文档内容
初三数学练习
（满分150分，完卷时间100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A. 是无理数，此选项符合题意；
B. 是有理数，此选项不符合题意；
C. ＝2是有理数，此选项不符合题意；
D. 是有理数，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数，无理数的定义是解题的关键．
2. 若 ， 则下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的运算性质分别进行分析即可得出结论．
【详解】 与 不是同类项，不能合并，故A错误；
，故B错误；
与 不是同类项，不能合并，故C错误；
，故D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式加减乘除的运算性质，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键．
3. 下列统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度
或波动大小进行选择．
【详解】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．
4. 若一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y的值随x值的增大而减小，则（ ）
A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0
【答案】C
【解析】
【详解】函数值y随x的增大而减小，则k<0；图象与y轴的正半轴相交，则b>0．
故选C．
5. 下面结论中，正确的是（ ）．
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，故此选项不合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平形四边形，正确；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故此选项不合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关判定定理是解题关键．
6. 如图，已知 中， ， ． 、 分别是边 、 上的点， ，且
．如果 经过点 ，且与 外切，那么 与直线 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由 ．可得
AC=4x，AB=5x，然后根据 ，可得 ，EF=AE= ，从而得到 的半径为x，即可求
解．
【详解】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，
设CD=x，∵ ．
∴BD=2x，BC=3x，
∵ ．
∴AC=4x，
∴AB=5x，
∵ ，
∴ ， ．
∴BE=2AE， ，
∴EF=AE= ，
∴ ，
∴CD=DE，
∵ 经过点 ，且与 外切，
∴ 的半径为x，
∵ ，即AC⊥BC，
∴ 与直线 相切．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握直角三角形的
性质，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识是解题的关键．
二、填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7. 方程 的解是____________．
【答案】
【解析】【分析】将方程两边同时平方得到一元一次方程，解方程即可；
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了无理方程，利用转换思想，将无理方程转化为一元一次方程是解本题的关键．
8. 不等式组 解集是____________．
的
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式①，②，再求出解集的公共部分即可．
【详解】
解不等式①，得x＞2；
解不等式②，得x＜4．
∴ 不等式组的解是2＜x＜4．
故答案为：2＜x＜4．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
9. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是____________．
【答案】2
【解析】
【分析】先把方程化成一元二次方程一般式，然后利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10. 函数 中，自变量x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】由题意得 ，解得 ，
故答案为： ．
11. 如果反比例函数 的图像经过 、 两点，那么 、 的大小关系是
____________ ．（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数 中 ，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵ 、 两点在反比例函数图象上，且 ，
∴ ．
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，当k＜0时，在
每个象限内，y随x的增大而增大，当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小．
12. 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是_______．
【答案】5
【解析】【详解】试题分析： 中心角的度数= ，
考点：正多边形中心角的概念．
13. 甲乙两人做“石头、剪刀、布”游戏，能在一个回合中分出胜负的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接用列表法求出所有可能的情况，然后根据基本概率公式即可得出答案．
【详解】分别用 表示石头、剪刀、布，则在一个回合下的所有情况列表如下：
石头 剪刀 布
石头
剪刀
布
一共有9种等可能结果，其中获胜的情况有6种，故获胜的概率 ．
【点睛】本题考查了基本概率的求法，解题的关键是熟练掌握求概率的方法，包括列表法和树状图法．
14. 某学校组织主题为“保护自然，爱护家园”的手抄报作品评比活动．评审组对各年级选送的作品数量
进行了统计，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）．那么选送的作品中，七年级的作品
份数是____________．
【答案】84
【解析】
【分析】先求出所有作品 的总数量，再求出八年级作品数，进而得七年级作品数．
【详解】解：作品总数量为： （份）；
八年级作品数： （份）；七年级的作品数： （份）；
故答案为：84．
【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图，根据题中信息正确计算是解题的关键．
15. 如图，已知梯形 中， ， ，设 ， ，那么 可以用 ，
表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ， ， ， ，确定 ，代入
计算即可．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量的计算，平行向量，熟练掌握向量的计算方法是解题的关键．
16. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量 （本）与每
本的售价 （元）之间满足一次函数关系： ．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是___________元．
【答案】200
【解析】
【分析】将 代入 中得到每周的销量，再乘以单件利润即可得到答案；
【详解】解：将 代入 中得，
（件），
∴当纪念册的售价为每本30元，这一周的盈利是： （元）；
故答案为：200．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确计算是解本题的关键．
17. 定义：在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，对于任意两点 、 称
的值为 、 两点的“直角距离”．直线 与坐标轴交于A、 两点， 为线
段 上与点A、 不重合的一点，那么 、 两点的“直角距离”是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据“直角距离”的概念，设 ，判断出Q点横坐标和纵坐标的正负性，计算即得
结果；
【详解】解：由题意知 ，设 ，
∴ 、 两点的“直角距离”是： ，
将 代入 得， ，故 ；
将 代入 得， ，解得： ，故 ；
∵ 为线段 上与点A、 不重合的一点，
∴∴
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握题目中的“直角距离”的概念，结合一次函数知识进行解题
是关键．
18. 如图，在矩形 中， ， ．将矩形 绕点 顺时针旋转，得到矩形 ，
点A、C、 的对应点分别为 、 、 ．当点 落在对角线 上时，点 与点 之间的距离是
_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，画出旋转后图形，证 即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，∴ ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查矩形的性质与旋转，三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查二次根式 的混合运算，熟练掌握负整指数幂与二次根式的化简运算是解题的关键．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】先将 左侧因式分解化为 ，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：∵∴原方程组可化为 ，
①-②得， ，
解得：
将 代入①中得 ，
解得： ，
∴所以原方程组 解为 ．
的
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、因式分解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
21. 如图，已知 是 的外接圆， ， ．
（1）求 的正弦值；
（2）求弦 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点 作 ，垂足为点 ；根据圆的性质，即可求 的正弦值；
（2）过点 作 ，垂足为点 ；由圆的性质得 ，延长 交 于点 ，， ，根据 即可求弦 的长；
【小问1详解】
解：（1）过点 作 ，垂足为点 ．
， ，
，
，
，
在 中，
．
【小问2详解】
过点 作 ，垂足为点 ．
，，
延长 交 于点 ．
， ，
在 中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质，掌握相关知识，正确做出辅助线是
解题的关键．
22. 小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．已知买2支康乃馨和3支百合共
需花费28元，买3支康乃馨和2支百合共需花费27元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小红准备买康乃馨和百合共9支，且百合花支数不少于康乃馨支数．设买这束鲜花所需费用为 元，
康乃馨有 支，求 与 之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
【答案】（1）买一支康乃馨需要5元，买一支百合需要6元
（2） ，买4支康乃馨和5支百合时，花费最少，花费50元
【解析】
【分析】（1）设买一支康乃馨需 元，买一支百合需 元，根据“买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，
3支康乃馨的价格比2支百合的价格多27元”列出方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，由康乃馨和百合共9支求出 的取值范围，再根据一
次函数的性质即可求出最少费用．
【小问1详解】
解：设一支康乃馨的价格是 元，一支百合的价格是 元，
根据题意可知： 解得 ，答：买一支康乃馨需要5元，买一支百合需要6元；
【小问2详解】
解：由题意知： ，
，
由 可知 ，且 是正整数，
当 时， 的值最小，即买4支康乃馨和5支百合时，花费最少，花费50元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系列出方程组．
23. 已知：如图，两个 和 中， ， ， ，且点 、 、
在一条直线上．联结 、 ， 与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证 ，从而证得 ，
，再利用平行线分线段成比例即可得出结论．
（2）证明 ，得 ，继而利用 ，即可得出结论．
【小问1详解】
.证明： ， ，， ，
，
，
， ，
， ，
．
【小问2详解】
证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线
段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关
键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与 轴交于点A、与 轴交于点 ，抛物线经过点A、 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2） 是抛物线上一点，且位于直线 上方，过点 作 轴、 轴，分别交直线 于点
、 ．
①当 时，求点 的坐标；
②连接 交 于点 ，当点 是 的中点时，求 的值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由 求 ， ，将A、B代入 即可求解；
（2）设①设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由 轴， 轴，可得
， ，当 时， 即可求解；
②过点 作 轴，延长 交 轴于点 ，则 ，当点 是 的中点时，可得，由 轴， 轴，得 ， ，设点 的坐标为
，则 ， ，由 ，即可求解；
【小问1详解】
解：将 代入 得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以 ， ，
， 在抛物线 上，
∴ ，解得
抛物线的解析式
【小问2详解】
①设点 的坐标为 ，
轴，且点 在直线 上，
点 的坐标为
， ，
， ，
轴， 轴，
， ，
，，
当 时，
，解得
点 的坐标为
②过点 作 轴，延长 交 轴于点 ，则 .
当点 是 的中点时，可得
轴， 轴，
，
点 是 的中点
，
设点 的坐标为 ，则 ，
∵ ，
∴△OCD∽△OPE，，
即 ，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的
关键．
25. 已知 中， ， 、 是 的两条高，直线 与直线 交于点 ．
（1）如图，当 为锐角时，
①求证： ；
②如果 ，求 的正切值；
（2）如果 ， ，求 的面积．
【答案】（1）①见解析；②2
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①由题可知 ，即可证明 ，之后证明 即
可；②设 ，则 ， ，根据 可得 ，故在 中，可求
；
（2）设 ，即可证得 ，根据 ， 可得
根据 与 ，可得到 ，之后分 为锐角与钝角两种情况讨论即可．
【小问1详解】
（1）①证明： ， ，
，
， ，且 ，
，
，
，
，
；
②由题意知：设 ，则 ， ，
，
，
， ，
，
在 中，
；【小问2详解】
解： 设 ，
，
， ，
， ，
，
且 ，
在Rt△BDQ中根据勾股定理可得， ，
，
1°当 为锐角时，
，
，解得 ；
∴ ，
，
；
2°当 为钝角时，
，，解得 ，
∴ ，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的相似的判定与性质、解直角三角形，解一元二次方程、三角形的面积，根
据题目条件分类讨论是解题的关键．
