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2023年上海市中考数学模拟试题二（解答卷）
一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
解：∵ ， 的倒数是 ，
∴ 的倒数是 ，
故选C．
2.下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3. 反比例函数 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则k的值可为
A．- 1 B．1 C．-2 D．0
解：根据题意可知，反比例函数的基本知识是则需要满足 ，故选C
4. 某公司为了解职工参加体育锻炼情况，对职工某一周平均每天锻炼（跑步或快走）的里程进行统计
（保留整数），并将他们平均每天锻炼的里程数据绘制成扇形统计图，
关于他们平均每天锻炼里程数据，下列说法不正确的是（ ）A．平均每天锻炼里程数据的中位数是2
B．平均每天锻炼里程数据的众数是2
C．平均每天锻炼里程数据的平均数是2.34
D．平均每天锻炼里程数不少于4km的人数占调查职工的20%
解：A、把这些数从小到大排列，则平均每天锻炼里程数据的中位数是2，故本选项正确；
B、∵2出现了20次，出现的次数最多，则平均每天锻炼里程数据的众数是2，故本选项正确；
C、平均每天锻炼里程数据的平均数是： ，故本选项正确；
D、平均每天锻炼里程数不少于4km的人数占调查职工的 ，故本选项错误；
故选：D．
5.下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．四个角是直角的四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形
解：A．对角线相等的四边形是矩形，错误，是假命题，
B．一组邻边相等的四边形是菱形，错误，是假命题，
C．四个角是直角的四边形是正方形，错误，是假命题，
D．对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，是真命题.
故选：D．
6.永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，
如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（ ）A．80° B．100° C．120° D．135°
解：正八边形的每个内角的度数为 ，
故选：D．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.： =_________．
解： = － =
故答案为：
8.如果 ，那么 ___________．
解：由题可得：
，
故答案为 ．
9.解方程组： 的结果为__________.
解： ，
由②得（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，
与方程①组成新的方程组得： ；
解这两个新方程组，得原方程组的解为： ； ．10.知二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点，求 的取值范围______．
解：令y＝0，则 ．
∵二次函数 的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程 有两个不相等的解，
，
∴
解得： ，
故答案是： ．
11. 一次圆桌会议设有4个座位，主持人坐在了如图所示的座位上，
嘉宾甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．
嘉宾甲与乙相邻而坐的概率是____________．
解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为 ．故答案为： ．
12.某店4月份利润为16万元，要使6月份利润达到25万元，则平均月增长率是 ___________.
解：设平均月增长率为x，
由题意得： ，
解得： 或 （不符合题意舍去）.
即平均月增长率是25%.
故答案为：25%.
13. 某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，
并将调查结果绘制成统计表.已知该校全体学生人数为1500人，
由此可以估计每周课外阅读时间在1~2（不含1）小时的学生有________人.
（不 2~3（不含 超过
每周课外阅读时间（小时） 0~1
含1） 2） 3
人数 7
解：估计每周课外阅读时间在 （不含1）小时的学生有
（人），
故答案为： ．
14.若函数 的图象经过第一、二、三象限，则a的取值是__________
解：∵函数y＝（2a−1）x＋（a−1）的图象经过第一、二、三象限，
∴2a−1＞0，即a＞ ；
当图象过一、二、三象限时，直线与y轴正半轴相交，
∴a−1，即a＞1；
综上所述，a＞1；故填a＞1．
15. 如图，在梯形 中， ， ，点E在 上，且 ，
下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥BE．
∵BE=AD，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AB=DE，AB∥DE．
∴ ，
故选：D．
16如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，
则AC的长等于_____．
解：如图，∵∠C=90°，点D为AB的中点，
∴AB=2CD=10，
∴CD=5，
∴BC=CD=5，
在Rt△ABC中，AC= = =5 ．
故答案为5 ．
17.如图，点光源位于P(2，2)处，木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．
则木杆AB在x轴上的影长CD为________．
解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PM＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥CD，
∴△ABP∽△CDP，
∴ ，∴ ，
∴CD＝6；
故答案为：6；
18. 如图，⊙O是以原点为圆心， 为半径的圆，点P是直线y＝-x＋6上的一点，
过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则 的最小值为__________-
解：作OH⊥AB于H，连接OQ、OP，
如图，
当x=0时，y=-x+6=6，则B（0，6），
当y=0时，-x+6=0，解得x=6，则A（6，0），
∵OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=6 ，
∴OH= AB=3 ，
∵PQ为切线，
∴PQ⊥OQ，∴∠PQO=90°，
∴PQ= = ，
∵PQ最小时，S△PQO的值最小，
∵OP最小时，PQ最小，
∴当OP⊥AB，即P点运动到H点时，OP最小，S△PQO的值最小，
此时PQ= =4，
∴S△PQO的最小值= × ×4=2 ．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19.（本大题满分10分）
计算： ；
解：（1）原式
；
19. （本大题满分10份）
利用数轴，解一元一次不等式组
解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把①，②两个不等式的解表示在数轴上，如图．21.（本大题满分10分）
如图，把一块等腰直角三角板 放在平面直角坐标系的第二象限内，
若 ，且A、B两点的坐标分别为 ．
(1)求点C的坐标；
(2)将 沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的 位置，
若B、C两点的对应点E、F都在反比例函数y＝ 的图象上，求m、k的值和直线 的解析式；
解：（1）过点 作 轴，交 轴于点 ，
则： ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：将 沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的 位置，
B、C两点的对应点为E、F，
∵ ，
∴ ，
∵E、F都在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ；
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
22.（本大题满分10分）
如图，在路灯下，甲的身高为图中线段 所示，影子为 ，乙的身高为图中线段 所示，
路灯灯泡在射线 上．
(1)请画图确定路灯灯泡P的位置，并画出乙在路灯下的影长 （不写作法）；(2)若甲、乙两人的身高分别为 米和 米，且甲在路灯下的影子 为1米，
甲与路灯的距离 为3米，甲、乙两人之间距离为10米，点E，A，H，C，F在同一条直线上，
请求出路灯的高度和乙在路灯下的影长．
解：（1）如图：
P即为灯泡的位置，线段 为乙在路灯下的影长；
（2）解：根据题意得： 米， 米， 米， 米， 米，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
同理 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
答：路灯的高度是 米，乙在路灯下的影长是2米．
23.（本大题满分12分，第（1）、（2）问满分各6分）
如图，在矩形 中， ， ，动点P以 的速度从A点出发，
沿 向C点移动，同时动点Q以 的速度从点C出发，沿 向点B移动，
设P、Q两点移动的时间为t秒 ．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与 相似？
（2）在P、Q两点移动过程中，四边形 与 的面积能否相等？
若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
解：（1）在R 中， ，
∵ ，
∴当 时， ，则 ，即 ，解得 ；
当 时， ，则 ，即 ，解得 ；
∴t为 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与 相似；
（2）四边形 与 的面积不能相等．
理由如下：
作 于H，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当四边形 与 的面积相等时，
，即 ，
∴ ，整理得 ，此时方程无实数解，
∴四边形 与 的面积不能相等．
24．已知，如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)、B(1，0)，把点A绕原点逆时针旋转，
使其落在y轴负半轴点C处，抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，连接AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)把直线AC向上平移、平移后的直线DM交y轴于点D，交y轴右侧的抛物线于点M，
连接AM、CM、若 ，求点M的坐标；
(3)点N为直线BC上一个动点，设点N的横坐标为n，若以A、C、N三点组成的三角形为钝角三角形、试
求出n的取值范围．
解：（1）由题意可知
把点 代入抛物线 得
解得：
所以二次函数的解析式为
（2）解： 直线 为直线 平移得到的而
∴设
解得：
∵设
把 代入得
与抛物线联立得
解 或 （不符合题意，舍去）
（3）解：过点A作 ，交 于点Q，过点A作 于点P设
解得：
∴设
把 代入得
联立直线 得
解得
∴点Q的横坐标为3
设 与y轴交于点E
∵
∴
∵
∵
∴联立直线 得
解得
∴点P的横坐标为
①当点N在点Q上方时， 为钝角， 为钝角三角形，此时
②当点N与点Q或点P重合时， 为直角三角形，不符合题意
③当点N在线段 （不包括端点）上时， 为锐角三角形，不符合题意
④当点N在线段 （不包括端点）上时， 为钝角， 为钝角三角形，此时
⑤当点N与点C重合时，不能构成三角形，不符合题意
⑥当点N在点C下方时， 为钝角， 为钝角三角形，此时
综上，n的取值范围为 或 或 （也可以写为 或 且 ）
25．如图1，在等腰直角三角形 中， ， ．点 是 的中点，
以 为边作正方形 ，连接 ， ．将正方形 绕点 顺时针旋转，
旋转角为 （ ）．
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断 与 是否全等，并说明理由；②当 时， 与 交于点 ，求 的长．
(2)如图3，延长 交直线 于点 ．求证： ；
解：（1）①如图2中，结论： ．
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②如图2中，过点 作 于 ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图3中，设 交 于 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
