信息，当点 P分别在图2、图3中的位置时，S 、S 、S 又有怎样
△PBC △PAC PCD
的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．
图2 图3
10. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设
MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并证明你的结
论.
第10题图
课时一答案：
1.C；2.D，提示：由勾股定理求得斜边为： ，斜边的中线长为 ；
3.18 ， 提 示 ： AB=5,BC=12,AC=13, ； 4.
A，提示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形 ADE 中，∠DAE=30 ，由折叠的性质得
∠BAF=∠EAF=30,设BF= ，则AF=2 ， ；5.3；
6.14；
7证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,BO=CO,
∵BEAC,CFBD,∴∠BEO=∠CFO=90 ,又∵∠BOE=∠COF
则BOE COF
∴BE=CF
8.连接AC、BD，AC与BD相交于点O，连接OE
在□ABCD中，AO=OC,BO=DO. 在 中，OE= ,
在 中，OE= ,∴BD=AC, ∴□ABCD为矩形.
9. 猜想结果：图2结论S =S +S ； 图3结论S =S -S
△PBC △PAC △PCD △PBC △PAC △PCD
证明：如图2，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．
∵ S =BC·PF=BC·PE+BC·EF
△PBC=AD·PE+BC·EF=S +S
△PAD 矩形ABCD
S +S =S +S =S +S
△PAC △PCD △PAD △ADC △PAD 矩形ABCD
∴ S =S +S
△PBC △PAC △PCD
10. (1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO又∵∠BCE=∠ECO
∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC,同理OC=OF，∴OE=OF
(2)当O为AC中点时，AECF为矩形，∵EO=OF(已证)，OA=OC
∴AECF为平行四边形，又∵CE、CF为△ABC内外角的平分线
∴∠EOF=90°，∴四边形AECF为矩形
课时二菱形
1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的
中点，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．AC=2OE B．BC=2OE
A 第1题图
C．AD=OE D．OB=OE
2. 如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（ ）
A.四边形ABCD是平行四边形 B D A D
B.AC⊥BD
C.△ABD是等边三角形
C
D.∠CAB＝∠CAD B C
第2题图
第3题图
3. 如图，如果要使 成为一个菱形，
需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为 。
5.□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB=BC;③AC平分
∠BAD；④AO=DO，使得□ABCD是菱形的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.菱形的周长为20 ，一条对角线长为8 ，则菱形的面积为 .
7. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；
(3)OA=OC；(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出
四边形ABCD是菱形。如(1)(2)(5) ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________
ABCD是菱形；________ ABCD是菱形。
8. 如图所示，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形
AEDF是菱形吗？说明你的理由.
第8题图9..□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是
菱形？为什么？
第9题图
10.. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，
AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
第10题图
课时二答案：
1. B；2. C; 3.答案不唯一： 等；4.5；5.C；6.24，提示：由已知得
菱形一边长为 5 ，由菱形的对角线互相平分且垂直，所以另一条对角线的长为
，∴S = ；7.①②⑥或③④⑤或③④⑥；
菱
8.四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=ED.
又∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF是菱形.
9. □AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC
10.. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点E 、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝ AB ，CF＝ CD ．
∴AE＝CF ．∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．
∵AG∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形．∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．∵AE＝BE ，
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD是矩形．
课时三正方形
1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD
C.AD∥BC，∠A=∠C D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
2. 在正方形 ABCD 中，AB=12 cm，对角线 AC、BD 相交于 O，则△ABO 的周长是
（ ）
A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+6
3. 已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的
一个条件即可).
4. 下列命题中的假命题是( )．
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
6. 如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个
正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形的面积是 ．
E
A D
B C
第6题图 第7题图
7. 如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，
则∠EAC＝___度．
8. 已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，
F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；
(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
第8题图
9如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
第9题图并证明你的猜想．
10. 把正方形 绕着点 ，按顺时针方向旋转得到正方形 ，边 与 交
于点 （如图）．试问线段 与线段 相等吗？
D C
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
G
H
F
A
B
E
第10题图
11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．
（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比．
（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E
运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，
不要求写出计算过程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题（根据提出的问题给附加分，最多4
分，计入总分，但总分不超过120分）．
课时三答案：
1.A；2.A; 3.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件即可;4. D；5. 3 ；
6. ;7.105;
8.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC，∠BCD=90°
在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC=DC，CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF
(2)∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE= (180°－90°)=45°
∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60°
∴∠EFD=∠DFC－∠EFC=15°
9. (1) 证明： 如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE，
∴ △ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．
（2）猜想： AE⊥CG．
证明： 如图，
设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．
∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．
又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN．
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG．
10. 解： ．
D C
证法1：连结 ，
G
四边形 ， 都是正方形．
H
．
由题意知 ，又 ． F
A
， B
D C
． G
E
证法2：连结 ．
（ 第 10
H
四边形 都是正方形， 题）
F
．
A
B
由题意知 ．
．
． E
． （ 第 10
题）
11. 解：（1）如图1，连结DF．
因为点E为CD的中点，所以 ．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以 ． （2分）
因为S =S ，S =S． （2分）
△DEF △CEF △
所以 ．
（2）如图2，连结DF．
与（1）同理可知， = ，S = S ， ，
△DEF △CEF
所以 = ．（3）当CE：ED=3：1时，= ．
当CE：ED=n：1时， = （= ）．
（4）提问举例：①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是
多少？
②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少？
③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比
是多少？
