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2023年上海市普陀区中考数学一模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）下列函数图象中，与 轴交点的坐标是 的是
A． B． C． D．
2．（4分）在 中，已知 ， ， ，那么 的长是
A．6 B．3 C． D． ．
3．（4分）如果二次函数 的图象如图所示，那么下列说法中正确的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（4分）如图，已知 是 的中点， ， ， ，那么下
列结论中错误的是
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
5．（4分）已知 为实数， 是非零向量，下列关于 的说法中正确的是
A．如果 ，那么
B．如果 是正整数，那么 表示 个 相加
C．如果 ，那么
D．如果 ， 与 的方向一定相同
6．（4分）在 和 中，已知 ， ，如果从下列条件中增添一
个条件， 与 仍不一定相似，那么这个条件是
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ， ，那么 ．
8．（4分）已知反比例函数 的图象在第一、三象限，如果 ，那么
（填“ ”、“ ”或“ “
9．（4分）已知二次函数 的图象有最高点，那么 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司10．（4分）已知抛物线 的对称轴是直线 ，那么 的值等于 ．
11．（4分）已知点 在抛物线 上，将此抛物线沿着 轴向上平移3个单
位，点 随之平移到点 的位置，那么点 的坐标是 ．
12．（4分）已知 是线段 的中点，设 ，那么 （用向量 表
示）
13．（4分）在 中， ， ， ，那么 ．
14．（4 分）如图，在四边形 中， ， ，如果 ，
，那么 ．
15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为 1，点 、 、 、 都在小正方形
顶点的位置上， 与 交于点 ，那么 的长是 ．
16．（4分）如图， 中的一边 与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边
、 分别与刻度尺的另一边交于点 、 ，点 、 、 、 在刻度尺上的读数分
别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么 的面积是 ．
学科网（北京）股份有限公司17．（4 分）如图，点 、 在 的边 上， ， ，如果
， ，那么 的值是 ．
18．（4分）如图，在 中， 为边 上的中线， ， ， ．
将 绕点 以逆时针方向旋转得到△ ，点 、 分别与点 、 对应．联结
， 与线段 交于点 ．如果点 、 、 在同一条直线上，那么 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）如图，已知梯形 中， ， 是 上一点， ， 、
相交于点 ， ．
（1）求 的值；
（2）联结 ，设 ， ，那么 ， （用向量 、 表示）
学科网（北京）股份有限公司21．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例
函数 的图象交于点 ．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）将这个正比例函数的图象向上平移 个单位，新函数的图象与反比例函数
的图象交于点 ，如果点 的纵坐标是横坐标的3倍，求 的值．
22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线 射到水池的水面 点后折射光线
射到池底点 处，入射角 ，折射角 ；入射光线 射到水池
的水面 点后折射光线 射到池底点 处，入射角 ，折射角 ．
， 、 为法线．入射光线 、 和折射光线 、 及法线 、
都在同一平面内，点 到直线 的距离为6米．
（1）求 的长；（结果保留根号）
学科网（北京）股份有限公司（2）如果 米，求水池的深．（参考数据： 取1.41， 取1.73， 取
0.37， 取0.93， 取0.4， 取0.65， 取0.76， 取
23．（12分）已知：如图，在四边形 中， 为 上一点， ，
．
（1）求证： ；
（2）如果 、 、 分别是 、 、 的中点，联结 、 、 、 ．求证：
．
24．（12分）在平面直角坐标系 中（如图），抛物线 与 轴交
于点 、 ，其中点 的坐标为 ，与 轴交于点 ．抛物线的顶点为 ．
（1）求抛物线的表达式，并写出点 的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一点 ，且点 在第二象限，如果点 到 轴的距离与它到直
学科网（北京）股份有限公司线 的距离相等，求点 的坐标；
（3）抛物线上有一点 ，直线 恰好经过 的重心，求点 到 轴的距离．
25．（14分）如图，在矩形 中， ， 是边 上一动点， 是线段
延长线上一点，且 ， 与矩形对角线 交于点 ．
（1）当点 与点 重合时，如果 ，求 的长；
（2）当点 在线段 的延长线上，
①求 的值；
②如果 ，求 的余切值．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）下列函数图象中，与 轴交点的坐标是 的是
A． B． C． D．
【分析】把 代入解析式，解答即可．
解： ．当 时， ，不符合题意；
．当 时， ，不符合题意；
．当 时， ，符合题意；
．当 时， ，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点都在该函数的
图象上．
2．（4分）在 中，已知 ， ， ，那么 的长是
A．6 B．3 C． D． ．
【分析】根据三角函数中正切值的定义解决此题．
解：如图．
学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ， ，
．
．
故选： ．
【点评】本题主要考查正切值，熟练掌握正切值的定义是解决本题的关键．
3．（4分）如果二次函数 的图象如图所示，那么下列说法中正确的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据解析式知， ， 是抛物线的顶点坐标，再根据函数图象得出结论．
解： ，
顶点坐标为 ，
学科网（北京）股份有限公司由图象可得， ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出二次函数
的顶点存在的特点、性质．
4．（4分）如图，已知 是 的中点， ， ， ，那么下
列结论中错误的是
A． B． C． D．
【分析】用 证明 ，得 ，可证 ，从而说明 、
、 正确．
解：设 交 于点 ．
点 是 的中点，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
学科网（北京）股份有限公司，
，
， ，
，
，
，
故选项 ， ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质等知识，
证明 是解题的关键．
5．（4分）已知 为实数， 是非零向量，下列关于 的说法中正确的是
A．如果 ，那么
B．如果 是正整数，那么 表示 个 相加
C．如果 ，那么
D．如果 ， 与 的方向一定相同
学科网（北京）股份有限公司【分析】若 ，则 ；当 时， ；当 时， 与 的方向相反，
由此可得答案．
解： ．若 ，则 ，
故 选项错误，不符合题意；
．若 是正整数，则 表示 个 相加，
故 选项正确，符合题意；
．当 时， ，
故 选项错误，不符合题意；
．当 时， 与 的方向相反，
故 选项错误，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．
6．（4分）在 和 中，已知 ， ，如果从下列条件中增添一
个条件， 与 仍不一定相似，那么这个条件是
A． B． C． D．
【分析】利用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定解决问题即可．
解： 、由 ，可以根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合
题意；
、由 ，可以推出 根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选
项不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司、由 ，不能判定两三角形相似．本选项符合题意；
、由 ，可以推出 ，根据三边成比例两三角形相似，本选项不
符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似
三角形的判定方法，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ， ，那么 2 ．
【分析】直接利用已知代入求出 的值，即可得出 的值，进而得出答案．
解： ， ，
，则 ，
解得： ，
故 ，
那么 ．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．
8．（4分）已知反比例函数 的图象在第一、三象限，如果 ，那么
（填“ ”、“ ”或“ “
学科网（北京）股份有限公司【分析】先根据反比例函数 的图象在第一、三象限可知 ，故在每一象限
内 随 的增大而减小，据此可得出结论．
解： 反比例函数 的图象在第一、三象限，
，在每一象限内 随 的增大而减小．
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性
是解题的关键．
9．（4分）已知二次函数 的图象有最高点，那么 的取值范围是
．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
解：由题意可知： ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性
质，本题属于中等题型．
10．（4分）已知抛物线 的对称轴是直线 ，那么 的值等于 2
．
【分析】由对称轴公式可得到关于 的方程，可求得答案．
学科网（北京）股份有限公司解： 的对称轴是直线 ，
，
解得： ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即
的对称轴为 ．
11．（4分）已知点 在抛物线 上，将此抛物线沿着 轴向上平移3个单
位，点 随之平移到点 的位置，那么点 的坐标是 ．
【分析】确定平移后得顶点坐标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式，进而解答即可．
解：抛物线 上，将此抛物线沿着 轴向上平移 3个单位，得到的抛物线是
，即 ，
把 ， 代入 中，可得： ，
解得： ，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，关键是根据平移的规律解答．
12．（4分）已知 是线段 的中点，设 ，那么 （用向量
学科网（北京）股份有限公司表示）
【分析】由题意得 ，则 ．
解： 是线段 的中点， ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法运算法则是解答本题的关键．
13．（4分）在 中， ， ， ，那么 ．
【分析】首先根据题意得出 为直角三角形，再画出图形，其中 ， ，
；然后根据 计算即可．
解： ， ， ，
，
是直角三角形，
如图所示：
在 中， ， ， ，
则 ．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考解直角三角形，牢记锐角三角函数的定义是解题关键．
14．（4 分）如图，在四边形 中， ， ，如果 ，
，那么 ．
【分析】先根据平行线的性质得到 ，加上 ，则利用相似三
角形的判定方法可判断 ，然后利用相似比可求出 的长．
解： ，
，
，
，
，
即 ，
解得 ，
即 的长为 ．
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形
的性质时利用相似比进行几何计算．
15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为 1，点 、 、 、 都在小正方形
顶点的位置上， 与 交于点 ，那么 的长是 2. 5 ．
【分析】先根据勾股定理，得 ，再根据比例线段求出 ．
解：连接 ，
根据勾股定理，得 ，
，
，
，
，
解得： ，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握两个知识点的应用，推出
比例线段是解题关键．
学科网（北京）股份有限公司16．（4分）如图， 中的一边 与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边
、 分别与刻度尺的另一边交于点 、 ，点 、 、 、 在刻度尺上的读数分
别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么 的面积是 ．
【分析】过点 作 ，垂足为 ，并延长 交 于点 ，根据题意得：
， ， ， ，从而可得 ， ，然
后证明 字模型相似三角形 ，从而利用相似三角形的性质求出 的长，最
后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
解：过点 作 ，垂足为 ，并延长 交 于点 ，
由题意得： ， ， ， ，
， ，
，
，
，
解得： ，
学科网（北京）股份有限公司的面积 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，根据题目
的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（4 分）如图，点 、 在 的边 上， ， ，如果
， ，那么 的值是 ．
【分析】由 ， ，得 ，有 ，同理可得
，故 ，即可得答案．
解： ， ，
，
，
，
， ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
18．（4分）如图，在 中， 为边 上的中线， ， ， ．
将 绕点 以逆时针方向旋转得到△ ，点 、 分别与点 、 对应．联结
， 与线段 交于点 ．如果点 、 、 在同一条直线上，那么
．
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，过 作 于 ，设
交 轴 于 ， 由 为 边 上 的 中 线 ， ， ， 可 得
， ， 设 ， 由 ， 可 得
，故 ， ， ， ，直线 解析式为 ，根据将
绕点 以逆时针方向旋转得到△ ，可证 ，得四边形 是矩形，
学科网（北京）股份有限公司从而求得 ， ，直线 解析式为 ，联立 得 ，
，即可得到答案．
解：以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，过 作 于 ，设
交 轴于 ，如图：
为边 上的中线， ， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
由 ， ， 得直线 解析式为 ，
将 绕点 以逆时针方向旋转得到△ ，
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
， ，
学科网（北京）股份有限公司由 ， ， 得直线 解析式为 ，
联立 得 ，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点的坐
标．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：原式
学科网（北京）股份有限公司．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）如图，已知梯形 中， ， 是 上一点， ， 、
相交于点 ， ．
（1）求 的值；
（2）联结 ，设 ， ，那么 ， （用向量 、
表示）
【分析】（1）根据题意可证明四边形 为平行四边形，得到 ，则
， ，易证明 ，由相似三角形的性质即可求解；
（2）由 得 ， ，由三角形法则求出 和 ，再求出 ，最
后利用三角形法则即可求出 ．
解： ， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
， ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
；
（2）联结 ，如图，
由（1）可得 ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
．
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，
熟练三角形法则是解题关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例
函数 的图象交于点 ．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）将这个正比例函数的图象向上平移 个单位，新函数的图象与反比例函数
的图象交于点 ，如果点 的纵坐标是横坐标的3倍，求 的值．
【分析】（1）将点 代入反比例函数 ，求出 的值，再待定系数法求正比例函
数解析式即可；
（2）设点 横坐标为 ，则纵坐标为 ，根据点 的纵坐标是横坐标的3倍，列方程求出
的值，即可确定点 坐标，再将点 坐标代入 ，即可求出 的值．
学科网（北京）股份有限公司解：（1）根据题意，将点 代入反比例函数 ，
得 ，
解得 ，
点 坐标为 ，
将点 代入正比例函数 ，
得 ，
解得 ，
正比例函数解析式为 ；
（2）这个正比例函数的图象向上平移 个单位，得 ，
设点 横坐标为 ，则纵坐标为 ，
点 的纵坐标是横坐标的3倍，
，
解得 或 （舍 ，
点 坐标为 ，
将点 坐标代入 ，
得 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数
的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线 射到水池的水面 点后折射光线
射到池底点 处，入射角 ，折射角 ；入射光线 射到水池
的水面 点后折射光线 射到池底点 处，入射角 ，折射角 ．
， 、 为法线．入射光线 、 和折射光线 、 及法线 、
都在同一平面内，点 到直线 的距离为6米．
（1）求 的长；（结果保留根号）
（2）如果 米，求水池的深．（参考数据： 取1.41， 取1.73， 取
0.37， 取0.93， 取0.4， 取0.65， 取0.76， 取
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得 和 的值，然后即可计算出
的值；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．
解：（1）作 ，交 的延长线于点 ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
， ，
米，
（米 ， （米 ，
（米 ，
即 的长为 米；
（2）设水池的深为 米，则 米，
由题意可知： ， ． 米，
（米 ， （米 ，
，
，
解得 ，
即水池的深约为4米．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
23．（12分）已知：如图，在四边形 中， 为 上一点， ，
．
（1）求证： ；
（2）如果 、 、 分别是 、 、 的中点，联结 、 、 、 ．求证：
．
【分析】（1）将 变形为 ，由 ，根据三角形的
内角和定理推导出 ，即可证明 ；
（2）根据三角形的中位线定理得 ， ， ， ，
，可证明四边形 是平行四形，则 ，再证明 ，
得 ，所以 ．
【解答】证明：（1）如图1， ，
，
，
，
， ，
学科网（北京）股份有限公司，
．
（2）如图2， 、 、 分别是 、 、 的中点，
， ， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四形，
，
， ，
，
，
，
．
学科网（北京）股份有限公司【点评】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线
定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形 是平行四形及 是解题
的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系 中（如图），抛物线 与 轴交
于点 、 ，其中点 的坐标为 ，与 轴交于点 ．抛物线的顶点为 ．
（1）求抛物线的表达式，并写出点 的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一点 ，且点 在第二象限，如果点 到 轴的距离与它到直
线 的距离相等，求点 的坐标；
（3）抛物线上有一点 ，直线 恰好经过 的重心，求点 到 轴的距离．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点 ，则 ，在 中， ，则
，即可求解；
（3）直线 恰好经过 的重心，则 为 边上的中线，由点 、 的坐标得
的中点坐标为 ，进而求解．
解：（1）由题意得： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
学科网（北京）股份有限公司则抛物线的对称轴为 ，则点 ；
（2）设抛物线的对称轴交 轴于点 ，过点 作 于点 ，
设点 ，则 ，
在 中， ，
则 ，
解得： ，
即点 的坐标为： ；
（3） 直线 恰好经过 的重心，
则 为 边上的中线，
由点 、 的坐标得 的中点坐标为 ，
则直线 的表达式为： ，
联立 和 并解得： （不合题意的值已舍去），
学科网（北京）股份有限公司即点 的坐标为 ， ，
故点 到 轴的距离为： ．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到重心的定义、解直角三角形、一次函数的
应用等知识点，数形结合是本题解题的关键．
25．（14分）如图，在矩形 中， ， 是边 上一动点， 是线段
延长线上一点，且 ， 与矩形对角线 交于点 ．
（1）当点 与点 重合时，如果 ，求 的长；
（2）当点 在线段 的延长线上，
①求 的值；
②如果 ，求 的余切值．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设 ，根据矩形的性质即解直角三角形推出 ，
，根据勾股定理得到 ，据此求解即可；
（2）① 交 于点 ，连接 ，根据相似三角形的判定与性质推出 ，
， ，根据相似三角形的性质得出 ，设 ，
则 ，根据勾股定理求出 ，据此求解即可；
②设 ，则 ，设 ，且 ， ，则 ，根据锐角
三 角 函 数 得 到 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 ，
，根据平行线的性质得出 ，根据相似三角形的性质
得 ，进而求出 ，据此即可得解．
解：（1）如图，当点 与点 重合时，设 ，
四边形 是矩形，
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
；
（2）①如图， 交 于点 ，连接 ，
由（1）得， ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
又 ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
；
②如图，连接 ，
，
设 ，则 ，设 ，且 ， ，则 ，
，
学科网（北京）股份有限公司，
， ，
，
，
，
，
即 ，
，
由①得， ，
，
，
两边平方并整理得，
，
， ，
， ，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
即 的余切值 ．
【点评】此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角
形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的
辅助线是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
